离散型随机变量的分布列、期望和方差
天津渤海职业学院-亚运会口号
离散型随机变量的分布列、期望和方差
了解随机变量的概念，理解
随机变量的分布列、期望
和方差；会求离散型随机变量的分布列、期望和方差.
离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这
个范围内各个值的概率和. 求离散型随机变量的分
布列必须
解决好两个问题，一是求出ξ的所有取值，二是求出ξ取每
一个值时的概率.对求离散
型随机变量的期望和方差的应用
问题，首先应仔细地分析题意，当概率分布不是一些熟知的
类型
时，应全面地剖析各个随机变量所包含的各种事件，并
准确判断各事件的相互关系，从而求出各随机变量
相应的概
率.
英语老师要求学生从星期一到星期四每天学习3个英语
单词；每
周五对一周内所学单词随机抽取若干个进行检测
（一周所学的单词每个被抽到的可能性相同）.
（1）英语老师随机抽了4个单词进行检测，求至少有3
个是后两天学习过的单词的概率；
（2）某学生对后两天所学过的单词每个能默写对的概
率为
，对前两天所学过的单词每个能默写对的概率为
若老师从后三天所学单词中各抽取一个进行检测，求该
学生能默写对的单词的个数ξ的分布列和期望.
破解思路 此题主要考查古典概型及其计算公式，互斥
事件、独立事件、独
立重复事件的概率公式，离散型随机变
量的分布列及其数学期望E（ξ）=x1p1+x2p2+…+x
npn+…
等核心知识，对概率型应用性问题，理解题意是基础，然后
进行分类、分步转化是关
键.
完美解答 （1）设“英语老师随机抽到的4个单词中，
至少有3个是后两天学过
的单词”为事件A，则由题意可得
P某大学开设甲、乙、丙三门选修课，学生是否选修哪门课
互
不影响. 已知某学生只选修甲的概率为0.08，只选修甲和
乙的概率是0.12，至少选修一门的概
率是0.88，用ξ表示该
学生选修的课程门数和没有选修的课程门数的乘积.
（1）记“函数f（x）=x2+ξx为R上的偶函数”为事
件A，求事件A的概率；
（2）求ξ的分布列和数学期望.
破解思路 概率型应用性问题是高考命题的一个重要考
点，且常考常新，对于此类考题，要注意认真审题，从数学
与实际生活两个角度来理解问题的实质，将
问题成功转化为
古典概型及独立事件、互斥事件等概率模型来求解.
完美解答 （1）
设该学生选修甲、乙、丙的概率分别为
x，y，z，？摇依题意得x（1-y）（1-z）=0.08，
xy（1-z）=0.12，
1-（1-x）（1-y）（1-z）=0.88，解得x=0.4，y=
0.6，z=0.5.
若函数f（x）=x2+ξx为R上的偶函数，则ξ=0.？摇
当ξ=0时，表示该学生选修三门功课或三门功课都没
选，所以P（A）=
P（ξ=0）=xyz+（1-x）（1-y）（1-z）=0.4
×0.5×0.6+（1-0.4）
（1-0.5）（1-0.6）=0.24，所以事件A的
概率为0.24. ？摇
（2）依题意知ξ=0，2，则ξ的分布列为：
所以ξ的数学期望为E（ξ）=0×0.24+2×0.76=1.52.
1.
已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒
内有大小相同的2个红球和4个黑球.
现从甲、乙两个盒内
各任取2个球.
（1）求取出的4个球均为黑球的概率；
（2）求取出的4个球中恰有1个红球的概率；
（3）设ξ为取出的4个球中红球的个数，求ξ的分布
列和数学期望.
2. 某城市有
大明湖、趵突泉、千佛山、园博园4个旅游
景点，一位客人浏览这四个景点的概率分别是0.3，0.4
，0.5，
0.6，且客人是否游览哪个景点互不影响，设ξ表示客人离开
该城市时游览的景点
数与没有游览的景点数之差的绝对值.
（1）求ξ=0对应的事件的概率；
（2）求ξ的分布列及数学期望.