描写小白兔的作文-贫困县定向招生

100个小学数学问题（摘自《小学数学研究》，高等教育出版社，第12章）
小学数学教学是一个复杂的系统工程，涉及数学、教育学、心理学、教学环境、教学资
源， 教学组织等诸多方面。其中， 数学内容是核心， 却又往往被忽视。 一般人的印象里，
似乎小学数学人人都能掌握， 不必再研究学习了。 其实不然。 我们这里收集了100个问
题， 其中有的是宏观的思考， 目的是提升小学老师的数学修养；有的则涉及微观的具体细
节，有助于小学教师设计课堂教学， 解答疑难。 对这些问题， 这一章只能作一些简要的
回答。 有些内容涉及过宽， 则需要参考本书的其他各章， 甚至书外的文献。
还要特别说明的是， 有些问题的解答，还有不同的见解和答案。 这里所列的答案，只
是本书编者的一得之见，仅供读者参考，并非“标准”的正确答案。 因此欢迎读者参加讨
论，批评指正。
一． 为什么说“数学是一门关系学”？
大百科全书（数学卷）对数学的定义是：“研究现实世界数量关系和空间形式的科学”。
这就点明了数量 关系是一切数学研究的核心。进一步， 空间形式中， 也有许多关系， 例
如，两条直线的平行、垂直、相交、重合， 就是位置关系。 至于面积、体积的计算， 更
是直接的数量关系。
小学数学中的数量关系主要有三类：
1． 等价关系。 数的相等， 式的恒等， 图形的重合，方程的同解，以及各种各样
的等价类。
2． 顺序关系。 数的大小，位置记数，不等式等。
3． 对应关系。 数的运算关系，函数关系。特别地，自然数的四则运算是两个数和
第三个数之间的对应关系。 表格， 坐标图象， 统计图都是对应关系。
从“关系”上认识数学， 可以居高临下，在数学结构、数学思想、和数学观的高度审
视小学数学。不要说小学数学内容浅显， 它的内容既能和日常生活相联系， 也能在哲学层
面进行思考。

二． 小学数学（1-6年级）和中学阶段数学（7-9年级）的区别和联系是什么？
小学中的整数、小数、分数的运算是一切数学的基础， 当然是中学数学的基础。
小学数学是一个变动着的概念。 许多数学内容， 早年属于中学数学范围， 现在已经
渗透到小学数学范围。 最值得注意的是代数方法、函数思想、随机数学等三个重大数学内
容向小学的渗透。
小学数学中的算术方法， 正和代数方法互相融合。 算术基于“数”的运算， 方程则基
于“式”的运算。小学不能正面研究有文字参与运算的“式”，只能用□○ 这样的符号代替
未知数， 出现 3□ +2 = 14 这样的等式。
小学数学基于“逆运算”的思想求得方程的解， 方法是用同加同乘保持等式成立， 目
的是避免负数运算。

1

函数思想的核心是变量， 以及对应。 小学里多次出现这两个概念， 但是没有明确提
出函数的概念。 小学应该在数学情景和数学思想层面为中学数学提供函数素养。
随机数学， 即基于概率理论的数学， 正在逐渐进入小学。小学和中学在这一领域的
衔接， 还在深入实践与研究之中。
小学的几何教学， 除了一部分传统度量几何学（求面积、体积）之外， 演绎几何的内
容也在渐渐地渗入小学课程。
正确理解和处理小学数学与中学数学只间的相互交融、合理衔接， 是小学数学教学的
重要课题。

三． 小学数学中的数学概念定义都是严密的吗？
不可能都做到严密。小学数学中的定义有以下几类：
首先，有些概念不能定义， 如点， 集合， 线段， 对应等等是原始定义， 自然数1，
2，3„„也是原始的抽象。
第二类概念不用定义， 如关系， 延长，相交，方向， 距离， 交换，结合等等， 照字
面意义理解即可。
第三类是描述性定义， 如图形的面积， 数的相等与大小，都不是严格的定义。
最后一类才是在逻辑上严密的“属和种差”式的定义。如等边 三角形定义为三边都相等
的三角形。
小学数学中的概念，主要是理解其涵义， 能够把握与运用， 不要求外延十分清楚。
以为数学概念的定义越严密越好是不对的。 严谨性必须和学生的年龄特证吻合， 也要和人
的认知规律相适应。

四． 分类都必须“不重不漏”吗？
分类是一个重要的数学思想。 儿童心理学表明， 先有分类， 按类别形成集
合， 然后才能形成运算。分类是数学学习一个起点。
一个流行的说法是“数学分类必须不重不漏”， 这一要求有逻辑上严格性的价值， 但不
能绝对化。
分类可以相重。 例如包含式分类：
自然数⊆整数⊆有理数⊆实数⊆复数
等边三角形⊆ 等腰三角形
分类可以不必“不漏”。 例如三角形分出等边三角形和等腰三角形就够了， 何必来一个
三边都不相等的三角形来？没有什么意义。 再如方程概念， 可以进行部分地分类， 如一
元一次方程， 一元二次方程， 却不可能对所有方程一个不漏地分类。
总之， 套桶样的包含式分类也是常见的， 对一部分对象进行分类也是允许的， 要看
情况进行处理。

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五． 分类：正方形可以看作长方形吗？
由于过分强调“不重不漏”的分类原则， 以及汉语中 “正方的”、“长方的”概念互相排斥
的认识，在小学低年级教材中，正方形不是长方形。
但是， 权威的《辞海》是这样处理的：
[长方形] 见矩形
[矩形] 四个角为直角的四边形。
[正方形] 边长相等的矩形。
这样， 正方形就是特殊的矩形了。 因此， 小学教材要相应地修改。更改一个数学
名词的含义需要一个过程。希望小学数学教材教材能够如下处理：
①








② 正方形与长方形







六． 分类：平行四边形是梯形吗？
类似的问题有，“正方形是不是长方形？” “圆是不是扇形？” “x
2
+ x+1= x
2
+2x-1
是不是二次方程”“平角是角吗？”等等。
这是一个分类的习惯问题。中国的习惯是平行四边形， 不属于梯形。 理由是分类必
须“不重”。 如果用包含式分类， 则答案应该是“平行四边形也是梯形”。
此外，我们还可以遵循一种习惯性的约定：“一类对象中的退化对象仍然属于该类”， 以
便省掉一些无谓的区分。 根据这样的观点， 平行四边形是特殊的梯形， 正方形是特殊的
长方形， 圆是特殊的扇形， 退化的二次方程也是二次方程， 平角也是角。
正方体与长方体
正方体
长方体
矩 形
正方形

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至于通常讨论问题时，专指一般情形，不包括退化情形， 以免逻辑上的混淆。
这种分类习惯， 日常生活中也常见。 例如一般地说“中国人是黄种人”是对的， 但
是， 有些少数民族有白种人成分， 个别加入中国籍的外国人可能不是黄种人“。 特殊情
况需要特殊处理。 如果一味追求逻辑严格， 反而不方便了。
这样的习惯， 是一种约定俗成的人为结果，当然可以改变。 “0 是自然数”是一个
典型的例子。 这里， 没有科学性的正确与否问题。 不必太认真。对这种涉及“习惯的人
为规定”，尤其不宜作为“考题”， 学生答不对就扣分并不合理。

七． 数学证明和其他的证明有什么区别？
证明是说服别人展示某个结论正确性的手段。 证明的种类很多。 如引用名
人的话，历史证明， 举例说明， 调查表明，实验证实，举不出反例等等都是。 严格的数
学证明是指用演绎方法进行的逻辑推理证明。 小学中这样的证明很多， 只不过隐含着而已。
例如因为 2 ×6 = 10，并且 3×4 = 10， 所以2×6= 3×4。
数学证明的特点是保持绝对正确， 其他的证明方法则可能不完全正确， 因而受到人们
的重视。但是， 世界是复杂的，大多数事实不可能用数学方法证明。 而且， 逻辑证明只
能是前提正确之下的推论， 难以产生不同于前提的创新结论， 因而也是有局限的。

八． 为什么不宜要求学生猜想“1毫升= 1立方厘米”？
有一个很优秀的教案， 让学生了解毫升的意义， 体验“毫升”的实际大小。设计得很
好。 但是，其中要求学生“猜想 1毫升 = 1立方厘米”， 未免失当。 因为猜想是指人对
客观规律认识的一个前奏， 而度量衡单位之间的换算， 是人为规定， 并非客观存在的规
律。中国以前也有“升、斗”的度量， 那时的一升并非1立方分米， 1毫升也不等于1立
方厘米的。以后与国际接轨， 才有今天的“升”的大小规定。对于“规定”， 可以谈它的
的合理性，却不需要猜想， 也不能证明，只要遵守就是。正如交通规则， 中国大陆是靠右
边走， 到香港则靠左边走，不必猜想，照办就是。

九． 什么是小学数学教学中的“基本数学活动”？
小学数学的教学目标， 要使得学生掌握基本知识和基本技能， 还要掌握基
本思想方法和基本活动经验。广义地说， 一切数学过程都是数学活动。 包括数学证明，数
学解题， 数学练习都属于数学思维活动。狭义地说， 则是通过对具体事物进行实际的操作、
考察和思考，从感性向理性飞跃时所积淀下来的认识。 例如， 测量、折纸、游戏、比喻、
画图等等都是比较具体的数学活动。
我们应该重视所有的广义数学活动，并在教学中加以组织，但是更提倡那些狭义的数学
活动， 使得学生能够克服数学抽象性带来的理解困难，得到具象的或者实际意境的思考支
撑。

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十． 小学数学中蕴涵着哪些数学思想方法？
数学思想方法的教学， 是中国数学教育的特点之一。通常使用的数学思想方
法有一般的科学思想方法: 归纳、演绎、分析、综合、类比、联想等等。 数学方法有逻辑
化归、数形转换， 变换中的不变量， 等价变换，函数关联等等。 还有一些具体的方法， 如
出入相补，逆向求解， “凑十”计算等等。
数学思想方法的教学，是潜移默化的， 但是有时也要正面点拨。

十一． 现代数学会渗透进小学数学吗？
现代数学的发展一日千里。其中的绝大部分不可能进入小学数学课程。 但是，
信息时代有些重大思想， 会逐步渗入小学数学。 100年前， 函数还是大学教学的内容， 现
在已经大举渗入小学数学课程。 晚近以来， 以计算机技术为代表的信息技术，使得数学中
的算法思想日益显得重要。 算法必将影响小学数学教学。 具体说来， 大数的因数分解和
密码， 数的整除与身份证、书号中的检验码， 都是直接进入小学数学的案例。详见第五章
相关内容。

十二． 小学数学教学中可以使用计算器吗？
计算器进入小学数学课堂, 已经获得普遍公认，但是在具体的做法上世界各国
有所不同。 我国比较一致的意见是在掌握了基本的计 算方法后学习使用计算器计算，即在
低、中年级不允许使用计算器，可以使学生集中精力学好练好基本的 计算技巧，养成一定的
口算、笔算能力。到高年级允许学生使用计算器，有助于学生解决比较复杂的数学 计算，减
轻负担，把主要精力放在思维活动方面。
口算和笔算的顺利达标是使用计算器的前提。 检测的标准可以略高于课程标准的要求，
这样即便有些回落也能保住基本的标准要求。
学习内容
20以内的加减法和表内乘除法口算
三位数以内的加减法
两位数乘两位数
除数是一位数、被除数不超过三位数的除法
速度要求
每分钟8～10题
每分钟2～3题
每分钟1～2题
每分钟1～2题 < br>然后，到了第二学段就可以开始允许学生使用计算器了。为了消除影响计算能力的顾虑，
在学习过 程中需要进行阶段性地监控计算能力：每学期一次计算过关考核。如不合格，则需
要练习。



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十三． 什么是“数感”？
数感是英文Number Sense 的直译，由于21世纪初颁行的《数学课程标准（实验稿）》
使 用该词而在中国流行。Sense的含义不仅是感觉， 而是一种意识和直觉， 专指不经过严
密思考而对数字进行判断的思维活动。比如，面对一种数量关系， 你能区别它是随机现象
还是确定性现象？ 数量之间是等价关系，还是依赖关系， 得到结论的精确度有多高，能否
适合问题的需要？ 对这些问题有一个大体上的直觉的判断， 就是我们需要努力培养的数
感。
数感是一种意识，数感是一种感悟（见史宁中等，以及喻平的文章， 均见《数学教育
学报》）。目前， 我们对数感还没有一个统一的、获得公认的界定。但是， 把数感仅仅理解
为学习“一百万粒米有多大”， “装一百万元人民币的箱子有多大”之类的问题， 恐怕是
一种误解。

十四． 什么是符号感？
符号感是英文Symbol Sense 的中译文。 原文的本意是一种符号意识， 即
善于使用符号表示数学意义的一种直觉性认识。
使用符号并非数学的特征， 中文的方块字也是符号。交通符号， 商标符号， 城市标
志等等更都是常见的。数学符号的特征在于“运算”。 符号和加减乘除、乘方开方， 指数
对数、正弦余弦、微分积分等等运算符号组合在一起， 可以表达非常深刻的内在数量关系。
用符号代表数字，和运算符号一起列成方程， 是运用符号的典型例证。
如果说， 方块字形成的作品， 读出来就明白其中的意思。 那么用数学符号写成的方
程式，只是读出来并不能表达它的含义。 要能够解方程，把极度简洁、十分抽象的符号语
言背后隐藏着深刻的关系揭示出来， 才体现数学的价值。数学家以创造符号和运用符号获
得成功， 不喜欢数学的人们看见符号就头疼， 拿起书看见符号就不买了。
小学数学已经大量使用符号。用数字， 加减乘除， 相等，大于小于， 乃至○□等写成
算式和公式，使得学生习惯、喜欢和善于运用， 乃是数学素养的重要组成部分。

十五． 什么是估算？
估算是指在不需要精确计算的情况下，进行的一种简便的、粗略的计算。估算是一
种数感， 也是一种能力。小学数学中的估算有两类。 一类有关度量衡的体验， 例如
“黑板的面积有多大”， 一本数学教科书有多重？ 一扇门有多高？等与学生的日常生
活有关的体验。至于100万粒米的体积有多大这样的问题， 不必让小学生无体验。 另
一类估算是两数运算的近似算法。例如，“100元买3种生活用品够吗？” 这样的问题，
是一种粗略的心算， 在日常生活中很有用。它的进一步发展是近似计算。

十六． 小学里怎样处理“无限”？

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人能接触到的现实是有限的， 但是人的思维能力是无限的。无限存在于人的
想象之中。能够想象无限是与生俱来的， 儿童也是如此。
小学数学里有许多地方设计无限。 首先， 自然数是无限的， 一个接着一个， 没完没
了。无限循环小数和无限不循环小数， 直接使用“无限”二字， 学生并不难以接受。 至
于使用“无限延长也不相交”来定义直线的平行， 更是用动态的操作体现无限过程。因此，
小学数学无法回避无限。
用基数和序数的方法研究无限集合，没这在小学数学中已经有所体现。 进一步， 我们
使用极限方法来处理无限， 包括0.999„„ = 1 这样的问题。至于判定两条直线是否平行，
直接用“无限延长”是否相交是不行的， 于是运用第三条直线形成同位角， 用有限的同位
角相等作为直线是否平行的判据。
无限是不能用具象的生活现实来表示的。 例如， 数轴是无限的， 但是我们只画有限
的线段， 加一个箭头， 就能表示无限。这是人类思维的能动性所支撑的。

十七． 数射线如何定义？
数射线，又称正半轴， 可以为小学生学习自然数和分数提供直观的几何模型。从几何
直觉可以看到数射线上的点具有顺序， 即 对于数射线上任意两点P、Q，不是P位于Q前，
就是P=Q或Q位于P前。这个排序是可传递的：P位 于Q前，Q位于R前，则P位于R
前。
起点为原点O. 以某单位长在数射线上截取点A，点A 标志1。继续截取单位长度的
线段AB、BC、CD„„的序列。


0
A
B
C
D
E
F
G
得到点A 、B、C、D„„的序列，命名为1，2，3„„。由此形成数射线上的点列与
自然数列之间的一一对应 。
这是自然数的一个几何模型。 数的大小可以用点的顺序加以标记。而且加法和乘法及
它们 的逆运算也可以用数射线上线段的叠加或缩短加以描述。
小学里从自然数扩充到分数（有理数）之后， 也可以标记在数射线上。同样可以描述
分数的大小和运算。

十八． 小学数学中运用数轴（数射线）进行教学的重要性在哪里？
一般认为， 数轴包括负数，是有向的直线。 小学不涉及负数， 所以用半直线， 即
数射线的称呼较好。
用几何线段的长度表示数， 是数与形结合的重要手段。 日常生活中有许多带刻度的
尺， 可以看作数射线的原型。
从自然数到正分数、正小数的扩充， 相当于陆续在数射线填充新的点， 非常直观。 在

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数射线上进行线段的加减乘除， 是半抽象的模型。因此， 应当多加使用。

十九． 数射线要用手电筒作生活原型吗？
半射线是向由原点出发， 向一个线段的右面无限延长的几何图形， 选取单位之后， 正
的有理数就都可以在上面标志出来。 但是，我们实际能画出来的数射线， 只是有限部分：
一点O， 一个指向右方的箭头， 以及单位1。
有个教案认为， 小学生认为“火柴”象射线是错的， 因为它有限。 于是教师拿出手
电筒来， 一束光线从手电筒射向远方， 认为这就是数射线和日常生活相联系。
了解数射线是否要借助手电筒， 是一个值得讨论的问题。 线， 本身是一个想象中的
数学对象：无宽、无厚。 两点间确定线段， 然后向两端无限延长即直线。人们能够感受的
只是有限的直线段， 包括手电筒发出的光线。无限永远存在于想象之中。反倒是“火柴”
很象一根射线， 有起点， 有方向， 符合可以无限延长的想象。
数射线的教学， 不是回归到具象的实体， 而是要培养想象的空间， 以及数学的表示
方法（用有限的表示想象无限）。

二十． 什么是集合？什么是集合论？
集合是一个原始概念， 只能用同义词加以描述，不能使用“属和种差”的方
式严格定义。集合是按照某种特征进行分类的结果， 不能分类， 就不能形成集合。 例如，
年轻人就不是一个集合， 因为哪些人算“年轻”， 无法确定。也就是说， 一个确定的集合，
其外延十分清晰。 一个对象要么属于集合， 要么不属于集合，必须分明， 不可含糊。
集合本来是一个朴素的普通名词。 由于集合有“并、交、差”的运算， 才成为数学
上的专有名词。鉴于集合及其运算的普遍适用性， 成为整个数学的出发点。 数系是在集合
上附加各种结构形成的数学对象。 小学数学虽然没有集合的定义， 但是经常在使用。 自
然数及其运算， 是从集合开始的（见第二章）。
集合论是的国数学家 G. 康托（Cantor，）于１８７２年研究无限集合， 提出无限大
的基数和序数而发展起来的。康托向无限进军，将无限大分成各种层次， 是一项历史功绩。
小学里不涉及无限大的“基数”和“序数”， 因而不涉及集合论。 在本数中使用的也只
是集合语言， 没有到达集合论的高度。

二十一． 基数和序数如何在小学数学教学中体现？
案例1：在教学“2”的认识时，教学2的主题图后，教师 让学生动手：摆2根小棒，
拿出2支铅笔，伸出2个手指，拍手2下等。„„
在教学“3” 的认识时，教师先出示3的主题图（或出示挂图，或使用投影，有条件的
可用电脑软盘）。引导学生观察 图意，并用一问一答的形式引导学生说出：图中有3位工人
阿姨在装配电视机，每人装配1台，共3台。 3位阿姨、3台电视，它们的数量都是3。

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案例2：为了使学 生直观感受到2在3的前面，3在2的后面，2添上1是3，3去掉1
是2，一位教师依据教材，设计了 包含三个层次的教学设计案例：
第一层次：用拨算珠直观感受3和2的关系。教师出示计数器，边说边 在计数器上拨珠，
先拨两个珠子，再拨1个珠子（学生观察教师的拨珠动作），教师提问：“先拨两个珠 子再拨
1个珠子，一共拨了几个珠子？”“3个珠子去掉1个珠子是几个珠子？”
第二层次： 学生动手操作直接体会3和2的关系。教师请全班学生动手：先摆2根小棒，
再添1根小棒。然后观察并 回答“一共摆了几根小棒？”跟着，教师又追问：“2根小棒添
上几根小棒是3根小棒？”
第三层次：摆点子图，使学生明确3以内数的排列顺序是1、2、3。
教师出示磁性黑板，先 摆出1个点子，提问：“这是几个点子？”学生回答后，教师在
1个点子图的下面摆出数1；教师再在1 个点子的右边分别摆出2个点子和3个点子，提问
并在学生回答后，在2个点子图和3个点子图的下面分 别摆出数2和数3。
教师告诉学生：现在这3个数排好了，请一名同学按顺序把这3个数读一读。然后 进一
步提出问：“按照数的顺序，2的后面一个数是几？2添上几是3？”“3的前面一个数是几？3去掉几是2？”
分析：自然数的含义有两种，它可以表示“几个”（基数含义）和“第几个”（ 序数含义）。
这里，案例1主要是教学数的基数含义，但没有给出“基数”这个词，仅仅要求学生知道数
能表示“几个”。同时，蕴含着“一一对应”等思想。
案例2则是进行3以内数的顺序的教学 ，旨在使学生体会“第几个”（序数含义）。更进
一步地，进行8、9、10的教学将涉及数位等思想。

二十二． 用空集构造自然数的冯·诺依曼方法的价值在哪里？
自然数的特征是“一个一个地，不断地“数”出来。在皮亚诺公理中使用“后继”
的运算， 即源于此。 冯·诺依曼从空集开始， 一个一个地构造性地把自然数“作”出
来（见本书第二章第一节），符合人们 的认识过程。它同时也为“０是自然数”提供了支持。

二十三． 自然数的四则运算， 和有限集合的运算有什么关联？
自然数的“加法”运算，相当于集合的不相交的并集运算； 减法运算相当于“集
合对其真子集的‘差’运算；乘法运算相当于集合的笛卡儿乘积运算。这是理解自然 数运算
的关键。 小学数学虽然不出现集合运算的名词， 但实质上就是集合运算。 例如，“一
共多少？”的问句， 其实就是作两个集合的并集。

二十四． 皮亚诺的自然数公理的重要性在哪里？
公理化思想是人类文明的组成部分。 欧几里得的《几何原本》是古希腊数
学的集中体现。 它是用公理方法写成的。中国古代数学有辉煌的成就， 长于计算，但是
ν

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没有使用“公理化”的体系，缺乏演绎推理的理性精神。 因此， 东方文化中需要补上这
一课。 几何的演绎推理在中学几何课程中得到相当的体现。 然而， 数和数系的知识，
同样可以使用公理化的方法进行处理。 这就是第二章第四节所介绍的自然数的皮亚 诺公理
体系。我们同样要学习这种思想方法所提倡的理性思维精神， 作为小学数学教师的必要数
学修养。

二十五． 我们现在有那几种进位制？ 教学中如何处理？
中学里的进位制， 主要是１０进制。 这是因为我们有两只手， 总共１０个手指头。
古代巴比伦人最初以360天为一年，将圆周分为360度。太阳每天运行一度 。圆内接
正六边形的每边都等於圆的半径，每边所对的圆心角恰好等於60°，六十进位制由此而来。< br>如1小时等於60分；1分等於60秒等。时间和角度都要求它们的小数单位具有这样的性质：
使 12、13、14、15、16等都能成为它的整数倍。以160作为单位，就正好具有这个性
质。譬如 ：12等于30个160，13等于20个160，14等于15个160……。这个小数的
进位制在表 示有些数字时很方便。例如常遇到的13，在十进位制里要变成无限小数，但在
这种进位制中就是一个整 数。
12进制来源于一年有12个月。 欧洲在度量衡制度上大量使用12进制。 如12个称为
一打。 一英尺等于12英寸，1英磅=12先令等等， 我国没有采用这种度量衡制度。 不过
我国把一昼夜看作12个时辰。生肖也是12个。天干、地支的记年法实际上也是一种六十进
位制。
历史上中国的重量进位种曾经长期使用16两为一斤的制度， 因而有“半斤八两”的
说法。但是现在已经弃置不用。
电子计算机的设计使用2进制和8进制。这在小学不宜进行教学。
小学数学课程中的进位制， 主要是10进制和60进制（时间的分秒）。12进制偶尔会
碰到（钟面上12个数字）。

二十六． 怎样结合现实生活解释进位制？
数的进制有日常生活的原型。10进制时，用小棒 10个一扎， 10扎一捆，
10捆一把， 就是原型。259 就是位于第2捆、第5扎的第9根小棒。 类似地， 也可以有
8进制的原型。 例如某产品8只一包， 8包一盒， 8盒一箱， 就能把产品都编成号。这
时， 每位数字不能超过8，即不会有 259的数码。 1256号， 就是第1箱第3盒第5包中
的第6号产品。

二十七． 什么是量纲？
数学中的数字都是没有量纲的， 量纲是物理学中的名词。

10

将一个物理量, 用若干个基本量的乘方之积表示出 来的式子，称为该物理量的量纲式，
简称量纲。在国际单位制(I)中，七个基本物理量长度、质量、时 间、电流、热力学温度、
物质的量、 发光强度的量纲符号分别是是L、M、T、I、Q、N和J。按照 国家标准
（GB3101—93），物理量Q的量纲记为dimQ。
例如，速度和加速度，其量纲都是长度与时间两个基本物理量的组合，但速度v = st
中，表示距离s的长度是L的一次方，时间t是T 的负一次方。因此它所对应的量纲是 LT 。
类似地可知， 加速度a = vt= st的量纲是LT 。于是我们从量纲上可以看出这两个物
理量的差异。由此可知，一个物理学等式的两边如果量纲不同， 那么该等式必然有误。
从自然数开始，1，2，3„„，分数， 小数， √2，π等等， 凡是数学中所运算的量
都没有量纲。 当然， 将运算的最后结果， 作为物理量表示时就可以有量纲。例如，汽车
在4分钟内匀速运动了10千米。 当求它的速度v时， 我们作除法运算104= 2.5， 此时
无关量纲。 然后我们说汽车运动的速度是0.25（千米）（分钟）, 这就有量纲了。

二十八． 0 为什么也是自然数？ 教学中要注意什么？
有了0，自然数就有了加法单位元，于是象 2 – 2 这样的运算就可以进行。
况且十进位时， 10 表示十， 就出现0。 因此， 0没是回避不了的。 另外， 从冯·诺依
曼的自然数构造中可知， 空集对应0， 然后由空集逐步构造出自然数来。 中国老子的“道
生一， 一生二， 二生三， 三生万物”。“ 一”之前的这个“道”，正是 0 的位置。详见本
书第二章第二节。
偶数吗？

二十九． 0 是偶数吗？
奇偶数的通俗说法是单双数。 那是对正整数而言的， 单双数的说法中不
含零。当单双数推广到整数时，学术性的名词称为奇偶数。 由于1和 - 1都是奇数， 夹
在它们当中的0， 自然而然地被看成偶数了。这是一种规定，一种合理的规定。

三十． 乘法就是连加， 除法就是连减， 对吗？
乘法的含义大致有三种：①份 数与一份量相乘；②长度×长度＝面积；③倍。除
法的含义则是：①装袋；②平分；③度量。
在自然数范围内， 乘除法是加或减的相同行为的多次重复，即乘法是重复添加，
除法是重复取 走。从运算来看，就是将乘法作为同数连加的简化式而引入，除法是同数
连减的简化。实践证明，这样的 处理是最简单的、最易于儿童接受的。 但是，在自然
数范围之外， 乘除法不能简单地看作连加或连减。例如， 1除以2， 得商0.5, 就不好
说这是 1连减0.5次个2。无理数情形更不可这样说。

2 -2
-1

11

三十一． “1”为什么既不算质数，也不算合数？
1 只有一个因数即本身。因数必成双， 所以 1 不能定义位合数。 如果
把1 当成质数，那么每个整数的质因数分解， 还得把1 算上， 很麻烦。 所以把这一特殊
情况除掉比较方便。 这样做， 都是为了方便而做的规定， 没有特别深奥的含义。

三十二． 质数的个数是有限还是无限？
质数是人类思维的超经验的产物， 在现实生活中找不到质数的原型。 古希腊数学
家研究质数是理性精神的体现。 欧几里得在《几何原本》第九卷中证明了质数有无限
多个的结论。
证明这个结论可以使用反证法。 若质数有限个， 把它们依次乘起来，再加1， 则
这个数一定是质数。详见第三章第一节定理4。
某教参书曾经解释说：“因为自然数的个数 是无限的，所以质数的个数也是无限的”。
这是不正确的。

三十三． 什么是歌德巴赫猜想？进展如何？
1742年德国数学家哥德巴赫（Christian G oldbach，1690－1764）猜想“凡大于4的
偶数都可以表示成两个奇质数的和。”至今没 有得到证明或者反证。 我国陈景润获得迄
今为止最好的结果。 详见第三章第二节附录。

三十四． 3个7相加是写成3×7还是7×3？乘法的写法是算法优先还是语言优先？
7cm+7cm+7cm 用乘法书写时应该怎样写？有两种写法：
7cm+7cm+7cm＝7cm×3, 7+7+7＝7×3 ①
7cm+7cm+7cm＝3×7cm ，7+7+7＝3×7 ② 。
这里的7是基本量 ，3是一个算子（即变换：重复3次）。这个算子是写在前面好还是写
在后面合适？
以往世界上通行写法①：7×3。理由是算法优先， 即它的次序符合以下的算法顺序：
输出
21
变换3


输入7
后来则渐渐倾向于写法②，理由是：和后来的代数写法保持一致。 因为3个x 相加写
成 3x， 而不是 x3， 这个理由很充分。
在20世纪， 中国小学数学教学中一直使用写法①，并认为写法②是错的。
由于自然数系中乘法交换律成立，这样 的做法引起数学家乃至社会认识广泛质疑。进入21
世纪以后， 国家课程标准认为 “3×5 也可以写成5×3”，采取回避矛盾， 不分是非的态
度， 于是又引起争论。
事实上， 乘数（算子）和被乘数（基本量）是应该区分的。由于算术和代数保持一致

12

是大势所趋， 所以采取写法②是合适的。
这里， 还要进一步说明的是：书写次序要符合语言次序， 即语言优先的原则。数学
词汇表达的顺序如果与掌握 的语言顺序一致，有利于学生的学习。因此，既然中国口头语言
说“3个7相加（中国的乘法口诀就是“ 三七二十一）”。那么书写次序也应该是 “3×7，
即3在前，7 在后。
至于有些国家的语言“3个7”是倒装的（先出现7后出现3），则另当别论。。
总之， 乘法是连加而来， 3个7相加应该写成 3 ×7。理由是与代数保持一致以及
语言优先原则。教学中只能先确定一种规范的写法， 至于后来能够写成7×3， 则是乘法
交换律所保证的。

三十五． 3 × 5 为什么可以写成 5 × 3 =？
由于自然数的乘法服从交换律， 才可以这样写。要知道， 并非数学中所
有的乘法都满足交换率， 例如矩阵的乘法是不可交换的。
如果在自然数的公理系统中，乘法是有定义的，那么乘法的交换律就可以从公理出发
加以证明。 如果自然数的乘法是用有限集合的语言举例描述的， 那么交换律也可以举例说
明， 加以解释。详见第二章第一节和第三节。

三十六． 除法怎样定义？
自然数的除法， 一般作为乘法的逆运算加以定义。但是， 也可以直接定义， 象
乘法定义为连加某个数一样， 把除法定义为连减某数， 到不能减为止。剩余数为0， 则
称为除尽；否则称为带余除法。

三十七． 除法的含义是平均分吗？
凡是数的除法， 都是指平均分。 自然数的除法 A 除以B， 就是将A 平
均分为B份。 如果能除尽， 商是自然数， 如果除不尽， 那么商是分数。无论如何， 做
除法运算的目标和手段都是平均分， 至于平均分的结果， 则可能出现分数。例如可以说将
16个苹果平均分给3个人，结果是每人得到163个苹果。
这在无理数情形， 也是如此。两个无理数相除， 意义也是平均分，当然结果可能是有
理数也可能是无理数。 例如 2√2 2， 其商是√2； 而2√2√2， 则其商是2。

三十八． 0为什么不能做除数？
除法是乘法的逆运算, 运算一定要有确定的结果： 商。如果 a÷b = c,
则对给定的 a,b必须有确定的c 作为商， 使得a = b×c。 现在， 如果0 可以做除
数， 即a ÷ 0 = c。 当a ≠ 0时， 对任何的c， 都不能有 a = b×c =0，即此时
不存在商。 若a =0, 则对任意的数c 都能满足a = b×c =0，即没有确定的商。因此，

13

我们规定0 不能作除数。

三十九． 怎样理解倍数？
我国的小学低年级阶段数学教材中，在出现“2的3倍”时， 把其中
的“3”被称为倍数。 例如：飞机厂去年制造了2架大客机，今年制造大客机的架数是去年
的3倍。问今年制造大客机多少架？

去年制造大
客机的架数
算式是 2×3 = 6（架）

×
倍数
=
今年制造大客
机的架数
但在高年级阶段，倍数的定义是：当数a能被数b整除， a就叫做b的倍数，b就叫
做a的约 数。例如6能被2整除，就称6是2的倍数，2是6的约数。更一般地，6÷1.5＝
4， 也称6 是1.5的4倍, 6是 1.5 的倍数； 6是4 的1.5倍， 6 是4的倍数。
这样， 就 产生了前后不一致的弊病。目前的一种建议是，在低年级阶段使用“几的
几倍”，只出“倍”而不出“倍 数”， 使得“倍数”的概念专指高年级时的定义， 并与中学
和以后社会上的普遍用法保持一致。

四十． 自然数乘法的“高位算起”与“低位算起”有何区别？
例如：7 8×6，从低位算起，先算6×8＝48，写8，进4，再算6×7＝42，42＋4＝46。
如果从高 位算起，7×6＝42，先写4，2暂时不写，再算6×8＝48，2与4相加写68。
一般目前的笔 算方法都从低位算起，但实际上作为倡导算法多样的计算改革，应该倡导
不同的起算点，高位算起也作为 一种选择，因为有心理学研究表明，从高位算起的利于学生
计算过程中利用瞬间记忆正确计算。7×6＝ 42，先写4，2暂时不写，再算6×8＝48，2与
4相加在记忆的时空上比起低位算起的方法来说更 为接近。
即便是两位乘两位数，也可以从高位数算起。
如： 67
×35
1835 „„6×3 5×7
51 „„6×5＋3×7
2345
高位算起与低位算起，应该成为不同学生的不同选择。特别第，珠算也是从高位算起的。

四十一． 为什么要强调分数的“商”定义？
从平均分得到分数的份数定义， 比较自然，也符合“几分之几”的称呼。
因而是引入分数的首选。 但是份数定义还停留在“几份”的思考上， 还没有摆脱自然数的
表示。 因此必须尽快过渡到分数的“商”定义。 分数作为商， 显示它是一个“新”的数，

14

它有大小，画在数射线上一般位于两个自然数的中间。因此， 分数的“商”定义才是分数
的本质所在。

四十二． 为什么要把“分数的基本性质”说成等价类？
历来的教科书， 都把一个分数的扩分、约分简单地说成是分数的基本性
质。 这是不够的。等价类是一个重要的数学思想。分数是我们遇到的第一个重要的等价类。
有分类思想， 就能理解等价类， 因此等价类并不难懂。同一个分数， 可以有很多种表示
形式。通分， 就是要在两个分数的特定形式下进行运算。这样的情形在日常生活中也很常
见， 可以进行各种比喻帮助学生理解。详见第四章第三节。

四十三． 学生为什么会认为 12＋13＝25？
首先， 分数的相加等于分子分母分别相加， 体现了人类追求数学简约美、
和谐美的一种愿望。我们不要责备学生， 而要帮助学生认识：表面的美好可能掩盖着内在
的错误。
其次， 分数除了这种“数量加法”之外， 还有一种分数的比例加法，其运算规则就
是分子分母分别相加。 < br>例如：出席会议的人员有5人，其中，男士3人，女士2人。其中，男士、女士中的未
11
，男士中的未成年人占，而出席会议的
23
112112
人员中的未成年人占，即 ，此即+=。
5235
23
112
显然，这里的“加法+”并非有理数四 则运算意义上的加法，这里的、、分别表
235
11
示的是部分占总体的比例，但是， 这里的、 是分别相对于“女士总体”、“男士总体”
23
2
而言的，而是相对于“出 席会议的全体成员”这个总体而言的，它是“女士总体”、“男
5
成年人各有一人。此时，女士 中的未成年人占
士总体”组成的新的总体。由于男士、女士在新的总体中所占的分额不同，因而，不能用 个
体在“部分总体”中所占的比例直接做加法。正确的加法应该是：
12132
×+×=.
2
23
3
23
5亦即，应该加上男士、女士在全体中所占的权重。
当部分所占总体的权重相同时，二者的结果是相 同的。这种加法，不是小学课程中的内
容。详见第四章第四节。

四十四． 为什么理解0.999„„ = 1需要用等价类思想？
主要是因为无限小数如何加减乘除没有定义， 不能对它进行运算。 在数
系扩充历程中， 无限小数是作为有限小数的无穷数列来对待的。 无穷数列的研究要依靠极

15

限理论。 把极限相同的数列看成一个等价类， 才能在逻辑上得到0.999„„ = 1。 详见
第四章第五节。

四十五． 分数是整体和部分的关系吗？
分数是将一个整体平均分之后， 对一个部分进行衡量的结果， 所以分数
能够描述整体和部分的关系。 但是， 这一思考不宜形成难以逾越的定势。 以后， 我们可
以把一个整体的某一部分当作一个新的整体。 此外， 分数的“比”定义则可以看作是部分
与部分的关系。如下图， 我们能够看到分数14，34， 也应该能看到13。 详见第四章
第二节


四十六． 分数有两种加法吗？
分数的加法通常理解为“数量加法”。但是， 分数可以看作分子和分母之比。 作
为比例， 则有比例加法。 例如足球比赛， 主场是2：1， 客场是2：3， 结果是4：4
平。 这就是分数的比例加法。详见第四章第四节。

四十七． 怎样理解分数除法的颠倒相乘？
分数的除法， 运算规则是颠倒相乘。 这是结论。至于它的来源， 需要
说理论证。说理的方法很多， 可以分成几个步骤进行： 除以2， 除以12， 13， 23，
等进行观察思考， 最后得到颠倒相乘的运算规则。
但是， 大多数的成人， 只记得颠倒相乘的规则， 却忘记了说理论证的过
程。这不奇怪。 在日场生活中，知道结论但不记得说理过程的事例很多。 例如， 太阳从
东方升起， 一年有365天，在大陆开车靠右边走， 到香港则靠左边走等等， 都是记得结
论， 却不知道过程的。详细的过程是专家研究的对象。
说理过程帮助理解， 记忆结论便于操作。

四十八． 什么是“比”？
比，是比较的简称。 它既是数学名词， 也是普通名词。 一般地，“比”有以下几种用
法。
1．
2．
一般的质量之“比”。 例如，我们说A比B美观， A 比 B 健康等。
一般的数量之“比”。 例如，我们说A 比B 高2厘米， A 比B 大3岁。 此外，
我们也可以说足球赛的比分是3：0。

16

3．
4．
特定的倍数之“比”。 即指A 是 B 的若干倍， 写成 A ：B， 这时 B 不为0。
广义的除法之“比”。 泛指一切除法中被除者和除者的关系。 这包括“分式”
的情形。 例如我们说“(x+1)(3x -5)”是(x+1)和(3x -5)之比。tanθ是sin
θ 和cosθ之比。
小学数学里， “比“是专有名词， 意为倍数之比。

四十九． 除法、分数、比之间的关系如何？
除法是一种运算， 而运算必须有结果： 商。因此除法涉及被除数、除数、
商三者，缺一不可。
“比”是两个数量之间的一种倍数状态，“比值”则是一个数，是比的前项
除以比的后项的商。
“比”可以脱离“比值”而单独存在。例如， 某班男女学生的比例是
22：23。 它可以计算比值： 22 ÷ 23， 也可以不计算。再如某药品是A，B两种原料按
5 ：3进行混合。 这里只要知道“比”就行了， 并不需要知道比值。
所以“比”和“除法”在概念上是不同的。
但是， 如果计算a : b的“比值”的话， 那么比值就是两个数相除所得的商a ÷ b， 其
大小就是分数ab. 因此，商，比值，分数三为一体。 除法的结果和比值的计算，都是用分
数表示的。

五十． 按比例分配是平均分吗？
显然不是。按比例分配是把一个数量按照一定的比进行分配，是“平均分问
题”的发展。

五十一． 比的后项既然不能为0，为什么体育比赛中出现了‘3 ：0’呢？”
这里的3 ：0，是数量上的一种比较，也称为对比。这种对比， 可以有
比值， 也可以没有比值。 3 ： 0 的对比就没有比值。
小学数学课程里的比， 指“倍数”之比， 这种比都有比值。 如3 ：2表示3是2的
1.5倍。 但是，0 的任意倍都是0， 所以3 ：0不能意味着3是0的多少倍。因此，在倍
数意义下的“比”，要求比的后项不能为0。

五十二． 百分数，百分比，百分率,百分点之间的关系如何？
一个数与100的比叫做百分比，例如： 2100
一个数是另一个数的百分之几，叫做百分率。例如销量增加5％， 指新增加的销量是
原来销量的百分之五。
一个数是另一个数的百分之几，这个“几”叫做百分点。如销量增加5％，也说销量增

17

加了5个百分点；
这些数都统称百分数。

五十三． 小数和分数， 谁先谁后？
小数是特殊的分数。但是， 小数并非在分数理论完善之后才产生的。 它的出现，
是十进制计数向反方向的延伸。学生容易接受小数。 小数可以作为特殊的分数早出现，
然后再推广到一般的分数。

五十四． 小学数学里有算法思想吗？
“算法(Algorithm)”这个词汇，最初是以阿拉伯数学家阿尔·花拉子密(Al- khowarizmi)的名
字来称呼，从印度传到阿拉伯，再传到欧洲的。
现在，这个词汇被扩展成更广的含义而使用。 通俗地说“在解相同类型的计算或问题
的时候， 按照一定的计算方法和步骤总能得到结果的程序”称作算法。
这样的算法，在小学里并不陌生。小学数 学里进行四则运算，要遵守许多计算的规则和
程序。例如，在算式中，要“先乘除、后加减”；如果算式 内有括号，就必须由内向外去括
号；对异分母的两个分数进行加减，则要先通分再求分子的和或差。按这 些规则和程序进行
计算的方法， 就是一种算法。解二元一次方程组时的高斯消去法，珠算的口诀（如“ 二一
添作五”）等等，也是一种算法。
目前的小学数学里不出现算法的正式定义， 但已经渗透着算法思想。 可以
预料，小学里的算法内容今后还会不断加强。

五十五． 可以写 3 ≦ 5 吗？
可以。符号“≦”的意思是“小于或者等于”， 两者有一个成立即可。

五十六． 整数运算的规律，怎样迁移到分数与小数的运算中，需要做怎样的交待？
在整数中发现的一些运算 的定律，当数域扩大的时候，严格地说应该进行重新的证明，
但小学数学中一般不展开严谨的证明。但是 为了对后继学习保持思想的一致，应该在使用规
律之前做一点说明：如乘法交换律也适用于分数和小数的 计算， 可以举例说明： 先分12 再
分其中的13， 和先分13 再分其中的12， 结果一样。画图表示更为清楚。

五十七． 抽屉原理重要吗？
桌上有十个苹果，要把这十个苹果放到九个抽屉里，无论怎样放，有的抽屉可以
放一 个，有的可以放两个，有的可以放五个，但最终我们会发现至少我们可以找到一个抽屉
里面至少放两个苹 果。这一现象就是我们所说的抽屉原理。
抽屉原理的内容简明朴素，易于接受，它在数学问题中有重要的作用。许多有关存在性

18

的证明都可用它来解决。
抽屉原理的一般含义是：
如果每个抽屉代表一个集合，每一个苹果就可以代表一个元素，假如有n＋1或多于n
＋1个元素放到n 个集合中去，其中必定至少有一个集合里至少有两个元素。
抽屉原理有时也被称为鸽巢原理（“如果有 五个鸽子笼，养鸽人养了6只鸽子，那么当
鸽子飞回笼中后，至少有一个笼子中装有2只鸽子”）。它是 德国数学家狄利克雷首先明确的
提出来并用以证明一些数论中的问题，因此，也称为狄利克雷原理。它是 组合数学中一个重
要的原理。
再如，400人中至少有两个人的生日相同。 事实上，将一年 中的366天视为366个抽
屉，400个人看作400个物体，由抽屉原理可以得知：至少有两人的生 日相同。
“数学教人聪明”。这种推论很容易懂， 又有许多应用。 作为一种数学思想
方法， 将来可能渐渐地渗入小学数学。

五十八． 配对与排列组合的关系如何？
配对也是一种数学思想方法。 例如， 3种上装和2条裙子， 有几种配对结果？
答案是6种。 这里的教育作用， 主要是“对应”思想的渗透。 计数的要求不宜太高。
用这种计数方法来计算古典概率，只能在很简单的情形下进行。 低年级小学生很难接
受这种计数方法。


五十九． 小学里为什么要加强直观几何的教学？
义务教育阶段几何课程教学的根本目标在于让学生经历几 何抽象的过程，构建几何
概念，认识基本图形之间的关系，形成空间观念，发展几何直觉，积累几何活动 经验。而这
个过程是随着学生身心的发展而逐步深化的、发展的，依据学生的发展特点分层实施，就变< br>得十分必要，更是数学学习所必需的。
对于小学生来说，小学几何学习的基本前提在于直观的、 零散的生活经验。小学之所以
加强直观几何的教学，一方面，是为了更好地实现小学几何的课程教学目标 ，另一方面，直
观几何、实验几何更贴近学生的现实生活和日常经验，更有利于把空间与图形的学习变成 一
种有趣的、充满想象和富有推理的活动。因而，包括小学在内的整个义务教育阶段的几何课
程 设计的突出特点体现为：
以“立体—平面—立体”为主要线索，强调与学生生活的联系；适当地拓宽活 动领域，
包括图形的认识，图形的变换，图形与位置等方面；以实际操作、测量、简单推理为具体处理方式，强调学生的直观体验（几何课与实际活动课有天然的联系）学习的方法（即“操作”
+“推 理”）；注重发展的空间观念，发展对图形的审美能力；强调几何真理的发现和几何论
证并举，主张建立 在几何直观和丰富几何活动经验基础之上的几何推理的学习。

19

总之，小学几何课程内容的性质实质上是直观几何、实验几何，而不是以往习惯的单纯
几何计算，加强 直观几何的教学是必然趋势。

六十． 小学几何教学怎样运用折纸活动？
正如俄罗斯教育家乌申斯基所说的，“儿童一般要依靠形象、色彩、声音和触觉来
思考的 ”，无论几何的哪部分内容，都需要基于学生已有的几何活动经验和体验。
在小学几何教学中，对于几 何中的结论，多数情况下都能够先让学生通过画图、折纸、
剪纸、度量或做试验等活动，探索、发现几何 的结论，然后再对结论进行说明、解释或论证，
以便为由直观几何到推理几何的过渡做好铺垫。
相对于小学数学教学来说，折纸活动可以运用于如下内容的教学：
（1） 基本概念的引入，例如，角、平行、垂直等概念。
（2） 感受几何变换，特别是轴对称、平移。例如 ，用折纸的方法折或撕出一个轴对
称图形；利用折纸的方法做出互相平行、互相垂直的两条折痕；利用一 反一正
的对折方式，将一张纸对折，使其含三层纸，用剪刀剪出一个图案，使其同时
剪过三层， 打开，相邻的两个图案之间是轴对称关系，而间隔的两个图案之间
是平移关系。
（3） 积累 活动经验。例如，通过折纸活动，感受折痕之间的位置关系，体会将一个
复杂图形分解为几个基本图形， 将一个基本图形分解为基本元素及其基本关系
的过程，积累几何活动经验。

六十一． 怎样证明三角形内角和为180度？
欧几里得《几何原本》命题32是“三角形内 角和等于两个直角”。证明的方法是
在顶点作对边的平行线，然后用平行线的内错角和同位角相等的定理 进行论证。 因此，
它是平行公理的推论。
现在小学里要大家用量角尺度量，因为度量有误差， 所以不可能得出精确的数值
– 180度。但是， 可以看到无论三角形形状怎样， 内角和都稳定在180度左右。 这
种用实验操作的方法加以证实， 也是一种论证真理的途径。 但是， 这不能代替数学
上的逻辑论证。
有一种论证方法如下。 设任意三角形ABC的内角和为x度，在BC上取一点D， 连
AD。 A


B D C
于是， ∠B +∠ADB +∠DAB = x, ∠ADC+∠DAC+∠C = x
因而 ∠A +∠B+∠C +（∠ADC +∠ADB） = 2X

20

∠A +∠B+∠C = x ∠ADC +∠ADB） = 180
故 x = 180度。
这个证明用了三角形内角和是定值的假设， 所以不是严格的证明。

六十二． 圆周率是有理数吗？
1761年， 朗伯（Lambert, J.H）用连分数证明了圆周率是无理数。1882
年， 林德曼（Lindeman, F. vo n）证明圆周率是超越数。2006年，两个日本人高桥(Takahashi)
与金田(Kanada )利用日本东京大学IT中心的电脑算出圆周率的小数位到2位
(约两千亿)。

六十三． 什么是“长度”、“面积”和“体积”？
长度、面积、体积是刻画图形大 小的度量。几何学起源于图形大小的度量。根据图形的
维数，把度量一维图形大小的数称为长度，而将二 维图形的大小用面积来表示，体积则是标
志三维图形大小的数。线段长度是一切度量的出发点。
长度、面积、体积， 是日常生活经验的一部分。在小学数学中，我们只
是求一些几何图形的面积和体积，却没有定义什么是面积和体积。事实上， 不是任何几何
图形都有面积。面积是在一部分几何图形上有定义的集合函数。严格的叙述见本书第八章。

六十四． “出入相补”方法的理论依据是什么？
出入相补原理是我国 古代数学家刘徽的重要成就之一。我国著名数学家吴文俊在研
究包括《海岛算经》在内的刘徽著作的基础 上，把刘徽常用的方法概括为“出入相补原理”。
他指出，这是“我国古代几何学中面积体积理论的结晶 ”。
按照今天的观点来看，刘徽提出的“以盈补虚”、“出入相补”实际上是一种“等积变换”
──平面上保持面积不变的一种变换。
“出入相补”原理，用于图形面积的计算。 我们将一个未知面积图形A， 经过切割、
拼补之后， 化为一个面积已知的图形B。于是将图形B 的面积作为图形A 的面积。 平行
四边形的面积就是通过这种割补方法变成矩形来计算面积的。 这里， 关键的一点是面积的
“运动不变性”， 即割下的图形经过运动之后， 其面积不会改变。 试想， 如果， 图形是
冰作做的， 经过搬动， 融化了， 那就拼不起来了。 因此， 出入相补方法的理论根据是
面积的“运动不变性”。

六十五． 用单位菱形的面积定义sinA 可行吗？
张景中院士建议， 在小学里也可以引入三角比， 特别是正弦。他从正方形
出发，把单位正方形压扁成菱形（菱形的一个锐角是A）。 那么， 菱形的面积变小了。压
得越扁，即角A越小， 面积也小。 于是， 我们把单位正方形面积压成具有锐角A的单位

21

菱形后，面积所打的折扣， 叫做正弦， 记为sin A.
这样， 两边长为a,b的平行四边形的面积是 ab sin A,其中A 是两边的夹
角。于是已知两边a,b夹角为A 的三角形， 其面积是 12 a b sin A。 当引入三角形的
高之后， 也立即知道， sin A 是对边长于斜边长之比。
张景中院士的建议， 具有前瞻性。三角学的重要性，日见其重要。小学里渗透三角学
思想， 并不是不可能的事。

六十六． 通常接触到的对称图形有哪几种？
主要有轴对称和旋转对称两种。轴对称一向受到重视。旋转对称则在近几
年来才进入小学数学课程。旋转180度后能够重合的图形称为中心对称图形。 平行四边形
是中心对称的。
等边三角形有三条对称轴，旋转120度后可与自身重合；
正方形有4条对称轴， 旋转90度后可与自身重合；
五角星形有5条对称轴， 旋转72度后与自身重合。

六十七． “弧度”与“角度”有什么不同？ 取周角的360分之一作为角度的单位，这是角度制。等于半径长的弧所对应的角度作为
1弧度， 于是形成弧度制。“角度”之所以容易被接受，其原因之一是用角测量角“自己”，
而弧度是用长度单位 来测量角，比较难懂。
使用弧度后，度量直线段和度量角度的单位统一起来了。
1弧度= 180 π ≈57 17’44″. 180 相当于π弧度。
在弧度制下， 大家熟悉的 lim sinx x = 1 (x 0) 才能成立。这使得三角函数的求
导公式比较简单，也使得整个微积分计算变得比较和谐。
小学数学课程里， 不包括弧度。但在课外常常会遇到。

六十八． 球的表面积为什么难求？
半径为 r的球， 表面积为 4πr . 这一公式在小学里无法说明。 原因
是球面不是可展曲面， 不能象圆柱面和圆锥面那样展开来求。球体的体积， 可以用许多小
的锥体体积之和来近似（锥体体积是可以计算的）， 然后取极限求得。球面无法用柱面和锥
面来近似， 因此难以求得。现在通行的方法是用圆台表面积加以近似。 详见第八章第二节。
用积分方法求旋转图形面积则更简单。
六十九． 在平面上画立体图形有哪些画法？
在平面上，画立体图形可以有艺术绘画、工程绘画等专业方式。其中 ，艺术绘画是在二
维的平面上描绘出可视的物象立体形态，造成空间映象的真实效果，称之为体积感，又 称立
体感或形体感。工程绘画，则需要在工程图纸上准确无误地描述空间实物的形状和大小。
2
000

22

在小学里，在平面上表示立体图形 ，通常使用斜二侧画法、三视图法、透视画法三种方
法，利用平面图形表示立体图形。
1． 斜二侧图。这种画法比较直观，容易想象。同样大小的两个面， 无论远近， 画出
来也一样大。

2． 三视图。 既将一个立体图形的正视图、侧视图和顶视图画出来， 标注尺寸， 能
够精确描述物体。
3． 透视图。 从一个透视点画出来的景象，近大远小。艺术和建筑学 中常用。附图中
建筑的地面和屋檐等许多条线都交于一点。








七十． 平面图形的反射变换和照镜子的关系怎样？
小学里有平面图形反射的内容。 这是指在同一个平面的两个图形，沿者某直线（对称
轴）折叠过去正好重合。
照镜子， 则是立体的“人”，在镜子里形成平面图象（好象拍照片）。因此两者不是一
回事。
但是， 如果将一张人的照片和照片在镜子里的影象（这是两个平面图形），放在一个平
面上观察， 而且找到一根对称轴， 那么这两张照片就是互相轴对称的图形了。
有人说， 照镜子是上下、前后不变， 左右正好相反。 这只是人站着照镜子的特殊情
况。 首先， 平面图形没有前后。其次， 应该说两个彼此轴对称的图象， 彼此的大小、角
度都不变，但与对称轴垂直的方向相反。


23

小学里介绍轴对称图形的目的， 是了解刚体运动下图形的不变性质。这里对称轴是关
键词。所谓上下， 左右， 是和对称轴有关的。如图的两个直角三角形， 就成了上下方向
相反了。所以笼统地说， 左右方向相反， 而不提对称轴， 不够确切。。

七十一． 小学里为什么要渗透平面坐标的思想？
坐标系是沟通几何学和代数学之间的桥梁。选择原点，架设坐标轴构成平面坐标系， 使
得平面 上物体的位置和一对数构成一一对应关系，就能用代数方法研究几何图形的性质。反
过来， 用几何性质刻画代数问题的本质。
在小学阶段，不出现完整的坐标系概念，但是可以渗透坐标思想。首 先要选择原点，然
后要从原点出发画两条相互垂直的数射线。尽管数射线上只标有自然数， 仍然可以借助具
体例子，用数对（x，y）来表示物体的位置， 或者径直在方格纸上用数对确定位置。
用坐标确定位置以后，就可以计算两个不同位置之间的距离， 并能进行一定的计算。
这样，就初步沟通了数和形之间的联系，为以后正式学习直角坐标系奠定了基础。

七十二． 坐标的核心思想仅仅是确定“位置”吗？
坐标系的功能可以确定物体在平面上的位置，这是小学数学的教学主要目
标之一。 大家知道，地理学要求用经纬线确定地球表面上的位置，这和平面坐标系确定位
置的思想是一致的。
但是， 数学课程中用平面坐标系确定位置仅仅是学习坐标系知识的初步结果。 更重要
的是用坐标来表示几何图形。 例如， 两个坐标一样的点， 形成一条直线（y=x 的图象），
两个坐标都小于或等于10 的点， 构成一个边长为10的正方形等等。

七十三． 方格纸和坐标的关系是怎样的？
小学几何的学习立足在直观几何之上，研 究几何图形的有关性质，获得几何活动经验，
发展几何直观，逐步培养推理的初步意识。
方格 纸是小学生熟知的材料，其中，内含着坐标系的基本思想，只不过，没有明确标出
x、y轴的箭头，而且 ，其单位也是通过一个一个的格子来体现的。应该说，“在方格纸操作”
是坐标思想在小学几何学中的第 一个阶段。
几何变换的教学，主要在方格纸上进行，即沿着平行、垂直于方格纸的两个格的边缘线进行，不涉及直接按斜线方向运动的情形（可以先按照平行方向运动若干个格，在沿着垂直
方向运动 若干个格）。

24

俄罗斯小学数学三年级教材以游戏的形式让学 生初步认识方格纸；在方格纸上初步建立
平面直角坐标系，描述物体的位置（如图1所示）；同一个直角 坐标系中，研究图形变换后
点的坐标的变化（如图2所示）；以及用不同方式确定物体的位置（如图3所 示）。

图1 图2 图3

七十四

频率与统计概率、实验概率、后验概率有怎样的关系？
在一次随机试验中，如果随机事件A在n次重复试验中出现的次数是m，则m与试验
的总次数n 的比值
m
，称为随机事件A出现的频率，记作W（A），m称为随机事件A出
n
现的频数。例如，登记100名出生婴儿的的性别，女婴为48名，则“出生为女婴”的频率
是0.4 8，即W（A）＝0.48，A＝“出生的女婴”。
试验可以重复地继续进行，随机事件的频率W（A ）如能逐渐接近于一个定值，则称
随机事件A是有概率的，A的概率记作P（A），即
P(A) W(A)
。 如新生儿的性别登记，
随着登记次数的不断增大，“出生为女婴”的频率会逐渐向12靠拢。 于是我们就说“出生
为女婴“的概率是12， 男女都一样。
因为P（A）是由统计而来，实验而来，因而称这样的概率为统计概率，实验概率和后
验概率。
由上，频率与统计概率的关系可见一斑。频率是统计概率的前身和基础，概率是频率
变化的结果 反映，揭示变中有不变、偶然中有必然的哲学关系。在n次试验中，频率
m
的
n
大小是不能完全确定的（变），这反映了事件的偶然性和的一面，但只要试验次数充分大时，
频率m
就几乎接近于一个常数（不变），这又反映了事件的必然性的一面。
n

七十五 什么是大数定律？小学教学“可能性”或“可能性大小”时为什么要考虑大
数定律因素？
大数 定律也称“大数法则”。是概率中用来阐明大量随机现象平均结果稳定性的一系列
定理的统称。例如，在 测量中，由于种种原因，每次测得的结果虽不尽相同（即具有偶然性），
但大量重复测得的结果的平均值 却几乎必然接近于确定的值。反复投掷钱币，正面或反面出
现的次数与总次数之比是1／2，是历史上最 早发现的大数法则之一。大数定律的狭义理解，
是指概率论中反映上述规律性的一组定理。
小学教学“可能性”或“可能性大小”时，许多老师采用摸红球（多）、白球（少）的

25

实验时，经常被“白球少反而摸到次数多”的现象的发生而困扰。其实这 是实现大数定律所
要求的条件受限的原因。频率趋近于概率或这个事件发生的可能性大，需要作大量的试 验。
仅仅靠课堂上或讲台上有限的几个学生、几分钟的试验，有时成功，有时会离开理论概率或
想得到的结果很远，不能获得满意的效果。所以，我们往往用计算机软件演示“大量”的实
验结果，教学 效果较好。

七十六 连续丢5次硬币， 都是国徽朝上， 第六次丢时国徽朝下的可能性会变大？
丢硬币是一次随机试验， 每一次丢都是独立的， 与其他各次试验的结果无关。有人
说， 根据大数定律，国徽朝上和朝下的概率都是12，既然前面5次都朝上， 那么第六次
出现朝下才能使得朝上和朝下彼此接近， 都接近12。 可是， 大数定律， 需要成千上万
次的试验， 才能彼此接近， 区区5、6次， 怎么能显示出规律来？
以前有人连生5个女儿， 心想5朵金花之后， 一定是生儿子了。 某彩票中奖号码一
直是大数字， 所以预测下一次一定是小数字了。 这些妄想、妄测都是一相情愿， 毫无科
学根据的。

七十七 什么是数据分析？小学概率统计教学中主要有哪些数据分析观念？与统计
观念有区别吗？
数据 分析是指利用数理统计原理和方法进行数据（信息）的收集、整理和分析，也称统
计分析。2000年版 的小学数学新课标中以及小学教学研究中常提及的“统计观念”就是这
里的“数据分析观念”。在小学中 用“数据分析”替代笼统的“统计”名字，可能更适当些，
修改的新课标中将使用“数据分析”名字。逐 渐建立起数据分析观念，了解随机现象是小学
“统计与概率”教学的基本要求。
数据分析观念 包括：了解在现实生活中有许多问题应当先做调查研究，收集数据，通过
分析作出判断，体会数据中是蕴 涵着信息的；了解对于同样的数据可以有多种分析的方法，
需要根据问题的背景选择合适的方法；通过数 据分析体验随机性，一方面对于同样的事情每
次收集到的数据可能会是不同的，另一方面只要有足够的数 据就可能从中发现规律。

七十八 平均数有哪几种？平常所说的平均数是指哪一种？ < br>平均数是代表一组数据典型水平或集中趋势的量。它能反映频数分布中大量数据向某一
点集中的情 况。是集中量中的一种。平均数有算术平均数、加权平均数、几何平均数、调和
平均数等几种。
由于算术平均数较其他平均数和集中量具有很多优点，而成为所有集中量中最重要、最
有用、最熟知的 统计指标，被简称为平均数、平均值、均值。日常生活中我们所说的平均数、
平均值、均值都是指算术平 均数，其它平均数必须用全称。这是使用上的一种约定。有关算
术平均数的详细内容可参阅本书第十章。

26

加权平均数是不同比重数据（或平均数）的平均数。计算公式 为：
X
w


wx
i1
n
n
i i

i

w
i1
几何平均数是N个数值连乘积的N次方根 。当一个数列的后一个数据是以前一个数据为
基础成比例增长时，要用几何平均数求其平均增长率，适合 于求平均比率和平均发展速度。
计算公式为：
X
g

n
x< br>1
x
2
x
n
。例如，某市某年三所高校学生参加英语四级考 试，他们的
通过率分别是95%、80%和85%，当年该市高校大学生英语四级的平均通过率是：X
g

3
95%80%85%86%
。
调和平 均数是一组数组倒数的算术平均数的倒数，亦称倒数平均数。在教育方面它主要
用来求学习速度、阅读速 度、解题速度等平均速度一般用单位时间内的工作量来表示。计算
公式为
X
H

1
。例如，一个学生做2道数学题，做第一题时的速度折
1111
( )
Nx
1
x
2
x
n
合为每小时8题，做第2题时 速度折合为每小时5题，该生平均每小时解题速度是
11
。
X
H
 2()6.15
（题／小时）
85
一般认为最早提出和使用加权平均数、几何平 均数和调和平均数的是2000多年前的古希
腊数学家毕达哥拉斯（Pythagoras）。

七十九 “去掉一个最高分、去掉一个最低分”的数学含义是什么？
体育比赛、 唱歌比赛等成绩评定中，由于各种原因，成绩中存在一些不合理、不合规
的数据，“去掉一个最高分、去 掉一个最低分”是为了保证最后成绩的真实性、客观性和代
表性，是数据处理的一种统计方法。下面以平 均数计算为例作一说明。
平均数很好，但它易受极大或极小两极端数值的影响。例如，一次青年歌手大 奖赛，
有10个评委给一位选手打的分如下：65，88，89，91，91，92，93，93，93 ，94。假定这
个选手得90分就可以进入下一轮。10个成绩参与计算的平均分是88.9，该选手不 能进入下
一轮；而“去掉一个最高分、去掉一个最低分” 的平均分是91.25，该选手可以进入下一 轮。
考察这10个评委所打的成绩，大多数给予90分以上成绩，显然，“去掉一个最高分、去掉
一个最低分”计算的平均分较前一种更合理、更符合实际。而前者的问题的原因是，一个不
正常的评分 （极小）影响了最后结果，这种防止“一、二个数据决定结果，‘多数’服从‘少
数’”情况发生的方法 和思想是统计学的内容之一。
从统计学的角度看，如果参与平均数计算的数据较多，则去掉的两端数据 还可以更多。
四个数据， 去掉最大和最小量个值之后取平均， 正好是中位数。 6个数据去掉两个最大

27

两个最小之后， 求得的平均数也是中位数。
四分位距就是对排序后的数据列各去掉四分之一数据后，计算得到的一个差异量。

八十 扇形图、条形图和折线图制作对数据有何要求？数据有哪些分类？
不同类型的统计图处理不同类型的数据。小学统计图的学习主要是扇形图、条形图和折
线图。
条形统计图主要用来比较性质相似的间断性（离散性）数据资料；折线统计主要用来
表示连续性 的资料；扇形统计图用来表示间断性资料。小学没有学习但在统计中最为重要的
频数分布直方图主要用于 连续性的资料。
统计的对象是数据。数据是随机变量（事物）的观测值。它用来描述对客观事物观察< br>测量结果的数值。数据按不同的标准有多种分类方法。按数据是否具有连续性可分为间断数
据和连 续数据。间断数据也可称为离散数据，不连续数据。统计数据按观测方法和来源可分
为点计数据和度量数 据。按数据反映的测量水平，可把数据分为称名数据、等级数据、等距
数据、等比数据。对于各类数据详 细叙述可参阅第十章第四节。

八十一 什么是统计量？什么是参数？二者有何关系？
统计量是样本上的数字特征。它是根据实得的样本数据所计算出的能够描述样本数据各
种特征的 数量，是统计得到的量。例如，一个班50名学生中随机抽取20名，统计得到这
20名期末数学考试成 绩的平均分84.5、中位数83、标准差12.1，等等，这些都是统计量。
参数是反映总体上各种 特征的数量。同样有诸如平均分、中位数、标准差，等等。只是
它们是未知的，需要样本统计量，在一定 的可靠度下，估计、推测出来。有时可能是一个与
统计量一致的具体数值，如由20名学生的平均成绩8 4.5估计得到这个班的平均成绩是
84.5；有时可能是一个范围，如99%这个班的平均分在（80 .1,88.9）范围内。由于给出的
数据或范围有一定的概率度，是决策的参考量。
可见， 样本统计量是总体参数之母，统计推断的出发点，总体参数是样本统计量归宿。
用样本推断总体是统计的 基本思想。

八十二 为什么要进行抽样调查？抽样方法有哪些？
在调查研究中 ，绝大部分不可能也没有必要对研究总体中的每个个体逐一进行调研。
一般是从中抽取一部分个体作为研 究样本，应用推断统计方法，从样本的研究结果对总体特
征进行推论。
抽样调查既可以节省人 力及费用，又可以节省时间，提高调查研究的时效性。此外抽
样调查能保证研究结果的准确性。从理论上 说，只有全面调查研究的结果是最准确可靠的。
但是实际上并不尽然，全面调查研究由于被试太多，难免 在研究过程中或整理数据时出现差
错。如果抽样，被试有限，便于整理数据，尤其当被试对象需要一定的 训练时，在一定的被

28

试规模下，主试的训练质量有保证，得到样本数据质量就会提高。
抽样调查以样本的代表性为前提。抽样应遵循随机化原则。
常用的抽样方法有单纯随机抽样、 分层抽样、机械抽样和整群抽样等。其中以单纯随
机抽样为最基本、最常见，也最有用。其它抽样方法往 往要与单纯随机抽样结合才能使用。

八十三 怎样理解“小概率事件”？
小概率事件是指发生的可能性很小（接近于零）的随机事件。教育是一个
复杂而综合性很强的 事件，教育研究可靠性要求不象食品、医药方面那么高，通常约定小于
0.05的概率为小概率，常用到 的小概率有0.05、0.01、0.005、0.001等。
小概率事件发生的可能性尽管很小，但 并非一定不会发生。100万号中只有1个号是
100万元的大奖，百万分之一的小概率，花1元买一号 中大奖是不太可能的，但是并非一定
不会发生。
中100万元的大奖可能发生但是非常偶然的 、特殊的，而非常态的的事件发生了是最
能吸引人的眼球，最能上新闻媒体。中大奖新闻的背后“绝大多 数人没有中奖”常常被遗忘。
概率越小的信息，信息量越大。
有关小概率事件的一些例子还可参阅本书第十章第八节。

八十四 小概率原理在统计检验中有何作用？“万无一失”就是不失吗？
小概率原理是统计检验（统计中的反证 法）的基础和依据。小概率原理是指在一次试
验中，小概率事件几乎不可能发生。
小概率原理 是统计检验（统计中的反证法）的基础和依据。例如，一个学校200人参
加某项考核，达标的标准是不 合格率不超过1%。统计的方法，就是抽一个样本进行检验，
然后进行推断。现在随机抽取5人，发现5 人中有1人是不合格的，你说该校这项考核是否
达标？直觉告诉我们，该校没有达标。那么推断统计是怎 样合理解释的？首先，假设该校达
标，那么200人中至多只有2人不合格，因而从200人抽取5人， 5 人中没有不合格的概率
5
c
198
是
P
5
 0.95
，则5 人中有1 人不合格的概率是至多1－0.95＝0.05,是一个小概率事
c
200
件，小概率原理告诉我们在一次试验中小概率事件几乎不可能发生。但是现在所抽取的 5
人样本中有1 人不合格，小概率发生了，矛盾。矛盾的原因，该校达标的假设是错误的。
由 此证明了我们的直觉：该校没有达标。这种统计决断方法是概率条件下的反证法，小概率
原理是它的根据 ，推断错误的可能性本例是0.05。
一次试验中小概率事件几乎不可能发生。但是也可能发生，“万 无一失”并非绝对，
可能“十万一失”、“百万有一失”，因此在统计测量、推断中要考虑“以防万一” 。象发射“神
舟”飞船这样的工程， 其中的零件的可靠性做到“万无一失”是远远不够的。、


29

八十五 信息量为什么和概率有关？
一个信息， 如果它发生的概率很大， 就没有多少价值， 即没有告诉我们新的信息。 例
如“狗咬人”没有多少信息量， “人咬狗”发生的概率小， 大家就关注， 信息量因而也
大。天天喊“狼来了”， 狼却没有来， 即“狼来了”发生的概率太大， 没有人在意， 信
息量就少了。总之，信息发生的概率越小，信息传播价值就越大。

八十六 概率方法可以求圆周率吗？
18世纪法国的博物学家C·蒲丰和他的投针实验， 可以计算出圆周率。方
法是：在一个平面上，用尺画一组相距为d的平行线；一根长度小于d的针，扔 到画了线
的平面上；如果针与线相交，则该次扔出被认为是有利的，否则则是不利的．
蒲丰惊奇地发现：有利的扔出与不利的扔出两者次数的比，是一个包含π的表示式．如
果针的长度等于d ，那么有利扔出的概率为2π．扔的次数越多，由此能求出越为精确的π
的值．公元1901年，意大利 数学家拉兹瑞尼作了3408次投针，给出π的值为3．1415929——
准确到小数后6位
这个试验的价值在于， 一方面， 我们用确定性数学计算概率， 另一
方面， 又可以用概率试验的方法计算确定性数学问题。

八十七 小学数学里涉及哪些数学模型？
小学里的数学模型，有以下三类：
1． 等式模型。这种等式里的未知数都是一次的， 即线性模型。通常具有a·b
= m, 已知其中两个数值， 求第三者。或者复杂些，在模型a·b +c·d =
e 中， 已知其中4个量求第5个量。
2．
3．


八十八 代数就是“文字代表数”吗？
代数学的西文名称是algebra，是9世纪阿拉伯数学家花拉子米的一部著
作的名称。原意是“还原与对消的科学”。 1853年，李善兰翻译了德·摩根的著作， 称为
《代数学》。代数， 顾名思义， 就是文字代表数。
19世纪上半叶以前的代数学称为初等代数学， 主要内容是方程理论。主要研究某一
方程（组）是否可 解，怎样求出方程所有的根（包括近似根）以及方程的根所具有的各种性
质等。小学和中学里的代数学， 是初等代数学最基本的一部分内容。
方程理论， 不能“用文字代表数”加以概括。所谓用文字代表数，即设某量为x这样
的做法, 只是运用代数方法的第一步。代数思想方法的核心是基于含有x的“式”的运算来
大小模型。 主要是判断数的大小关系， 如 □ + 2 >3, 问□=？
函数模型。 如行程问题中的正比、反比关系等。

30

求得未知数，最后解决数学问题。
此外，小学里使用文字代表数的地方很多。 例如加法交换率写为： a+b = b+a , 虽
然也用文字代表数， 却和代数思想方法没有关系。

八十九 1,1,2; 1,1,2; __,__, __ „„，必须填1,1,2吗？

在小学数学课程内容中，象1，1，2，1，1，2，---，---，--- 这样的填充题，其目的是
为了培养学生探索规律的能力。
这一题目的本意是要求学生填 1，1，2。 当然学生也可以根据自己设定的“规律”填
写，比如，空格上填写“2，2，4”，规律 是每三项一组，指出每两组的和是第三组的值等等。
这种设置，是一种开放性问题， 答案可以有无数种。学生作种种猜想， 可以培养归纳、推
理、猜想的能力。 如果以为只有填1，1，2才对， 其他答案都是错的， 那就不对了。
从数学科学的角度看，1，1，2，1，1，2， ， ， 。其中的空格上填写任意的数字都
有道理。事实上，对于任意的数字a，b，c，可以构造一个多项式函数f(x)=[(x-1) (x-1)
(x-2)]
2
(x-a)(x-b)(x-c)。让这9个数字代入x， 能使f(x)=0。找到这样的f(x), 当然也是一种
规律。因而， a,b,c也是一种答案。

九十 为什么学生能够计算出“船长”年龄？
一个来源于法国的著名问题是“一条船上， 有75头牛， 32头羊， 问
船长几岁？” 这是一道不能做的数学题。但是我国许多小学生都给出答案：牛羊两数相减：
43； 相加 107； 平均数 53.5等等。2007要求922名学生回答此问题，给出年龄的人数占
62％。学生给出答 案的理由是“老师出的题目总是可以做的嘛！” “乘除不行，我就用加减
试试看”，“测试时间快到了，我想空着还不如写上一些答案好”„„
法国数学教育家认为学生会做出答案来是学校把学生越教越笨的表现。学生相信教师给
的题目都是能做 的， 而不相信自己的思考， 是丧失“自信心”的表现。

九十一 小学数学里有“函数关系”吗？
小学数学里含有大量的“函数关系”。
首先，小学数学中的 四则运算，都是一种“二元”对应关系。以加法为例，加数a与被
加数b，相加得到唯一的“和”a+b ,实际上就是二元对应：（a,b） a+b， 即二元函数。
其他的运算也是一样的对应关系。所以 ，小学数学里到处充满着对应，只是我们并不用对应
和函数这样的名词而已。
其次，函数关系 有三种基本的表现方式，即解析式法，表格法，图像法。诸如距离=速
度×时间可以表示为s=vt就是 典型的二元函数关系，而表格法、图像法在小学数学里更是
比比皆是。

31

随着时代的发展，小学数学中的函数观念还会继续有所加强。尽管教学中不必正面出现
函数概念，但是，数量之间的依赖关系以及集合之间的对应关系的观念，都需要有意识地加
以培养。这 一方面是为了实际的需要，另一方面是为后续数学学习打下基础。

九十二 用 〇 代表未知数， 写3○ 就进入代数领域， 对吗？
代数学的一个基本标志是，作为代表未知数的 符号（不管它是什么符号），能与原来
的数字1、2、0.3、
2
等一样参与运算。
3
3○ 已经有符号○和3运算的意思，这标志着离开算术里纯粹的“数”的运算，开始进
入代数的思考。
从算术中的“纯粹的数的运算”到达这一步， 需要克服一些思维障碍。当然，这仅仅
是开始。今后还要继续加强“式”的运算。

九十三 什么是代数式？ 为什么一个式子也是代数式？
代数式由数和表示数的字母经过有 限次加、减、乘、除、乘方和开方等代数运算所得的
式子。例如，ax＋2b，－
2
等 。实际上，3□+ 2○也是代数式。
3
单独的一个数或者一个字母也是代数式。我们不妨这 样想：任何一个单独的字母或者数
都可以看作是这个数字或字母与0加减运算的结果。
这样约定，“数”的运算就是代数式运算的极端特殊情况。这无非是说起来比较方便而
已， 并没有实质的意思。

九十四 什么是“线性”和“非线性”？
线性linea r，指量与量之间按比例、成直线的关系。解析式的表示是指变量都是一次
的。一次函数的图象是直线， 所以也称线性函数。
一次以上的函数， 就是非线性函数。
微积分是研究的函数f(x)， 当然不限于 y =ax 这样的线性函数。 它研究非线性的函
数。 不过， 它在局部可以用切线近似，所以微积分是把非线性函数加以局部线性化。
非线性函数有许多复杂的特性还没有被我们所认识。例如y =λ x(1 –x )（ 0≤x≤1）
这样的二次函数，当λ取不同值的时候，从某个y =x
0
开始进行迭代， 产生的数列x
0，
x
2 , „„
x
1
x
n „„
可能收敛， 可能发散， 可能游荡， 可能象随机数一样不能预测。 显示某种混沌
状态。
非线性数学， 是未来数学研究的主要方向。

九十五 什么是线性空间？
线性空间是一种数学结构。

32

众所周知，凡是“数”，都可以进行加减乘除等四则运算， 在代数结构上构成“域”。 但
是有些对象，只能定义加减， 不能定义乘除， 或者只有乘法， 没有相应的除法。 例如平
面向量全体， 只有加减， 没有乘法（两个向量的数量积是一个数， 不是向量了）和除法。
多项式全体， 可以加减， 也可以乘， 但是任意两个多项式不一定能够相除（即不能保证
能够除尽）。
于是， 数学家注意到， 许多对象有一种共性：他们彼此之间可以加减， 也可以乘一
个数。 这两种运算合称为线性运算。 能够施行这两种运算， 满足一定条件的叫做线性空
间。
过原点的直线全体，即形如y =ax 的函数全体， 他们之间的加减， 乘一个数， 仍然
是y =kx 这样的函数。 所以这是线性空间。 所有过原点的平面， 也能满足线性空间的要
求。
整数， 有理数，实数， 负数， 当然也是线性空间。 进一步，向量全体， 矩阵全体，
多项式全体， [a,b]上的函数全体， 都是线性空间。
线性空间上的数学特性比较简单， 经过19、20世纪的发展， 线性数学已经比较成熟。
大家可以看到的线性方程，线性代数， 线性控制， 线性泛函分析， 都已经得到充分的发
展。大学里普遍开设《线性代数》课程， 是普及线性数学的重要举措。

九十六 什么是分形？
分形（Fractal） 一词，是曼德勃罗（brot）1973年在法兰西学院讲课时首
次创造出来的，其原意具有不规则、支 离破碎等意义。曼德勃罗是想用此词来描述自然界中
传统欧几里德几何学所不能描述的一大类复杂无规则 的几何对象。例如，弯弯曲曲的海岸线、
起伏不平的山脉，粗糙不堪的断面，变幻无常的浮云，九曲回肠 的河流，纵横交错的血管，
令人眼花僚乱的满天繁星等。它们的特点是，极不规则或极不光滑。直观而粗 略地说，这些
对象都是分形。
而分形几何学是一门以非规则几何形态为研究对象的几何学。由 于不规则现象在自然界
是普遍存在的，因此，分形几何又称为描述大自然的几何学。

九十七 什么是拓扑学？
拓扑学是近代发展起来的一个研究连续性现象的数学分支。中文名 称起源于希腊语
Τοπολογία的音译。Topology原意为地貌，于19世纪中期由科学家引 入，当时主要研究的
是出于数学分析的需要而产生的一些几何问题。发展至今，拓扑学主要研究拓扑空间 在拓扑
变换下的不变性质和不变量。
拓扑学是数学中一个重要的、基础的分支。起初它是几何 学的一支，研究几何图形在连
续变形下保持不变的性质(所谓连续变形，形象地说就是允许伸缩和扭曲等 变形，但不许割
断和粘合)；现在已发展成为研究连续性现象的数学分支。由于连续性在数学中的表现方 式

33

与研究方法的多样性，拓扑学又分成研究对象与方法各异的 若干分支。在拓扑学的孕育阶段，
19世纪末，拓扑学已出现点集拓扑学与组合拓扑学两个方向。现在， 前者演化为一般拓扑
学，后者则成为代数拓扑学。后来，又相继出现了微分拓朴学、几何拓扑学等分支。
在数学上，关于哥尼斯堡七桥问题、多面体的欧拉定理、四色问题等都是拓扑学发展史
的重要问 题。

九十八 几何图形的面积小， 周长也小吗？
对于几何图形来说，面积 、周长都是对几何度量的刻画，但是，二者之间并不是呈正比
关系，即面积小的图形，其周长未必小。例 如，
对于一个矩形来说，设其周长是200cm，长a cm，宽b cm，其周长C=2（a+b） ，面积
S=a·b，让（a，b）按照如下顺序变化，观察其面积的变化：
长a
宽b
99
1
98
2
200
196
97
3
200
291
96
4
200
438
95
5
200
475
94
6
200
564
93
7
200
651
92
8
200
736
91
9
200
819
„
„
„
„
周长C
200
面积S
99
由此可见，对于一个图形来说，其面积恒定时，周长可大可小。 同样，对于周长一定的图形，其面积可以非常小，可以几乎为零，例如，对于表格中的
矩形，让其长 a分别取99cm、99.9cm、99.99cm、99.999cm„，而其宽分别取1cm、0.1cm、
0.01cm、0.001cm„，其周长仍是200cm，而其面积却由99cm减为9.99 cm，再减为0.999 cm，
再减为0.0999cm„。
更详尽的内容，参阅第八章第四节。

九十九 有周长无穷大包含有限面积的图形吗？
首先，我们需要明确，图形的周长不仅可以表示外边缘的周长， 也可以表示内边缘的周
长。例如，半径为1、2cm的同心圆构成的圆环，其周长就是由2×1×

(cm)与2×2×

(cm)
共同组成的。
其次，我们可以构造一个这样的图形：
在一个边长为2cm的正三角形中，剪掉其中点三角形，此时，其外周长仍是
2
222


34

2×3=6（cm）， 而其内周长由0增加为1×3=3（cm），其面积由S=
（cm），减少到
S
。 < br>13
93
，即
33
22
4
3
4
继续在出现的正三角形中，剪掉其中点三角形，此时，整个图形的周长又增加了（
3）×3=
1
×
2
9333
（cm），其面积由
S
减少到×< br>S
。
2444
3
，其极限为0，而其周长的外周长不变，但其
4
无限制地继续下去（即只要由正三角形存在，那么就剪掉其中点三角形），于是，我们
得到 一个图形，其面积每次都减少为原来的
内周长每次都增加为原来的

一OO 小学数学如何体现最优化思想？
最优化是一个普通名词。 做任何事情都要“精益求精”， 达到最完美的程度。 数学
上的最优化， 是指在某些约束条件下， 按某种数量指标达到最大或最小的数学活动。
小学里， 也可以有最优化的问题。 例如
三 位顾客同时来到一个油条摊点购买刚出锅的热油条，顾客甲是“单身贵族”，买一个
人吃的油条，全程需 要2分钟；顾客乙是“二人世界”，买两个人吃的油条，全程需要4分
钟；顾客丙是“三口之家”，买三 人吃的油条，全程需要6分钟。三位谁先买、谁后买，大
家等的时间总和最少？
如果仅仅将其 理解为一次加法运算，计算一下、比较一下，就此结束，其数学含义就有
可能被埋没，而其真正含义在于 “统筹优化思想”，其基本结论是排队论的基本原理——在
排队时，买得少得先买、买的多得后买，大家 等的时间总和是最小的。
事实上，三位顾客的购买顺序不同，其等待的时间总和是不同的：
甲乙丙：2+（2+4）+（2+4+6）=2+6+12=20
甲丙乙：2+（2+6）+（2+6+4）=2+8+12=22
乙甲丙：4+（4+2）+（4+2+6）=4+6+12=22
乙丙甲：4+（4+6）+（4+6+2）=4+10+12=26
丙甲乙：6+（6+2）+（6+2+4）=6+8+12=26
丙乙甲：6+（6+4）+（6+4+2）=6+10+12=28
显然，六种情况下以买的 少先买、买的多的后买，时间总和最小，而买的多的先买、买
的少的后买，时间总和最大。
在 此基础上，如果继续设问，还可以进一步提出“在宽带网络上发送电子邮件，在不受
网速限制的前提下， 为什么邮件越小其受阻的可能性越小？”其基本原因在于“网络设计的
一个基本原则是发送邮件小的先行 、发送邮件大的后行，大家在网络上滞留时间总和最小，

35
3
倍，从而，图形的整个周长越来越大，其极限是+

。
2

亦即，网络畅通的可能性越大”。
对于小学生来说，只需要了解“ 任何事情经过精心安排、统筹考虑，常常能找到最优方案”
就可以了。


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