家风作文-证明样本

一、判断题
1．设A,B,C为随机事件，则P(
A
+B+C)=P (A)+P(B)+P(C). ( × )

2．F(x)是正态随机变量的分布函数，则F(x)=1-F(-x). ( × )

3．设
P(A)0
,则随机事件
A
与任何随机事件< br>B
一定相互独立. （ √ ）
4．设X为连续型随机变量,C为常数,则必有P(X=C)=0 . （ √ ）
5. D(aX+b)=aD(X). ( × )
6.
E(XY)E(X)E(Y)
是
X
与
Y
相 互独立的必要而非充分的条件 （ √ ）
7. 对任意两个事件A,B, 有P(A-B)=P(A)-P(B) ( × )

8. 设随机变量X有期望μ和方差σ，则P（｜X－μ｜≥ε）≤ε ( × )
9.设
A, B
为随机事件，则
P(AB)P(A)P(B)P(AB)
（ √ ）
10.设
X
服从参数为

的泊松分布, 则
E(X)D(X)
)（ √ ）
11.设
A,B,C
为随机事 件，则
P(ABC)P(A)P(B)P(C)
( × )
1 2.
(x)
是标准正态随机变量的分布函数，则
(x)1(x)
（ √ ）
13.设
A,B
为两个事件，若
P(AB)P(A)P(B)
,则事件
A与B
相互独立（ √ ）
14.
E(aXb)aE(X)+b
. （ √ ）
22

2
16.设随机变量
X
有期望

和方差

，则
P

X




2
.（ √ ）

2
二、填空
PBC0.8
。则
P(ABC)
。
2.甲﹑乙两射手独立地射击同一目标，各发一枪.甲击中的概率为0.8, 乙
击中的概率为0.7，则目标恰好中一枪的概率为 。
3.设事件
A
与
B
互不相容，且
P(A)0.3,P(B)0.2
,则< br>P(AB)
= _；
4.设一只盒子中装有5只白球与4只红球，不放回地从中接连两次取球，每次取一球，
每球被取得是等可能的，若第一次已取得红球，则第二次取红球的概率为 ； 5.若随机变量X服从参数为
n,p
的二项分布，则
P{X10}
；

1.若随机事件A，B，C具有关系
AB
,
AC
,且
P(A)0.9
，



x
5
,
x1,
6.设随机变量X的概率密度为
f(x)

则数学期望
E(X)
.
x1.
0,

7.若BA,P(AB)0.5,P(A)0.8
，则
P(B)
；
8.设一只盒子中装有7只白球与4只红球，不放回地从中接连两次取球，每次取一球，
每球被取得是等可能的，若第一次已取得白球，则第二次取白球的概率为 ；
9.若随机变量X服从参数为

的泊松分布，则
P{X5}
；
10.设
P(A)0.6,P(B|A)0.5
，则
P(AB)＝______________；
11.设随机变量
X~N(1,4)
,则< br>P

X2


。
,(1.5)0.9332
) (
(0.5)0.6915
1x1x0

12.设随机变量
X~f(x)

1 x0x1
,则
D(X)
。

0其他
13.随机变量X服从区间
[0,

]
上的均匀分布，则E(2X)
.
,
分布函数为
(x)，则对任意的实数14.设连续型随机变量
XN(0,1)
其
x,(x) (x)
。

15.设随机变量
X
服从正态 分布
N(

,3)
,其中为实数，若
P{Xa}0.5
,则
a
_________。

2xc,0x1,
16. 设随机变量
X

f(x)

，则常数
c
=________________。
0,其他，

17.已知随机变量XB( n,0.8),EX16,则n______

18.已知随机变量XU(2,4),则D(X)______.

1 9.设
随机变量X服从参数为2的泊松分布,则应用切比雪夫不等式估计得
P

X22

______.

二、单项选择
1.设
P(A)0.8
,
P(B)0.7
,
P(A|B)0.8
,则 以下结论正确的是( ).
(A)事件A与B互斥 (B)事件A与B相互独立
(C)事件A与B互为对立事件 (D)
P(AB)P(A)P(B)


A

2.随机变量
X~f(x)

1 x
2


0

2
(A) (B)
2

1x1
其他
(C)
,则系数A=
1
( ).
(D)




3. 某人连续向一目标射击，每次命中目标的概率为14，他连续射击直到命中为止，则射击
次数为4的概率 是
1
2
3
3
3
3
3
1
2
1
2
A．

B．
（）（）

C．
（）

D．
C（）

4
44 4
444
4.
已知随机变量
X
服从二项分布，且
E(X) 2.1
，
D(X)1.47
，则n，P的值为______；
A.n=7 P=0.3 B.n=6 P=0.4 C.n=8 P=0.3 D.n=24 P=0.1
5.设X～N(0，1),
(X)
是其分布函数，则
(0)
_____ ___；
A. 0 B. 1 C.
0.5
D.
6.下列式子中，不正确的是 __；
A.
E(XY)E(X)E(Y)
B.
E(XEX)0

C.
E(cX)cE(X)
D.
E(XY)E(X)E(Y)

7.设随机变量X与Y相互独立，方差
D( X)3,D(Y)2
，则方差
D

3X2Y

 __；
A.35 B. 32 C. 14 D.10
8.设每次试验成功的概率为
p(0p1)
，重复进行试验直到第n
次才取得
r(1rn)

次成功的概率为 ；
A.
C
n1
p(1p)
r1rnr

B.
C
n1
p
r1r1rr
(1p)
nr1
C.
C
n
p(1p)
nr
D.
p
r
(1p)
nr

9.已知P(A)=0.3，P(B)=0.5，P(A∪B)=0.6，则P(AB)=( ).
A. 0.15 B. 0.2 C. 0.8 D. 1
10.下列叙述错误的是（ ）
(A)
若XN(

,

),则Y
(B)
(x)1(x)

2
X


N(0,1)

1

x
2
2
(C)
若XN(

,

),则其概率密度

(x)e,x

2

(D)
若XN(

,

),则其 分布函数F(x)(
2
2
x


)

三、计算
1．盒中有15个乒乓球，其中9个新球6个旧球．第一次比赛从中 任取两个球，
用后放回；第二次比赛时再从中任取两球。求：（1）第二次取到两个新球的概
率 ；（2）已知第二次取到两个新球，求第一次取到一个新球一个旧球的概率。
解；A
i
=〝第一次取到i个新球〞,i=0,1,2, B=〝第二次取到两新球〞.
（1）由全概率公式：
P(B)=P(A
0
)P(B︱A
0
)+P(A
1
)P(B︱A
1
)+P(A< br>2
)P(B︱A
2
)
2112
C
6
C9
2
C
6
C
9
C
8
2
C9
2
C
7
312
=
22

2
=

222
C
15
C
15
C
15
C
15
C
15
C
15
1225

x
2
0x3
2．设随机变量
X
的密度函数
f(x) 

，求：（1）常数

；
其他

0
（ 2）
X
的分布函数
F(x)
；（3）
P

1X 4

。
解：(1)
1



f< br>X
(x)dx
；
x
x0


(2)F(x)

f(t)dt

0x3


x3

11
3.已知
P(A)=P(B)=P(C)=，
P(AB)=0
，
P(AC)=P(BC)
，求事件A，B，C中至
68
少有一个发生的概率.
4.一盒乒乓球有6个新球，4个旧球。不放回抽取，每次任取一个，共取两次，(1 ) 求：
第二次才取到新球的概率;(2 )第二次取到新球的概率.
5.设袋中有10只球， 4只白色与6只红色，从中每次任取一只，不放回抽取，试求：（1）
第一次取红球的条件下第二次取得 红球的概率；（2）第二次取得红球的概率.
6.已知随机变量
X
只取
-1 ,0,1,2
这4个值，对应的概率依次为
（1）
c
；（2）
P
X0

.
1357
,,,
，求：
2c4c8c16c
7.离散型随机变量
X
的分布律为

X
P
-1 0 1 2
0.3 0.4 0.1 0.2
2
求
Y2X1
及
Y

X1

的分布律.



Asinxx

9.设随机变量
X
的密度函数
f (x)

（1）常数
A
；（2）X的
22
，求：

其他

0


分布函数
F(x)
；（ 3）
P

0X

.

4

10.设从某地前往火车站，既可乘公共汽车，也可乘地铁，若乘公共汽车所需时间为
XN(50, 10
2
)
，乘地铁所需时间为
YN(60,4
2
)
,时间单位均为分，若有70分钟可用，
问乘公共汽车还是乘地铁好？
((2)0.97 72,(2.5)0.9938)

11.设一批零件的长度
X
（厘米） 服从正态分布
N(20,0.2
2
)
，现在从这批零件中任取一件，
问误差不超过
0.3
厘米的概率是多少？
((1.5)0.9332)

12.某篮球运动员投中篮圈概率是0.9，求其两次独立投篮后，投中次数 X 的概率分布.
解：X 可取的值为 ：0, 1, 2，且
P(X=0) = (0.1)(0.1) = 0.01，
P(X=1) = 2(0.9)(0.1) = 0.18 ,
P(X=2) = (0.9)(0.9) = 0.81 .

13.设某型号电子管的寿命X服从指数分布,平均寿命为1000小时, 计算 P{10001200}.
解：由 E(X) = 1λ = 1000，知 λ = 0.001，X的概率密度为
0.001x

0.001e,

f(x)



0,
x0,
x0.

0.001e

1000
1200
0.001x
P(1000X1200} d x
e
1
e
2
0.067.
14.设连续型随机变量X 的密度函数为:


2x, x[0, 1],
f(x)


0, x[0, 1].< br>
x

15.设随机变量
X
的密度函数
f
X
(x)

8


0
求D（x）
0x 4
其他
，求
Y2X8
的概率密

度.
解：设 Y 的分布函数为 FY(y)，则
F(y) P{Y8}
Y

P{2X8y}
P{X(y8)2}

F
X
[(y8)2] .

dF
Y
(y)1< br>f
Y
(y)f
X
[(y8)2] ,
dy2

y8

,8y16,
f
Y
(y)
< br>32


0, 其他 .


16.设一批产品的强度服从期望为14，方差为4的分布。每箱中装有这种产品100件，问：
每箱产品的平均强度超过14.5的概率是多少？
((2.5)0.9938)

n100
，设
X
i
是第
i
件产品的强度，
E( X
i
)14,D(X
i
)4,i1,2,,100

X

X14X14
1
100

X
,
X


i

n2100
0.2
N (0,1)

100
i1

X1414.514

X14

PX14.5P

2.5



2.5

1

2.5

0. 0062
0.2

0.2

0.2


故每箱产品的平均强度超过14.5的概率是0.0062.
17.某公司有200名员工参 加一种资格证书考试，按往年经验该考试通过率为0.8，试计
算这200名员工至少有150人考试通 过的概率.
((1.77)0.9616)


1, 第 i 个人考试通过，
X
i


.

0, 第 i 个人考试未通过
令
i

1, 2,

, 200 .

依题设，知 P{ Xi=1 }=0.8, np=200 ×0.8=160，
np(1-p)=32，X1+X2+…+X200 是考试通过人数,
因Xi 满足棣莫佛 — 拉普拉斯定理的条件，故依此定理，近似地有

X
i
np
i1
n
np(1p)


X
i
160
i1
200
32
~N(0, 1) .
于是


P


X
i1
200
i

200
X
i
160


150160

i1
150

P< br>

3232









200

X
i
160



P

i 1
1.77

32


1(1.77)
 (1.77)0.96 .
故200名员工至少有150人考试通过的概率0.96.
18现有三家工厂生产了一批产品，其中一厂占
二厂、三厂生产的次品率分别为
111
，二厂占，三厂占，且已知一厂、
236
111
、、。现从这批产 品中任取一件，求：
201510
（1）取得次品的概率；（2）取得次品是一厂生产的概率.
19.假 设一厂家生产的仪器以概率0.7可直接出厂，以概率0.3需进一步
调试.经调试后以概率0.8可直 接出厂，以概率0.2定为不合格品不能出厂。现
该厂新生产了10台仪器，求：（1）全部能出厂的概 率;（2）其中恰有两台不能
出厂的概率。
解；对一台仪器而言A=〝该仪器不需调试〞，< br>A
=〝该仪器需调试〞，B=
〝仪器可出厂〞则有：
P(B)=P(A)P (B︱A)+P(
A
)P(B︱
A
)=0.7×1+0.3×0.8=0.9 4
令X=〝10台仪器中可出厂的仪器数〞，则X～B(10,0.94).因此
（1） P{X=10}=(0.94)
10
=0.5386
8
(2) P {X=8}=C
10
(0.94)
8
(0.06)
2
=0. 0988 .