表示数”的引出奠定了积极而充分的情感基础。这个过程既
是新知识的学习过程，更是学 生由原有的算术思维水平不断
向代数思维水平迈进的过程。孩子们在一句句诵读儿歌的过
程中， 完成了思维水平的提升，完成了从数的具体到字母抽
象的过渡。 从数字运算到字母运算。在此过程中，教师要紧
紧把握好符号意识。
绝大多数学生，经历认 识上的这个过渡时，都不会自然而
然、简简单单就完成的。需要教师精心地设计活动，让每个
学 生都有机会经历，有机会感悟，才可能慢慢地完成从算术
思维向代数思维的过渡。
的确，小 学生在相当长的时间里是以算术思维为主的，但
伴随着学习的不断深入，从算术思维过渡到代数思维是每 一
个学生必须面对的。这个飞跃对于大多数学生而言都会存在
不同程度的困难，都将是一次挑战 。这个过渡是个过程，而
且这个过程的长短对不同的学生而言也会存在差异，教师在
教学中首先 应重视对学生代数思维的培养。应对不同的学生
给予不同的关注和辅导，允许一部分学生在经历一段时间 的
学习和积累渐渐达到要求，完成过渡。与此同时，教师还应
着眼于学生的发展，整体把握目标 的达成。也就是说，“字
母表示数”及“方程”相关内容的学习是在第二学段高年级
出现的，但 对学生代数思维的培养，不一定也不应该等到这
..

个时候才开始。在前面的 很多内容教学中应该有意识地孕伏，
让学生有机会在不同内容的学习中“找感觉”，积累经验，
不断地为完成好认识上的重要飞跃打基础。
3．在低、中年级孕伏代数思维
这是北京小 学杜雪飞老师执教的“找算式中的数朋友”一
课。这是二年级“表内除法”单元中的练习课，源于对教材
中的一道练习题。
既然学生从算术思维向代数思维过渡需要孕伏，那么这样
的孕伏 就不能，也不应该仅仅是高年级老师的教学任务。各
年段的教师都应该善于捕捉恰当的内容，善于寻找恰 当的时
机，选择恰当的方式，及时训练代数思维，让学生在活动中
有所感，有所悟。本课内容的 开发，便抓住了学生认知中的
这个困难点，通过一系列活动使之变得形象，易于学生接受。
可以说，在相当长的时间里，对于很多学生而言“ = ”
更像一个从左向右的单方向箭头（ ），因为算式总是先
知道数据和符号，通过运算得出结果。今天这节练习课中，
杜老师将为学生 们创造“倒着想”的机会，把“逆向”思考
作为突破口，让“ = ”在孩子们的头脑中变成“双向”的 。
这是对等式左右两边“相等”关系的更深入的理解，同时也
是孩子们迈向代数思维的重要启蒙 。这是教师在低年级教学
..

中为学生长远发展奠定基础的有益尝试。 < br>长期以来，在小学阶段教学简易方程，方程变形即解方程
的主要依据是四则运算各部分间的关系。 而新课程标准指导
下的教材中更强调了“等式性质”的教学，这样设计的意义
又是什么呢？
这是一个老师们普遍存在的问题。其实，如果仅以“解方
程”为目标的话，也能用四则运算各部 分关系及等式性质都
是可以的，也就是都能够让学生顺利地找到方程的解，进而
解决实际问题。 但运用四则运算各部分关系的思路实际上是
用算术思路求未知数。这样的教学利用了学生已有的知识，< br>因而易于理解，但是却不易与中学的教学衔接，也不易于学
生更好地代数思维的形成。根据《标准 》的要求，从小学起
就引入等式的基本性质，并以此为基础导出解方程的方法。
不仅有利于加强 中小学数学教学的衔接，而且有利于学生逻
辑思维能力的发展，为今后学生更好地把握方程的实质奠定< br>基础。总的来说，在小学阶段，只要达到能用方程表示简单
情境中的等量关系（如 3x+2 ＝ 5 ， 2x-x ＝ 3 ），了解
方程的作用，了解等式的性质，能用等式的性质解简单的方
程。并在这个过程中，了解等量关系、方程、等式与方程的
解等与方程有关的常识，以及解简单方程的 方法。对于方程
作为刻画现实情境中数量关系，沟通已知数和未知数的一种
..

数学模型提供了一些素材，留下了初步的印象；进而通过解
方程求得未知数的值，对实际问题 做出合理解答，初步领会
方程的意义。
在教学这部分内容时，教师首先要把握好内容的定位 ，正
确理解它的意义。不能仅仅把“方程”当作知识点，把“解
方程”和“列方程解决问题”当 作技能，仅为达成知识目标，
心中要装着学生在数学学习中的长远发展，以不同的形式、
在不同 的年段为学生代数思维的建立创造空间，以丰富而有
层次的活动帮助学生顺利地完成认识上的飞跃。总之 就是教
师的心中要装着“知识技能”、“数学思考”、“问题解决”
和“情感态度”四维目标。
二、 在正、反比例教学中体现函数思想
在六年级的教学内容中正比例和反比例一直是一个 重要
的内容，这部分内容同样肩负了帮助学生完成一次认识上飞
跃的重要任务。学生将从大量对 “常量”的认识经验中逐步
过渡到认识“变量”，这是函数思想渗透的重要契机。
1．正、反比例教学的目标
在课标中，对这部分内容的要求是：
• 在实际情境中理解比及按比例分配的含义，并能解决
..

简单的问题。
• 通过具体情境，认识成正比例的量和成反比例的量。
• 会根据给出的有正比例关系的数据在方格纸上画图，
并会根据其中一个量的值估计另一个量的值。
• 能找出生活中成正比例和成反比例关系量的实例，并
进行交流。
从“数与代 数”内容的发展来看，本质上可以从两个角度
理解：第一，从数的扩充角度，从常量到变量；第二，从关
系的角度，从数量关系到等量、不等、变化关系。
2. 在教学中渗透函数思想
在有关正反比例的教学中，我们常说要渗透函数思想，但
“函数”并不是小学的学习内容，那在小学学 习正比例和反
比例的价值是什么呢？
函数是一种具有普遍意义的数学模型，在分析和解决一 些
实际问题中有着广泛的应用。函数是“数与代数”的重要内
容，也是义务教育阶段学生比较难 理解和掌握的数学概念之
一，本标准在三个学段中均安排了与函数相关联的内容目标，
希望学生 能够逐渐加深对函数的理解。因此，教材对函数内
..

容的编排应体现螺旋上升的原则，分阶段逐渐深化。
在第二学段中，引入正比例与反比例，它们 是一类常用
的数量关系，这部分内容的学习是函数思想在小学的体现。
在现实中，有许多数 量关系可以表示为成正比例的量和成
反比例的量，其本质是两个量按一定的比例关系发生变化。 如果一个量增加（减少），另一个量按一定的比例增加（减
少），两个量是成正比例的量；如果一个 量增加（减少），
另一个量按一定的比例减少（增加），两个量是成反比例的
量、如果分别用 X 和 Y 表示两个量，前者可以表示成
Y=aX(a>0); 后者可以表示成 Y=aX ，或 XY=a(a>0) 。
正比例和反比例的关系本质上是函数关系，小学阶段并不
出现函数 的概念，但要让学生感知两个量之间的关系。一是
使学生对数量关系的认识和理解更加丰富，二是为第三 学段
进一步学习正比例函数和反比例函数，以及学习一般的函数
知识做准备。教学中应与实际情 境紧密联系，用学生可以理
解的具体的方式呈现这些内容，引导学生从数量关系的角度，
以及两 个量之间变化的规律的角度来理解并掌握这个内容。
3．图像在正、反比例教学中的价值
学生对“正反比例”的学习，就是从简单的数量关系过渡
..

到对“ 变化关系”的认识和学习。与以往的教材和教学要求
相比，在方格纸上画图是个新的要求，教材中也出现 了“正
比例”及“反比例”的图像，它的价值是什么？教师该如何
发挥好“图像”的作用，更好 地体现和渗透函数思想呢？
下面结合具体的案例来回答这个问题。北京实验一小 郭
雯砚 老师执教的《成正比例的量》，这节课上 郭 老师紧紧
抓住了“图像”作为帮助学生认识和理解正比例的重要素材。
郭老师在学生根据表 格、算式等熟悉的方式表示出正比例
关系之后，教师地引出了“图像”，把它作为新朋友非常隆
重介绍给了学生。让学生通过初步的猜想和分析，对图像有
初步的感知，为后面深入而细致的探究奠定了 基础。
的确，正比例教学是从常量数学到变量数学学习的启蒙阶
段；图像教学能够直观地呈 现两个变量之间的相依关系，使
学生加深对正比例意义的理解。通过此课的教学，可以渗透
函数 思想，促进中小衔接，能够为学生今后的学习奠定基础。
因为学生有折线统计图的学习基础，描点连 线对学生而言
并不困难，可以自然地迁移。因此，在课堂上让学生认识正
比例图像是有认知基础 的。但同时也会存在困难，例如，该
不该从 0 开始画呢？这个学生在学习正比例图像是普遍存
在的问题，这个问题对于学生理解正比例有怎样的意义呢？
..

让我们带着这个问题看看当时课堂上的情况吧。
可以看出，课堂上 虽然学生能画出图像，但他们大都是
依据画折线统计图时的经验，这其实是错误的。在教学中， 郭 < br>老师及时抓住了学生生成的问题，逐步进行深入的剖析，使
学生明确这条直线是由无数个处在同一 条直线上的点形成
的。
从刚才的教学片段来看， 学生在探究的过程中，虽然会
描 点连线，甚至能找到变化规律，但是并没能够顺利地有在
图像、表格和规律之间建立有机的联系。对于数 学的认识还
是比较孤立，比较静止的，缺乏运动的观点和变量的意识。
这正是函数的核心所在， 是引导学生深入理解正比例关系的
要害所在，也正是发挥 “图像”作用的重要契机。课堂上，
郭老师准确而巧妙地捕捉到了这一点，借助直观的课件，帮
助学生进一步展开了分析，对图像的补充过程 ，恰恰是学生
对正比例关系认识的完善过程。
函数有三种数学表示方法：表格、关系式和图 像，这就是
人们通常所说的函数的多重表示。多重表示的方法不仅可以
加强概念的理解，也是解 决问题的重要策略。图像对于理解
变量之间的关系具有十分重要的意义，函数关系用图像来表
示 ，以其直观性有着其他表示方式所不能替代的作用，它是
“看见”两种量之间的关系和变化情况的途径之 一。学生在
..

现阶段学习正比例图像，是十分困难的，这是他们第一次接< br>触函数图像。在学习的过程中，重在让学生认识图像，感受
图像的作用、价值和美，为将来继续学 习函数和图像做好心
理准备。
看来在课堂上发挥好“图像”的作用，可以有效地帮助学生更加深入地理解概念，感受变化关系，悄然地就实现了对
函数思想的感悟。这一观点，在郭老师设 计的这节课后面的
练习中仍有很好的体现。
这幅图像反应的是我们学校给住宿的同学买苹果的情况。
给出数据和具体的情境。

给出数据后，你又能从图中发现哪些信息？（ 12 千克苹
果 48 元。）
你怎么看出来的？
生 1 ：从横轴上找到 12 千克 ，向上找到直线上对应的
点，再向左找到纵轴上的值。
生 2 ：还能看出 40 元可以买 10 千克 苹果。
..

生 3 ：还有每千克苹果 4 元。
学校又买来一些香蕉，哪个更贵呢？

学生觉得两幅图像分开画不太容易观察，利用电脑把两个
图像合在一起。

这时，学生都认为香蕉更贵，表示香蕉购买情况的这条直
线更陡一些。
为什么直线越陡，价格就越贵？
生 1 ：同样的数量，比如都是 6 千克 ，从横轴上 6 千
克 的位置向上看，香蕉的黄线在苹果的上面，说明香蕉的总
价比苹果的多，所以香蕉更贵。
生 2 ：同样的总价，比如都是 40 元，向右看可以买 10
..

千克 香蕉或 12 千克 苹果，买的苹果比香蕉多，所以香蕉
比苹果贵。
如果还买了一些橙子，我们已经知道橙子的价格比苹果还
贵，你觉得这条直线应该画在哪里？ ( 画在香蕉的上面。 )
由此可以看出，图像已经成为了学生分析变化关系，理解
变化关 系，呈现变化关系的重要工具了。的确，图像让抽象
的变化关系变得直观，变得让学生有更容易有“感觉 ”了。
这是学生第一次接触函数图像，在此之前他们甚至都没有
见过图像，不知道图像是什 么样的。教师应在这部分内容的
教学中，大胆地为学生设计猜想、探究、实验和验证的活动，
让 学生有机会将已有的旧知识与新形式建立联系，在图像的
观察、绘制和分析中丰富对变化的认识，让零散 的连起来，
让静止的动起来，让具体数变得抽象起来，这个过程就是函
数思想渗透的重要过程。
看来多维教学目标的达成离不开教师对数学核心概念有
清晰的认识和准确的把握，这就需要教师 对教学中每个内容
有深入的分析，挖掘其背后的价值，为学生长远发展奠定重
要的基础。
三、问题解决：从解题到建模
..

对于应用题教学，我们都熟悉 它的结构、类型以及解题思
路、方法等。新课标把“应用题”改为“解决问题”，现在
又改为“ 问题解决”， 这不仅仅是名称上的变化， 更为重
要的是使应用题教学的教育价值定位更加准确，教育 理念更
加明确，课程体系更加宽泛，呈现形式更加灵活。
现在的“问题解决”和计算教学紧 密融合；也不再单独的
安排一些单元，而是把问题解决贯穿到“数与代数”、“图
形与几何”、 “统计与概率”和“综合与应用”四个领域的
学习中；问题解决的呈现方式有了新的拓展：文字、图表、
图文并茂、多余信息等。教材的这些变化给教师的教学实践
带来了新的挑战。
课标关于“问题解决”的总体目标：
• 初步学会从数学的角度发现问题和提出问题，综 合运
用数学知识解决简单的实际问题，增强应用意识，提高实践
能力。
• 获得分析问题和解决问题的一些基本方法，体验解决
问题方法的多样性，发展创新意识。
• 学会与他人合作交流。
• 初步形成评价与反思的意识。
..

具体到每一个学段，目标有是什么呢？
第一学段问题解决
1．能在教师的指导下，从日常生活中发现和提出简单的
数学问题，并尝试解决。
2．了解分析问题和解决问题的一些基本方法，知道同一
个问题可以有不同的解决方法。
3．体验与他人合作交流解决问题的过程。
4．尝试回顾解决问题的过程 。
第二学段问题解决
1．尝试从日常生活中发现并提出简单的数学问题，并运
用一些知识加以解决。
2．能探索分析和解决简单问题的有效方法，了解解决问
题方法的多样性。
3．经历与他人合作交流解决问题的过程，尝试解释自己
的思考过程。
4．能回顾解决问题的过程，初步判断结果的合理性。
在(标准)提出的上述目标中，发展应用意识和形成解决问
..

题的策略是重点。其中课标修订版一大变化就是“ 双能”变
成“四能”：由原 来的分析问题能力和解决问题能力，变成
了四能：发现问题、提出问题、分析问题和解决问题能力。 提
高学生解决问题的能力作为基本目标；
第二就是帮助学生形成一些基本的策略，通过求解 问题获
得更好的概念理解，包括促进学生的交流，并能积极地从事
数学证明等；
第三就是帮助学生学会数学地思维。这也是问题解决的最
高目标；
第四反思也必不可少的环节之一；
过去在小学教学中，教师们非常重视“应用题”的教学，
目的是要通过培养学生运用数学知识来解决实际问题的能
力。新课程改革以来，虽然应用题不再 成为独立单元，反而
是对解决问题能力的加强。
新的数学课程标准将问题解决作为一个重要目标，这是课
程改革和发展的需要。
请吴老师说一说 问题解决与传统“应用题”的区别。
（一）问题解决与传统“应用题”的区别
..

1. 重视过程的 教学：应用题更多的强调尽快获得答案；
而问题解决是强调一个过程，就是寻求解决问题方式方法的过程。重视问题解决的过程，寻求问题解决的方法和策略比
获得一个结论本身来的更重要。
2．不仅仅依附一个知识点：应用题往往是结合某一个具
体的知识点，例如今天讲加法， < br>就是加法应用题，明天学乘法是乘法应用题，原来的应用
题常常是依附在某一个知识点的背景下； 而问题解决是强调
针对具体的一个真实的情景，它更多的强调综合解决问题的
过程。例如今天讲 完加法后，问题解决的情景它可能不局限
于用加法，也不局限于用减法，它要调动学生已有的知识来解决问题。它是不仅仅依附于某一个知识点的。
3．具体问题具体分析：应用题教学把应用题归 成类，集
中一类问题进行思考，强调速度和技巧；而问题解决强调的
是具体问题具体分析，换句 话说就是在一种新的情境中如何
运用所学知识解决问题，使问题更具挑战性，可能一个问题
跟着 一个问题。它更具有挑战性，更具有新意。
4．问题的开放性和多元性：应用问题强调广泛性，即从
生活中来、从儿童已有的经验出发、从现在的科技、社会发
展的过程中发现问题和提炼问题。问 题本身的开放性和多元
..

性也是其很重要一个特征。
（二）解决生活情景具体与数量关系抽象之间的矛盾
数学问题解决，指的是按照一定的思维 对策进行的一个思
维过程，一步一步地接近目标，最终达到目标。也就是说，
数学领域中的解决 问题，不只是关心问题的结果，更重要的
是关心求得结果的过程——探索、思考解决数学问题的过程，< br>一般说来，是一个较为复杂。艰苦的历程。学生除需要运用
抽象、归纳、类比。演绎等逻辑形式外 ，还需要运用直觉、
灵感或顿悟等非逻辑形式。
问题解决的过程
要能够把握“ 问题解决”的问题，要准确迅速地把握问题
的关键，揭示问题的本质属性，搞清问题的求解目标和已知< br>条件、未知条件，是问题解决的第一步。
问题解决的第二步是设计求解计划，这要求大量的分 析综
合，尝试与猜测、类比与联想，问题解决的最后一步，就是
对所得结果作检验和回顾。
小结：理解题意 ( 分析数量关系 )------ 求解作答——
检验反思
在日常教学过程中，我们发现有些孩子自己独立读题就不
..

会做， 老师或家长给读完题后，就能顺利解题了。我感觉学
生在做应用问题时最大的困难是读不懂题意。吴老师 您能不
能给我们说说怎样帮助学生读懂题？
对于解决问题，学生的困难，一是读懂题，二是分析数量
关系。
1. 如何读懂题意
怎样是读题，我们可以采用如下方法：
一遍读，搞清楚是什么事；盘点数学信息，从题中获得哪
些数学信息？（力求不遗漏）
二遍读，进行筛选，捕捉有用的数学信息，谁和谁有关系，
有什么关系。（力求无偏差） < br>三遍读，告诉我们解决什么问题。让学生梳理“有用信息”
及“目标问题”，进一步明确解题指向 。这样只有我们读懂
了题，才能更好地进行解决问题。
怎样帮助学生读懂题
·手势理解。
·情景再现。
..

·边读题边记录。画批的方法，给思维以方向，给思维以
范围。
·抽象出问题的骨架，可以是画出图表示关系。
·从数学的角度观察、思考，提取数量关系，提出并解答
数学问题。
2. 分析数量关系
我们要重视对运算意义的教学。加、减、乘、除运算的意
义是核心概念，要让 学生积累原型，在什么时候用加、减、
乘、除运算。
• 积累数学原型
加法可以作为合并、移入、增加、继续往前数等的模型；
减法可以作为剩余、比较、往回数、减少或加法逆运算等
的模型；
乘法可以作为相等的数的和、面积计算、倍数、组合等的
模型；
除法可以作为平均分配、比率或乘法逆运算等的模型。
除此之外，还要 在具体情境中，了解常见的数量关系：
..

总价 = 单价×数量、路程 = 速度×时间，并能解决简单的
实际问题。
注重对数量关系的分析。
在解决具体 问题时，教师要鼓励学生通过实际操作、思考
讨论，寻找问题中所隐含的数量关系，强调对问题实际意义
和数学意义的真正理解。例如，教师要鼓励学生首先看懂问
题情境，用自己的语言或者熟悉的符 号表达问题情境和需要
解决的问题；根据所求的问题和情境中的条件，运用图、表
格等多种形式 分析数量关系；回忆所学运算及其他内容的数
学意义，将数量关系表达出来，这就是 关注题目的大逻辑 ：
如：三年级植树 20 棵，六年级植树的棵树是三年级的 3
倍，三年级和六年级一共植树多少棵？
此题的大逻辑：三年级种的棵树＋六年级种的棵树 = 总
数
小桶装水 8 千克，大桶装水的质量比小桶多 5 千克， 4
个大桶可以装水多少千克？
此题的大逻辑：一个大桶的质量× 4= 总质量
还可以让学生画枝形图：从条件入手画枝形图，表示题中
..

的数量关系，这就是用综合法来分析题中的信息。
也可以从结论入手画枝形 图，表示题中的数量关系，这就
是用分析法来诠释题中的数量之间的关系。
看来分析数量关 系的方法：从条件入手、从问题入手这些
分析方法该告诉学生还得告诉学生，那什么从问题解决情景中逐步抽象出模型呢？
从众多情景中抽象出模型
建立数学模型；向别人解释自己所 列模型的实际意义。在
学习了一段时间后，教师还可以鼓励学生自己总结一些数学
模型的典型实 例。
一辆客车 3 小时行 270 千米，照这样计算， 6 小时行
多少千米？
3 瓶饮料花 27 元， 5 瓶这样的饮料花多少元？
..

王师傅 2 小时生成 18 个机器零件，照这样计算， 9 小
时可以生产多少个机器零件？
这三道题全部是归一问题，传统的基于题型的训练也是建
模；为什么这样说呢？
一 是从众多例证中抽取共性的东西：都是先求单一量，这
一步是中间问题，也是解决问题的关键所在；二是 在选取素
材时选取了基本的数量关系：如速度×时间 = 路程；单价×
数量 = 总价；补充了工作效率×工作时间 = 工作总量。这
就是建立模型的过程。
教学中也有一 些老师经常问这样的问题：实际问题解决之
后，用不用给学生总结归纳基本的数量关系：每份数×份数 =
总数，单价×数量 = 总价……似乎老师给总结了就有灌输的
嫌疑。
其实， 这些基本的数量关系在学生充分感悟的基础上，需
要教师总结提炼，这也是抽象概括的过程。学生可以运 用这
几个基本的数量关系去解决其它类似的问题。当然不要过早
地揭示，更不能强加给学生。
从模型出发引发新的问题情景
像“植树问题”在新课标教材中，不论哪个版本都有涉及。
..

植树问题分三种情况：
第一种是两端种树，第二种是一端种树，第三种是两端都
不种。
在四年级的一次调研测试时，有几道题目从不同角度诠释
了植树问题：
（ 1 ）小明早晨去学校时，气温是零下 3 ℃， 中午休
息时，气温是 5 ℃。那么气温上升了 ( ) ℃。

这是属于一端种树的问题，学生可以根据直观图数段数，
也可以进行计算。
(2) 从 20 数到 50 ，两个两个地数，一共数（ ）次。
这是一年级学过的 100 以内数的数数问题，到了四年级
呈现此题时，目的时让学生不断把学过的知识进行分类、归类和建构。这道题就是四年级学过的植树问题，两端都种的
情况。
换成解决问题的题目：一条 30 米长的路，每 2 米栽 1
棵月季花，从头到尾一共栽多少棵？这就是模型思想。需要
..

教学中经常变化情景，做到变中抓不变。
什么是“好”的问题？
对于教材编写和教学，一个首要的方面是提出“好”的问
题。对于“好”的标准也许并不统一，这里只 是谈一谈我们
的思考。“好”的问题绝不等同于简单的练习，解决问题也
决不能简单地理解为在 一般的公式中对某个参数赋以具体的
数值，也不能仅仅理解为会解决一些“人造”的问题。当然，
知识的简单应用是必要的，但不能仅仅停留于此，而是应努
力使学生经历从现实情境中“抽取”数学模 型的数学化过程，
以及把数学模型放到现实中加以使用的过程。
在内容上，它的内容更具有 现实性，更贴近孩子生活实际，
从形式方面新颖活泼，从单一的文字形式到了图文并茂的形
式；
从思维价值上看更具有挑战性，让学生在解决这个问题的
过程当中就获得了思维的发展，换一句 话说就是要用数学本
身的魅力来吸引学生；
从趣味性层面看要能够激发孩子的兴趣，激发学生学习欲
望。
概括起来说，一个好问题具有以下四个特点：
..

（1）具有较强的探究性（或创造精神）
（2）具有一定的启发性和发展空间
（3）具有一定的开放性
（4）具有给定信息的现实性和简易性
四、教学中凸显问题解决的策略
问题解 决活动的价值不只是获得具体问题的解，更多的是
学生在问题解决过程中获得的发展。其中重要的一点在 于使
学生学习一些问题解决的基本策略，体验问题解决策略的多
样性，并在此基础上形成自己解 决问题的某些策略。
下面我们就来介绍几种常用的解题问题的策略。
1．画图的策略。
把画图作为一种解决问题的策略。由于孩子年龄的局限，
他们对符号、运算性质的推理可能会发 生一些困难，如果适
时的。让孩子们自己在纸上涂一涂、画一画，可以拓展学生
解决问题的思路 ，帮助他们找到解决问题的关键。因此我们
认为，画图应该是孩子们掌握的一种基本的解决问题的策略。
为什么说画图很重要呢？主要是比较直观，通过画图能够把
一些抽象的数学问题具体化，把一些 复杂的问题简单化。下
..

面我们来介绍几种常用的画图的方法。
画图包括画线段图、 树图 、 集合图 、 示意图
除了刚才介绍的几种图以外，孩子们 有的时候是没有任何
框框的，他们根据自己的经验，自己的思维的特点，可能画
出一些让我们老 师意想不到的、他所明白的一些图。就是孩
子们在解决问题的过程中，自己画的图。因此我们特别提出< br>来，作为教师要尊重孩子们，特别是当孩子们的示意图画出
来的时候，可能是非常的嫩稚的，可能 是非常不成熟的，但
是我们要很好地、认真地去挖掘他的思维价值，保护孩子们
创造的积极性。
多样化方法的呈现，让学生的交流成为可能，实现了 “经
历与他人交流各自算法的过程，并能表达自己的想法。” 这
样的课程目标。
鼓励学生画图分析问题和解决问题，发展学生的画图意
识。尤其是学生自己画的富有个性的示意图，是学 生认知风
格的具体体现。
画图，不仅让学生思维外显，而且让教师了解学生的思维
水平，为学生间的相互交流提供了有力的支撑；画图在具体
形象和抽象数量关系之间架起了桥梁。
..

2．列表尝试
列表的策略，有时候我们也叫列举信息的策略 。在解决问
题的过程当中，我们将问题的条件信息用表格的形式把它列
举出来，往往能对表征问 题和寻求问题解决的方法，起到事
半功倍的效果。
尝试的策略，简单的说就是不知道该从哪 开始的时候，可
以先猜一猜来进行尝试。但是猜测的结果，应该是比较合理
的，并且要把猜测的 结果，放到问题中去进行调整。
多数情况下这两种策略同时使用。《鸡兔同笼》问题也是
运 用列表的方法，在尝试与调整中逐步逼近正确答案。
问题与策略之间不应该是一一对应的，解决同一 个问题应
该有多种策略，一种策略也应该能解决多种问题。
3．模拟操作。
模 拟操作是通过探索性的动手操作活动，来模拟问题情
境，从而获得问题解决的一种策略。学生是通过自己 探索的
过程，将需要解决的问题，转化为一个已知的问题来进行推
导性的研究。通过这种开发性 的操作的策略的训练，不仅能
够使学生获得问题的解决，而且在这个过程当中，也能培养
学生的 创造性思维。
..

如：甲乙两地相距 360千米 客车和货车同时从甲开出。
客车每小时行 60千米 ，货车每小时行 40千米 ，客车到达
甲地后立刻返回，几小时与乙相遇？
用手势进行模拟；或动作模拟。学生明白做的路程是2
个 360千米 ；
4. 逆推
逆推也叫还原，就是说从反面去思考，从问题的结果一步
一步地反面去思考。在解决某 一个问题的过程当中，当你从
正面进行思考遇到了阻碍，碰到困难的时候，可以换个思路
从相反 的方向，即从问题的结果一步一步的往前推。
小结解决问题的策略：
“列表”； “ 假设” ；“猜想尝试”； “模拟操作”；
“画图”； “逆推”；“简化”等都是学生常用的解决问题
的策略。
问题解决的建议：
1．理解运算意义的基础上，学会分析数量关系。
2．注重恰当选择解决问题的策略。
3．鼓励学生主动发现问题提出问题的意识，提高学生问
..

题解决的能力。
4．反思问题解决的过程及策略，逐步形成评价与反思的
意识。
5. 尝试用方程的方法解决实际问题。
义务教育阶段，通过解决问题，更重要的是培养学生应用
数学的意识和数学思考与交流的能力，而不是将学生培养成
解决问题的专家。特别是要使学生认识到数学 本身是有用的，
促使他们碰到问题能想一想是否可以用数学来解决。 在这样
的思想指导下的应用问题的教与学 , 学生学会了真正意义
上的 “ 具体问题具体分析 ”, 学会了如何利用各种手段收
集和处理问题中隐含的信息，学会了如何从问题中 发现隐含
的数量关系，学会了如何从多个角度思考问题，因而也就学
会了“举一反三”，获得了 初步分析问题、解决问题的能力。




..

小学数学统计与概率
一、数据分析观念的内涵
1. 在实验稿《课标》中“统计观念”是核心概念，现在
为什么改名为“数据分析观念” 呢？
在《不列颠百科全书》中关于统计学是这样定义：统计学
是关于收集和分析数据的科学和艺术。
的确，统计学的一个研究对象是数据，它是通过收集数据，
以及对数据的分析来帮我们解决问题 的。 在义务教育阶段
我们 处理的数据都是有实际背景的，正如课表组组长 史宁
中 教授 所述：“数据是信息的载体，这个载体包括数，也包
括言语、信号、图像，凡是能够承载事物信息的东西 都构成
数据，而统计学就是通过这些载体来提取信息进行分析的科
学和艺术。”
可 见，统计学的一个核心是数据分析，实验稿中叫统计观
念，现在叫数据分析观念，这两点并没有本质性的 不同，而
是用这样的语言更加点出了统计的核心就是数据分析让人一
目了然。
2. 数据分析观念的内涵
在课标当中，对于数据分析观念，有这样的描述：了解在
..

现实生活中有许多问题应当先做调查研究，收集数据，通过
分析做出判断，体会数据中 蕴涵着信息； 了解对于同样的数
据可以有多种分析的方法，需要根据问题的背景选择合适的
方 法；通过数据分析体验随机性，一方面对于同样的事情每
次收集到的数据可能不同，另一方面说明只要有 足够的数据
就可能从中发现规律。数据分析是统计的核心。
3. 如何发展学生的 “ 数据分析观念 ” ？
第一，就是让学生去经历这个数据分析的过程，体会数据
中蕴含的信息。
例如，清华附属小学 安华 老师执教的一年级《统计》。
安 老师为学生提供了四部动画片 ，选出大家最喜欢看的一部
进行播放。学生的想法各不相同，这可怎么办呢？老师启发
学生自己 去想办法，让学生感悟到我们是为了解决问题而来
做统计的。统计什么？怎样统计呢？学生自始至终都在 思考
中，他们最先想到举手表决，却没有准确统计出结果，然后
又继续想办法，有的学生说站起 来这样数的更清楚了，还有
说在小组内去统计，然后我们再汇总，最后大家都统一到用
投票表决 的方法来统计。当数据统计上来以后，如何让学生
体会数据中蕴含的信息呢？ 安 老师让学生利用数据 来推
断，看哪部动画片，要用数据来说话。恰巧当时这个班正好
有一个孩子是请假没来，老师提 出问题：如果这名同学也来
..

投票表决，还是去看“多啦 A 梦”吗？学生根据数据利用简
单推理也做出了判断。
第二，鼓励学生掌握数据分析的方法，根据问题的背景能
选择合适的方法。
例如，体育课上 11 名男同学 100 米 跑的成绩： 13 秒
2 17 秒 13 秒 5 15 秒 8 12 秒 17 秒 1 16 秒 7 15 秒 6
17 秒 16 秒 6 16 秒 7 。
平均数： 15 秒 6 ，中位数： 16 秒 6
（1）如果选择参加一项比赛，希望有一半的男同学可以
参加，选择哪个成绩作为标准？
（2）如果希望确定一个较高的标准，选择哪个成绩作为
标准？（答案不唯一）
（3）如果要确定一个标准，你如何确定？为什么？
第三，通过数据分析，让学生感受数据的随机性。
史宁中说：“统计与概率领域的教学重点 是发展学生的数
据分析意识，培养学生的随机观念，难点在于，如何创设恰
当的活动，体现随机 性以及数据获得、分析、处理进而作出
决策的全过程。”
..

例如：上学时间。
学生记录自己在一个星期内每天上学途中所需要的时间，
如果把记录时间精确到分，可能学生每天上学途中需要的时
间是不一样的，可以让学生感悟数据 的随机性；更进一步，
让学生感悟虽然数据是随机的，但数据较多时具有某种稳定
性，可以从中 得到很多信息，比如，通过一个星期的调查可
以知道“大概”需要多少时间。
为什么我们要 在统计概率教学中，把数据分析观念作为一
个核心概念呢？可以从标准解读中对核心概念的价值进行分< br>析。
在标准解读中，提出了四个方面的价值。第一，它们是学
生在义务教育阶段数学 课程中最应培养的数学素养，是促进
学生发展的重要方面 ( 教育价值 ) ；第二，核心概念往往< br>是一类课程内容的核心或聚焦点，它有利于我们把握课程内
容的线索和层次，抓住教学中的关键； 第三，核心概念本质
上体现的是数学的基本思想；第四，这些核心概念都是数学
课程的目标点， 也应该成为数学课堂教学的目标，并通过教
师的教学予以落实。
二、统计与概率的内容变化及主线分析
..

（一）新课标中关于“统计与概率”的内容标准
1. 《标准》中有关“统计与概率”的内容标准
..

2． 分析调整原因
“统计与概率”内容结构做了较大调整，使三个学段内容
学习的层次性更加明确。强调培养数据 分析观念，与学生的
现实生活联系得更加紧密。内容结构上，三个学段有较大的
差别。第一学段 内容大减少，只保留 3 条要求。主要是学会
分类、会进行简单的数据搜集与整理的；第二学段分为“简
..

单数据统计过程”和“随机现象发生的可能性”两部分，共 8
条；第三学段分为“抽样与数据分析”和“事件的概率两部
分”，共 11 条。这样调整的原 因在于，在实验过程中原来
第一学段对于统计与概率内容的要求，按照学生现有的理解
水平，学 习有一定困难，教学设计与实施有很大难度。同时，
在内容上与后面两个学段有很大的重复。因此，较大 幅度降
低了第一学段统计与概率内容的要求，对后两个学段的内容
也做相关的调整，如中位数、 众数等内容从第二学段移到第
三学段。这样使统计与概率内容在三个学段的要求上有明显
区分， 在难度上也表现一定的梯度。
（二）统计与概率的内容主线
统计与概率的内容主线，主 要包括四方面的内容，第一是
数据分析过程；第二是数据分析方法；第三是数据的随机性；
第四 是随机现象及简单事件发生的概率。这四条主线很重要，
我们常说教知识不仅仅要教给学生一颗一颗的珍 珠，还需要
把这些珍珠串成一条一条美丽的项链，显然主线就是串这个
项链非常重要的方面。
我们可以看到课标每个学段的第一句话，都是提出了有关
过程的要求，显然就成为了统计学习的 最主要或者最首要的
一个主线，《标准》在三个阶段都提出了相应的要求：在第
一学段中，提出 “经历简单的数据收集和整理过程”；在第
..

二学段中，提出“经历简单的 收集、整理、描述和分析数据
的过程（可使用计算器）”。在第三学段中，提出“经历收
集、整 理、描述和分析数据的活动，了解数据处理的过程；
能用计算器处理较为复杂的数据”。
从 三个学段的要求不难看到，首先过程都是重要的，第二
数据分析的过程可以包括收集、整理、描述和分析 ，另外随
着年龄的差别，在要求上会有所差别，第一学段经历简单就
可以了，到第二学段稍微要 把描述分析数据提出来是这样一
个过程，为了使大家对这个过程，再加深理解，我们下面列
举标 准中的一个案例，来说明这个过程。
第一学段（《标准》例 19 ）：对全班同学的身高进行调
查分析。
从以下的数据中可以得到哪些信息呢？
第 1 小组 116 128 124 135 128 141
第 2 小组 129 130 134 127 134 138
第 3 小组 138 142 119 123 127 146
第 4 小组 119 137 136 138 150 152
第 5 小组 125 120 131 143 135 148
..

第 6 小组 138 132 147 139 148 139
[ 说明 ] 学校一般每年都要测 量学生的身高，这为学习
统计提供了很好的数据资源，因此这个问题可以贯穿第一学
段和第二学 段，根据不同学段的学生特点，要求可以有所不
同。希望学生把每年测量身高的数据都保留下来，养成保 存
资料的习惯。在第一学段，主要让学生感悟可以从数据中得
到一些信息。教学中可以作如下设 计：
（ 1 ）指导学生将全班同学的身高进行汇总。
（ 2 ）从汇总后的数据中发 现信息。比如，最高（最大
值）、最矮（最小值）、相差多少（极差），大部分同学的
身高是多 少（众数）等。在讨论过程中，括号中的有些名词
并不需要出现，但是希望学生体会数据所代表的意义。
（ 3 ）在整理中，可以让学生尝试创造灵活的方法。例
如，寻找最高，可以直接比较寻找， 当学生人数比较多时，
也可以分组寻找组内最高，然后在每组的最高中寻找最高；
在考虑顺序问 题时，学生可能会有不同的排序方法。例如，
先找到最小（大）的，然后在剩余的数中再找到最小（大）
的，依次将这些数按从小（大）到大（小）的顺序进行排序；
或者先固定一个数，拿第二个数与 之比较，然后取第三个数
与前两个数比较，根据它们之间的大小关系决定位置，这样
..

继续下去，最后将这些数排序。无论学生的出发点如何，只
要思路清晰、排序正确即 可。
第二学段（《标准》例 38 ）： 对全班同学的身高的数
据进行整理和分析。
[ 说明 ] 在上面的例子中，已经引导学生对全班同学的
身高的数据进行初步分析。在这个 学段中，要求学生结合以
前积累的身高数据，进行进一步的整理，然后进行分析。整
理的目的是 为了便于分析，例如，条形统计图有利于直观了
解不同高度段的学生数及其差异；扇形统计图有利于直观 了
解不同高度段的学生占全班学生的比例及其差异；折线统计
图有利于直观了解几年来学生身高 变化的情况，预测未来身
高变化趋势。学生还可以讨论用什么数据来代表全班同学的
身高，自己 的身高在全班的什么位置。
教学设计时，可以关注如下要点：
（ 1 ）组织学生讨论 并明确画统计图的基本标准。如果
学生意见不一致，可以根据意见的不同把学生分组，各自画
出 统计图后进行比较。
（ 2 ）可以把几年来全班同学平均身高的数据画出折线
统计图，让 学生与自己身高数据的折线图进行分析比较。还
..

可以对男女生的身高数据进行分析和比较。
（ 3 ）组织学生讨论用什么 数据来代表全班同学的身高，
自己的身高在全班的什么位置。学生可以用平均身高作为代
表，用 自己的身高与平均身高进行比较；可以用出现次数最
多的身高作为代表（“众数”的意义），用自己的身 高与其
相比；也可以用班级中等水平学生的身高作为代表（“中位
数”的意义），用自己的身高 与其相比。学生只要能说出自
己的理由就可以，不需要出现“众数”“中位数”等名词（只
要求 教师理解，不要求给学生讲解）。
（ 4 ）虽然数据整理和分析的方法可以有所不同，但要
求分析的结论清晰，能够更好地反映实际背景。
第三学段： 比较自己班级与别的班级同学的身高状况。
[ 说明 ] 对于两个班级学生 身高状况比较，通常可以通
过平均值来判断，但有时候仅仅通过平均数是不够的，如果
一个班同 学之间身高差异很大，而另一个班同学之间身高差
异很小，即使前一个班的平均高一些，也不能说这个班 的整
体状况很好。因此，在判断身高状况时，不仅要看平均值，
还需要参考方差。
同样的一个内容，在不同的年级可以有不同的要求，第一
学段，要求的难度，就是在提取信息的数量上， 要求并不是
..

非常的高，关键是让他意识到，感悟到数据是信息，那么到< br>了第二学段，显得这个要求又有所变化了，总之要让学生经
历数据的收集、整理、描述、分析的过 程，要亲自参与其中。
三、数据分析的方法
1．收集数据的方法
在收集数 据的方法中我们要把握这么几点：第一点就是我
们所涉及的数据，可能是全体数据，或者我们说总体数据 ，
也可能是通过抽样获得的数据，抽样数据，在小学阶段，学
生收集的基本上都是总体数据。
第二个就是数据的来源，实际上是有两种，一种就是阅读
别人现成的数据，比如说报刊资料上等 等的数据，还有一点
就是需要自己的调查的数据，对于小学来说除了要看别人的
数据非常重要， 也要自己要做一些调查数据，在这方面很多
老师都有非常好的经验和设计好的例子，比如我看到一些课< br>堂中，老师们引入了让一年级的孩子来统计换乳牙的情况，
或者让有些同学来统计看电视的时间等 等，值得注意的是如
果我们让学生去收集自己调查的数据，一定要教给他们一些
方法，比如说我 曾看到，有的学生并不知道什么叫乳牙，他
也不知道看电视的时间应该怎么统计，所以这样以来呢，报< br>出来的数据就不够真实，是比影响统计的效果，那我们可以
..

安排一 些活动，让学生在老师的指导下，或者在家长的帮助
下，让他来去调查，这样会更好。
常用 的收集数据的方法包括这么几方面：调查的方法、实
验的方法、测量的方法、查阅资料的方法等等。总而 言之，
学生应该对收集数据的方法有一个比较丰富的体验，《课标》
无论在第一学段还是第二学 段都提出了这样的要求，比如说
在第一学段课标是这样说的，要了解一些调查、测量等收集
数据 的简单方法。那么有的老师说这两个好像也没有太大区
别，其实严格意义上都是学生自己去做，当然我们 可以这么
理解，调查就是学生去问问自己的同伴，那么测量呢，比如
说我们可以量量这个课桌有 多长，我们量量我们班的课桌大
体上都是多长，包括我们在前面举过的上学时间都可以理解
是测 量。在第二学段，显然又进了一步，要求学生能够自己
来设计简单的调查表，这跟第一学段相比有进一步 的提高，
而且能够选择适当的方法了，就不仅仅是了解了，在选择方
法中包括了我们说的调查， 可以做一些测量，还可以做一些
试验，比如说我们原来肯定做过的物理试验，或者说呢有的
课上 这样让学生做试验，反弹高度，就不同高度抛一个球，
肯定起始高度越高，反弹高度一般情况下都会高， 那么到底
是什么关系呢，这时候通过试验来获取一些数据。这三点都
是学生能够自己获得的。当 然我们也要让学生了解现成的数
..

据，也就是从报刊、杂质、电视等等媒体 中呢，有意识的获
得一些数据，那么总而言之应该对收集数据的方法有比较丰
富的体验。
2．整理、描述、分析数据的方法
当人们收集了一堆数据以后，这些数据往往看起来比较杂
乱，这就需要来整理数据，在不损失信息的前提下，对看起
来杂乱无章的数据进行必要的归纳和 整理，然后把整理后的
数据运用统计图表等直观地表示出来，并加以适当的分析，
为人们作出决 策和推断提供依据。
常用的收集数据方法包括调查、试验、测量、查阅资料等。
学生应该对 收集数据的方法都有比较丰富的体验。为此，《标
准》在第一学段提出“了解调查、测量等收集数据的简 单方
法”；在第二学段提出“会根据实际问题设计简单的调查表，
能选择适当的方法（如调查、 试验、测量）收集数据”“能
从报纸杂志、电视等媒体中，有意识地获得一些数据信息”。
在第二学段，学生将学习条形统计图、扇形统计图、折线
统计图等常见的统计图，并且能用它们直观、有 效地表示数
据。第二学段还将学习一个重要的刻画数据集中趋势的统计
量——平均数。
统计图可以很直观反应数据，学生对统计图中数据的分析
..

以及预 测都是数据分析观念的重要体现。对于统计图的学习，
提出几点需要注意的：第一，不要急于引入正规统 计图的学
习，在第一学段《标准》要求鼓励学生用自己的方式来描述
数据。第二，在描述数据的 过程中，使学生不断体会各种统
计图的特点，能根据实际问题选择合适的统计图来描述数据。
第 三，鼓励学生读懂媒体中的一些统计图表。第四，鼓励学
生从统计图中获取尽可能地有用信息。
这个问题也是大家普遍困惑的，到底引导学生从哪些方面
来“读图”呢？
Curcio (1987 ) 把学生对统计图的认识分为三个水平：
（ 1 ）数据本身的读取（ reading the data ），包括用能
够得到的信息来回答具体的问题，这些问题图表中有明显的
答案。 (2) 数据之间的读取（ reading between the data ）。
这包括做比较 ( 例如比较好、最好，最高、最小等 ) 和对
数据进行操作 ( 例如加减乘除 ) 。 (3) 超越数据本身的读
取（ reading beyond the data ），包括通过数据来进行推
断预测推理，并回答具体的问题。
在实际教学中，教师已经开始 重视鼓励学生尝试由信息来
进行预测。但是，在教学中还存在了一些误区。比如，曾经
有过这样 的案例：如图 2 ，教师鼓励学生根据某女生出生到
12 岁的身高，由此去预测这个学生 15 岁的身高（图 2 到
..

图 7 中纵轴的身高单位为厘米）。

有的学生（虽然是很少数）脱离了数据去进行“预测”：
“我觉得她应该能长到 190 厘米 ，因为我希望她去打篮
球”。就是基于数据，学生也有五花八门的答案，有的说：
“ 8 岁到 10 岁长了 10 厘米 ， 10 岁到 12 岁长了 24
厘米 ，照这个趋势 12 到 14 岁要长 30 多厘米，我估计她
到 15 岁要到 2 米 了”；有的说：“ 8 岁到 10 岁长了 10
厘米 ， 10 岁到 12 岁长了 24 厘米 ， 12 岁到 14 岁又
会回到长 10 厘米 ，我估计她到 15 岁快到 180 厘米 ”；
还有的说：“到 12 岁就不怎么长了，我估计她到 15 岁差
不多 170 厘米 。”面对五花八门的答案，教师也觉得都有
道理，不知如何引导。
这里需要注意两点。第一 ，预测需要基于数据。对于脱离
数据进行“预测”的学生，要引导他用数据说话，虽然这个
预测 也有可能，但可能性不会大；第二，有时候为了更合理
地预测，需要我们收集更多的数据。教师可以引导 学生思考：
..

几个学生的想法都有道理，但是要比较合理地预测，还需要< br>我们掌握更多的信息，比如，可以收集曾经和她差不多情况
的人 15 岁的身高来帮助预测；或者把她与当地女生平均身
高进行对比，看看 12 岁与平均身高的对比情况，由此预测
15 岁与平均身高的对比情况。当然，无论哪种预测都不能肯< br>定是正确的，但会比单纯依靠这个学生以前的情况进行预测
要合理。进一步，如果条件允许的话， 还可以鼓励学生实际
去做。在这样的思考下，一位老师做了如下的设计：根据统
计图来进行“三 次”预测。
第一次，教师呈现小婷（女生）出生到 12 岁的身高数据
（如图 2 ），鼓励学生预测她 15 岁的身高。和前面叙述的
一样，学生基于这个数据给出了不同答案。
教师没有就此结束，而是给出了小婷 15 岁的身高，引起
学生的反思：“实际上，小婷今年已经 15 岁了，她的身高
是 168 厘米 ”，并得到图 3 。
..

在此基础上再鼓励学生预测小婷 18 岁的身高。学生发现
小婷 12 — 15 岁增长的幅度不大，由此推断 15 — 18 岁
增长的幅度也会不大。那么是这样吗？有的学生提出 可以找
一些和小婷情况差不多的女孩，看看她们 18 岁时的身高。
根据学生的想法，教师呈现了如下三个女生的身高（如图 4 ，
图 5 ，图 6 ）鼓励学生进行第二次预测。
学生发现虽然她们的身高具体数值不同，但 15 — 18 岁
变化趋势却比较一致，增长的幅度都不大，由此可以预测小
婷到 18 岁很可能只比 15 岁时增长 2 厘米 左右，即她 18
岁的身高在 170 厘米 左右。还有的同学发现小婷的身高值
..

与图 6 所表示的女生比较接近，并且比这个女生略矮一些，
由此根据这个女生 18 岁 171 厘米 预测小婷 170 厘米 。
进一步，有的学生提出只有这三个女生的数据是否太少了，
不说明 一般情况，还可以收集更多的数据。于是，教师给出
了北京城市女生平均身高统计图（如图 7 ），鼓励学生进行
第三次预测。

学生发现这组数据也有这个趋势： 15 到 18 岁的身高增
长的不多，由此预测小婷的身高是 170 厘米 左右。有的学
生则根据 15 岁时小婷的身高比平均身高多 6 厘米 ，由此
估计小婷 18 岁时也要多 6 厘米 ，所以是 169 厘米 左右。
当然，这些预测也并不能保证一定正确。
以上“三次预测 ”的案例是鼓励学生从数据中获取合理信
息的有益尝试，在实践中我们还需要更多的案例，以及如何鼓励学生有效获取信息的策略，这也构成了需要进一步研究
的问题。教学中应鼓励学生运用所学习的 方法，尽可能多地
从数据中提取有用的数据，并且能够根据问题的背景选择合
适的方法，而不是 单纯地名词、计算方法等的掌握。需要我
..

们根据问题的背景选择合适的统计图。
总之，“统计学对结果的判断标准是‘好坏'”，而不是
“对错”。
3．关于统计教学的几点建议
（1）发展学生的应用意识，感受统计的价值。
（2）教师要重视统计，并把发展学生的数据分析观念的
培养作为重要的教学目标。
（3）切忌将统计的学习处理成单纯数字计算和绘图技能。
四、数据的随机性及简单随机事件发生的可能性
1．数据随机性的内涵
数据的 随机性主要有两层涵义：一方面对于同样的事情每
次收集到的数据可能会是不同的；另一方面只要有足够 的数
据就可能从中发现规律。
老师们存在这样的困惑：概率也是研究随机现象的，那么
为什么又提出数据的随机性呢？
对于这个问题， 史宁中 教授这样回答：我听了一些课，
老师们经常这样处理：比如对于掷一枚均匀的硬币，先得到
..

出现正面或反面的概率是 12 ，然后让学生通过反复掷硬币
去验证这个结果 。这里有两个问题。第一，一个硬币，先假
定它出现正面和反面的可能性是 12 ，这是数学（或者称为
概率）。这个 12 是通过概率的定义得到的，不是依靠掷硬
币验证出来的。实际上，学生做了很多次实验也得不到 12 ，
反而更加糊涂了。第二，运用定义的方式教学随机，不能很
好的培养学生的随机观念。需要指 出的是，我们赞成做实验，
赞成运用统计的思想来做实验。统计是通过数据来获取一些
信息，来 帮助人们做出一些判断。同样是掷硬币的问题，在
统计上就会这样设计实验：先让学生多次掷硬币，计算 出现
正面的比例（频率），然后用频率来估计一下出现正面的可
能性是多大。如果这个可能性接 近 12 的话，就推断这个硬
币大概是均匀的，这是统计的思想。
2．合理设计实验，体会数据的随机性
《标准》中提出了“体会数据随机”的想法，如何在 课堂
中设计合理的实验落实“体会数据随机”的目的呢？一个好
的切入点是对目前课堂教学中的 实验加以分析，看看哪些实
验的设计是合理的，哪些还需要进一步的思考和改进。
第一类：“验证”类
下面是一个五年级的课堂教学片段：
..

老师拿出一个盒子，盒子里有 9 个白球、 1 个黄球。如
果从中任意摸出 1 个球，可能是什么颜色的球 ? 摸到白球
的可能性有多大，黄球呢？
( 学生略做思考后交流。 )
生 1 ：可能摸到白球，也可能是黄球。
生 2 ：摸到白球的可能性是 910 ，因为有 10 个球，
其中 9 个是白球。
（大家都表示同意）
师 : 好，下面就请你们分小组摸球，记录摸球的结果，
验证一下大家的想法。
本活动的目的是验证摸到白球的概率是否为 910 ，如前
所述是不提倡的。因为学生完全可 以通过分析推理得到摸到
白球的概率，他们产生不了做实验的需求。如果做了实验，
摸到白球的 频率往往不是 910 ，学生反而产生困惑，当然
也体会不到数据的作用了。
第二类：“体会随机”类
看下面的一个二年级的课堂教学片段：
组织小组活动：盒子里有 3 个黄球、 3 个白球。每次摸
..

出 1 个，摸之前先猜猜你会摸到什么颜色的球 ? 每次你都
猜对了么 ?
活动结束时，老师询问 : 有没有每次都猜对的同
学 ?( 全班只有 2 人举手。 )
师 : 为什么我们那么多的同学都没有猜对呢 ?
( 此时，两个猜对的同学急于向大家介绍方法。 )
生 1: 黄球和白球摸在手里的感觉不一样 !
师 :( 饶有兴趣地 ) 真的吗 ? 让我们见识一下 !
生 1:( 摸出一球，没看前猜测 ) 黄色 ! ( 拿出后是白
色，生 1 低头坐了下去。 )
师 : 怎么不试了 ?
生 1 ：没有信心了。
师 : 怎么就没有信心了 ?
生 1: 摸在手里分辨不出来 .
生 2: 我发现了，如果第一次摸出来的是黄球，第二次就
猜是白球，是交错出现的。
..