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一、植树问题
1 非封闭线路上的植树问题主要可分为以下三种情形:
⑴如果在非封闭线路的两端都要植树,那么:
株数＝段数＋1＝全长÷株距－1
全长＝株距×(株数－1)
株距＝全长÷(株数－1)
⑵如果在非封闭线路的一端要植树,另一端不要植树,那么:
株数＝段数＝全长÷株距
全长＝株距×株数
株距＝全长÷株数
⑶如果在非封闭线路的两端都不要植树,那么:
株数＝段数－1＝全长÷株距－1
全长＝株距×(株数＋1)
株距＝全长÷(株数＋1)
2 封闭线路上的植树问题的数量关系如下
株数＝段数＝全长÷株距
全长＝株距×株数
株距＝全长÷株数
二、置换问题：
题中有二个未知数，常常把其中一个未知数暂时 当作另一个未知数，然后根据已知条件进行假设性的
运算。其结果往往与条件不符合，再加以适当的调整 ，从而求出结果。
例：一个集邮爱好者买了10分和20分的邮票共100张，总值18元8角。这 个集邮爱好者买这两种
邮票各多少张？
分析：先假定买来的100张邮票全部是20分一张的 ，那么总值应是20×100＝2000（分），比原来
的总值多2000－1880＝120（分）。 而这个多的120分，是把10分一张的看作是20分一张的，每张
多算20－10＝10（分），如此 可以求出10分一张的有多少张。
列式：（2000－1880）÷（20－10） ＝120÷10 ＝12（张）→10分一张的张数
100－12＝88（张）→20分一张的张数 或是先求出20分一张的张数，再求出10分一张的张数，方法
同上，注意总值比原来的总值少。
三、盈亏问题（盈不足问题）：
题目中往往有两种分配方案，每种分配方案的结果会出现多（ 盈）或少（亏）的情况，通常把这类问
题，叫做盈亏问题（也叫做盈不足问题）。解答这类问题时，应该 先将两种分配方案进行比较，求出
由于每份数的变化所引起的余数的变化，从中求出参加分配的总份数， 然后根据题意，求出被分配物
品的数量。其计算方法是：
当一次有余数，另一次不足时： 每份数＝（余数＋不足数）÷两次每份数的差
当两次都有余数时： 总份数＝（较大余数－较小数）÷两次每份数的差
当两次都不足时： 总份数＝（较大不足数－较小不足数）÷两次每份数的差
例1、解放军某部的一个班，参加植树造林 活动。如果每人栽5棵树苗，还剩下14棵树苗；如果每
人栽7棵，就差4棵树苗。求这个班有多少人？ 一共有多少棵树苗
分析：由条件可知，这道题属第一种情况。 列式：（14＋4）÷（7－5） ＝18÷2 ＝ 9（人）
5×9＋14 ＝45＋14 ＝59（棵） 或：7×9－4 ＝63－4 ＝59（棵）
答：这个班有9人，一共有树苗59棵。
例2、学校把一些 彩色铅笔分给美术组的同学，如果每人分给五枝，则剩下45枝，如果每人分给7
枝，则剩下3枝。求美 术组有多少同学？彩色铅笔共有几枝？

（45—3）÷（7－5）＝21（人） 21×5＋45＝150（枝）答：略。
四、年龄问题：
年龄问题的主要特点是两人的年龄差不变，而倍数差却发生变化。
常用的计算公式是：
成倍时小的年龄＝大小年龄之差÷（倍数－1）
几年前的年龄＝小的现年－成倍数时小的年龄
几年后的年龄＝成倍时小的年龄－小的现在年龄
例父亲今年54岁，儿子今年12岁。几年后父亲的年龄是儿子年龄的4倍？
（54－12）÷（4－1） ＝42÷3 ＝14（岁）→儿子几年后的年龄
14－12＝2（年）→2年后
答：2年后父亲的年龄是儿子的4倍。
例2、父亲今年的年龄是54岁，儿子今年有12岁。几年前父亲的年龄是儿子年龄的7倍？
（54－12）÷（7－1） ＝42÷6＝7（岁）→儿子几年前的年龄
12－7＝5（年）→5年前
答：5年前父亲的年龄是儿子的7倍。
例3、王 刚父母今年的年龄和是148岁，父亲年龄的3倍与母亲年龄的差比年龄和多4岁。王刚父母
亲今年的年 龄各是多少岁？
（148×2＋4）÷（3＋1） ＝300÷4 ＝75（岁）→父亲的年龄
148－75＝73（岁）→母亲的年龄
答：王刚的父亲今年75岁，母亲今年73岁。
或：（148＋2）÷2 ＝150÷2 ＝75（岁） 75－2＝73（岁）
五、鸡兔同笼问题：
已知鸡兔的总只数和总足数，求鸡兔各有多少只的一类应用题，叫做鸡兔 问题，也叫“龟鹤问题”、
“置换问题”。
一般先假设都是鸡（或兔），然后以兔（或鸡）置换鸡（或兔）。常用的基本公式有：
（总足数－鸡足数×总只数）÷每只鸡兔足数的差＝兔数
（兔足数×总只数－总足数）÷每只鸡兔足数的差＝鸡数
例：鸡兔同笼共有24只。有64条腿。求笼中的鸡和兔各有多少只？
（64－2×24）÷（4－2） ＝（64－48）÷（4－2）＝16 ÷2 ＝8（只）→兔的只数
24－8＝16（只）→鸡的只数
答：笼中的兔有8只，鸡有16只。
六、牛吃草问题（船漏水问题）：
若干头牛在一片有限范围内的草地上吃草。牛一边吃草，草 地上一边长草。当增加（或减少）牛的数
量时，这片草地上的草经过多少时间就刚好吃完呢？
例1、一片草地，可供15头牛吃10天，而供25头牛吃，可吃5天。如果青草每天生长速度一样，
那么这片草地若供10头牛吃，可以吃几天？
分析：一般把1头牛每天的吃草量看作每份数，那么1 5头牛吃10天，其中就有草地上原有的草，加
上这片草地10天长出草，以下类推……其中可以发现2 5头牛5天的吃草量比15头牛10天的吃草量
要少。原因是因为其一，用的时间少；其二，对应的长出 来的草也少。这个差就是这片草地5天长出
来的草。每天长出来的草可供5头牛吃一天。如此当供10牛 吃时，拿出5头牛专门吃每天长出来的
草，余下的牛吃草地上原有的草。
（15×10－25×5）÷（10－5）＝（150－125）÷（10－5） ＝25÷5 ＝5（头）→可供5头牛吃一
天。
150－10×5 ＝150－50 ＝100（头）→草地上原有的草可供100头牛吃一天
100÷（10－5） ＝100÷5 ＝20（天）
答：若供10头牛吃，可以吃20天。

例2、一口井匀速往上涌水，用4部抽水机100分钟可以抽干；若用6部同样的抽水机则50分钟可
以抽干。现在用7部同样的抽水机，多少分钟可以抽干这口井里的水？
（100×4－50×6）÷ （100－50）＝（400－300）÷（100－50）＝100÷50 ＝2
400－100×2 ＝400－200＝200
200÷（7－2）＝200÷5 ＝40（分）
答：用7部同样的抽水机，40分钟可以抽干这口井里的水。
七、相遇问题
相遇路程＝速度和×相遇时间
相遇时间＝相遇路程÷速度和
速度和＝相遇路程÷相遇时间
八、追及问题
小学数学知识归纳总结

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
加减乘除
整除
分数
质数、公倍数、公约数
一些图形的性质
计算简单图形的周长和面积
单位换算
简单的应用题：相遇问题
数学教师资格面试“试讲”必备亮点
在教师资格考试中，作为最能体现考生教育教学实践能力的“试讲”，一直以来都是考官考
查的重点环节 ，也是面试得分的关键环节。如何能高分拿下面试，第一步要实现的就是让“试讲”
在细节处凸显亮点。 如何设计有亮点的数学课堂?通过本文，你将找到答案!
一场优质的“试讲”，是集全面性、严谨性、 趣味性、巧妙性为一体的“微课堂”，而我们
所说的亮点正是巧妙地将全面、准确、趣味四者整合在一起 的技巧。
一、全面性
首先，知识讲解的全面性。需要分别备考小、初、高各学段的考生们在 备考时对各学段的知
识全面回顾，掌握知识的分布脉络、教学目标、教学重点等内容。比如初中数学的“ 勾股定理”，
需讲解定理的由来、内容、证明，重点讲解面积法的证明推理。
其次，教学环节 不缺不漏。每一堂课都应该包含四大部分：导入铺垫、讲授新知识、巩固应
用新知和后顾小结加作业，而 每一部分具体分为几个环节或用什么方式方法来实现则是因人而
异。例如讲授新知识部分，可以分为初步 提出概念和深化讲解概念重点两个环节。
最后，关注每一个不同层次的学生。每个班里，学生的学习情 况都参差不齐。老师在讲授知
识时，无论是问题的设置还是同学们的参与，关注到全体学生。比如在提出 问题时，有学生能回
答，有学生回答不出来，教师加以引导最终帮助不懂的学生理解知识。

二、严谨性
数学教学内容的严谨性，体现在内容的科学性、发展学生的逻辑思 维能力、合理预估学生接
受能力。考生在讲解数学知识中相关的概念、法则、定律、算法、因果关系等内 容要做到准确性。
还得保证教学语言的准确性，不能含混不清、模棱两可，需要将文字语言、图画语言、 符号语言
相结合保证对数字的概念、算式的意义等知识讲解清晰易懂。就好比高中数学二面角的概念：从
一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，而非“两个半平面所组成的图形”。小学
数学分数除法的运算法则：一个分数除以一个不为零的数等于分数乘这个数的倒数，不能漏掉“不
为零” 。
三、趣味性
着名教育家陈鹤琴先生说过“教人未见意趣，必不乐学”，在教学时应多从学 生的情感体验
出发，从教学方法、教学过程这两大板块下功夫，设计趣味性的数学课堂。
教学 方法：在教学过程中，以学生为主体。在选取教学方法时应采取灵活多样的教学方法。
有讲解法、谈论法 、演示法、实验法、练习法、小组教学法、情境教学法、游戏法、任务驱动法
等。一般来说，建议一节课 中选取3~4种方法相结合的开展教学活动。在小学数学教学中，建议
选取讲解法、情境教学法、实验法 、游戏法等方法。在初高中的教学中，建议选取讲解法、练习
法、小组教学法、任务驱动法等方法。 < br>教学过程：在教学过程中，应注重突出重点，条理清晰，紧凑合理。各项活动的安排也注重
互动、 交流，最大限度的调动学生课堂的积极性、主动性，分为导入新课—新课教学—巩固提高
—小结作业这四 大部分。①导入新课应注重针对性、启发性、简洁性、直观性、趣味性，可以选
直接导入、温故知新导入 、生活实例导入、设置疑问导入、实验导入、游戏导入等方法。比如小
学、初中的内容与生活相关性较大 ，像各类数、三角形、方程解决实际问题等，可多采取生活实
例、设置疑问、实验、游戏等方法。高中知 识偏理论化，比如函数、算法、圆锥曲线等，可多采
取直接、温故知新、设置疑问等方法;②新课教学则 应该注重讲解知识时思路清晰且节奏恰当、
突出重点及突破难点、合理设置多样化的互动、对学生的表现 多样评价，以上的这些都是缺一不
可的。互动的方式可以有小组讨论、动手实验、任务解决等;③巩固提 高应注重需要记忆、理解、
掌握的知识点利用解决问题或开展活动等方式来检验学生对于本节课知识的掌 握情况，比如小组
竞赛、游戏等;④小结作业则要注意采取总结式、承前启后式、悬念式、对比式等方式 让学生多
反馈他们对于知识的吸收情况，而作业则多建议以活动、口头作业等非书面的作业为主。 综上所述，要想高分拿下教师资格面试的试讲环节，既需要对知识有一个全面的把握，又要
对教学设 计部分设计得灵活多样，还得将你的无生课堂演绎的活灵活现。活灵活现的呈现课堂，
需要将你的语言、 表情、动作、眼神等方面协调演绎。语言得注意规范、表达清晰、音量适中、
快慢适度、抑扬顿挫、表现 力强;表情注意保持你的笑容，提出问题时疑惑的表情、表扬学生时
喜悦的表情等等，都应该演绎到位; 动作方面，无论是站立、行走、手势等方面都应该大方得体;
眼神方面则应多平视、环视，多与考官有眼 神交流。总的一句话，你不仅得内在有知识，外在还

能演的像。向考官呈现出你最好教学 的水平。希望通过本篇文章，能为广大备考中小学教师资格
证的考生们针对教学设计题有一个更好的把握 。