繁文缛节-小学六年级下册作文

第四章 随机变量的数字特征
【基本要求】 理解随机变量的数学期望与方差的概念，掌 握它们的性质与计算方法；掌握计算
随机变量函数的数学期望方法；掌握二项分布、泊松分布、正态分布 和指数分布的数学期望和方
差；了解协方差、相关系数、矩的概念、性质及计算方法。
【本章重点】 数学期望与方差的概念、性质与计算方法；求随机变量函数的数学期望的方法；
二项分布、泊松分布、正态分布和指数分布的数学期望和方差。
【本章难点】 数学期望与方差的概念 计算方法；随机变量函数的数学期望的计算方法；协方差、
相关系数、矩的概念、性质及计算方法
【学时分配】7-9学时
分布函数:
F(x)P(Xx)
——全面描述 随机变量X取值的统计规律。但是，在实际问题中
分布函数的确定并不是一件容易的事，而且有时我们也 不需要知道分布函数，只需知道随机变量
的某些数字特征就够了。例如：
评价粮食产量，只关注平均产量；
研究水稻品种优劣，只关注每株平均粒数；
评价某班成绩，只关注平均分数、偏离程度；
评价射击水平，只关注平均命中环数、偏离程度。
描述变量的平均值的量——数学期望，
描述变量的离散程度的量——方差。
§4.1 数学期望
教学目的：使学生理解掌 握随机变量的数学期望的实际意义及概念，会计算具体分布的数学期望；
使学生理解掌握随机变量函数的 数学期望的计算及数学期望的性质。
教学重点、难点：数学期望的概念及其计算；随机变量函数的数学期望的计算及数学期望的性质。

教学过程：
(一) 数学期望的概念
先看一个例子:一射手进行打靶练习,规定射入
区域
e
2
得2分, 射入区域
e
1
得1分,脱靶即射入
e
2
区域
e
0
得0分.设射手一次射击的得分数X是一个 e
1
e
0

随机变量，而且X的分布律为P{X=k}=
p
k
,k=0,1,2

现射击N次，其中得0分
a
0
次，得1分
a
1< br>次，得2分
a
2
次，
a
0
+
a
1< br>+
a
2
=N.则他射击N次得分的
总和为
a
0
0+
a
1
1+
a
2
2,他平均一次射击的得分数为
2
a
0
0a
1
1a
2
2aa


k
k
，因为当N充分大时, 频率
k

稳定值
概率p
k
。
NN
N
k0
所以当N充分大时, 平均数
x

x
k
p
k
。
稳定值
k0
2
显然,数值

x
k
p
k
完全由随机变量X的概率分布确定,而与试验无关，它反映了平均数的大小。
k0
2
定义:
1.离散型随机变量的数学期望:设离散型随机变量X的分 布律为
P

Xx
k

p
k
，
k1,2,3
…若级
数

x
k
p
k
绝对 收敛，则称级数

x
k
p
k
为随机变量X的数学期望，记为
E(X)
,即
E(X)
＝

x
k
p
k
。
k1k1k1

2.连续型随机变量的数学期望:设连续 型随机变量X的密度函数为
f(x)
，若积分

xf(x)dx
绝对


收敛，则称积分

xf(x)dx
的值为随机变量X 的数学期望，记为
E(X)
。即
E(X)
＝

xf(x)d x
。


数学期望简称期望，又称为均值。
(二) 数学期望的计算
关键是：求出随机变量的分布律或者密度函数。
1、离散型——若 则
E(X)
＝

x
k
p
k
（绝对收敛）
k1


2、连续型——若X ～ 密度函数 ，则
E(X)
＝

xf(x)dx
（绝对收敛）


例1 甲、乙两个工人，生产同一种产品，在相同条件下，生产100件产品所 出的废品数分别用X、
Y表示，它们的概率分布如下：
X
P
K

0
0.7
1
0.1
2
0.1
3
0.1

Y
P
K

0
0.5
1
0.3
2
0.2
3
0
问这两个工人谁的技术好?
解:
E(X)
＝
00.71 0.120.130.10.6
,
E(Y)
＝
00.510 .320.2300.7

甲工人生产出废品的均值较小，甲的技术好。
例2 有5个相互独立工作的电子装置，它们的寿命X
k
(k=1,2，3，4，5) 服从同一指数分布，其概

1
x


e,x0,
率密度为
f

x




，

0
，(1)若将这5个电子装置串联连接组成整机，求整机寿命

x0.

0,
（以小时记）N的数学期望。(2)若将这5个电子装置并联连接组成整机，求 整机寿命（以小时记）
M的数学期望。
分析:5个电子装置串联，整机寿命
Nmi n

X
1
,X
2
,X
3
,X
4< br>,X
5

，并联，整机寿命
Mmax

X
1
,X
2
,X
3
,X
4
,X
5

，要求N，M的数学期望，关键求N,M的密度函数
f
min
(x),fmax
(x).


x


1e

,x0,
解: ( 1)
X
k

k1,2,3,4,5

的分布函数为
F

x



。


0,x 0.
因为5个电子装置串联，所以整机寿命
Nmin

X
1,X
2
,X
3
,X
4
,X
5

的分布函数为
F
min

x

1

1F

x


5

1e
5x
,x0,


，因而N的概率密度为
x0.

0,

5
5x



e,x0,

5
5x

，于是N的数学期望为,
E (N)

xf
min

x

dx
< br>x

f
min

x



edx
。
0
5
x0.

0,
(2) 因 为5个电子装置并联，所以整机寿命
Mmax

X
1
,X
2
,X
3
,X
4
,X
5

的分布函数为< br>F
max

x



F

x


5
5


1e
x
< br>,x0,
，因而N的概率密度为



x0.

0,

x
x

4


< br>5

1ee,x0,
f
max

x
< br>


，于是N的数学期望为

x0.

0,

5
E(N)

xf
max

x

dx

x

1e
x

e
0


4

x

dx< br>137

。
60
我们可以看到
E

M
11.4
，即5个电子装置并联联接工作的平均寿命是串联联接工作的平均寿
E

N

命的11.4倍。
例3 按规定，某车站每天8:00~ 9:00,9:00~10:00都恰有一辆客车到站，但到站的时间是随机的，
且两者到站的时间相互 独立。其规律为
到站时刻 8:10
9:10
概率 16
8:30
9:30
36
8:50
9:50
26
一旅客8:20到站，求他候车时间的数学期望。
分析 ：

第一车8:30到站10分钟,第一车8:50到站

30分钟

解 设旅客候车的时间为X(以分记)，则X的的可取值为10、30、50、70、90. 且 P{X=10}=P
“第一班车8：30到站”=
3
.
6
2
P{X=30}= P“第一班车8：50到站”=.
6
111
P{X=50}= P“第一班车8：10到站，且第二班车9：10到站”=


6636
133
P{X=70}= P“第一班车8：10 到站，且第二班车9：30到站” =


6636
122
P{X=90}= P“第一班车8：10 到站，且第二班车9：50到站” =


6636
即X的分布列为
X
P
k


X的数学期望为
10 30 50 70 90


所以若旅客8:20到站，则他候车时间的数学期望为27.22(分)。
例4 一个人数 很多的团体中普查某种疾病，为此要抽验N个人的血，可以用两种方法进行。（1）
将每个人的血分别去 验，这就需验N次。（2）按k个人一组进行分组.把k个人抽来的血混合在
一起进行检验，如果这混合 血液显阴性反应，就说明k个人的血都显阴性反应，这样，这k个人
的血就只需验一次。若显阳性，则再 将对这k个人的血液分别进行化验，这样，这k个人的血总
共要化验k+1次,假设每个人化验显阳性的 概率为p，且这些人的试验反应是相互独立的。试说明
当p较小时，选取适当的k，按第二种方法可以减 少化验的次数。并说明k取什么值时最适宜。

解 若按第二种方法，以k个人为一组 进行化验，记1-p=q，设组内每个人化验的次数为X，则
1k1
X的可取值为
,
.由于各人是否显阴性是相互独立的，所以：
kk
P{
x
1
}=
P
“k个人的混合血显阴性”=
P
“k个人的血都显阴性”=
k
k1
}=
P
（k个人的混合血显阳性）=
P
（k个人的混合血不阴性）=
1q
k

k

P{
x
故每个人化验次数X的期望值为：

当时，在普 查中平均每人的化验次数就小于1，从而第二种方法可以减少化验的次数。显然，
p
愈小这种方 法愈有利。当
p
已知时，可选定使
q
k

行化验，将能最大 限度地减少化验次数。
例如p=0.1即q=0.9时可用赋值法求函数
q
k

1
的最大值：
k
1
达最大即
k
达最小，以个人为一组进
k 2 3 4 5 6 7 …
0.31 0.39 0.40 0.39 0.37 0.33 …
1
有最大值0.4，说明以4个人为一组进行化验能减少40%的工作量。
k

可见，当k=4时，函数
q
k

（三）随机变量函数的数学期望
1、已知X的分布，求Y=g(X) 的数学期望E(Y)
2
我们经常需要求随机变 量的函数的数学期望，例如飞机机翼受到压力W=kV（V是风速，k>0 是
常数）的作用，需要求W 的数学期望，这里W是随机变量V的函数。这时，可以通过下面的定理
来求W的数学期望。
定理 设Y是随机变量X的函数，
Yg(X)
（
g
是连续函数）

（1） X是离散型随机变量，它的分布律为
P{Xx
k
} p
k
，
k
＝1，2，3，…，若

g(X
k)p
k
绝
k1

对收敛，则有
E(Y)E[g(x )]

g(x)p
k
k1

k

（2） X是连续型随机变量，它的概率密度为
f(x)
，若

 

g(x)f(x)dx
绝对收敛，则有
E(Y)E[g(x)]< br>


g(x)f(x)dx

证明： 设X是连续型随机变量，且y=g(x)满足第二章§5中定理的条件。
由第二章§5中的（5.2）式知道随机变量Y=g(X)的概率密度为

f
x
[h(y)]|h'(y),

y

f
Y
(y)

其它.


0,
于是，E（Y）=



yf
Y
(y)dy

yf
x
[h(y)]|h' (y)|dy



当
h

(y)
恒>0时，E（Y）=



yf
x
[h(y)]|h'(y)|dy

g(x)f(x) dx.





当
h

( y)
恒<0时，E（Y）=


yf
x
[h(y)]h'( y)dy




g(x)f(x)dx

g(x)f(x)dx.


综合上两式，（1.4）得证。
上述定理还可以推广到两个或两个以上随机变量的函数的情况。给出如下结论：
设Z是二维随 机变量
(X,Y)
的函数
Zg(X,Y)
,其中
g
是二元 连续函数，
（1）设
(X,Y)
是离散型，其分布律为
P{Xx
i,
Yy
i
}p
ij
，
i,j
＝1，2，3， …，
则当级数

g(x
i
,y
i
)p
ij
绝对收敛时，有
E(Z)E[g(x,y)]

g(x
i
,y
i
)p
ij

i1j1i1j1

（3） 设
(X,Y)
是连续型 ，密度函数为
f(x,y)
，则当积分

绝对收敛时，有
E(Z) E[g(x,y)]






< br>

g(x,y)f(x,y)dxdy




g(x,y)f(x,y)dxdy


1
0va,

，
例5 设风速V在（0，a）上服从均匀分布，即具有概率密度
f(v)

a
< br>

0,其它.

又设飞机机翼受到的正压力W是V的函数：WkV
2
（V是风速，k>0 是常数），求W的数学期望。
解：由（1.4 ）式有E（W）=



kvf(v)dv

kv2

2

11
dvka
2
a3

例6 设二维随机变量（X,Y）的概率密度为

xy,0x10,y1,
，试求XY的数学期望。
f

x,y



0,其它

解：
E

XY






xy f

x,y

dxdy

1

xyxydxdy
0

0
3
11
例7按季节出售的 某种应时商品，每售出一公斤获利润b元。如到季末尚有剩余商品，则每公斤
净亏损
l
元.设某商店在季度内这种商品的销售量 X(以公斤计)是一随机变量， 在区间(s
1
，s
2
)
上服从均匀分布。为使商店所获得利润的数学期望最大，问商店应进多少货? < br>解：以s（公斤）表示进货数，易知应取
s
1
ss
2
，进 货s所得的利润记为
a
x

X

，则
a
x

X

是

bX

sX
< br>l,s
1
Xs,
随机变量，且有
a
x

X




sb,sXs.
2

< br>1
,s
1
ss
2
,

X的概率密度为< br>f

x



s
2
s
1
，

0,其它.

E

a
s

X





bx

sx< br>
l

s
1
ss
2
11
dx
sbdx

s
s
2
s
1
s
2
s
1
bl
2

bl
2
< br>slsbsss
1

12

2



2

s
2
s
1


由于
dd



E

a
s
< br>X


=

blsls
1
bs2
，令
E

a
s

X

< br>=0，得

s
2
s
1

dsds

s
ls
1
bs
2

bl
< br>，即当
s

ls
1
bs
2


bl

（公斤）时获得利润的数学期望最大。
（四） 数学期望的性质
现在来证明数学期望的几个重要性质（以下设所遇到的随机变量的数学期望存在）

1 设
C
是常数，则有
E(C)C
。
2 设
X
是一个随机变量，
C
是常数，则有
E(CX)CE(X)
3 设
X
、
Y
是两个随机变量，则有
E(XY) E(X)E(Y)

这一性质可以推广到任意有限个随机变量之和的情况。
4 设
X
、
Y
是相互独立的随机变量，则有
E(XY)E(X)E(Y )

这一性质可以推广到任意有限个相互独立的随机变量之积的情况。
证：证3和4，
设二维随机变量（X，Y）的概率密度为f(x,y)，其边缘概率密度为f
X
(x),f
Y
(y)，
E(X+Y)=





(xy)f(x,y)dxdy

< br>


xf(x,y)dxdy


 


yf(x,y)dxdy

=E（X）+E（Y），3得证。
又若X,Y相互独立，
E（XY）=





xyf(x,y)dxdy
=





xyf
X
(x)f
Y
(y)dxdy


xf(x)dx


yf(y)dy

E(X) E(Y)




X





Y

=

，4得证
例11 一民航送客 车载有20位旅客自机场开出，旅客有10个车站可以下车。如到达一个车站没
有旅客下车就不停车，以 X表示停车的次数，求E（X）（设每位旅客在各个车站下车是等可能的
并设各旅客是否下车相互独立） 。

0,在第i站无人下车
解： 引入随机变量
x

i=1,2,…，10
1，在第i站有人下车

易知 X=X
1
+X
2
+……+X
10
，现在来求E（X） 9

9

按题意，任一旅客在第i站不下车的概率为，因此20位旅客都 不在第i站下车的概率为

，
10

10

20


9

在第i站有人下车的概率为1—

，也就是

10


9

9

P{X=0}=

，P{X
i
=1}=1—

,i= 1,2,…，10

10

10


9

由此，E（X
i
）=1—

,i=1,2,…，10


10


9

进而E（X）= E（X
1
+X
2
+……+X
10
）=E（X
1
）+E（X
2
）+……+E（X
10
）=10 [1—

]=8.784（次）

10

本题是将X分 解成数个随机变量之和，然后利用随机变量和的数学期望等于随机变量数学期望之
和来求数学期望的，这 种处理方法具有一定的普遍意义。
例12 设一电路中电流I（A）与电阻R（Ω）是两个相互独立 的随机变量，其概率密度分别为：
20
20
2020
20

2i,0i1,
g

i




0, 其它，

r
2

,0r3,
试求电压V=IR的均值。
h

r



9

0,其它,< br>
解 E（V）=E（IR）=E（I）E（R）
3

3
1
2


3
r

dr


ig(i)di

rh(r)dr


2idi< br>


00
3




2
。






==


（五）一些常用分布的数学期望
计算可得一些常用分布的数学期望
1．0—1分布
X
P
k

0
1－
p

1
p

E(X)0(1p)1pp

2．二项分布
X:b(n,p)则E(X)np

3．泊松分布
X~

(

)
，则
E(X)


计算：
E(X)＝

K
K 0


K
e
K!



< br>
e
(K1)!
K1

K





e




e

e





K1
(K1)!


K1
4．均匀分布
X～U[
a,b
]，则
E(X)
5．指数分布
X服从参数为

的指数分布，则
E(X)

。计算如下：
ab

2
E(X) 



xf(x)dx



x
0


0
xe

dx
1
< br>x



xe

d()

x


0
xde

x

x
< br>x
xe




0
|
< br>

e

dx

(e

)|< br>0
0


x

6．正态分布
X～
N(

,

2
),则E(X)


这里计算了一些，没计算的由学生自己计算。
（六）小结
描述变量的平均值的量—数学期望
1、离散型——若X ～
P

Xx
k

p
k
则
E(X)
＝

x
k
p
k
（绝对收敛）
k1

2、连续型——若X ～密度函数
f(x)
，则
E(X)
＝

xf(x)dx
（绝对收敛）数学期望
E(X)


描述随机变量
X
取值的平均大小，要掌握数学期望的 性质，会计算数学期望，掌握几种常用分布
的数学期望。
(七) 课堂练习P
139
4、8、14、15。
布置作业 P
138
1、2、3，9、10

§4、2 方差
教 学目的：使学生理解掌握随机变量的方差概念及性质，会计算具体分布的方差，熟记常见分布
的方差; 使学生理解掌握方差的性质，能熟练计算具体分布的方差，进一步熟记常见
分布的方差。
教学 重点、难点：方差的性质、具体分布的方差的计算;随机变量的方差概念及性质、具体分布
的方差的计算 。
教学过程：
上节课，我们研究了随即变量的重要数字特征——数学期望。它描述了随机变 量一切可能取
值的平均水平。但在一些实际问题中，仅知道平均值是不够的，因为它有很大的局限性，还 不能
够完全反映问题的实质。例如，某厂生产两类手表，甲类手表日走时误差均匀分布在-10~10秒 之
间；乙类手表日走时误差均匀分布在-20~20秒之间，易知其数学期望均为0，即两类手表的日走
时误差平均来说都是0。所以由此并不能比较出哪类手表走得好，但我们从直觉上易得出甲类手
表比乙类手表走得较准，这是由于甲的日走时误差与其平均值偏离度较小，质量稳定。由此可见，
我们有 必要研究随机变量取值与其数学期望值的偏离程度——即方差。
（一） 方差的概念
1、 定义
设
X
是一个随机变量，若
E

[X E(X)]
2

存在，则称
E

[XE(X)]
2

为
X
的方差，记为
D(X)
或
Var(X)
。即
D(X)

Var(X)

E

[X E(X)]
2

。并称
D(X)
为
X
的标准差或 均方差。随机变
量
X
的方差表达了
X
的取值与其均值的偏离程度。
按此定义，若
X
是离散型随机变量，分布律为
P

X x
k

p
k
,k1,2,
…,则
D(X )

[x
k
E(X)]
2
p
k
K1

若
X
是连续型随机变量，密度函数为
f(x)
，则
D(X)

[xE(X)]
2
f(x)dx



方差常用下面公式计算：
D(X)E(X
2< br>)[E(X)]
2

事实上
D(X)

E

[XE(X)]
2

E

X
2
 2XE(X)E
2
(X)


E(X
2
)2 E(X)E(X)E
2
(X)E(X
2
)E
2
(X)

例1 设随机变量
X
具有数学期望
E(X)

，方差
D(X)

2
0
，
记
X
< br>
x


，则
E(X

)0,D(X< br>
)1

1
解
E(X

)

E(X

)
1

[E(X)

] 0
;
D(X

)E(X
2
)[E(X

)]
2
E[(
X


2
）]

2
2

2
E[(X

)]
2
1

1
称
X

为
X
的标准化变量。

注意：这里
X
不一定是正态随机变量。对正态随机变量，结论也成立。
例2 设随机变量X具有（0-1）分布，其分布律为：P{X=0}=1-p,P{X=1}=p，求D（X）。
解 :E（X）=0·(1-P）+1·p=p ，E（X）=0·(1-p)+1·p=p
D（X）=E（X
2
）-[E（X）]
2
=p-p
2
=p (1-p)
例3 设X~π(λ)，求D（X）。
222
解: X的分布律为：， k=1,2,…，λ>0.
上节例6已算得E（X）=λ，而E(X
2< br>)=E[X(X-1)+X]=E[X(x-1)]+E(X)=
=
所以方差：D（X）=E（X）-[E（X）]
2
=λ

由此可知，泊松分布的数学期望与方差相等，都等于参数λ，因为泊松分布只含一个参数λ，只
要知道 它的数学期望或方差就能完全确定它的分布了。
例4 设X~U（a,b），求D（X）。


1
,axb
ab

解:X的概率密 度为：
f(x)


ba
而
E(X)
，方差为
2

0,其它



1
x


e,x0,
例5 设随机变量X 服从指数分布，其概率密度为
f

x





x0.

0,
其中θ>0，求E（X），D（X）
解 :

于是
即有 ，


（二） 方差的几个重要性质：
1
0
设C是常数，则D（C）=0。
2
0
设X是随机变量，C是常数，则有：D（CX）=C
2
D（X）
3
0
设X，Y是两个随机变量，则有D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2E{ (X-E(X))(Y-E(Y)).
特别，若X，Y相互独立，则有：D（X+Y）=D（X）+D（Y）
这一性质可以推广到任意有限多个相互独立的随机变量之和的情况。
4
0
设D（X）=0的充要条件是X以概率1取常数C，即P{X=C}=1，显然这里C=E(X).
证明 1
0
D(C)=E{[C-E(C)]
2
}=0
2
0
D(CX)=E{[CX-E(CX)]
2
}=C
2
E{[X-E(X)]
2
}=C
2
D(X).
3
0
D(X+Y)=E{[(X+Y)-E(X+Y)]
2
}= E{[(X-E(X))+(Y-E(Y))]
2
}

= E{ (X-E(X))
2
}+E{(Y-E(Y))
2
}+2E{[X -E(X)][Y-E(Y)]}
=D(X)+D(Y)+2E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}
上式右端第三项:
2E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}
= 2E{XY- XE(Y)-YE(X)+E(X)E(Y) }
=2{ E (XY)-E(X)E(Y)-E(Y)E(X)+E(X)E(Y) }
=2{ E (XY)-E(X)E(Y) }
若X,Y相互独立,由数学期望的性质4
0
知道上 式右端为0,于是D(X+Y)=D(X)+D(Y).
例6 设X~b(n,p)，求E(X),D(X).
解 ：由二项分布的定义知，随机变量X是n重伯努利试验中事件A发生的次数，
且在每次试验中A发生的概率为p，引入随机变量：
X
k


易知 X=X
1
+X
2
+… +X
n
(2.7)


由于X
k
只依赖于第k次试验，而各次试 验相互独立，于是X
1
，X
2
，… ，X
n
相互独立，又知X
k
，
k=1,2,……，n服从同一（0-1）分布：
(2.7)表明以n , p 为参数的二项分布布变量，可分解成为n个相互独立且都服从以p 为参数
的（0-1）分布的随机变量之和 。
由例2 知E(X
k
)=p , D(X
k
)=p(1-p),k=1,2, …，n，故知
p
k

0
1-p
1
p

又由于X
1
，X
2
，… ，X
n
相互独立，得

例7 ：设X~N（μ，σ
2
），求E（X），D（X）。
解：先求标准正态变量：
Z
X


的数学期望和方差。Z的概率密度为

因X=μ+σZ，即得E（X）=E（μ+σZ）=μ；
D（X）=D（μ+σZ）=E{[ μ+σZ-E（μ+σZ）]
2
}=E（σ
2
Z
2
）=σ< br>2
E（Z
2
）
=σ
2
D（Z）=σ
2

这就是说，正态分布的概率密度中 的两个参数μ和σ分别就是该分布的数学期望和均方差，因而
正态分布完全可由它的数学期望和方差所确 定。
再者，由上一章§5中例1知道，若X
I
~N（μ,σ
i
2
），i=1,2,…，n,且它们它们独立，则它们的
母性组合：C
1
X< br>1
+C
2
X
2
+… +C
n
X
n
（C
1
，C
2
，…，C
n
是不全为0的常 差的性质知道：数）仍然服从
正态分布，于是由数学期望和方差的性质知道：
nn
c
1
X
1
c
2
X
2

…
c
n
X
n
～
N(

c
i

i
,

c
i
2

2
i
)

i1i1
这是一个重要的结果。
例8：设活塞的直径（以cm计）
X～N(22.40,0.03
2
)
，气缸的直径
Y～N(22.50,0. 04
2
)
，
、
Y
相互独立。任取一只活塞，任取一只气缸，求活塞能装入气缸的概率。
解 按 题意需求
P

XY

P

XY0


由于
XY:N(0.10,0.0025)


(XY)(0.10)0(0.10)

故有
P< br>
XY

P

XY0

＝P




0.00250.0025


(
0.10
)(2)0.9772

0.05

（三）切比雪夫（Chebyshev）不等式
下面介绍一个重要的不等式.
定理 设随机变量X具有数学期望E(X)=
,方差D(X)=

2
，则对于任意正数

，不等式

2
P

X





2
成立。这一不等式称为切比雪夫（Chebyshev）不等式。

证 ： 就连续型随机变量的情况来证明。设X的概率密度为f(x)，则有（如下图）

切比雪夫（Chebyshev）不等式也可以
写成如下的形式： （2.10） < br>这个不等式给出了在随机变量X的分布未知的情况下事件{|X-μ|<ε}概率的下限的估计。例如，< br>在（2.10）式中分别取ε=3σ，4σ得到：
P{| X-

|<3

}≥0.8889，P{| X-

|<4

}≥0.9375
在书末附表1中列出了多种常用的随机变量的数学期望和方差，供读者查用。
(四)小结：
方差
D(X)

E

[XE(X)]
2

描述随机变量
X
与它自己的数学期望
E(X)
的偏离程度；我们常
用公式
D(X)E(X
2
)[E(X)]
2
计算方差, 注意
E(X
2
)
和
[E(X)]
2
的区别。
记住几种重要分布的方差
（1）0——1分布
D(X)pq

（2）二项分布
D(X)npq

（3）泊松分布
D(X)


2
(ba）
（4）均匀分布
D(X)

12
（5）指数分布
D(X)

2

（6）正态分布
D(X)

2

(五)
课堂练习：P
140
16、17、19，P
141
21、23
课后作业：P
141
18、20， 22
§4、3 协方差及相关系数
教学目的：使学生理解掌握协方差及相关系数的定义及性质，熟记相关系数的含义。
教学重点、难点：协方差及相关系数的定义及性质。
教学过程：
对于二维随机变量
(

,

)
，我们除了讨论

与

的数学期望与方差外，还需要讨论描述

与

之间相互关系的数字 特征——协方差与相关系数。
1 定义 称
E{[XE(X)][YE(Y)]}为随机变量
X
与
Y
的协方差。记为
Cov(X,Y)
, 即
Cov(X,Y)
＝
E{[XE(X)][YE(Y)]}

而

XY

Cov(X,Y)
称为随机变量
X
与
Y
的相关系数。
D(X)D(Y)
2 协方差的性质
（1）
Cov(X,Y)
＝
Cov(Y,X)
,
Cov(X,X) D(X)

（2）
Cov(X,Y)E(XY)E(X)E(Y)

我们常用这一式子计算协方差。
（3）
Cov(aX,bY)abCov(X,Y)

（4）
Cov(XY,Z)Cov(X,Z)Cov(Y,Z)

3 相关系数的性质

（1）

XY
1

（2 ）

XY
1
的充要条件是，存在常数
a,b
，使
P{YabX}1


XY
的大小表征着
X
与
Y
的线性相关程度。当

XY
较大时，则
X
与
Y
的线性相关程度较好；
当

XY
较小时，则
X
与< br>Y
的线性相关程度较差。
当

XY
0
时，称X
与
Y
不相关。
当
X
与
Y
相互独立 时，
X
与
Y
不相关。反之，若
X
与
Y
不相 关，
X
与
Y
却不一定相互独立,
该性质说明，独立性是比不相关更为 严格的条件。独立性反映

与

之间不存在任何关系，而不
相关只是 就线性关系而言的，即使X与Y不相关，它们之间也还是可能存在函数关系的。相关系
数只是X与Y间线 性相关程度的一种量度。
关于不相关有如下定理：对于X,Y，下列等价：
①E(XY)=E(X)E(Y)
②D(X+Y)=D(X)+D(Y)
③cov(X,Y)=0
④X,Y不相关，即

=0
例1 设（X，Y）的分布律为
Y X -2 -1 1 2
1
4
P{X=i}
0 14 14 0
14 0 0 14
14 14 14 14
P{Y=i}
12
12
1
易知，E（X）=0，E（Y）= 52，E（XY）=0，于是

xy
=0，X，Y不相关。这表示X，Y不存在线性< br>关系。但，P{X=-2，Y=1}=0≠P {X=-2}P{ Y=1}，知X，Y不是相互独立的。 事实上，X和Y具有
关系：Y=X
2
，Y的值完全可由X的值所确定。

例2 设连续型随机变量的概率密度为
（X,Y）

12y
2
f(x，y)


0

0yx1，求

XY
。
其它
x
23

0x 1


0
12ydy4x
解
f
x
(x)

f(x,y)dy




其它

0
1
4
E(x)

x4x
3
dx

0
5
f
y
(y)




1
12y
2
dx12y< br>2
(1y)0y1


y
f(x,y)dx



0其它

1
3
E(y)

12y
2
(1y)ydy

0
5
1

000
2
1431
Cov(XY)E(XY)E(X)E(Y）=

25550
1
2
又
E(x
2
)

x
2
4x
3
dx

0
3
242
所以
D(x)E(x
2
)E< br>2
(x)()
2


3575
11
2< br>222
E(y)

12y(1y)ydy12

(y< br>4
y
5
)dy

00
5
231

D(y)E(y
2
)E
2
(y)()
2

5525
E(xy)

dx

xy12y
2< br>dy

3x
5
dx
1x1

XY

Cov(XY)

D(X)D(Y)
1
6
50


4
21
7525
课堂练习P
141
24、26
课后作业P
141
28、29
§4、4 矩、协方差矩阵
教学目的：使学生理解矩、协方差矩阵的定义及n维正态变量的性质。
教学重点、难点：矩、协方差矩阵的定义及n维正态变量的性质。
教学过程：
（一） 矩

设X,Y是随机变量
（1）若E(X
k
), k=1,2…，存在，则称它为X的k阶原点矩，简称k阶矩。
（2）若E{[X-E(X)]
k
}, k=2,3…，存在，则称它为X的k阶中心矩。
（3）若E(X
k
Y
l
), k,l=1,2…，存在，则称它为X和Y的k+l阶混合矩。
（4）若E{[X-E(X)]
k
[Y-E(Y)]
l
}, k,l=1,2…，存在，则称它为X和Y的k+l阶混合中心矩。
的一阶原点矩即为数学期望，二阶 中心矩即为方差；
X和Y
的二阶混合中心矩即为协方差。
n维随机变量的协方差矩阵(covariance matrix)
（1）二维随机变量（ X
1
,X
2
）有四个二阶中心矩（设它们都存在），分别记为
c< br>11
=E{[X
1
-E(X
1
)]
2
},
c
12
=E{[X
1
-E(X
1
)] [X
2
-E(X
2
)]}
c
21
= E{[X
2
-E(X
2
)] [X
1
-E(X
1
)] },
c
22
=E{[ X
2
-E(X
2
)]
2
}.

c
11
则称矩阵C=


c

21
c
12


为（X
1
,X
2
）的协方差矩阵。

c
22

（2）设n维随机变量（X
1
,X
2< br>,…,X
n
）的二阶混合中心矩:

c
ij
=Co v(X
i
,X
j
)=E{[X
i
-E(X
i
)][Y
j
-E(Y
j
)]}, i,j=1,2,…,n 都存在,

c
11
c
12


c
22

c
则称矩阵C=

21



c

n1
c
n2

显然C是一个对称矩阵。 c
1n


c
2n

为（X
1
,X
2
,…,X
n
）的协方差矩阵。



c
nn


(二) n维正态随机变量的概率密度
（1） 二维正态随机变量（X
1
,X
2
）的概率密度
1
2

1

2
22

(x

1
)(y

2
)

y

2




1


x

1


exp

2





222
2

1

2

2

1< br>



2(1

)


1

f(x,y)
2
因为
c
11
D

X



1
2
,c
12
c< br>21
Cov

X,Y



1

2
,c
22
D

Y


< br>2


c
11
所以（X，Y）的协方差矩阵C =


c

21
c
12


1
2

=


c
22
< br>


1

2

1

2



2

2




1


X

记X=




则(X
，
Y)的概率密度可写成

Y


,




2


f

x,y


1
< br>1


exp



X


C
1

X





2


2


2
2
C
1
2
(2)n维正态随机变量（X
1
,X
2
,…,X
n
）的概率密度

x
1



x2

记X=

,



x

n



1


< br>
2




, n维正态随机变量（X
1
,X
2
,…,X
n
）的概率密度定义为:





n

f

x
1
, x
2
,,x
n


1

2
< br>
n
2
C
1
2

1

< br>exp



X


C
1
X





2

其中 C是X
1
,X
2
,…,X
n
）的协方差矩阵。
(三) n维正态随机变量的性质
（1） n维正态变量（X
1
, X
2
,…,X
n
）的每一个分量X
i
, i=1,2,…, n都是正态分量；反
之，若X
1
,X
2
,…,X
n
都是正态分量，且相互独立，则（X
1
,X
2
,…,X
n
） 是n维正态变量。
（2） n维随机变量（X
1
,X
2
,… ,X
n
）服从正态分布的充要条件是X
1
,X
2
,…,X< br>n
的任意的
线性组合k
1
X
1
+ k
2
X
2
+…+k
n
X
n
服从一维正态 分布（其中k
1
,k
2
,…,k
n
不全为零）。
（3） 若（X
1
,X
2
,…,X
n
）服从 n维正态分布，设Y
1
, Y
2
,…,Y
k
是X
j
(j=1,2,…,n)的线性
函数，则（Y
1
, Y
2
,…,Y
k
）也服从多维正态分布.
（4） 设（X< br>1
,X
2
,…,X
n
）服从n维正态分布，则“相互独立与“ X
1
,X
2
,…,X
n
两两不相
关”是等价的。
课堂练习: P
141
31、33
课后作业：P
141
30、32