幼儿园开学温馨提示-山中访友读后感

实用标准文案
第三章 随机变量与分布函数

1、直线上有一质 点，每经一个单位时间，它分别以概率
p
或
1p
向右或向左移动一格，若该 质点在时刻
0从原点出发，而且每次移动是相互独立的，试用随机变量来描述这质点的运动（以
S
n
表示时间n时
质点的位置）。
2、设

为贝努里试验 中第一个游程（连续的成功或失败）的长，试求

的概率分布。

k
c
,k1,2,,
3、c应取何值才能使下列函数成为 概率分布：（1）
f(k)
（2）
f(k)c
,k1,2,,N;< br>k!
N

0
。
4、证明函数
f(x)
1
|x|
e(x)
是一个密度函数。
2
5、若

的分布函数为N（10，4），求

落在下列范围的概率：（1）（6，9）；（ 2）（7，12）；（3）（13，15）。
6、若

的分布函数为N（5，4）， 求a使：（1）
P{

a}0.90
；（2）
P{|

5|a}0.01
。
7、设
F(x)P{

x }
，试证
F(x)
具有下列性质：（1）非降；（2）右连续；（3）
F( )0,

F()1
。
8、试证：若
P{
x
2
}1

,P{

x
1
} 1

，则
P{x
1


x
2
}1(



)
。
9、设随机变量
取值于[0，1]，若
P{x

y}
只与长度
yx
有关（对一切
0xy1
），试证

服
从[0，1]均匀分布 。
10、若存在

上的实值函数
Q(

)
及D(

)
以及
T(x)
及
S(x)
，使 f

(x)exp{Q(

)T(x)D(

) S(x)}
，
2
则称
{f

,

}
是一个单参数的指数族。证明（1）正态分布
N(m
0
,

)
，已知
m
0
，关于参数

；
（2）正态分布N(m
0
,

0
)
，已知

0
，关于参数
m
；（3）普阿松分布
p(k,

)
关于
都是一个单参数
的指数族。
但
[0,

]
上的均匀分布，关于

不是一个单参数的指数族。
(ax
2
2 bxycy
2
)
2
11、试证
f(x,y)ke
为密度 函数的充要条件为
a0,c0,bac0,

k
2
acb
2

。
12、若
f1
(x),f
2
(y)
为分布密度，求为使
f(x,y)f< br>1
(x)f
2
(y)h(x,y)
成为密度函数，
h(x, y)
必须而且
只需满足什么条件。

Ae
(2xy)
,x0,y0
13、若
(

,

)
的密度函数 为
f(x,y)

，
其它

0,
精彩文档

实用标准文案
试求 ：（1）常数A；（2）
P{

2,

1}
；（3）< br>
的边际分布；（4）
P{



2}
；
（5）
f(x|y)
；（6）
P{

2|
1}
。
14、证明多项分布的边际分布仍是多项分布。
15、设二维随机变量
(

,

)
的联合密度为
p(x,y)
1
k1
x
1
(yx)
k
2
1
e
y

(k
1
)(k
2< br>)
k
1
0,k
2
0,0xy
，试求与< br>
的

边际分布。
16、若
f
1
(x), f
2
(x),f
3
(x)
是对应于分布函数
F
1< br>(x),F
2
(x),F
3
(x)
的密度函数，证明对于一切

(1

1)
，下列函数是密度函数，且具有相同的边际密度 函数
f
1
(x),f
2
(x),f
3
(x)
：
f
1
(x),f
2
(x),f
3
(x)f
1
(x
1
),f
2
(x
2
),f
3
(x
3
){1

[2F
1
(x
1)1][2F
2
(x
2
)1][2F
3
(x< br>3
)1]}
。
17、设

与

是相互独 立的随机变量，均服从几何分布
g(k,p)q
k1
p,k1,2,
。令

max(

,

)
，
试求（1）
(

,

)
的联合分布；（2）

的分布 ；（3）

关于

的条件分布。

4xy,0xy, 0y1
18、（1）若
(

,

)
的联合密度 函数为
f(x,y)

，问

与

是否相互独立 ？
0,其它

（2）若
(

,

)的联合密度函数为
f(x,y)


8xy,0xy,0y1
，问

与

是否相互独立？
其它

0,
0x2


1


3
(1sinx sinysinz),当0y2

时
19、设
(

,< br>
,

)
的联合密度函数为

p(x,y,z)

8


0z2



其它

0,
试证
：

,

,

两两独立，但不相互独立。

1xy

, |x|1,|y|1
22
20、设
(

,

)
具有联合密度函数
p(x,y)

4
，试证

与

不独立，但

与

是相

其它

0,
互独立的。
21、若

1
与

2
是独立随变量，均服从普要松分布，参数为

1

2
及，试 直接证明
（1）

1


2
具有普承松分布，参 数为

1


2
；

n


1

（2）
P{

1
k|
1


2
n}








k


12
< br>k


2





< br>

2

1
nk
。
精彩文档

实用标准文案
22、若

,

相互独立， 且皆以概率
1
取值+1及
1
，令



，试证

,

,

两两独立但不相互独立。
2
2
23、若

服从普阿松分布，参数为

，试求（1）
a

b
；（2）



的分布 。



24、设

的密度函数为
p(x)，求下列随机变量的分布函数：（1）
（3）

|

|
。
1
，这里
P{

0}0
；（2）
< br>tg

；
25、对圆的直径作近似度量，设其值均匀分布于
(ab )
内，试求圆面积的分布密度。
26、若

,

为相互独 立的分别服从[0，1]均匀分布的随机变量，试求




的分布密度函数。
27、设

,

相互独立，分别服从
N(0,1)
，试求



的密度函数。

2 8、若

,

是独立随机变量，均服从
N(0,1)
，试求
U



,V



的联合 密度函数。
29、若

1
,

2
,,

n
相互独立，且皆服从指数分布，参数分别为

1
,
< br>2
,,

n
，试求

min(

1
,

2
,,

n
)
的分布。
30、在
(0,a)
线段上随机投掷两点，试求两点间距离的分布函数。
3 1、若气体分子的速度是随机向量
V(x,y,z)
，各分量相互独立，且均服从
N (0,

)
，试证
2
Sx
2
y
2< br>z
2
斑点服从马克斯威尔分布。
32、设

,

是两个独立随机变量，

服从
N(0,1)
，

服 从自由度为
n
的
x
分布(3.14),令
t


2

n
，

1

1


(n1)

2

2
(n1)
x

2



试证t的密度函数为
P
n
(x)

1

n


1

n



n



2

这分布称为具有自由度n的
t
分布在数理统计中十分重要。

6(1xyz)
4
,当x0,y0,z0时
33、 设

,

,

有联合密度函数
f(x,y,z)

，
试求
其它

0,
U

< br>


的密度函数。
34、若

,
独立，且均服从
N(0,1)
，试证
U



与
V
22

是独立的。


也独立。 
35、求证，如果

与

独立，且分别服从
分布
G(

,r
1
)
和
G(

,r
2
)
，则



与

e< br>x
,x0

36、设独立随机变量

,

均服从
p(x)

，问



与是否独立？






0,其它
精彩文档

实用标准文案
37、若（

,

）服从二 元正态分布（2.22），试找出



与



相互独立的充要条件。
38、对二元正态密度函数
p(x,y)
1

1

exp

2x
2
y
2
2xy22x14y65

，
2


2


（1）把它化为标准形式（2.22）；（2）指出
a,b,
1
,

2
r
；（3）求
p
i
(x)< br>；（4）求
p(x|y)
。
39、设
a0,B
1

732




341

，试写出 分布密度（2.12），并求出
(

1
,

2
)< br>的边际密度函数。

212


40、设
,

是相互独立相同分布的随机变量，其密度函数不等于0，且有二阶导数，试证若



与



相互独立，则随机变量

,

,



,



均服从正态分布。
41、若
f
是

上单值实函数，对< br>BR
1
，记
f
性质：
（1）
f
11
(B){

:f(

)B}
。试证逆映射
f
1
具有如下

1

Bf(B

)
;










1

Bf(B

)
;









（2）
f
（3）
f
1
1
(B)f
1
(B)
.
（1）求常数C；（2）求使得
p(

a)
=
p(

a)
. 42、设随机变量的密度函数是
43、一个袋中有
k
张卡写有
k,k1,2,L,n
，现从袋中任取一张求所得号码数的期望。
44、设
r,v,

~N(m,

)
，
的密度?
2
在的条件密度分布是，求的条件下
45、设

与

独立同服从
(0,a)
上的均匀分布，求
X
的分布函数与密度函数。

x0,y0
其它
，（1）. 求常数A；（2）求给定时的条

Ae
2(xy)
46、设
(< br>
,

)
的联合分布密度为
f(x,y)


0
件密度函数。
47、在(0,4)中任取两数，求其积不超过4的概率。
48、若
(

,

)
的分布列是（见下表）(1)求出常数A; (2)求出

=2
时

的条件分布列。
 Ч
1
精彩文档
-1
16
0
18
1
18

实用标准文案
2
3

112
124
14
124
A
124
49、设
(

,

)
独立的服从
N (0,1)
分布，令
U



, V

-


，求
(U,V)
的联合密度函数及边际密度
函数。
50、设随机变量的密度函数为
求常数b，使P{>b} = 0.05。

51、地下铁道列车运行的间隔时间为2分钟，旅客在任意时刻进入月台，求候车时间的数学期望及均方 差。
，(1).求常数a，使P{>a} = P{ 
6xy(2xy),0x1,0y1
52、设二维随机变量
(

,

)
的联合密度函数为：
p(x,y)

， (1)求
0其它


=2

+3
的密度函数；(2 )求
p

|

(y|x)
; (3)
p{

|

}


2e
(2xy)
,x0,y0
53、若二维随机变量
(

,< br>
)
的密度函数为：
P(x,y)

，1)求
< br>



的密度函
其它

0,
数； 2)求
P(



2)
；（3）
P{

1|

2}

1
2
1
2
54、若
r,v

~N(a,

)
，求


2

a
的密度函数。

表示第
k
个邮筒内信的数目，求： (1) 55、将两封信随机地往编号 为1,2,3,4的四个邮筒内投，以
(

1,

2
)的联合分布列； 2)

2
1
的条件下，

1
的条件分布。 56、若
r,v

~N(0,1)
，求



的密度函数。
57、某射手在射击中,每次击中目标的概率为
P(0P1)，射击进行到第二次击中目标为止，用
第
K
次击中目标时射击的次数
(K 1,2)
，求

1
和

2
的联合分布和条件分布 。
58、进行独立重复试验，设每次试验成功的概率为
p
。将试验进行到出现
r
次成功为止，以
X
表示所需试
验的次数。求
X
的分布列 。
59、已知某种类型的电子管的寿命
X
（以小时计）服从指数分布，其概率密度为
x

1

1000
e,x0

f(x) 

1000
，

0,其它

2
表示< br>一台仪器中装有5只此类型电子管，任一只损坏时仪器便不能正常工作。求仪器正常工作1000小时以上
的概率。
精彩文档

实用标准文案

Ax
2
e
kx
,x0
60、设连续随机变量
X
的概率密度 为
f(x)

，其中
k
为已知常数。求：（1）常数A；（2）< br>其它

0,
1

P

0X

。
k

61、设离散随机变量
X
的分布列为：

2
X

0 1


1

1
1
p


2
6
3
求：（1）
X
的分布函数
F(x)
；

（2）
P

X


3


，
2

P

1X4

，
P

1 X4



62、从一批含有13只正品、2只次品的产品中，不放回地 抽取3次，每次抽取1只，求抽得次品数
X
的
分布列及分布函数。

3
63、（1）设连续随机变量
X
的概率概率为
f
X
(x )
，求
YX
的概率密度。
（2）设
X
服从指数分布
E(

)
。求
YX
的概率密度。]
3
64、对圆片直径进行测量，测量值
X
服从均匀分布
U(5,6)
。求圆面积
Y
的概率密度。
65、设电压
VAsin
，其中
A< br>是一个正常数，相角

是一个随机变量，服从均匀分布
U

 ,

，

22

求电压V的概率密度。
66、箱 子里装有12件产品，其中2件是次品。每次从箱子里任取一件产品，共取2次。定义随机变量
X,Y< br>



0,若第1次取出正品

0,若第2次取 出正品
如下
X

，
Y

。分别就下面两种情况 求出二维
1,若第1次取出次品1,若第2次取出次品

随机向量
(X,Y )
的联合分布列和关于
X,Y
的边缘分布列：（1）放回抽样；（2）不放回抽样。
67、一个大袋子中，装有3个桔子，2个苹果，3个梨。今从袋中随机抽出4个水果。若
X< br>为为桔子数，
Y
为苹果数，求
(X,Y)
的联合分布列。

68、把一枚硬币连掷3次，以
X
表示在3次中出现正面的次数，
Y
表示在3次中出现正面的次数与出现反
面的次数的绝对值，求
(X,Y)
的联合分布列 。
69、设二维随机向量的概率密度为：
f(x,y)


k( 6xy),0x2,2y4
。求（1）
k
；（2）
其它

0,
（3）
P{X1.5}
；（4）
P{XY4}
。
P{X1,Y3}
；

精彩文档

实用标准文案


A(Rx
2
y2
,x
2
y
2
R
2
70、设随机向量(X,Y)
的概率密度为：
f(x,y)

，求：（1）常数A；（2 ）
其它


0,
(X,Y)
落地圆域
G:x
2
y
2
r
2
（
rR
）中的概率。

71、设二维连续随机向量
(X,Y)
的概率密度为：
f(x,y)
6

x,y
222

(4x)(9y)
求：（1）
(X,Y)
的分布函 数；（2）关于
X
及关于
Y
的边缘分布函数。

e
y
,0xy
72、设二维连续随机向量
(X,Y)
的概率密度为：< br>f(x,y)

，求关于
X
及关于
Y
的边缘
其它

0,
概率密度。
73、设
X
与
Y
相互独立，且
X
服从均匀分布
U[a,a]
，
Y
服从正 态分布
N(b,

)
。求
ZXY
的概
率密度。
2

1
(1sinxsinysinz)0x,y,z2
< br>
74、若
(

,

,

)
的密度为(
p(x,y,z)

8

3
，则

0其它

但不相互独立。
75、若
两两独立，

e
x
相互独立，且同服从指数分布，密度函数为：
p(x)


0
x0
x0
，证明：

+

与相互独
立。
nx
1

1
x
2
e
2

n

76、证明：
p(x)

2
n2
()
2

0


x0
为一概率密度函数。
xo
服从参数为77、设
R,V

,
分别服从参数为

1
、

2
的普阿松分布， 且相互独立，求证：
的普阿松分布。
78、证明函数
f(x)
1
|x|
e(x)
是一个密度函数。
2
79、设
F(x )P{

x}
，试证
F(x)
具有下列性质：（1）非降；（2 ）右连续；（3）
F()0,

F()1
。
80、试 证：若
P{

x
2
}1

,P{

x
1
}1

，则
P{x
1


x
2
}1(



)
。 81、设随机变量

取值于[0，1]，若
P{x

y}< br>只与长度
yx
有关（对一切
0xy1
），试证
服
从[0，1]均匀分布。
82、定义二元函数
F(x,y)

精彩文档

1,x y0
。验证此函数对每个变元非降，左连续，且满足（2.6）及（2.7），

0,xy0

实用标准文案
但无法使（2.5）保持非负。
83 、试证
f(x,y)ke
(ax
2
2bxycy
2
)
为密度函数的充要条件为
a0,c0,bac0,

k
2
acb
2

。
84、若
f1
(x),f
2
(x),f
3
(x)
是对应于分布函数
F
1
(x),F
2
(x),F
3
(x)
的 密度函数，证明对于一切

(1

1)
，下列函数是密度函数 ，且具有相同的边际密度函数
f
1
(x),f
2
(x),f
3
(x)
：
f
1
(x),f
2
(x),f
3
(x)f
1
(x
1
),f
2
(x
2
),f
3
(x
3
){1

[2F
1(x
1
)1][2F
2
(x
2
)1][2F< br>3
(x
3
)1]}
。
0x2

< br>1


3
(1sinxsinysinz),当0y2

时
85、设
(

,

,

)< br>的联合密度函数为

p(x,y,z)

8


0z2



其它

0,
试证

,

,

两两独立，但不相互独立。
86、若

1
与

2
是独立随变量，均服从普要松分布，参数为

1

2
及，试直接证明
（1）

1
< br>
2
具有普承松分布，参数为

1


2< br>；

n



1


（ 2）
P{

1
k|

1


2
n}




k



1


2

87、若

,
相互独立，且皆以概率
k


2








2

1
nk
。
1
取值+1及
1
，令



，试证< br>
,

,

两两独立但不相互独立。
2
2
88、若气体分子的速度是随机向量
V(x,y,z)
，各分量相互独立，且均服从
N(0,

)
，试证
Sx
2
y
2< br>z
2
斑点服从马克斯威尔分布。
89、求证，如果

与< br>
独立，且分别服从

分布
G(

,r
1
)
和
G(

,r
2
)
，则


与
i

也独立。

90、证明：

是一个随机变量，当且仅当对任何
xR
成立
{

:

(

)C}F
。









第三章 解答
1、 解：令

n
表在n次移动中向右移动的次数，则
n
服从二项分布，
精彩文档

实用标准文案
k
P{

n
k}C
n
p
k
(1p)
nk
,k0,1,n

以
S
n
表时刻时质点的位置，则
S
n

n
(n

n
)2

n
n< br>。

0

n
的分布列为


(1p)
n


n
S
n
的分布列为 < br>

(1p)
n

12
122
C
n
p(1p)
n1
C
n
p(1p)
n2

n


。
p
n


n


。
n

p

n2

n4
122< br>C
n
p(1p)
n1
C
n
p(1p)
n2

2、 解：
P{

1}P{失成}P{成失}pqqp
，
P{

2}P{失失成}P{成成失}ppqqqpp
2
qq2
p,

所以

的概率分布为
p{k}pqqp,k1,2,
。

3、 解： （1）
1
k2

k1

k1
N
f(k)
c
N
，
c1
。
N
1
（2）
1c


k!
c(e

1)
，
c(e

1)

k
。
4、 证：
f(x)0
，且




1
|x||x|x


f(x)dx

edx

edxe
0

2


f(x)
是一个密度函数。

5、 解：（1）
P(6

9)P

(610)
1

2
11

(

10)(910)< br>

22

1

P

1(< br>
10)
2

（2）
P(7

12 )P

(710)
1

1


 

(2)0.285788

2

2


1

2
11

(

10 )(1210)


22

1

11

P

1(

10)1



1

(1)0.774538

2

2 2

（3）
P(13

15)P

(13 10)

1

2
11

(

 10)(1510)


22


P

1

精彩文档
1

1

11

1

(

10)2



2

(1)0.060597

2

2

22

2


实用标准文案
6、 解：（1）
(1.3)0.90
，而
P{

a }P

(

5)
解得
a7.6
。

1

2
1
1

1

(a 5)



(a5)

，令
(a5)1. 3
2
2

2


1

2
1

a

=0.995，而
2

（2）由P{|

5|a}0.01
得
P{

5a} 0.005
，从而
P

(

5)
1
(2.6)0.995
所以
a2.6,a5.2
。
2

7、 证：（1）设
x
2
x
1
,F(x
2
)F(x
1
)P{x
1


x
2
}0
，所以
F(x
2
)F(x
1
)
，
F(x)
非降。
（2）设
xx
n
x
n1
x
1
x
0
，
x
1
x
由概率的 可加性得




P


(x
i1


x
i
)

P{x
x
0
}



F(x
i
) F(x
i1
)

F(x
0
)F(x)
。
i0

i0

由此得
F(x
0
) F(x)lim

F(x
0
)F(x)

，
n
F(x)limF(x
n
)F(x0),F(x)
右连续。
n
（3）
1P{

}
n

P{n

n1}


F(n1)F(n)
limF(n)
n
n

m
li mF(m)
。
由单调性得
limF(x)
与
limF(x)
均存在且有穷，由
0F(x)1
及上式得
F()0,F()1
。
xx

8、证：
P{x
1

< br>x
2
}P{

x
2
}P{

x
1
}P{

x
2
}(1P{
x
2
})

P{

x
2
} P{

x
1
}1
(1

)(1

)11(



)
.
∴不等式成立。

x(,0]

0,

9、证法一：定义
F (x)

P{0

x},x(0,1]
则
F(x)
是

的分布函数。由题设得，对任意

1,x(1,)

2x[0,1]
有
P{0

x}P{x
2x}
，即有
P{0

2x}2P{0

 x}
。由此得
1x
F(2x)2F(x)
。逐一类推可得，若
nx [0,1]
，则
F(nx)nF(x)
，或者
F(x)F()
。从而对
nn
有理数
mm

m

m
F(x )
。再由
F(x)
的左连续性可得，对任意，若
x
与
x都属于[0,1]，则有
F

x


nn
nn

无理数
a
，若
ax
与
x
都属于[0, 1]，则
F(ax)aF(x)
。
因为区间
[0,1)
与[0,1]的长度相等，由题设得
精彩文档

实用标准文案
F(1)P{0

1}P{0

1}1
.
由此及上段证明得，对任意
x[0,1]
有
F(x)xF(1)x，即
F(x)
为

0,x0

F(x)

x,0x1


1,x1

∴

服从[0,1]上均匀分布。
证法二：如同证法一中定义

的分布函数
F(x)
，由
F(x)
单调知它对[0,1]上的L－测试几乎处
处可微。设
x
1
,x
2
(0,1)
，当
x
1
x[0,1](i 1,2)
时，由题设得
F(x
1
x)F(x
1
) P{x
1


x
1
x}

P{x
2


x
2
x}F(x
2
x }F(x2)

等式两端都除以
x
，再令
x0
可得 ，由
F'(x
1
)
存在可推得
F'(x
2
)
也存在，而且
F'(x
2
)F'(x
1
)
。
从 而对任意
x(0,1)
有
F'(x)c
。当
x[0,1]时显然有
F'(x)0
。一点的长度为0，由题设得
由上所述可知
< br>是连续型随机变量，
F'(x)
是其密度函数，从而定出
c1
。P{

0}P{

1}0
。
至此得证

服从[0,1]均匀分布。
10、证：（1）
f

(x)
(xm)
2

1
exp


< br>
2
2

2



(xm)
2


11

2
expln
ln2

exp

(xm)ln


0
2
2
2

2


2



若令
Q(

)
1
, T(x)(xm
0
)
2
,D(

_ln

，
S(x)ln2

，则有
2
(2)
f< br>
(x)exp{Q(

)T(x)D(

)S(x) }

2
这就证明了正态分布
M(m
0
,

)
是单参数

(

0)
的指数族。
（2）f
m
(x)
2


(xm)


exp




2

2
0

2

0

1

1
2

0


x
2
2mxm
2

m
2
x
2
1


mx

expln
exp





222
2
2


2

0
2

0
2

0




0


1
2
m
mx
2
1
2
,T(x)x, D(m),S(x)ln
若令
Q(m)
，则
2

0
2

0
2
2

0
2

0
精彩文档

实用标准文案
f
m
(x)exp{Q(m)T(x)D(m)S(x)}

所以正态分布
N(m,

0
)
是单参数
m(m)
的指数族。
（3）
p(k;

)
2

k
k!
e


exp{kln


< br>lnk!}
。
若令
Q(

)ln

, T(k)k,D(

)

,S(k)lnk!
，则
p(k;

)exp{Q(

)T(k)D(

) S(k)}
，所以
p(k;

)
是单参数

(
0)
的指数族。
（4）关于
[0,

]
上的均匀分布，其密度函数为
f

(x)


1

,0x


x

或x0

0,
f

(x)
是定义在
x
的函数，由于它是
x
的分段表示的函数，所以无法写成形式
f

(x)exp{Q(

)T(x)D(

)S(x)}
故
f
(x)
关于

不是一个单参数的指数族。
，


11、证：必要性：

f(x,y)dxdy

ke
令
ux
b
a(xy)
2
a
e

acb
2
y
a
dxdy

bb
y,vy
，得
yv,xuv,J1
。设
aa


f(x,y)dxdy

2


ke
au
du
2



e
acb
2
2
v
a
dv

2
要积分收敛，必须
a0,(acb)a0
，由此得应有
acb0
以及
c0
。利用



e
u
2du

可得

∴
k

ke
au
du

e

2

acb
2
2
v
a
dvk
1
a


a
acb
2

1

acb
2


从而题中所列条件全部满足。以上诸步可逆推，充分性显然。

12、解：设
f(x,y)f
1
(x)f
2
(y)h(x,y)
是密度函数 ，则由
f(x,y)0
得
h(x,y)f
1
(x)f2(y)
。又
1

f(x,y)dxdy

f
1< br>(x)dx

f
2
(y)dy

h(x,y)d xdy1

h(x,y)dxdy
，
所以应有

h(x,y)dxdy0
。

h(x, y)dxdy0
，显然有
f(x,y)0
且反之，若
h(x,y)f
1
(x)f2(y)
，
h(x,y)
可积且
精彩文档

实用标准文案

f(x,y)dxdy1
，即
f(x,y)
是密度函数。 < br>所以为使
f(x,y)
是密度函数，
h(x,y)
必须而且只需满足< br>h(x,y)f
1
(x)f2(y)
且

h(x,y) dxdy0
。


13、解：（1）
1


2x

0
Aedx

e
y
dy
A



1
e
2x

0

2




e
y
|

0


A
2
,A2

0
（2）
P


2,

1



2
2e
2x
dx

1
0
e
y
d y


e
2x
|
2
0
0

e
y
|
14
0

(1e)(1e1
)
。
（3）

的边际分布，当
x0
时
f

(x)0
，当
x0
时有
f
< br>(x)


0
2e
2x
e
y
dy2e
2x
.
（4）
P




2



2
0
2e
2x
dx

2x
0
e
y
dy


< br>2
2
2x(2x)
2
2x
0
e(1e

dx

0
(2e2e
(2x)
dx
< br>(1e
4
)(2e
4
2e
2
)1 e
4
2e
2
(1e
2
)
2
.
（5）当
x0,y0
时
f(x|y)0
；当
x0, y0
时有
x|y)
f(x,y)

2e
(2xy )
f(
e
2e
2x
f
y
.
(y)
（6）
P{

1}

1
(2x y)

(2xy)
0
dy

0
2edx< br>
1
e
y
0
dy

0
2edx e
y
1
1
0
1e
,
利用（2）的结果可得
P


2,

1

P


2,

1

(1e
4
)(1e
1
)
P


 1


1e
1
1e
4

.

14、证：设多项分布为
P{

1
k
1,,

r
k
r
}
n!
!
pkk
1
1
p
1
r
k
，
1
!k
r
r
k
i
0,

r< br>k
i
n,
i1

p
i
1
。
i1
利用（2）可以把（1）改写成
P{

1
k1
,,

r1
k
r1
}


n!
p
k
1
1
p
k
1
r(1p
1
p
r1
)
nk
1
 k
r1
k!k

1r1
!(nk
1
k
r1
)!
由边际分布的定义并把（3）代入得
精彩文档
1）
2）
3）
（
（
（

实用标准文案
P{

1< br>k
1
,,

r2
k
r2
}k
r1
k
1
k
r1
n,k
r1
0

P{

1
k
1
,,

r1
k
r1
}

nk
1
k< br>r2
r2
n!p
1
k
1
p
r
k

(nk
1
k
r2
)!
2
r 1


p
r
k
1


k< br>1
!k
r2
!(nk
1
k
r2
)!k
r1
!(nk
1
k
r1
)!
k
r1
0
(1p
k
1
k
r1< br>1
p
r2
p
r1
)
n

由二项式定理得
P{

1
k
1
,,

r2
k
r2
}


n!
pkknk
k
1
1
p
r
r
2
2
(1p
1
p
r2
)
1
k
2

1
!k
r2
!(nk
1
 k
r2
)!
把（4）与（3）比较知，边际分布仍服从多项分布。多次类推可得
P{

k
n!
11
}
k
p
k
1
1
(1p
nk
1
)
1

1
!(nk
1
)!
从而知任意边际分布均服从多项分布（包括二项分布）。

15、解：（1）

的密度函数为，当
x0
时
p

(x)0
；当
x0
时，注意积分取胜有选取，得
p

(x)


1
1

p(x,y) dy


1
x
(k
x
k
(yx)
k
2
1

y
dy(令yx1)

1
)(k
2
)
x
k
1
1


k
2
1
xt
x
k
1
1
 x
(k
teedt
(k
e
.
1
)(
2
)

0

1
)

（2）
< br>的密度函数为，当
y0
时
p

(y)0
；当y0
时，
p
y

(y)


 
p(x,y)dx

1
x
(k
x
k
1
1
(yx)
k
2
1

y
dx

1
)(k
2
)
令
xyt
，当
x0
时
t0
，当
xy
时
t1
，所以 < br>e
y
p
kk

(y)y
1
1
y
k
2
1


1
t
k
1
1
(1t)
2
1
(k
1
)(k
2)
0
ydt
y
k
1
k
2
1
e
y
y
k
1
k
2
1
e
 y

(k
1
)(k
2
)
1
(kB(k
y
k1k
2
1
1
,k
2
)
e
y
1
)(k
2
)(k
1
)(k
2
)(k
1
k
2
)
(k
1
k
2
)
其中用到


函数与

函数的关系式。

16、证：我们有
0F
i
(x
i
)1,12f
i
(x
i
)1211
,
1[2F
1
(x
1
)1][2F
2
(x
2
)1][2F
3
(x
3
)1]1
,
精彩文档
（4）

实用标准文案
代 入
f

(x
1
,x
2
,x
3
)< br>的表达式得
f

(x
1
,x
2
,x
3
)
0
(1)
又有


2F(x)1

f(x)dx

2F(x)1

dF(x)


F

iiiii

iiii
2
1
(x< br>i
)F
i
(x
i
)


0



f

(x
1
,x2
,x
3
)dx
1
dx
2
dx
3



f
1
(x
1
)dx
1



f
2
(x
2
)dx
2



f
3
(x
3
)dx
3
1
(2)
由（1），（2）知
f

(x
1
,x
2
,x
3
)
是密度函数。用与上面类 似的方法计算可得边际密度函数为


f

(x
1< br>,x
2
,x
3
)dx
2
dx
3
f
1
(x
1
)
,

f

(x,x,x)dxdx
12312
f
3
(x
3
)


f

(x,x,x)dxdx
12313
f< br>2
(x
2
)
.

17、解：
（1）为求
(

,

)
的联合概率分布，分别考虑下列三种情况：(i,k1)
其中利用到独立性。
（a）
ik


k

k
P{

k,

k}P
< br>
(

k,

j)


P{

k,

j}


j1

j1


(b)
ik


p
j1
k
2
q
kj2
pq
2k1
1q
k
pq
k1
(1q
k
)
；
1q
P{
< br>k,

i}P{

i,

k}p
2
q
1k2
；
(c)
ik

{

k,

i}

,P{

k,

i}0

(2)因为
max(

,

)
，所以
{

k}

{

i,

k}< br>
{

k,

j}

i1j1k1k
P{

k}

P{

i,
k}

P{

k,

j}

pq
2
i1j1i1
k1kk1
1k2


p
2
q
kj2

j1
k
pq
（3）
P{

i|

k}
2k1

1q
k1
1q
k

k1kk1
(2qq)pq

(k1,2,)


1 q

1q
P{

i,

k}
< br>P{

k}

pq
k1
(1q
k)1q
k
q
k
,ik

k1k1k

pq(2qq)
2q

1


21k 2i1
pqpq

q
k
,ik
k1k1k


pq(2qq)
2q

1

精彩文档
ik,(i,k1)

实用标准文案
18、解：（1） 边际分布的密度函数为，当
x[0.1]
时
f

(x)0
；当
0x1
时，
f

(x)



f(x,y)dy

4xydy2x

0
1同理，当
y[0.1]
时
f

(y)0
；当
0y1
时
f

(y)2y
。
f(x,y)f
(x)f

(y)
，所以

与

独
立。
（2）边际密度函数为，当
x[0.1]
时
f
< br>(x)0
；当
0x1
时
f

(x)



f(x,y)dy

8xydy4x(1x
2
)

0
1
当
y[0.1]
时
f
(y)0
；当
0y1
时
f

(y) 



g(x,y)dx

8xydx4y
2

0
1
在区域
0y1
中均有
g(x,y) f

(x)f

(y)
，所以

与
< br>不独立。

19、证：当
0x2

,0y2

时 ，

与

的联合分布密度为
p

(x,y)

2

0
1
1

z

 sinxsiny(cosz)
；
32

8

3< br>(1sinxsinysinz)dz

8

4


0
2

其余
p

(x,y)0
。 当
0x2

时，
p

(x)

2

0
dy

2
0
1
8

3
(1sinxsinysinz)dz
1
；
2

其余
p

(x)0
。由于

,

,
三者在密度函数的表达式中所处地位相同，故得当
2
当
0y2
,0z2

时，
p

(y,z)14

；
0x2

,0z2

时，
p

(x,z)14

2
；
当
0y2
< br>时，
p

(z)12

；当
0z2

时，
p

(z)12

；在其余区域内，诸边际密度函数均取0值。由于
p

(x,y)p

(x)p

(y),

p

(x,z)p

(x)p< br>
(z),p

(y,z)p

(y)p
(z),
故

,

,

两两
独立；但 当
0x2

,0y2

,0z2

时 有
p(x,y,z)p

(x)p

(y)p

(z)
，故

,

,

不相
互独立。

20、证：当
|x|1
时，
p

(x)


p(x,y)dy

1xy1
dy，
1
42
1
其余
p

(x)0
。同理当
|y|1
时，
p

(y)12
其余
p

(x)0
当
0|x|1,

0y1
时 有
p(x,y)p

(x)p

(y)
，所以

与

不独立。
现试能动分布函数来证

与
独立。

的分布函数记为
F
1
(x)
，则当
0 x1
时，
精彩文档
222

实用标准文案
F
1
(x)P{

2
x}P{x

x} 

同理可求得

的分布函数
F
2
(y)
，得
2
x
x
1
dxx
；
2
x0

0,

F
1
(x)

x,0x1

1,x1,

y0

0,

F2
(y)

y,0y1


1,y1,

(

2
,

2
)
联合分布函数记为< br>F
3
(x,y)
，则当
0x1,y1
时
F< br>3
(x,y)P{

2
x,

2
y} P{

2
x}x

同理得当
0y1,x1时
F
3
(x,y)
y
；当
0x1,0y1< br>时
F
3
(x,y)P{

2
x,
< br>2
y}P{x

x,y

y}
< br>=

x
x
ds

y

1st< br>dtxy

y
4

0,

x,


合起来写得
F
2
(x,y)
y,

xy,



1,
x0或y00x1,y1

0y1,x1
0x1,0y1
x 1,y1
22
不难验证
F
3
(x,y)F
1
( x)F
2
(y)
对所有
x,y
都成立，所以

与< br>
独立。

21、证：（1）由褶积公式及独立性得
P{

1


2
k}

P{

1
i,

2
ki}

P{

1i}P{

2
ki}

i0i0
kk


i0
k
i

1
i!
e


1
e
(ki)!
1

k
2


2
1
(

1


2)
k
k!
ik1
e

1

2

k!i!(k1)!
i0
(

1
< br>
2
)
k
(

1


2
)
e

k0,1,2,

k!
这就证明了

1


2
具有普阿松分布，且参数为

1


2

（2）
P{

1
k|

1


2
n}
P{

1
k,

1


2
n}

P{

1


2
n}
P{
< br>1
k,

2
nk}P{

1
k}P {

2
nk}


P{

1


2
n}P{

1


2
 n}

精彩文档

实用标准文案

k
< br>1
k!
e


1

k

n
2
(nk)!
k
e


2
(

1


2
)
n
(

1


2
)
e

n!
nk

n



1










k


12
< br>
22、证：由题设得


2







2

1
证毕。
P{

1}P({

1,

1}(

1,

1})
11111

，
22222
11111

。
22222
P{

1}P({

1,

1}(

1,

1})
P{

1,

1}P ({

1}[{

1,

1}(
1,

1}])

P{

1,

1}P{

1}P{

1}
1
P{< br>
1}P{

1}
，
4
P{

1,

1}P({

1}[{

1,
1}(

1,

1}])

 P{

1,

1}P{

1}P{
< br>1}
1
P{

1}P{

1}
，
4
同理可证
P{

1,

1} P{

1}P{

1}
，
P{

 1,

1}P{

1}P{

1}
.
所以

与

相互独立。用同样的方法可片

与

也相互独立。但
P{

1,

1,
1}P({

1,

1}[{

1,

1}{

1,

1}])
，
1
P{

1}P{

1}P{

1 }
，
8
所以

,

,

只两 两独立而不相互独立。

23、解：
P{

k}
< br>k
k!
e


,k0,1,2
，
由此 得（1）
P{

akb}

k
k!
e


,k0,1,2
，
（2）
P{

k}

2

k
k!e


,k0,1,2
。
24、解：（1）由
P {

0}0
知，

以概率1取有限值。当
y0
时，
精彩文档

实用标准文案
0

1

1

F

(y)P

y
P{

0}P





< br>p(x)dx

1
p(x)dx
；

y



y
当
y0
时，
0
1

1

F

(y)P

y< br>
P



0



1
p(x)dx
；



y

y
当
y0
时，
F

(y)

0

p(x)dx
。

k

arctgy




p(x)dx

F(y)P{tg

y}
（2）
< br>P



{k


2


k

arctgy})





k



k
2

k

（3）当
y0
时，
F

(y)0
；当y0
时，
F

(y)P

|

|y

P

y

y




25、解：设直径为随机变量d，则
y
y
p(x)dx
。

1
,axb

p
d
(x)

(ba)
。

其 它

0,
圆面积
S
1
2
11

d
。当

a
2
y

b
2
时，
444


1
2

F
a
(y) P{Sy}P


dy

P

d

4


4y





a
4y

1
dx
；
ba
当y
1
2
1

a
时
F
a
(y )0
；当
y

b
2
时
F
a
( y)1
。由此对
F
a
(y)
求导（利用对参数积分求导法则）44
1
2
111

a
或
y

b
2
时
p
a
(y)0
；当

a
2
y

b
2
时
4444
得圆面积的 分布密度为，当
y
p
a
(y)F'a(y)


y
(ba)

y
。
26、解：

与

的密度函数为

1,0x1
（1）
p
(x)p

(x)

0,其它

由卷积 公式及独立性得





的分布密度函数为 y
p

(y)

精彩文档


p

(x)p

(yx)dx
（2） 2 C

实用标准文案
把（2）与（1）比较知，在（2）中应有
0x1
，
0yx1
，满足此不等式组的解
(x,y)
构成 D
图中平面区域平形四边形ABCD，当
0y1
时 1 B
0xy
,当
1y2
时
y1x1
。所以当 A0 1 x
0y1
时（2）中积分为
p

(y)

11dxy

0
y
当
1y2
时，（2）中积分为
p

(y)
对其余的y有
p

(y)0
。
< br>27、解：
p

(x)p

(x)

1
y1
11dx2y
;
1
2

e
1
x
2
2
1

2
(x
2
y< br>2
)
e
，
p

(x,y)

2

1
由求商的密度函数的公式得

1

2
(x
2
y
2
x
2
)
2
ed x
p

(y)

|x|p(xy,x)dx



|x|

2

2



1


0
xe
1
x
2
(1y
2
)
2
dx

1
11


2
x
2
(1y
2
)

1
e
,
y


2
2

1y

0

(1y)





服从柯西分布。

111
(st),y(st),| J|
。由

与

独立知，它们
222
22
1


st

st






2



2
 
2



28、解：作变换，令
sxy,txy
，得
x
的联合密度应是它们单个密度的乘积，由此得U，V的联合密度函数为
p
UV
(s,t)


1
2

1
e
4

e
1
x
2
2


1
2

e
1
1
y
2
2
|J|

e
1

s




2


2

2
1
e
2



1

2
1
(s2
t
2
)
4
1
2

22

2
e
1

t



2


2

2
p
U
(s)p
V
(t)

所以U,V两随机变量也相互独立，且均服从N（0，2）。

29、解：当
y0
时由独立性得
1F

(y)P{

y}P{

1
y,

2
y, ,

n
y}



P{

1< br>y}

(1F

i
(y))

(e
i1i1i1
nnn


i
y
)exp( y


i
)

i1
n
精彩文档

实用标准文案
n


F

( y)1exp

y



i

< br>
当
y0
时
F

(y)0
。求导得< br>
的密度函数为，当
y0
时
p

(y)0
；当
y0
时
n

p

(y)F


(y)


j
exp

y


j

.
j1

j1

n

30、解：设
(0 ,a)
在内任意投两点

1
,

2
，其坐标分别为
x,y
，则

1
,

2
的联合分布密度为
(x,y)(0,a)(0,a)

0,

p(x,y)
1
。
,(x,y)(0,a)(0,a)


a
2
设

|

1


2
|
，则

的分布函数为，当
z0
时
F

(z)0
；当
za
时
F

(z)1
；当< br>0za
时，
F

(z)P{|

1


2
|z}
zxyz
0x,ya
2
p(x,y)dxdy
2
1
a
2
zxy z
0x,ya
2

dxdy
1
S
，
2
a
积分S为平面区域ABCDEF的面积，其值为
a(az)2azz
，所以

F

(z)(2azz
2
)a
2
.

31、证：由独立性得，
V(x,y,z)
的概率密度为
p(x,y ,z)
1
2

2
1
(2

)

33
e
(x
2
y
2
z
2
)

Sx
2
y
2
z
2
的分布函数为，当
s0
时，
F(s)Pxyzs
2

222

xyzS
2

1
22
(2

)
3

3
e

1
2

2
(x
2
yz
2
)
dxdydz

作球面坐标变换，
x

cos

sin

,ysin

sin

,z

cos
，则
|J|

2
sin

，
2

0
F(s)

d


sin

d


0

a
0
1
(2

)
3

3
1


2


2
2
e
1


2


2
2


2
d



2

2


a
0
1
(2
)
3

3
e

2
d
< br>
由此式对s求导可得，当
s0
时，S的密度函数为

s
2

F'(s)f(s)exp



2
2


.


2


32、证：（3.14）式为
2s
2
精彩文档

实用标准文案
p(x)
1

1

2

n


2

1
n
2x
11
n1x
22
e,x0
。
令
y
当
y0
时
x
，则
xny2
,x'
y
2ny
，由
p(y)p[f
n
1
(y)]|[f
1
(y)]'|
得，

的密度函数为 ，
n
p

n
(y)
(ny)
1
n
2
2
1n1
2

1

2


2

e
1
ny
2
2
2ny2ny
n1

1

2


2< br>
1
n
2
1
n
2
e
1
n y
2
2


与

仍独立。记
T



n
，则由商的密度函数公式得T的密度函数为
n
< br>p
T
(t)

|y|p

(ty)p

(y)dy


y

n
0

1
2

e
1
t
2
y
2
2

2ny
1
n
2
1
n
2
n1
e
1
ny
2
2

1

2
n


2

dy


< br>

0
n
1
n
2

1
< br>2

2

n


2

2
1
n
2
(y)
2
1
(n1)1
2< br>e
1
y
2
(nt
2
)
2
dy< br>2
，
令
uy(nt)
，则
dy
2
2
du
，得
2
(nt)
p
T
(t)
n (nt)
1
n
2
1
n
2
2
1
 (n1)
2

1

2

2

n


2



u
0

11
(n1)1u
22
edu


n
12

1

2

2


2

1
n
2

1



( n1)

1
(n1)
2

2

 (nt)
2

1



2

1
(n1)
2

1

1


( n1)

2

2
(n1)
t

2



t

p
T
(t)

1

n


1

n



n



2


33、解：U的分布函数为，当
t0
时
F(t)0
；当
t0
时有
精彩文档

实用标准文案
F(t )
xyzt

p(x,y,z)dxdydz

dx

0
ttx
0
dy

txy
06
dz

4
(1xy)
tt
2t
2
2

dxdy

33

00
(1t)
2(1xyz)
tt
t
2
t11tt
2



dx

dx1
32223
00
t1
(1t)(1t)(1x)(1t)(1t)
3t
2
对F(t)
求导可得U的密度函数为，当
t0
时
p(t)0
； 当
t0
时
p(t)
。
4
(1t)

34、证：（U，V）联合分布函数为

1

2
(x2
y
2
)
F(u,v)

edxdy

2

x
2
y
2
u
x
vy
1
当
s0
时作变换，
sxy,t
22
x
，反函数有两支
y

s
xt

(1t< br>2
)


s

y
2

( 1t)

J
1
与

s
xt
(1t
2
)



s

ys< br>2

(1t)

2x2y
2x
2
1
x

2
22(t
2
1)
，
|J|< br>
1

2

2
y
2(1t)
y< br>y
考虑到反函数有两支，分别利用两组


1
1
uv
1

2
s
1

1

2< br>(x
2
y
2
)
F(u,v)




edxdy
2

edt
2
0
2

2(1t)

x
2
 y
2
ux
2
y
2
u

2

x

x
v,y0v,y0

y

y

对
F(u,v)
求导，得（U，V）的联合密度为（其余为0）
1
u
1
p(u,v)e
2
,
2
2

(1v)
1
u
若令
p
U
(u)e
2
(u0),
2
1
1
u0,0v

1< br>
(1v
2
)
p
V
(v)(v)，
则U服从指数分布，V服从柯西分布，且
p(u,v)p
U
(u) p
V
(v)
，所以U，V两随机变量独立。

精彩文档

实用标准文案
35、证：当
xo
时，

与

的密度函数分别为
p

(x)

r
1
(r
1
)
x
r
1
1


x
e,p
(x)

r
2
(r
2
)
x
r2
1
e


x
;

当
x 0
时，
p

(x)p

(x)0
。设
U



,V

。当
s0
或
t0
时，（U，V）联合密度为

当
s0,t0
时，作变换
sxy,t
p(s,t)0
；
所以
s
x
sts
，得
x
，
y
而
|J|
，
2< br>y
(1t)(1t)
(1t)
p(s,t)

rr
12
(r
1
)(r
2
)
x
r
1
1
y
r
2
1
e


(x y)
|J|

r1r1
12
s

st

s



s



e
2
(r
1
)(r
2
)

1t

1t

(1t)
12

rr


r
1
r
2

(r
1
r
2
)
t
r
1
1
r
1
r
21


s



se




r
1
r
2

(r
1)(r
2
)

(r
1
)(r
2
)
(1t)

由此知U服从分布服从分布，且U与V相互独立。
36、解：令
U



,V


p
U
(s)p
V
(t)



(



)
，当
s0
或
t(0,1)
时，U，V联合密度
p(s,t)0
；当
s0
且
t(0,1)
时作变换
sxy,y
x
，则
xst,ysst,|J| s
，
(xy)
p(s,t)e
x
e
y
|J|se
(xy)
se
s
1p
U
(s)p
V
(t)

由此得U服从

分布
G(1,2)< br>，V服从(0,1)分布，且U与V相互独立。

37、解:
p(x,y) 
1
2

1

2


(xn )
2
2r(xa)(yb)(yb)
2


1

exp




222
2
 
2(1r)


1r
12
12




设
U
i



,V
i




;UU
1
ab ,VV
1
ab
。作变换
sxyab
，
tx yab
则
xa
111
(st)
，
yb(s t)
,
|J|
。U，V的联合密度函数为
222
f(s,t)p(x,y)|J|



(st )
2
2r(st)(st)(st)
2


111< br>
exp



2

22


2
2

1

2
1r
2
4

2(1r)4

4


1212




精彩文档

实用标准文案

1
4

1
< br>2

1
22222222


exp
s



2

t



2

2st(



)
1212121221
222
1r
2

8(1r)

1

2




设U，V的边际 分布密度函数分别为
f
U
(s),f
V
(t)
，欲U与V独 立，必须且只需
f(s,t)f
U
(s)f
V(t)
，
由
f(s,t)
的表达式可知，这当且仅当

2


1
0
时成立。U，V相互独立与
U
i
,V
i
相 互独立显然是等
价的，所以
U
i




,V
i




相互独立的充要条件是

1


2
。当

1


2


时，得
22

s
2
1s
2
，
f
U
(s)exp

f(t)exp

V
2

2

2

(1r)2

(1r)

4(1r)


4(1r)


1U~N(0,2(1r)

2
),V~N(0,2(1r)

2
)
。

38、解：（1）因为指数中二次项
x,y,xy的系数分别为
1,
较知，可设其配方后的形式为
22
1
, 1
，所以与(2.22)式（见上题解答）比
2
1
1(xs)
2
(yt)
2
1(xs)(yt)
。
2

2st11


比较系数得


st7

s
2

1
t
2
st32
1

22

此方程组有唯一解< br>s4,t3
，由此得
p(x,y)


11

exp



x4)
2
(y 3)
2
(x4)(y3)



2
2




2


11(y3 )1(x4)(y3)



2
exp(x4)2 





1
2
1212

2(1)

2

121
< br>2

2
（2）与（2.22）式比较得，
a4,b3,

1
1,

2
2,r
1
2
。
（3）
p
1
(x)


(x4)
2

exp



，
p
2
(y) 
2

2


1

(y3)
2

exp



。
4

2

1
2

11

p(x,y)11






1


1
（4）
p(x|y)exp



x

y 5



，它服从
N

y5,
< br>。
22

p
2
(y)2


< br>
2





2


精彩文档

实用标准文案
39、解：
|B
1
|27,|B|

11
.

|B
1
|
27
p(x,y,z)
(2

)

(2

)
1
1
n
2|B|
1
2

1

exp

(x a)B
1
(xa)




2

r
jk
(x
1
a
1
)(x
ka
k
)



j,k1

n1
1
n
2

1
exp


1
2

2
|B|

(2

)
13
2

1

exp

(7x
24y
2
2z
2
6xy4xz2yz)

.
1

2

27
(

1
,

2
)
的边际密度函数为（积分时在指数中对z配方）
p(x,y)


p(x,y,z)dz

(2

)< br>1
3
2
1
27
e
11
(5x
2< br>3y
2
4xy)
22



e
1
(zxy)
2
2
dz

令
zx
2
1
yt
，利用

e
t
dt

得

2
p(x,y)
361

1

exp

(5x
2
4xy3y
2
)

。
4

2

2


40、证：以f记

的密度函数，则
(

,

)
的联合密度为
f(x0f(y)
。作变换，令
sxy
，
txy
得
x
111
(st),y(st),|J|
。 若改记s为x，t为y，则由此可得
(



,



)
的联合密度
222
为
1

1

1

f

(xy)

f

(xy)

。另一方面，由卷积公式得



和



的密度分别为
2

2

2< br>
g(x)

故由



与
< br>

独立得


f(xs)f(s)ds
,
h(y)



f(yt)f(t)dt
.
1
2


1

1

f

(xy)

f

(xy)

g(x)h( y)
。

2

2

令
m(x)lo gf(x)
（此处用了
f(x)0
），则有

1
< br>1

m

(xy)

m

(x y)

logg(x)log2h(y)
。

2

2

精彩文档

实用标准文案
由假定知
m(x)
有二阶导数，上式对x求导得

xy

xy

xy

xy

'
m '

m

(logg(x))
x


2

2

x

2

2< br>
x
再对y求一次导数得
''
1

1
< br>1

1

m


(xy)
< br>m


(xy)

0
.
4

2

4

2

对任意u,v，选择x,y使< br>u
11
(xy),v(xy)
则由上式得
m
(u)m

(v)0
.
22
22
由u,v的任 意性得
m


常数，因而
m(x)abxcx
， 即有
f(x)exp(abxcx)
.
所以

,

，从而



,



均匀正态 分布。


41、证：（1）若

f
1


B





，则
f(

)

B

，必存在某个

0
< br>使
f(

)B

0
，亦有









f
1< br>(B

0
)
，从而



f
1
(B

)
，


反之，若

1

11


f(B)fB






（1）






1
f



1
(B

)
，必存在某个

0

使

f(B

0
)
亦有
f(

)B

0
，即
f(

) 

B

，


从而

f< br>

B





，





1
f
1

B







f(B
)
。 （2）







由（1），（2）式即得（和集的逆像等于每个集逆像的和）

1
< br>f
1

Bf(B

)
。









（2）若

f
1


B





，则
f(

)

B

，即< br>f(

)
属于每个
B

(

)
，得

f





< br>1
(B

)
（对
任一


）， 从而




f
1

B

，


11


f(B)fB






。 （3）







反之，若


精彩文档


f
1

B


，则

属于每个
f
1

B


(

)
，亦有
f(

)
属于每个
B

(

)
，
