柏拉图名言-端午节的习俗作文

五大模型





一、等积变换模型

⑴等底等高的两个三角形面积相等；

其它常见的面积相等的情况



⑵两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；
两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比。

如上图
S
1
:S
2
a:b



⑶夹在一组平行线之间的等积变形，如下图
S
△
ACD
= S
△
BCD
；
反之，如果
S
△ACD
S
△BCD
，则可知直线
AB
平行于
CD
。
⑷正方形的面积等于对角线长度平方的一半；
⑸三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；

二、鸟头定理（共角定理）模型

两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。
共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比。
如图，在
△ABC
中，
D,E
分别是
AB,AC
上的点(如图1)或在的延长 线上，在上(如图2)，则
S
△ABC
:S
△ADE
(ABAC ):(ADAE)

图1 图2

三、蝴蝶定理模型

任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：
①
S
1
:S
2
S
4
:S
3
或者
S
1
S
3
S
2
S
4
②
AO:OC

S
1
S
2

:

S
4
S
3




蝴蝶定理 为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不
规则四边形的面 积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例
关系。

梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)

①
S
1
:S< br>3
a
2
:b
2

②
S
1
:S
3
:S
2
:S
4
a
2
:b
2
:ab:ab
；
③梯形的对应份数为

ab

。

2

四、相似模型

相似三角形性质：
金字塔模型 沙漏模型

①

ADAEDEAF
；

ABACBCAG
②
S
△ADE
:S
△ABC
AF
2
:AG
2
。 < br>所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它
们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：
⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比；
⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方。

五、燕尾定理模型
< br>S
△
ABG
S
△
AGC
S
△
BGE
S
△
EGC
BEEC
S
△
BGA
S△
BGC
S
△
AGF
S
△
FGC
AF FC
S
△
AGC
S
△
BCG
S
△
ADG
S
△
DGB
ADDB

典型例题精讲

例1

一个长方形分成4个不同的三角形，绿色三角形面积是长方形面积 的0.15倍，黄色三角形的面积是
21平方厘米。问：长方形的面积是__________平方厘米 。
例1图

例2
< br>如图，三角形田地中有两条小路AE和CF，交叉处为D，张大伯常走这两条小路，他知道DF＝DC，< br>且AD＝2DE 。则两块地ACF和CFB的面积比是__________。

例2图




【举一反三】两条线段把三角形分为三个三角形和一个四边形，如图所示， 三个三角形的面积分别是3，
7，7，则阴影四边形的面积是多少？

举一反三图




【拓展】如图，已知长方形ADEF的面积16，三角形A DB的面积是3，三角形ACF的面积是4，那么三
角形ABC的面积是多少？

拓展图

例3

如图，将 三角形ABC的AB边延长1倍到D，BC边延长2倍到E，CA边延长3倍到F。如果三角
形ABC的 面积等于1，那么三角形DEF的面积是__________。

例3图



【拓展】如图，在△ABC中，延长AB至D，使BD＝AB,延长BC至E，使
CE
若△ABC的面积是2，则△DEF的面积是多少？
1
BC
，F是AC的中点，
2

拓展图



例4

如图，在△ABC中，已知M、N分别在边AC、BC 上，BM与AN相交于O，若△AOM、△ABO和
△BON的面积分别是3、2、1，则△MNC的面 积是__________。

例4图

【秒杀题】四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O（如图所 示）。如果三角形ABD的面积等于三角形
BCD的面积的
1
，且AO＝2，DO＝3 , 那么CO的长度是DO的长度的__________倍。
3

秒杀题图







例5

如图，四边形EFGH的面积是66平方米，EA＝AB，CB＝BF，DC＝CG，HD＝DA，求四边形A BCD
的面积。

例5图


例6

如右图长方形ABCD中，EF＝16，F＝9，求AG的长。



例6图

【铺垫】图中四边形 ABCD是边长为12cm的正方形，从 G到正方形顶点C、D 连成一个三角形，已知
这个三角形在 AB上截得的 EF长度为4cm，那么三角形GDC的面积是多少？

铺垫图


例7

如图，长方形ABCD中，E为AD中点，AF与BE、BD分别交于G、H ，已知AH＝5cm，HF＝3cm，
求AG
。


例7图

例8

如右图，三角形ABC中，BD∶DC＝4∶9，CE∶EA＝4∶3，求AF∶FB。


例8图
【拓展】如图，三角形ABC的面积是1，BD＝DE＝EC， CF＝FG＝GA，三角形ABC被分成9部分，请
写出这9部分的面积各是多少?

拓展图

例9

如右图， △ABC中，G是AC的中点，D、E、F是BC边上的四等分点，AD与BG交于M，AF与
BG交于 N，已知△ABM的面积比四边形FCGN的面积大7.2平方厘米，则△ABC的面积是多少平
方厘米 ？

例9图

例10

如图，在正方形ABCD中， E、F分别在BC与CD上，且CE＝2BE，CF＝2DF，连接BF，DE，
相交于点G，过G作M N，PQ得到两个正方形MGQA和正方形PCNG，设正方形MGQA的面积
为S
1
，正方形PCNG的面积为S
2
，则S
1
：S
2
＝____ __。

例10图