关于买年货的作文-大学生就业调查报告

13 正态分布的概率密度、分布函数、数学期望与方差

2
一、 设随机变量
X
服从正态分布
N(1,2)
，求（1）
P(1.6 X5.8)
；（2）
P(X4.56)
．
X1
2.4)

2

Φ
0, 1
(2.4)Φ
0,1
(1.3)Φ
0,1
(2.4)[1 Φ
0,1
(1.3)]0.991810.90320.8950

解：(1)
P(1.6X5.8)P(2.6X14.8)P(1.3 
X1
1.78)

2

1[Φ< br>0,1
(1.78)Φ
0,1
(2.78)]1Φ
0,1(1.78)1Φ
0,1
(2.78)]

(2)
P(X4.56)1P(X4.56)1P(2.78

20.96250.99730.0402.


2
二、已知 某种机械零件的直径
X
（mm）服从正态分布
N(100,0.6)
．规定直 径在
1001.2
（mm）
之间为合格品，求这种机械零件的不合格品率．
解：设
p
表示这种机械零件的不合格品率，则
pP(X1001.2)1 P(X1001.2)
．
1.2X1001.2X100
)P(22)

0.60.60.60.6

(2)(2)(2)[1(2)]2(2)1


20.977210.9544

故
p10.95440.0456
．
而
P(X1001.2)P(

三、测量到某一目标的距离时发生的误差
X
(m)具有概率密度
f(x)
1
402

e

(x20)
2
3200

求在三次测量中至少有一次误差的绝对值不超过
30
m的概率．
解：三次测量中每次误差绝对值都超过30米可表为
D{第一次ξ30}{第二次ξ30}{第三次ξ30}

因为
ξ~N(20,40)
，所以由事件的相互独立性，有
3
P(D)( P{ξ30})
3
(P{ξ30ξ30})
3
[Φ
0 ,1
(1.25)1Φ
0,1
(0.25)]

2

(20.59870.8944)0.50690.13025

于是有
P{三次测量中

至少有一次绝对值30米}1P(D)10.1 30250.86975
．

2
X
四、设随机变量
X~ N(

,

)
，求随机变量函数
Ye
的概率密度 （所得的概率分布称为对
数正态分布）．
解：由题设，知
X
的概率密度为
33
f
X
(x)
1
2

e

(x

)
2
2

2
(x)

从而可得随机变量
Y
的分布函数为
F
Y
(y)P(Yy)P(e
X
y)
．
当
y0
时，有
F
Y
(y)0
；此时亦有
FY

(y)0
．

当
y0
时，有
F
Y
(y)P(Xlny)
此时亦有
F
Y

(y)

2

1
lny

e< br>
(x

)
2
2

2
dx
．
1
2

y
e

(lny
)
2
2

2
．
从而可得随机变量
Y
的概率密度为

0,

(l ny

)
2

f
Y
(y)

1
2

2
e,

2

y
y0;
y0.


2
五、设随机变量
X
与
Y
独立，
X~N(

1
,

1
2
)
，
Y~N(

2
,

2
)，求：
(1) 随机变量函数
Z
1
aXbY
的数学期 望与方差，其中
a
及
b
为常数；
(2) 随机变量函数
Z
2
XY
的数学期望与方差．
22
解：由 题设，有
E(X)

1
,D(X)

1
；E(Y)

2
,D(Y)

2
．从而有
(1)
E(Z
1
)E(aXbY)E(aX)E(bY)aE(X)bE (Y)a

1
b

2
；

D(Z< br>1
)D(aXbY)D(aX)D(bY)aD(X)bD(Y)a
(2 )
E(Z
2
)E(XY)E(X)E(Y)

1
< br>2
；

D(Z
2
)D(XY)E(XY)E(XY) E(X)E(Y)E(X)E(Y)


[D(X)E(X)][D(Y)E(Y)]E(X)E(Y)


D(X)D(Y)D(X)E(Y)D(Y)E(X)


< br>
1

2


1

2
< br>
2

1
．

N（0,1）
则Y=X^2~卡方分布X^2(1)
所以EX^2=1
E(X^4)=DY+(EY)^2=2+1=3
E(X^5)=概率密度函数关于y对称.

用定义求解而不是性质,X4次方当成一个g(x)函数,根据定义,E（X4次方）=积分 符号g(x)f(x)dx,
其中f(x)是标准正态分布的概率密度.用分部积分法求解,不过运算很 麻烦.还有另一种解这种复杂
积分的方法,用一个叫F（符号我打不出来）函数的性质解,前提你熟悉这 个F函数,在浙大教材P79
有提过这个函数
因为 X的均值为N，方差为D，
所以有 E(X^2)= D(X) +[E(X)]^2= D +N^2

令 Y = (X-N)(D^0.5)，则Y服从标准正态，即均值为0，方差为1。
则 E(Y^3) = 0
又
X = Y * D^0.5 +N
X^3 = [(Y*D^0.5) + N]^3 = Y^3 * D^1.5 + 3* Y^2 *D*N + 3*Y*N^2*D^0.5 + N^3
所以
222222
22
2222
2222
．

1
2
b
2

2
2222222

E(X^3) = 3 *D*N E(Y^2) + N^3 = 3 DN + N^3