沈阳交警支队-双拥标语

第十一讲 随机变量的数字特征

第四章 随机变量的
数字特征
前面讨论了随机变量的分布函
随机变量的概率特性：分布函数、密度函数
以 及分布律等，在描述随机变量时具有全面、
完整、详细的特点，但分析过程比较复杂，
且重点不 够突出。
如, 在评价一批棉花的质量时, 人们关心的
往往不是纤维长度的具体分布，而是 纤维的
平均长度和纤维长度与平均长度之间的偏离
程度。平均长度较大, 偏离程度较小,质量就
好。
1. 数学期望——描述随机变量的平均值
引例 一射手进行打靶练习，射手一次射击得
分数X是一个随机变量。设X的分布律为
P{X=k}=
p
k
,k=0,1,2.
现在射击N次，其中得0 分的有
a
0
次，得1
分的有
a
1
次，得2分的有< br>a
2
次.
a
0
+
a
1
+
a
2
=
N. 他射击N次得分的总和为
a
0
0
+
a
1< br>1
+
a
2
2
。于是平均一次射击的得分数为
a
0
0a
1
1a
2
2
2
N

k
a
k

k0
N
射击的平均得分数描述了射手的射击水平。

这里
a
k
N
是事件｛X=k｝的频率。当N足
够大时，
a
k< br>N
在一定意义下接近于事件
｛X=k｝的概率
p
k
，也就是说 ，随机变量X
的观察值的算术平均

2
k0
ka
k
N
在一定意义
下接近于

2
k0
kp
k
。我们称

2
k0
kp
k
为随机变
量X的数学 期望或均值。

数, 从中知道随机变量的分布函数
能完整地描述随机变量的统计规律
性.
但在许多实际问题中, 人们并
不需要去全面考察随机变量的变化
情况, 而只要知道它的某些数字特
征即可.
例如, 在评价某地区粮食产量
的水平时, 通常只要知道该地区粮
食的平均产量;
又如, 在评价一批棉花的质量
时, 既要注意纤维的平均长度, 又要
注意纤维长度与平均长度之间的偏
离程度, 平均长度较大, 偏离程度
小, 则质量就较好. 等等
实际上, 描述随机变量的平均
值和偏离程度的某些数字特征在理
论和实践上都具有重要的意义, 它
们能更直接、更简洁更清晰和更实用
地反映出随机变量的本质.
本章将要讨论的随机变量的常
用数字特征包括: 数学期望、方差、
相关系数、矩.

§1 数学期望

定义 设离散型随机变量
X
的分布律为
P{Xx
i
}p
i
,i1,2,




若级数

x
i
p
i
绝对收敛, 则称级数

x
i
p
i
的
i1i1










和为随机变量
X
的数学期望，记为
E(X)
，
即
E(X)

x
i
p
i
.
（1.1）
i1

定义 设连续型随机变量
X
的概率密度为
f(x)
,若积分



xf(x)dx



























绝对收敛, 则称积分

xf(x)dx
的 值为随机

变量
X
的数学期望，记为
E(X)
，即
E(X)



xf(x)dx.
（1.2）
数学期望简称期望，又称为均值。若X服从
某一分布，也称
E(X)为这一分布的数学期
望。
例１ 甲, 乙两人进行打靶, 所得分数分别
记为
X
1
,X
2
, 它们的分布律分别为
X
1
012X
2
012

,

p
i
00.20.8p
i
0.60.30.1
试评定他们的成绩的好坏 .
解：
E

X
1

0010.22 0.81.8(分)

E

X
2

00. 610.320.10.5(分)

这就意味着，如果甲进行很多次的射击，那么，所得分数的算术平均就接近于1.8，而乙
的算术平均接近于0.5分。
很明显，乙的成绩远不如甲的成绩。

例２ 有2个相互独立工作的电子装置, 它
们的寿命
X
k
(k1,2)
服从同一指数分布,其
概率密度为

f(x)

1


e
x

,x 0
,

0.



0,x0
若将这2个电子装置串联联接组成整机, 求
整机寿命(以小时计)
N
的数学期望.
解：由题意知，整机寿命N=min(X
1
, X
2
).
（为求N的数学期望，先求N的概率密度）.
X
k
(k1,2)
的分布函数为
(x)


1e
x

F
,x0


0,x0
于是，N的分布函数为
F(x)1[1F(x)]2



1e
2x

,x0
m in


0,x0
因而，N的概率密度为

2
2x

f

e,x0
min
(x)





0,x0
于是N的数学期望为
E(N)< br>

xf
2x
2x
min
(x)dx
< br>

0

e


dx

2
.



例３ 按规定，某车站每天8:00~9:00和
9:00~10:00之间都恰有一辆客车到站, 但到
站的时刻是随机的, 且两者到站的时间相互
独立. 其规律为
到站时刻
8:10 8:30 8:50
9:10 9:30 9:50
概率 16 36 26
一旅客8:20到车站, 求他候车时间的数学期
望.

F

x



x

f(x)dx
x


x
1
0

e


dx

x
x

x
e

1e
0
F
min

x

1[1F(x)]
2
1e

2x


x
求积分


2x
0

e

2

dx.< br>令t
2x
,则dt
2

dx或dx

2
dt
原积分


2

0
te
t
dt
不定积分的分部积分公式：

uv

dxu v

u

vdx

定积分的分部积分公式：

b
b
a
udv

uv

a
< br>
b
a
vdu

设
I


0
te
t
dt
，则
I


tet
dt


td(e
t
00
)


te
t





t
0
0
e

dt



t



lim
t
t
e
t
0




0
edt




e
t
dte
t

0

0
1

解：设旅客的候车时间为X(以分计).X的分
布律为
X 10 30 50 70 90
p
k
3211
1

6

6

6

6

6

3
6

1
6

2
6

候车时间的数学期望为
E (X)10
3
6
30
21113
6
50
6

6
70
6

6
　　　　90
12
6

6
　　　27.22（分）

例４ 某商店对某种家用电器的销售采用先
使用后付款的方式. 记使用寿命为
X
(以年
计), 规定:

X1,一台付款150 0元;
1X2,一台付款2000元;
2X3,一台付款2500元;

X3,一台付款3000元.
设寿命
X
服从指数分布, 概率密度为


f

x

< br>
1

e
x10
,x

10
0


0,x0.
试求该商店一台电器收费
Y
的数学期望.
解：先求寿命X落在各个时间区间的概率，
即一台收费Y的分布律.
x
P{ Y1500}P{X1}

1
1

10
0
10
edx

1



x

1< br>
e
10


1e
10
0.095 2

0
x
P{Y2000}P{1X2}

2
1
1
10
e

10
dx

2

e

x
10


e

1

10
e

2
10
0.0861

1

以Y
1
表示“第一班车的到站时
刻”，以 Y
2
表示事件“第二班车
的到站时刻”，
则“顾客候车时间为10分钟”
相当于P{Y
1
=8:30}，
而 “顾客候车时间为50分钟”
相当于P{Y
1
=8:10，Y
2
=9 :10}.

P{Y2500}P{2X3}0.0779
P{Y3000} P{x3}0.7408

一台收费Y的分布律为
Y 1500 2000 2500 3000
p
k

0.0952 0.0861 0.0779 0.7408
Y的数学期望
E(Y)15000.095220000.0861 
25000.077930000.7408

2732.15(元).
即平均一台收费2732.15元。
例５ 设
X~

(

)
,求E(X).
解：X的分布律为
k

P{xk}

e
< br>k!
,k0,1,2,,

0.

X的数学期望为 < br>
E(X)

k

k
e





k1
k0
k!

e

k1
(k1)!



e


e



.
即E(X)=

.
例６ 设
X~U(a,b)
,求E(X).
解：X的概率密度为

1
f(x)


ba
,axb



0,其它.
X的数学期望为
E(X)

 b
x

xf(x)dx

a
ba
dx

1
x
2
2

b
2
a
2ab

(ba)

b
a
2(ba)

2
即数学期望位于区间(a,b)的中点。















k

k
e


k0
k!





e

k
k1
k0
k!



k1
k1
(k1)!
2
1



2!


n
n!
e

该级数的收敛半径为R=

.

（课间休息）
2. 随机变量的函数的数学期望

定理1 设Y是随机变量X的函数: Y=g(x)（g


是连续函数）.
(i) X是离散型随机变量，它的分布律为
P{X=x
k
}=p
k
, k=1,2,...,若
k1
g(x
k
)p
k
绝对收
敛，则有
E( Y)E

g(X)



g(x
k
)p
k
（1.3）
k1



















(ii)X是连续型随机变量，它的概率密度为
f (x)
.若

g(x)f(x)dx
绝对收敛，则有


E(Y)E

g(X)



g(x)f(x )dx
（1.4）


注: (i)定理的重要性在于:求
E[g(X)]
时, 不必
知道
g(X)
的分布, 只需知道
X
的分布即可.
这给求随机变量函数的数学期望带来很大方
便;
(ii) 上述定理可推广到二维以上的情形,
即有
定理2 设
(X,Y)
是二维随机向量,
Zg(X,Y)
, 且
E(Z)
存在, 则








（1）若
(X,Y)
为离散型随机向量, 其概率分
布 为
P{Xx
i
,Yy
j
}p
ij
(i,j 1,2,)

则
Z
的数学期望为
E(Z)E[g(X,Y)]

g(x
i
,y
j
)p
ij
,

j1i1

（2） 若
(X,Y)
为连续型随机向量, 其概率密
度为
f(x,y)
则
Z
的数学期望为