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数学发展史

此书记录了世界初等数学的发展与变迁。可大体分为“ 数的出现”、“数字与符号的起源
与发展”、“分数”、“代数与方程”、“几何”、“数论”与“名著 录”七大项，跨度千万年。可
让读者了解数学的光辉历史与发展。是将历史与数学结合出的趣味百科读物 。


数的出现

一、数的概念出现

人对于“数”的概念是与身俱来的。从原始人开始，人就能分出一与二与三的区别，从
而，就有了对数的 认识。而为了表示数，原始人就创造并使用了一种古老却笨拙且不太实用
的方法——结绳计数。通过在绳 子上打结来表示所指物体的数量，而为了辨认数量，也就出
现了数数这一重要的方法。这一方法如今看来 十分笨拙，但却是人对数学的认识由零到一的
关键一步。从这笨拙的一步人们也意识到：对数学的阐述必 须要尽量得简洁清楚。这是一个
从那时开始便影响至今的人类第一个数学方面的认识，这也是人类为了解 数学而迈出的关键
性一步。


数字与符号的起源与发展

一、数的出现

很快，人类就又迈出了一大步。随着文字的出现， 最原始的数字就出现了。且更令人高
兴的是，人们将自己的认识代入了设计之中，他们想到了“以一个大 的代替多个小的”这种
方法来设计，而在字符表示之中，就是“进位制”。在众多的数码之中，有古巴比 仑的二十进
制数码、古罗马字符，但一直流传至今的，世界通用的阿拉伯数字。它们告诉了我们：简洁< br>的，就是最好的。
而现在，又出现了“二进制数”、“三进制数”等低位进制数，有时 人们会认为它们有些
过度的“简洁”，使数据会过多得长，而不便书写，且熟悉了十进制的阿拉伯数字后 ，改变进
制的换算也十分麻烦。其实，人是高等动物 ，理解能力强，从古至今都以十为整，所以习惯< br>了十进制。可是，不是所有的东西都有智商，而且不可能智商高到能明显区分1-10，却能通
过 明显相反的方式表达两个数码。于是，人类创造了“二进制数”，不过它们不便书写，只适
用于计算机和 某些智能机器。但不可否认的是，它又创造了一种新的数码表示方法。

二、符号的出现

加减乘除〈＋、－、×(·)、÷(∶）〉等数学符号是我们每一个人最熟悉的符号 ，因为
不光在数学学习中离不开它们，几乎每天的日常的生活也离不开它们。别看它们这么简
单，直到17世纪中叶才全部形成。
法国数学家许凯在1484年写成的《算术三篇》中， 使用了一些编写符号，如用D表示加法，
用M表示减法。这两个符号最早出现在德国数学家维德曼写的《 商业速算法》中，他用“＋”
表示超过,用“－”表示不足。

1、加号（+）和减号（-）

加减号“＋”，“－”，1489年德国数 学家魏德曼在他的著作中首先使用了这两个符号，
但正式为大家公认是从1514年荷兰数学家荷伊克开 始。到1514年，荷兰的赫克首次用“＋”
表示加法，用“－”表示减法。1544年，德国数学家施 蒂费尔在《整数算术》中正式用“＋”
和“－”表示加减，这两个符号逐渐被公认为真正的算术符号，广 泛采用。

2、乘号（×、·）

乘号“×”，英国数学家奥屈 特于1631年提出用“×”表示相乘。英国数学家奥特雷德
于1631年出版的《数学之钥》中引入这 种记法。据说是由加法符号＋变动而来，因为乘法运
算是从相同数的连加运算发展而来的。另一乘号“· ”是数学家赫锐奥特首创的。后来，莱布
尼兹认为“×”容易与“X”相混淆，建议用“·”表示乘号， 这样，“·”也得到了承认。

3、除号（÷）

除法除号“÷ ”，最初这个符号是作为减号在欧洲大陆流行，奥屈特用“：”表示除或比.
也有人用分数线表示比，后 来有人把二者结合起来就变成了“÷”。瑞士的数学家拉哈的著作
中正式把“÷”作为除号。符号“÷” 是英国的瓦里斯最初使用的，后来在英国得到了推广。
除的本意是分，符号“÷”的中间的横线把上、下 两部分分开，形象地表示了“分”。
至此，四则运算符号齐备了，当时还远未达到被各国普遍采用的程度。

4、等号（＝）

等号“＝”，最初是1540年由英国牛津大学教授瑞柯德开始使用。1591年法 国数学家韦
达在其著作中大量使用后，才逐渐为人们所接受。

分数

一、分数的产生与定义

人类历史上最早产生的数是自然数（正整数），以 后在度量和均分时往往不能正好得到整
数的结果，这样就产生了分数。
一个物体，一个图形 ，一个计量单位，都可看作单位“1”。把单位“1”平均分成几份，表示
这样一份或几份的数叫做分数 。在分数里，表示把单位“1”平均分成多少份的叫做分母，表
示有这样多少份的叫做分子；其中的一份 叫做分数单位。
分子,分母同时乘或除以一个相同的数〔0除外〕,分数的大小不变.这就是分数的基本性质.
分数一般包括:真分数,假分数,带分数.
真分数小于1.
假分数大于1,或者等于1.
带分数大于1而又是最简分数.带分数是由一个整数和一个真分数组成的。
注意 ：
①分母和分子中不能有0，否则无意义。

②分数中的分子或分母不能出现无理数（如2的平方根），否则就不是分数。
③一个最简分数的分母中只有2和5两个质因数就能化成有限小数；如果最简分数的分母中
只含有2和 5以外的质因数那么就能化成纯循环小数；如果最简分数的分母中既含有2或5
两个质因数也含有2和5 以外的质因数那么就能化成混循环小数。（注：如果不是一个最简分
数就要先化成最简分数再判断；分母 是2或5的最简分数一定能化成有限小数，分母是其他
质数的最简分数一定能化成纯循环小数）

二、分数的历史与演变

分数在我们中国很早就有了,最初分数 的表现形式跟现在不一样。后来,印度出现了和我
国相似的分数表示法。再往后,阿拉伯人发明了分数线 ,分数的表示法就成为现在这样了。
在历史上，分数几乎与自然数一样古老。早在人类文化发明的初 期，由于进行测量和均分的
需要，引入并使用了分数。
在许多民族的古代文献中都有关于分 数的记载和各种不同的分数制度。早在公元前2100多年，
古代巴比伦人（现处伊拉克一带）就使用了 分母是60的分数。
公元前1850年左右的埃及算学文献中，也开始使用分数。
200 多年前，瑞士数学家欧拉，在《通用算术》一书中说，要想把7米长的一根绳子分成三
等份是不可能的， 因为找不到一个合适的数来表示它．如果我们把它分成三等份，每份是37
米．像37 就是一种新的数，我们把它叫做分数．
为什么叫它分数呢？分数这个名称直观而生动地表示这种数的 特征．例如，一只西瓜四个人
平均分，不把它分成相等的四块行吗？从这个例子就可以看出，分数是度量 和数学本身的需
要——除法运算的需要而产生的．
最早使用分数的国家是中国．我国春秋时 代（公元前770年～前476年）的《左传》中，规
定了诸侯的都城大小：最大不可超过周文王国都的 三分之一，中等的不可超过五分之一，小
的不可超过九分之一。秦始皇时代的历法规定：一年的天数为三 百六十五又四分之一。这说
明：分数在我国很早就出现了，并且用于社会生产和生活。
《九章算术》是我国1800多年前的一本数学专著，其中第一章《方田》里就讲了分数四
则算法．
在古代，中国使用分数比其他国家要早出一千多年．所以说中国有着悠久的历史，灿烂
的文化 。


几何

一、公式

1、平面图形

正方形： S＝a? C＝4a
三角形： S＝ah2 a＝2Sh h＝2Sa
平行四边形：S＝ah a＝Sh h＝Sa
梯形： S＝(a＋b)h2 h＝2S(a＋b) a＝2Sh－b b＝2Sh－a
圆形： S＝∏r? C＝2r∏＝∏d r＝d2＝C∏2r?＝S∏ d＝C
∏

半圆： S＝∏r?2 C＝∏r＋d＝5.14r

顶点数＋面数－块数＝1

2、立体图形

正方体： V＝a?＝S底·a S表＝6a? S底＝a? S
侧＝4a? 棱长和＝12a
长方体： V＝abh＝S底·h S表＝2(ab＋ac＋bc） S侧＝2(a＋b)h 棱长
和＝4(a＋b＋h)
圆柱： V＝∏r?h S表＝2∏r?＋∏r?h＝S底（h＋2） S侧＝∏r?h S
底＝∏r?
其它柱体：V＝S底h
锥体： V＝V柱体3
球： V＝43∏r? S表＝4∏r?

顶点数＋面数－棱数＝2


数论

一、数论概述

人类从学 会计数开始就一直和自然数打交道了，后来由于实践的需要，数的概念进一步
扩充，自然数被叫做正整数 ，而把它们的相反数叫做负整数，介于正整数和负整数中间的中
性数叫做0。它们合起来叫做整数。（现 在，自然数的概念有了改变，包括正整数和0）
对于整数可以施行加、减、乘、除四种运算，叫做四 则运算。其中加法、减法和乘法这三种
运算，在整数范围内可以毫无阻碍地进行。也就是说，任意两个或 两个以上的整数相加、相
减、相乘的时候，它们的和、差、积仍然是一个整数。但整数之间的除法在整数 范围内并不
一定能够无阻碍地进行。
人们在对整数进行运算的应用和研究中，逐步熟悉了整 数的特性。比如，整数可分为两大类
—奇数和偶数（通常被称为单数、双数）等。利用整数的一些基本性 质，可以进一步探索许
多有趣和复杂的数学规律，正是这些特性的魅力，吸引了古往今来许多的数学家不 断地研究
和探索。
数论这门学科最初是从研究整数开始的，所以叫做整数论。后来整数论又 进一步发展，就叫
做数论了。确切的说，数论就是一门研究整数性质的学科。

二、数论的发展简况

自古以来，数学家对于整数性质的研究一直十分重视 ，但是直到十九世纪，这些研究成
果还只是孤立地记载在各个时期的算术著作中，也就是说还没有形成完 整统一的学科。
自我国古代，许多著名的数学著作中都关于数论内容的论述，比如求最大公约数、勾 股数组、
某些不定方程整数解的问题等等。在国外，古希腊时代的数学家对于数论中一个最基本的问题——整除性问题就有系统的研究，关于质数、和数、约数、倍数等一系列概念也已经被提

< br>出来应用了。后来的各个时代的数学家也都对整数性质的研究做出过重大的贡献，使数论的
基本理 论逐步得到完善。
在整数性质的研究中，人们发现质数是构成正整数的基本“材料”，要深入研究整 数的性质就
必须研究质数的性质。因此关于质数性质的有关问题，一直受到数学家的关注。
到了十八世纪末，历代数学家积累的关于整数性质零散的知识已经十分丰富了，把它们整理
加工成为一门 系统的学科的条件已经完全成熟了。德国数学家高斯集中前人的大成，写了一
本书叫做《算术探讨》，1 800年寄给了法国科学院，但是法国科学院拒绝了高斯的这部杰作，
高斯只好在1801年自己发表了 这部著作。这部书开始了现代数论的新纪元。
在《算术探讨》中，高斯把过去研究整数性质所用的符 号标准化了，把当时现存的定理系统
化并进行了推广，把要研究的问题和意志的方法进行了分类，还引进 了新的方法。
由于近代计算机科学和应用数学的发展，数论得到了广泛的应用。比如在计算方法、代 数编
码、组合论等方面都广泛使用了初等数论范围内的许多研究成果；又文献报道，现在有些国
家应用“孙子定理”来进行测距，用原根和指数来计算离散傅立叶变换等。此外，数论的许
多比较深刻的 研究成果也在近似分析、差集合、快速变换等方面得到了应用。特别是现在由
于计算机的发展，用离散量 的计算去逼近连续量而达到所要求的精度已成为可能。

三、数论的分类

初等数论
意指使用不超过高中程度的初等代数处理的数论问题，最主要的工具包括整数的整 除性与同
余。重要的结论包括中国剩余定理、费马小定理、二次互逆律等等。
解析数论 < br>借助微积分及复分析的技术来研究关于整数的问题，主要又可以分为积性数论与加性数论两
类。积 性数论藉由研究积性生成函数的性质来探讨质数分布的问题，其中质数定理与狄利克
雷定理为这个领域中 最著名的古典成果。加性数论则是研究整数的加法分解之可能性与表示
的问题，华林问题是该领域最著名 的课题。此外例如筛法、圆法等等都是属于这个范畴的重
要议题。我国数学家陈景润在解决“哥德巴赫猜 想”问题中使用的是解析数论中的筛法。
代数数论
是把整数的概念推广到代数整数的 一个分支。关于代数整数的研究，主要的研究目标是为了
更一般地解决不定方程的问题，而为了达到此目 的，这个领域与代数几何之间的关联尤其紧
密。建立了素整数、可除性等概念。
几何数论
是由德国数学家、物理学家闵可夫斯基等人开创和奠基的。主要在于透过几何观点研究整数
（在 此即格子点）的分布情形。几何数论研究的基本对象是“空间格网”。在给定的直角坐标
系上，坐标全是 整数的点，叫做整点；全部整点构成的组就叫做空间格网。空间格网对几何
学和结晶学有着重大的意义。 最著名的定理为Minkowski 定理。由于几何数论涉及的问题比
较复杂，必须具有相当的数学基础才能深入研究。
计算数论
借助电脑的算法帮助数论的问题，例如素数测试和因数分解等和密码学息息相关的话题。
超越数论
研究数的超越性，其中对于欧拉常数与特定的 Zeta 函数值之研究尤其令人感到兴趣。
组合数论
利用组合和机率的技巧，非构造性地证明某 些无法用初等方式处理的复杂结论。这是由艾狄
胥开创的思路。

四、皇冠上的明珠

数论在数学中的地位是独特的，高斯曾经说过“数学是 科学的皇后，数论是数学中的皇
冠”。因此，数学家都喜欢把数论中一些悬而未决的疑难问题，叫做“皇 冠上的明珠”，以鼓
励人们去“摘取”。
简要列出几颗“明珠”：费尔马大定理、孪 生素数问题、歌德巴赫猜想、角谷猜想、圆内
整点问题、完全数问题„„

五、中国人的成绩

在我国近代，数论也是发展最早的数学分支之一。从二 十世纪三十年代开始，在解析数
论、刁藩都方程、一致分布等方面都有过重要的贡献，出现了华罗庚、闵 嗣鹤、柯召等第一
流的数论专家。其中华罗庚教授在三角和估值、堆砌素数论方面的研究是享有盛名的。 1949
年以后，数论的研究的得到了更大的发展。特别是在“筛法”和“歌德巴赫猜想”方面的研究，已取得世界领先的优秀成绩。 特别是陈景润在1966年证明“歌德巴赫猜想”的“一个
大偶 数可以表示为一个素数和一个不超过两个素数的乘积之和”以后，在国际数学引起了强
烈的反响，盛赞陈 景润的论文是解析数学的名作，是筛法的光辉顶点。至今，这仍是“歌德
巴赫猜想”的最好结果。


名著录

《几何原本》 欧几里得 约公元前300年
《周髀算经》 作者不详 时间早于公元前一世纪
《九章算术》 作者不详 约公元一世纪
《孙子算经》 作者不详 南北朝时期
《几何学》 笛卡儿 1637年
《自然哲学之数学原理》 牛顿 1687年
《无穷分析引论》 欧拉 1748年
《微分学》 欧拉 1755年
《积分学》（共三卷） 欧拉 1768－1770年
《算术探究》 高斯 1801年
《堆垒素数论》 华罗庚 1940年左右



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回答者： 110110aAB - 二级?? 2009-11-3 18:33
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* 2回答 10 求小学数学论文一篇，邮箱yuewut57@ 非常谢！！
* 0回答 “浅谈化归法在小学数学中的运用”的论文怎么写，谢谢啦！
* 2回答 哪里有95年渝版小学数学教学论文
* 1回答 题目为简析小学数学的学与教的开题报告 最好有论文
* 2回答 15 求一篇 如何激发小学数学学习积极性 的开题报告，注意是开题报告不是论文
其他回答????共 4 条
就用“小学数学论文 ”名词，在百度搜索，很多论文，可以参考。我也有在那里，快去看看
吧„„
回答者： 芳16妹 - 五级?? 2009-11-3 18:34
在21世纪这个知识信息激增的时代, 传统教育方式将面临着巨大的挑战,要适应新的形势发
展的需求,教学手段及教学方法的改革势在必行。 本文作者在多媒体课件的制作与教学过程中，
进行了有效的整合探索，从教学过程的四个阶段：备课、上 课、课堂作业、课外交流入手，
结合数学教学的特性，对目前一些常用的信息技术在整个教学过程中应用 的效果和发展趋势
进行了探讨。
[关键词] 信息技术；数学； 教学
孔子曰：“知之者不如好之者，好之者不如乐之者。”兴趣是学生学习的动力之一。如何激发
学生的 学习兴趣，唤起学生的主观能动性，这是素质教育的一个重要问题。信息技术（包括
各种应用软件、多媒 体、网络等）在社会上的广泛传播已经不可避免地对传统的教育观念和
教学方法形成了强烈的冲击。从目 前社会发展趋势不难看出，如何将课程体系、教学内容和
教学手段建立在现代化教育技术的平台上，已成 为当前形式下教育改革和发展的一个重要方
向。作为重要基础课之一的数学，为能在有限的课时内，形象 生动的将最精华的内容介绍给
学生，提高课堂的教和学的效率，教师在信息技术上应用能力的提高尤为重 要。下面就我们
在备课、课堂教学、学生的课后学习等几个方面谈谈我的做法和体会，希望能引起同行就 此
课题的讨论，提高我地区学校的基础课教学水平。
—、 利用丰富的电子资源库，优化课堂教学设计
优化课堂设计是提高课堂教学效率的前题，课堂教学设计 是教师在备课的过程中，系统的分
析教学内容，研究教学对象，确定教学目标，选择适当的教学方法和媒 体，设计解决问题的
步骤，分析评价结果的过程。人们常用“一桶水“和“一杯水”的关系来形容教师为 上好一
堂课所应具备的广博知识和丰富内涵。因此我平时注意对互联网上信息的查阅和保存。逐渐
建立自已的资源库。以提高备课效率，增大信息量。
1、电子化的备课笔记
采用计算 机排版的备课笔记，其优点是有利于在教学法中随时根据实际需要增、减和更新授
课内容，同时保证教案 的完整性。并可以更好满足多媒体等现代化教学手段的需要，方便制
作多媒体授课课件。而可通过适当的 排版，在打印稿上可以如传统的备课本一样予留足够空
间用于对授课内容进行适当补充，以及采用不同颜 色进行标记，方便课堂讲授。教案还可以
适当调整后拷贝给学生，使学生在上课时能将主要精力放在听课 而不是记录上，提高教学效
果。此外，也可以适当减轻次年的备课工作量。原则上只需要根据上年的各种 记录及学科的
发展在计算机上适当增加或减少内容即可。

2、丰富多彩的数码影像资料
数学所涉及的常为一些抽象的、描述性的内容 ，按传统方式进行授课学生不易直观理解和接
受。为此我利用空余时间用powerpoint等工具制 作了许多教职工学课件，用图象，影音文件
等资料丰富课件内容，同时，用网上下载一些关于数学的FL ASH小游戏，以便在课堂上让学
生参与互动。
二、 利用多媒体课件辅助教学，突出重点、化解难点，提高课堂教学效率
在教学中，有些重点往往不易突 破，主要原因是少年儿童的生活经验不丰富，观察事物不容
易全面具体。因此教师要采用比较容易使学生 接受的教学过程，达到知识迁移的目的。多媒
体正是具有形声、动画兼备的优点，在创设情境，营造氛围 方面比其他媒体来得更直接、更
有效。例如：教学“三角形全等”这一章时，首先让学生按已知两边和一 夹角画一个三角形，
然后剪下，看是否能重合。而后用电脑出示一些形象的FLASH游戏，例如输入三 角形的夹角
和两边，电脑便会自动生成三角形，输入两次数据后，便得到两个三角形，拖动鼠标，看这< br>两个三角形能否重叠。成功后会得到电脑的夸奖：“真聪明”，同时观察到物体的表面变成了
另一 种颜色。而没有成功的学生会听到电脑的提示：“不要着急，再来一次。”多媒体的这种
设置不仅使做对 的学生得到成功的喜悦也会使做错的学生不气馁从而产生积极寻求正确答案
的意识。
由于已 经创设了激发学生兴趣的情境，在电脑演示之后，教师提出问题一步一步引导学生回
答出三角形全等的含 义，学生会兴趣盎然地讨论、总结，然后归纳。从而使枯燥的概念化为
具体的形象，学生不断会顺理成章 的接受而且很容易就记住了这个概念。这样即调动了学生
的学习兴趣又激发了学生的强烈的参与意识，同 时也达到了教师的教学目
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