例15 一个数减去2487，小明在计算时错把被减数百位和十位上的数交换了，
结果得： 8439，正确的结果是 。
(正确的结果是7809)

例16 一群 猴子分一堆桃子，第一个猴子取走了一半零一个，第二个猴子取走剩
下的一半零一个，……直到第七个猴 子按上述方式取完后恰好取尽。这堆桃子一共有
（ ）个。254个

例17 两棵树上共有麻雀25只，第一棵上飞到第二棵上5只，又从第二棵树上
飞走7只，这时第一棵上的麻雀 是第二棵上的2倍。问原来每棵上的麻雀各几只？
答：原来第一棵树上有17只麻雀；第二棵树上有8只麻雀。
练习
1．有一堆桃， 第一个猴子拿走了这堆桃的一半加半个
桃子，第二个猴子又拿走了剩下桃的一半加半个，第三个猴
子拿走了最后剩下的桃的一半加半个，桃子正好被拿光。问：
这堆桃子原来有几个？
2．袋 子里有若干个球，小明每次拿出其中的一半再放
回一个球，一共这样做了五次，袋中还有3个球。问：原 来
袋中有多少个球？
3．有一个财迷总想使自己的钱成倍增长，一天他在一座桥上碰见一个老 人，老
人对他说：“你只要走过这座桥再回来，你身上的钱就会增中一倍，但作为报酬，你
每走 一个来回要给我32个铜板。”财迷算了算挺合算，就同意了。他走过桥去又走回
来，身上的钱果然增加 了一倍，他很高兴地给了老人32个铜板。这样起走完第五个
来回，身上的最后32个铜板都给了老人， 一个铜板也没剩下。问：财迷身上原有多
少个铜板？
4．三堆苹果共48个，先从第一堆中拿 出与第二堆个数相同的苹果并入第二堆，
再从第二堆里拿出与第三堆个数相同的苹果并入第三堆，最后再 从第三堆里拿出与这
时第一堆个数相等的苹果并入第一堆。这时，三堆苹果数完全相同。问：原来三堆苹
果各有多少个？
5．甲、乙、丙三人各有铜钱若干枚，开始甲把自己的铜
钱拿出一部 分给了乙、丙，使乙、丙的铜钱数各增加了一倍；
后来乙也照此办理，使甲、丙的铜线数各增加了一倍； 最后丙
也照此办理，使甲、乙的铜钱数各增加了一倍。这时三人的铜
钱数都是8枚。问：原来甲 、乙、丙三人各有多少枚铜线？
6．甲、乙、丙、丁各有若干棋子，甲先拿出自己的棋子
的一 部分给了乙、丙，使乙、丙每人的棋子数各增加一倍；然

后乙也把自己棋子的一部分以同 样的方式分给了丙、丁，丙也把自己棋子的一部分以
这种方式给了甲、丁，最后丁也以这种方式将自己的 棋子给了甲、乙，这时四人的棋
子都是16枚。问：原来甲、乙、丙、丁四人各有棋子多少枚？
第四章 消元问题
有的应用题由两种数的关系组成，包含着两个要求的数，解答这类应用题， 必须
想方设法先消去一个要求数，求出另一个要求数，然后再求出被消去的要求数。根据
解答方 法的不同，消去法可分为加减消去法，比较消去法和代入消去法。
加减消去法是应用加法和减法的运算 ，在两个算式条件的等式中，消去一个要求
数，从而达到解答问题的目的。
比较消去法是应用 乘法或除法运算，使两个算术条件
的同一个要求数在数量上相等，从而可用加减法消去这个
要求 数。
代入消去法是应用加减或乘除运算，变换一个已知条
件，将变换后的一个要求数代入另一 个已知条件的等式里
去，从而消去这个要求数。
例1 妈妈给小青11．1元，让他去买2． 5千克香
蕉、2千克苹果，结果他把买数量颠倒了，从而还剩下0．06元，那么苹果500克的
售价是多少元？
答：500克苹果价1．2元


例2 3袋大米和4袋黄豆共重425千克，6袋大米和3袋黄豆共重600千克，每
袋大米重多少千克？
答：每袋大米75千克。


例3 “六一”儿童节，幼儿园组织家长和孩 子游园，小明买了2个大人、3个
小孩的六票花了1．65元，大力买了3个大人，8个小孩的六票花了 3．35元，大人
的门票是多少元？小孩的门票是多少元？
答：大人门票每张0．45元，小孩门票每张0．25。


例4 百货店 中两支圆珠笔与3支蘸水笔共值7角8
分，3支圆珠笔与2支蘸水笔共值7角2分，问1支圆珠
笔值多少元？
答：1支圆珠笔价0．12元。

例5 用10个大瓶和6个小瓶可以装墨水7．2千克，用6个大瓶和2个小瓶可
以装墨水4千克，算一算，一 个大瓶和一个小瓶各能装墨水多少千克？
答：一个大瓶墨水能装0．6千克墨水，一个小瓶能装0．62千克墨水。
例6 康大学校购 买5台普通书写台灯和3台调光书写台灯共用147．5元。如果
1台调光书写台灯换加2台普通书写台 灯要多花7．3元。这两种书写台灯各多少元1
台？
答:普通书写台灯每台15．4元;调光书写台灯每台23．5元．


例7 甲级茶叶3千克与乙级茶叶5千克价格相等，购买甲级茶叶2千克，乙级茶
3千克共付1 52元．求甲、乙两种茶叶的单价。
（1990年蚌埠市小学数学竞赛试题）
答：甲级茶叶价每千克40元，乙级茶叶价每千克24元。


例8 买2 瓶白酒，12瓶啤酒共付42元，已知一瓶白酒与8瓶啤酒价钱相等，一
瓶白酒，一瓶啤酒共多少元？
答：一瓶白酒、一瓶表皮就共13．5元。



△＋○＝0.9

△＝（　　）

例9 如果

○□＝0.2
那么

□＝（　　）


□－△＝0.3

○＝（　　）

答：△＝0．2，□＝0．5，○＝0．7。


例10 设13个李子的重量等于 2个苹果和1个桃子的重量；4个李子和1个苹
果的重量等于1个桃子的重量，多少个李子的重量等于1 个桃子的重量？
答：7个李子的重量等于1个桃子的重量。


练习 < br>1．1个面包和6个鸡蛋价值1．8元，同样价格下，2个面包和4个鸡蛋价值2．40
元，问1 个面包多少钱？



2．小木、小林、小森三人去看电影，如果用小木带 的钱去买三张电影票，还差0．55

元；如果用小林带的钱去买三张电影票，还差0．6 9元；如果用三人带去的钱买三张
电影票，就多0．30元，已知小森带了0．37元，那么买一张电影 票要用多少元？

3．有A、B、C三种货物，甲购A物3件、B物5件、C物1件，付款2 0元；
乙购A物4件、B物7件、C物1件，付款25元；丙购A、B、C各1件，应付款多
少 元？




4．某文具店中的铅笔、彩色笔、圆珠笔用三种方式 搭配装在文具匣内出售。文
具匣内装4支铅笔售4元；在同一种文具匣内装4支彩笔和2支圆珠笔售8元 ；仍在
这种文具匣内装4支彩色笔和2支圆珠笔，再加2支铅笔售9元。如果在这个文具盒
内装 3支铅笔、2支彩色笔和1支圆珠笔，那么售价应是多少元？



5．有甲、乙、丙三种货物，若购甲3件，乙7件，丙1件，共需3．15元，若
购甲4件，乙10 件，丙1件，共需4．2元，现在购甲、乙、丙各一件共需多少元。




6．2个苹果重量－3个桃子重量＝100克；2个苹果重量＋2个梨重量＝500克；
3个桃 子重量＋1个梨重量＝350克。苹果、桃子、梨每个各重多少克？




7．肥料厂把肥料运到甲、乙、丙三个村小组，每次运的吨数和所需运费如下，
甲组三次共需运 费多少元？
次数
第一次
第二次
第三次
甲组（吨） 乙组（吨） 丙组（吨） 运费（元）
4
4
5
5
6
7
6
5
5
25．5
25．7
29．4

解题思路点滴
等量代换法
在解答 某些应用题时，可根据题目中所给的条件，通过等量代换，即用一个未知
数量替代其他的未知数量，使问 题的数量关系单一化，从而找到解题的方法，这种思
考问题的方法，叫做代换法。
等量代换是 一种解题思路，又是一种解题方法。解题的着急是
怎样根据题目中的数量关系，寻找恰当的替代方法。数 学问题的核
心是数量关系，代换的方向是使其变错综复杂为简单明显；代换的
对象是其中的数量 关系，或使未知数量单一化，或用同一标准量来
表示诸数量。总之，通过代换，要把一种数量转化成为另 一种数量，
使数量关系变得单一化，从而使问题得到解决。

例1 中华学校买来 史地书、科技书、文艺书共456
本。其中科技书是史地书的1．2倍，文艺书比科技书多
31 本。三种书各买了多少本？
125（本）……（史地书）
150（本）……（科技书）
181（本）……（文艺书）






例2 老张和老李的存款数相等，后来老张取出500元，老李存入400元，结果
老李的存 款数是老张的2倍。求老张和老李原来的存款数是多少？1400（元）




例3 菜站运来西红柿和黄瓜共重1660千克，已知运来的西红柿的重量比黄瓜重
量的3倍少60千克，菜站运来西红柿和黄瓜各多少千克？430（千克）……（黄瓜）
230（千克 ）……（西红柿）

例4 妈妈比女儿大27岁，3年前，妈妈的年龄是女儿的4倍，女儿现在几岁？
(12岁)





例5 糖果店卖的水果糖、奶糖、巧克力糖有下列关系： 买1．5千克奶糖的钱和
买2．4千克水果糖的钱相等；买2千克巧克力糖的钱与买3千克奶糖的钱相等 。如
果用买4．5千克巧克力糖的钱，可买水果糖多少千克？【10．8（千克）】




例6 甲、乙两队共同整修一段公路。甲队工作6小时，乙队工作8 小时，一共
整修公路312米。已知甲队5小时的工作量等于乙队2小时的工作量。两队每小时各
整修公路多少米？12（米）……（甲队）30（米）……（乙队）





例7 甲、乙二人合做一批零件，甲做了8小时，乙做了6小时，一共做了36 0
个零件。甲2小时的工作量等于乙3小时的工作量。两人每小时各做多少个零件？
答：甲、乙两人每小时做零件的个数分别为20个、30个。

第五章 行程问题
第一节 相遇问题
在这一讲中，我们将要研究的是行程问题中一些综合性较强的题目，为此，我们
需要 先回顾一下已学过的基本数量关系：
路程＝速度×时间
总路程＝速度和×时间
路程差＝速度差×追及时间
例1 两村相距35千米，甲乙两人从两村相向而行，甲先行2小 时，已知甲每小
时行4千米，乙每小时行5千米，当两人还相距9千米时，乙行了多少小时？【2（小< br>时）】


例2 甲、乙、丙三人行路，甲每分钟走60米，乙每分钟走50 米，丙每分钟走
40米。甲从A地，乙和丙从B地同时出发相向而行，甲和乙相遇后，过了15分钟又< br>与丙相遇，求A、B两地间的距离。
答：A、B两地间的距离是16．5千米。



例3 甲、乙、丙是一条路上的三个车站，乙站到甲、丙两站的距离相等，小强和
小明同时分别从甲、丙两站出发相向而行，小强经过乙站100米时与小明相遇，然后
两人又继 续前进，小强走到丙站立即返回，经过乙站300米时又追上小明，问：甲、
乙两站的距离是多少米？( 300米)



例5 甲、乙二个分别从 A、B两地同时出发，如果两 人同向而行，甲26分钟赶
上乙；如果两人相向而行，6分钟可相遇，又已知乙每分钟行50米，求A、 B两地的
距离。
答：A、B间的距离为780米。

例6 一条公路上，有一个骑车人和一个步行人，骑车人速度是步行人速度的3倍，每隔6分钟有一辆公共汽车超过步行人，每隔10分钟有一辆公共汽车超过骑车人，
如果公共汽车始 发站发车的时间间隔保持不变，那么间隔几分钟发一辆公共汽车？(5
分钟)
练习
1．晶晶每天早上步行上学，如果每分钟走60米，则要迟到5分钟，如果每分钟
走75米，则可提前2 分钟到校。求晶晶到校的路程？


2．甲、乙、丙三人行路，甲每分钟走60米， 乙每分钟走67．5米，丙每分钟走
75米，甲乙从东镇去西镇，丙从西镇去东镇，三人同时出发，丙与 乙相遇后，又经过
2分钟与甲相遇，求东西两镇间的路程有多少米？


3 ．A、B两辆汽车同进从甲、乙两站相对开出，两车第一次在距甲站32公里处
相遇，相遇后两车继续行 驶，各自到达乙、甲两站后，立即沿原路返回，第二次在距
甲站64公里处相遇，甲、乙两站间相距多少 公里？


4．周长为400米的圆形跑道上，有相距100米的A、B两点，甲、 乙两人分别从
A、B两点同时相背而跑，两人相遇后，乙立即转身与甲同向而跑，当甲跑到A时，
乙恰好跑到B，如果以后甲、乙跑的速度和方向都不变，那么追上乙时，甲共跑了多
少米？（从出发时 算起）


5．老王从甲城骑自行车到乙城办事，每小时骑15千米，回< br>来时改骑摩托车，每小时骑33千米，骑摩托车比骑自行车少用1．8
小时，求甲、乙两城间的距 离。


6．速度为快、中、慢的三辆汽车同时从同一地点出发，沿同一公路追赶前 面一
个骑车人，这三辆车分别用6分钟、10分钟、12分钟追上骑车人，现在知道快车每
小时 24公里，中速车每小时20公里，那么慢车每次小时多少公里？


7．在环形跑 道上，两人都按顺时针方向跑时，每12分钟
相遇一次，如果两人速度不变，其中一人改成按逆时针方向 跑，
每隔4分钟相遇一次，问两人各跑一圈需要几分钟？

第二节 追及问题
有两个人同时在行走，一个走得快，一个 走得慢，当走得慢的在前，走得快的过
了一些时间就能追上他。这就产生了“追及问题”。实质上，要算 走得快的人在某一
段时间内，比走得慢的人多走的距离，也就是要计算两人走的距离之差。如果设甲走< br>得快，乙走得慢，在相同时间内，
甲走的距离－乙走的距离
＝甲的速度×时间－乙的速度×时间
＝（甲的速度－乙的速度）×时间
通常，“追及问题”要考虑速度差。

例1 小轿车的速度比面包车速度每小时快 6千米，小轿车和面包车同时从学校
开出，沿着同一路线行驶，小轿车比面包车早10分钟到达城门，当 面包车到达城门
时，小轿车已离城门9千米，问学校到城门的距离是多少千米？
答：学校到城门的距离是72千米。


例2 小张从家到公园，原打算 每分钟走50米。为了提早10分钟到，他把速度
加快，每分钟走75米。问家到公园多远？
答：从家到公园的距离是1500米。


例3 一辆自行车在前面以固 定的速度行进，有一辆汽车要去追赶。如果速度是
30千米小时，要1小时才能追上；如果速度是35千 米小时，要40分钟才能追上。
问自行车的速度是多少？
答：自行车速度是20千米小时。


例4 上午8点8分，小明骑自行车从家里出发，8分钟
后，爸爸骑摩 托车去追他，在离家4千米的地方追上了他。
然后爸爸骑摩托车去追他，在离家4千米的地方追上了他。
然后爸爸立即回家，到家后又立刻回头去追小明，再追上小明的时候，离家恰好是8
千米，这时 是几点几分？
答：这时是8点32分。

例5 小华在8点到9点 之间开始解一道题，当时时针，分针正好成一直线，解完
题时两针正好第一次重合。问：小明解这道题用 了多少时间？
答：小明解题共用了32
8
分钟。
11
练习 1．姐姐步行的速度是75米分，妹妹步行的速度是65米分，在妹妹出发20分
钟后，姐姐出发去 追赶妹妹。问：多少分钟后能追上？




2．甲、乙两车从同 一地点出发，沿着同一公路追赶前面的一个骑车人。甲、乙
两车分别用6分钟、10分钟追上骑车人。已 知甲车速度是24千米小时，乙车速度是
20千米小时。问两车出发时，两车所在地点离骑车人多远？




3．家离图书馆4．8千米，弟弟从家出发以60米分速度 步行去图书馆。15分钟
后，哥哥骑自行车从家出发去追赶弟弟，自行车的速度是240千米分。问：
（1）哥哥在离家多远的地方追上弟弟？
（2）哥哥追上弟弟后不久到达图书馆，又马上折回 过不久与弟弟相遇，那么相
遇处离图书馆多远？

第三节 流水行船
船在江河里 航行时，除了本身的前进速度外，还
受到流水的推送或顶逆，在这种情况下计算船只的航
行速度 、时间和所行的路程，叫做流水行船问题。
流水行船问题，是行程问题中的一种，因此行程
问 题中三个量（速度、时间、路程）的关系在这里将
反复用到，此外，流水行船问题还有以下两个基本公< br>式：
顺水速度＝船速＋水速 （1）
逆水速度＝船速－水速 （2）
这里，船速是指船本身的速度，也就是静水中单位时间里所走过的路程。水速，
是指水在单位时 间里流过的路程，顺水速度和逆水速度分别指顺流航行时和逆流航行
时船的单位时间里所行的路程。
根据加减法互为逆运算的关系，由公式（1）可以得到：
水速＝顺水速度－船速
船速＝顺水速度－水速
由公式（2）可以得到：
水速＝船速－逆水速度
船速＝逆水速度＋水速
这就是说，只要知道了船在静水中的速度，船的实际速度和水速这三个 量中的任
意两个，就可以求出第三个量：
另外，已知船的逆水速度和顺水速度，根据公式（1）和公式（2），相加和相减就可
以得到：
船速＝（顺水速度＋逆水速度）÷2
水速＝（顺水速度－逆水速度）÷2
例1 甲 、乙两港间的水路长208千米，一只船从甲港开往
乙港，顺水8小时到达，从乙港返回甲港，逆水13 小时到达，
求船在静水中的速度和水流速度。
答：船在静水中的速度为每小时21千米，水流速度每小时5千米。

例2 某船在 静水中的速度是每小时15千米，它从上游甲地开往下游乙地共花去
了8小时，水速每小时3千米，问从 乙地返回甲地需要多少时间？
答：从乙地返回甲地需要12小时。

例3 甲、乙 两港相距360千米，一轮船往返两港需35小时，

逆流航行比顺流航行多花了5小时， 现在有一机帆船，静水中速度是每小时12千米，
这机帆船往返两港要多少小时？
答：机帆船往返两港要64小时。
下面继续研究两只船在河流中相遇问题。当甲、乙两
船（甲在上游、乙在下游）在江河里相向开出，它们单位
时间靠拢的路程等于甲、乙两船速度和。这是 因为：
甲船顺水速度＋乙船逆水速度
＝（甲船速＋水速）＋（乙船速－水速）
＝甲船船速＋乙船船速
这就是说，两船在水中的相遇问题与静水中的及两车
在陆地上 的相遇问题一样，与水速没有关系。
同样道理，如果两只船，同向运动，一只船追上另一只船所用的时 间，也只与路
程差和船速有关，与水速无关，这是因为：
甲船顺水速度－乙船顺水速度
＝（甲船速＋水速）－（乙船速＋水速）
＝甲船速－乙船速
如果两船逆向追赶时，也有
甲船逆水速度－乙船逆水速度
＝（甲船速－水速）－（乙船速－水速）
＝甲船速－乙船速
这说明流水中追及问题与在静水中追及问题及两车在陆地上追及问题一样。
由上述讨论可知，解流水行船问题，更多地是把它转化为已学这的相遇和追及问
题来解答。

例4 小刚和小强租一条小船，向上游划去，不慎把水壶掉
进江中，当他们发现并调 过船头时，水壶与船已经相距2千米，
假定小船的速度是每小时4千米，水流速度是每小时2 千米，
那么他们追上水壶需要多少时间？
答：他们二人追回水壶需用0．5小时。



例5 甲、乙两船在静水中速度分别为每小时24千米和每小时32千米，两船从 某
河相距336千米的两港同时出发相向而行，几小时相遇？如果同向而行，甲船在前，
乙船在 后，几小时后乙船追上甲船？
答：两船6小时相遇；乙船追上甲船需要42小时。

练习
1．甲、乙之间 的水路是234千米，一只船从甲港到乙港需9小时，从乙港返回
甲港需13小时，问船速和水速各为每 小时多少千米？



2．一艘每小时行25千米的客轮，在大运河中顺水 流行140千米，水速是每小时
3千米，需要行几个小时？



3．一只小船静水中速度为每小时30千米，在176千米长河中逆水而行用了11
个小时，求返回原外 需要几个小时？



4．一只船在河里航行，顺流而下每小时行18千米 ，已知这只船下行2小时恰好
与上行3小时所行的路程相等，求船速和水速。



5．两个码头相距352千米，一船顺流而下，行完全程需要11小时，逆流而上，
行完全程需要16小时，求这条河水流速度。



6．A、B两码头间河 流长90千米，甲、乙两船分别从A、B码头同时启航。如
果相向而行3小时相遇，如果同向而行15小 时甲船追上乙船，求两船在静水中的速
度。


7．乙船顺水航行2小时， 行了120千米，返回原地用了4小时，甲船顺水航行
同一段水路，用了3小时，甲船返回原地比去时多 用了几小时？

8．某河有相距45千米的上、下两码 头，每天定时有甲、乙两艘船速相同的客轮
分别从两码头同时出发相向而行，一天甲船从上游码头出发时 掉下一物，此物浮于水
面顺水飘下， 4分钟后，与甲船相距1千米，预计乙船出发后几小时可以与此物相遇？
第六章 列方程解应用题
列方程解应用题是用字母来代替未知数，根据等量
关系列出含有未知数的等式，也就是列出方程 ，然后解
出未知数的值。列方程解应用题的优点在于可以使未知
数直接参加运算。解这类应用题 的关键在于能够正确地
设立未知数，找出等量关系从而建立方程，而找出等理
关系又在于熟练动 用数量之间的各种已知条件，掌握了
这两点就能正确地列出方程。
列方程解应用题的一般步骤是：
（1）弄清题意，找出已知条件和所求问世题；
（2）依题意确定等量关系，设未知数x；
（3）根据等量关系列出方程；
（4）解方程；
（5）检验，写出答案。

例1 康大学校六（2）班有男生30人，比女生的2倍少10人，这个班女生有多
少人？
答：女生有20人。



例2 小明和哥哥的年龄和是23岁，哥哥比小明大3岁，问小明和哥哥各几岁？
答：小明10岁，哥哥13岁。



例3 某班46名同学去划 船，一共乘坐10只船，大船坐6人，小船坐4人，全部
坐满。问大船和小船各几只？
答：大船有3只，小船有7只。



例4 松鼠妈妈采松子，睛 天每天可采20个，雨天每天可采12个，它一连几天采
了112个松子，平均每天采14个，问这几天 当中有几天有雨？
答：这几天当中有6天雨天。

例5 康大学校三（2）班学生合买一件纪念品，如果每人出6分则多4角8分，
如果每人出5 分，则少3分，求这个班学生的人数。
答：这个班学生共有51人。



例6 三个数的平均数是8．6 ，其中第一个数是9．1，第二个数比第三个数小0．1，
求第三个数。
答：第三个数是8．4。



例7 一个大人一餐能吃四个面包 ，四个幼儿一餐只吃一个面包，现有大人和幼儿
共100人，一餐刚好吃100个面包，这100个人中 ，大人和幼儿各有多少人？
答：大人有20人，幼儿有80人。



例8 一条船在两个码头之间航行，顺水行全程要4小时，逆水行全程要5小时，
已知水流的速 度是2千米小时。问这条船在静水中的速度是多少？
答：这条船在静水中的速度为18千米小时。



例9 解放军某部快艇追击敌舰，追到A岛时敌舰已逃离该岛12分钟 ，敌舰每分
钟行1000米，我军快艇每分钟行 1360米。如果距敌舰600米处可以开炮射击，解 放
军快艇从A岛出发经过多少分钟可以开炮射击敌舰？
答：解放军快艇从A岛出发经过35分钟可以开炮射出敌舰。



在列方程解应用题时，如果直接设题目里所求的未知数是x，称这种设未知数的
方法为直接设元法。有 时不直接设题目里所求的示知数是x，而间接设题目里另一个
未知数为x，这样列方程与解方程都比较方 便，称这种设元法为间接设元法。

例10 小李和师傅共同做一批机器零件，30天完成 了任务，

已知师傅每天比小李多做2个，而小李在中途请假5天，于是，小李完成的零件 个数
恰好是师傅的一半，求这批零件的总个数。
答：这批零件一共有225个。
例11 男生和女生平均每人植树16．5棵，男生24人，共植树506棵，女生平均
生人植 树11棵。求男、女生共植树多少棵？
答：男、女生共植树726棵。



例12 三年前母亲的岁数是儿子岁数的6倍，今年母亲35岁，儿子今年几岁？
答：儿子今年8岁。



例13 已知篮球、足球、排球平均每 个36元，篮球比排球每个多10元，足球比
排球每个多8元，每个足球多少元？
答：每个足球是38元。



1
，求这个六位数。 例14 设六位数
abcde
乘以3后变为
abcde
答：这个六位数是14 2857。

x＝142857。




例15 一个通讯员骑自行车需要在规定时间内把信件送到某地，每小时走15千米
可早到24分钟，如果每小时走12千米就要迟15分钟。求原规定时间是多少？他去
某地的路程有多远 ？
答：原规定时间为3小时，他去某地的路程为39千米。





例16 甲、乙、丙、丁四人共做零件270个，如果甲多做

10个，乙少做10个，丙做的个数乘以2，丁做的个数除以2，那么四个人做的零件数
恰好相等。 问：丙实际做了多少个？
答：丙实际做了30个零件。
例17 某农机厂加工车间77个工 人。已知每个工人每天可以加工甲种零件5个或
乙种零件4个，或丙零件3个。但加工3个甲种零件、1 个乙种零件和9个丙种零件
恰好配成一套。问：应安排生产甲、乙、丙种零件各多少人，才能使生产的三 种零件
恰好配套？
答：应安排生产甲、乙、丙三种零件的人数分别为12人、5人和60人。




例18 一条船往返于甲、乙两地之间，由甲至乙是顺流行驶，由乙至甲是逆水行驶，已知船在静水中的速度为
每小时8千米，平时逆水与顺水所用时间为 2：1。某天
恰逢暴雨，水流速度为原来的2倍，这条船往返共有9
小时。问甲、乙两地相距多 远？
答：甲、乙两地相距20千米。





例19 有四个数，从中每次取出三个数相加，得到四个和分别是22、24、27和
20，试求这四个数。
答：所求四数为9，7，4，11。




例20 一块长方形的地，长和宽的比是5：3，长比宽多24米，这块地的面积是
多少平方米？
答：这块地的面积是2160平方米。



练习

1．妈妈今年50岁，儿子今年26岁，几年前妈妈的年龄是儿子的4倍？


2．五（1）班的同学去划船，他们租了一些船，如果每船8人，则余1人，如果
每 船9人则船上有5个空位，求五（1）班共有学生多少人？

3．张明从家到学校，如果以每分钟60米的速度走，则比以每分钟80米的速度
多用 10分钟。求张明家到学校有多少米？

4．有甲乙两堆小棒，如果从甲堆拿1根到乙堆，则 甲比乙还多2根；如果从乙
堆拿1根到甲堆，则甲堆的根数是乙堆的2倍。求甲乙两堆的小棒各多少根？

5．有甲乙两堆苹果，从甲推中拿走2个后，甲堆剩下的个数是乙堆的2倍。再
从乙 堆拿走3个苹果，这时甲堆剩下的个数是乙堆剩下个数的3倍。求乙堆原来共有
多少个苹果？

6．康大学校五年级有三个班，平均每班有46人。已知一班比二班多9人，二班
比三班少6人 。求五年级一班有多少人？

7．有一个两位数，如果在其两个数字之间添一个0，则得到的三位数是原来这个两位数的9倍。求原来这个两位数是多
少？

8．妈妈买回一筐苹果 ，按计划天数，如果每天吃4个，则多出48个苹果；如
果每天吃6个 ，则又少8个苹果。问：妈妈买回苹果多少个，计划吃多少天？

9．有50名同学参加联欢 会，第一个到会的女生同全部男生握过手；第二个到会
的女生只差一个男生没握过手；第三个到会的女生 只差2个男生没有握过手，如此等
等。最后一个女生同7个男生握过手，问50个学生中有多少男生？

10．铁路旁的一条平行小路上，有一群人同时向南行进，行人速度为3．6千米
小 时，骑车人速度为10．8千米小时，这时有一列火车从他们背后开过来，火车通过
行人用22秒钟，通 过骑车人用26秒钟，这列火车身总长是多少？

11．某图书馆原有科技书、文艺书共63 0本，其中科技书占20%，后来又买进一
些科技书，这时科技书占总数的30%。买进科技书多少本？

12．在环行跑道上，两人都按顺时针方向跑马观花时，每12分钟相遇一次，如
果 两人速度不变，其中一个改成按逆时针方向跑，每隔4分钟相遇一次，问两人各跑

一圈需 要几分钟？


13．某人在公路上行走，往返公共汽车每隔4分钟就有一辆
与此人迎面相遇，每隔6分钟就有一辆从背后超过此人。如果人
与汽车均为匀速运动，问汽车站每隔几 分钟发一班车？

14．康大五年级二班举行一次数学测验，采用5级计分制（5
分 最高，4分次之，以此类推）男生平均成绩为4分，女生的平
均成绩为3,25分，而全班的平均成绩为 3．6分。如果该班的人数介于30与50之间，
问有多少男生和女生参加了测验？

15．甲、乙二人做同一个数的带余除法，甲将其除以8，乙将其除以9，甲所得
的商数与乙所得的余 数之和为13，试求甲所得的余数。

16．妈妈带一些钱去买布，买2米布后还剩下1．8 0元；如果买同样的布４米则
差2．40元。问：妈妈带了多少钱？

17．第一车 间工人人数是第二车间工人人数的3倍，如果从第一车间调20－名工
人去第二车间，则两个车间的人数 相等，求原来两个车间各有工人多少名？

18，两个水池共贮水40吨，甲池注进4吨，乙 池放出8吨，甲池水的吨数与乙
池水的吨数相等，两上水池原来各贮水多少吨？

1 9，两堆煤，甲堆煤有4．5吨，乙堆煤有6吨，甲堆煤每天用去0．36吨，乙
堆煤每天用去0．51 吨。几天后两堆煤剩下吨数相等？

20．小龙、小虎、小方和小圆四个孩子共有45个球， 但不知道每个人各有几个
球，如果变动一下，小龙的球减少2个，小虎的球增加2个，小方的球增加一倍 ，小
圆的球减少一半，那么四个人球的个数就一样多了。求原来每个人各有几个球？

21．有一批旅游者需用轿车接送，轿车有甲、
乙两种，用3辆甲种轿车，4辆乙种轿车（恰满载）< br>需跑5趟；如果用5辆甲种轿车和3辆乙种轿车（恰
满载）只需跑4趟，请问哪种轿车从的乘客多 ？

第七章 容斥原理
边长是4厘米与边长是5厘米的两个正方形，如右图放在桌面
4
上（阴影部分是两正方形重叠部分），试求覆盖桌面的面积。解决
2 2
这一问题， 如只简单地把两个面积相加（4×4＋5×5＝41）显然是
错误的，这是因为我们多计算了一块阴影部 分的面积。这个面积是
5
2
2
÷2＝2（平方厘米），所以要将这块面积
排除掉。
覆盖面积 是：4
2
＋5
2
－2
2
÷2＝39（平方厘米）。上例告诉
我们，要求覆盖桌面的面积是多大。可以先将这两个面积加
起来，然后减去重叠部分。
同样，在数的计算中，也有类似的问题。如：六（1）班
同学在《少年报》和《儿童世界》两种报刊中 ，至少要订一
份。其中，订阅《少年报》的有25人，订《儿童世界》的有
31人，订阅两种报 刊的有4人，求六（1）班学生数。
要求六（1）班学生数，不能简单地用25＋31直接求得，这是 因为重复包含的4
人加了两次，所以，六（1）班人数应为25＋31－4＝52（人）。
以 上两例告诉我们，这种有重复包含的问题，解题时应考虑排除由于相互包含而
多计算的部分。这一原理， 我们称为包含排除原理。即容斥原理。正确运用这一原理，
可以帮助我们解答抽象的数学问题。

例1 求50以内5的倍数和7的倍数的数的个数。
答：50以内5的倍数和7的倍数的个数是16。


例2 在1到500这500个数中，不能被7和9整除的数共有多少个？
答：在1～500这500个数中，有381个数不能被7和9整除。


例3 某班50个学生每人至少参加一个兴趣小组，其中有37人参加
科技组，25人参加作 文组，求同时参加两个兴趣小组的人数相当于全班人数的百分之
几？
答：两组都参加的人数占全班人数的24%。


例4 50名同学参加 兴趣小组，参加生物组的40人，参加数学组
的28人，两个兴趣小组均参加的有几人？只参加生物组跟 只参加数学

组人数的比是多少？
答：只参加生物组跟只参加数学组人数的比是11∶5。
例5 一家电维修站，有80%的 人精通彩电修理业务，有70%的人精通冰箱修理
业务，10%的人两项业务都不熟悉，求两项业务都精 通的人占总数的百分之几？
答：两项业务都精通的占总人数的60%。


例6 如右图所示，三个正方形面积分别为25平方厘米，
甲
16平方厘米，9平 方厘米，它们叠在一起，盖住的面积为32平
方厘米，且甲与乙公共部分为10平方厘米，乙与丙公共部 分为
6平方厘米，甲、丙公共部分为7平方厘米，求阴影部分的面
乙
积。
丙
答：阴影部分的面积为5平方厘米。


例7 全班同学对 作文、数学、自然三科中至少有一门感兴趣，其中30人喜欢作
文，32人喜欢数学，21人喜欢自然， 既喜欢作文又喜欢数学
的15人，既喜欢数学又喜欢自然的12人，既喜欢作文又喜
欢自然的1 4人，三门都喜欢的有8人，求全班总人数？
答：全班总人数是50人。


例8 某班有52人，其中会下棋的有48人，会画画的有37人，会跳舞的有39
人，这个 班三项都会的至少有几人？
答：这个班三项都会的至少有20人。


例9 每边长为10厘米的正方形纸片，正中间挖一个正方形的洞，成为宽1厘米
的方框把五 个这样的方框放在桌面上，成为右图的图案。问桌面上被这些方框盖住部
分的面积是多少平方厘米？（首 届华罗庚金杯赛初赛试题）172（平方厘米）


练习
1．六（1）班 54名学生都订了报纸，其中订阅《儿童报》的有34人，订阅《少年的》
的有30人，有多少订阅了两 种报纸？

2．1～200中，能被3和5整除的数共有多少个？

3．1～1000中不能被5和7整除的数共有多少个？

4．五（ 1）班有58人参加三项课外活动小组，其中32人参加文学组，24人参加美术
组，30人参加音乐组 ，既参加文学组又参加美术组的有13人，既参加美术组又参
加音乐组的有12人，既参加文学组又参加 音乐组的有11人，三项活动小组都参加
的有几人？

5．如图，△ABC是直角三 角形，AC＝4厘米，BC＝
1
AC，以BC、AC分别为直
2
径画半圆，两 个半圆的交点D在AB边上，求图中阴
影部分的面积。


A
C
6．两辆汽车从A、B 两地同时出发相向而行，客车
每小时行32千米，货车每小时行30 千米，两车相遇
后又离去。已知出发5小时后两车相距93千米，求
AB两地相距多少千米？


7．100个学生中，每人至少懂一种外语，其中75人懂法语，83人懂英语， 65人懂日
语，懂三种语言的有50人，懂得两种外语的有几人？


8． 100个青年中，会骑自行车的83人，会游泳的75人，两样都不会的有10人，两
样都会的有几人？

9．康大学校第14届秋季运动会中，参加100米短跑的共156
人，比参加20 0米短跑的少40人，比参加50米短跑的多
26人，同时参加100米和50米短跑的有74人，同时 参加
200米和100米的有80人，是同时参加50米和200米人
数的2倍，同时参加50 米、100米和200米的有30人，求这届运动会中参加50、
100米和200米的共有多少人？

10．五（6）班有54人参加秋游活动其中35人喜欢玩“捉特务”，45人喜欢玩“老鹰
捉小鸡”，40人喜欢踢足球，50人喜欢跳牛皮筋，你是否可以肯定这个班至少有多
少学生对 这四项活动都喜欢。
11．康大六校五年二班学生参加语文、数学、英语三科考试，90分以上的语文 有21
人，数学有19人，英语有20人，语文、数学都在90分以上的有9人，数学、英
语在 90分以上的有7人，语文、英语都在90分以上的有8人，另有5人三科都在
D
B

90分以下，这个班最多能有多少人？
12．分母是385的最简真分数共有多少个？
解题思路点滴－－ 对应法
依据问 题中数量之间的对应关系来解题的方法叫做对应法。在现实生活中，存在
着大量的数量对应关系，如买1 5本书需150元，15本与150元是数量与总价的对应；
3小时行120千米，3小时与120千米 是时间与所行路程的对应；一条路的
千米，
3
是600
5
3
与600千米是分率与具体数量的对应……对应关
5
系是数量之间最明显的关系，也是数量之间 转换的钥匙，
因此，对应思想是一种最基本的辩证思维。试分析下面各
题中的对应量。
1．文艺书是科技书的2倍，连环画是科技书的3倍。
已知文艺书有500本，科技书、连环画各有多 少本？
250（本）……科技书的本数
750（本）……连环画的本数
2．甲打 字员每小时打1960字，乙打字员每小时打2000字，一份书稿甲打字员
打了5小时后，由乙打字员 接着打，又过了4小时正好打完。这份书稿共有多少字？
例1 明明到超市买鱼，第一次用15元钱 买回3千克鱼，第二次买同样的鱼多花
了10元钱，第二次比第一次多买回鱼多少千克？（鱼的价格不变 ）2千克

例2 粮站运回面粉4500千克，大米15000千克。每袋面粉25千克， 每袋大米
75千克。运回的大米比面粉多多少袋？(20袋)
例3 小花家养的羊和鸡共3 6只，并知羊和鸡的脚的只数一样多，算一算，小花
家养的羊和鸡各多少只？(24只)

例4 飞机3小时飞行2250千米，汽车8小时行320千米，飞机每小时飞行的速
度比汽 车快多少千米？(71千米)

例5 两列火车分别从甲、乙两站相对开出，甲火车每小< br>时行49．8千米，乙火车每小时行48．5千米，如果相遇时
甲火车比乙火车多行了2．6千米 ，求相遇时甲、乙两火车各
行了多少千米？(97千米)
例6 汽车第一天行了3小时，第 二天行了4小时，第三
天行了5小时。第一、二天共行了280千米，第二、三天
共行了360 千米，汽车平均每小时行多少千米？(40千米)

例7 康大学校买来15个篮球和10 个足球，共用545

元。已知一个篮球和一个足球共42．5元，求每个篮球、足球各多 少元？(18.5,24)
练习
1．一箱鸡蛋重40千克，一箱鸭蛋重42千克。一个收购 站运进鸡蛋50箱，鸭蛋
60箱，运进的鸭蛋比鸡蛋多多少千克？


< br>2．两块地收了同样多的苹果，从第一块地里运走32000千克，还剩下97600千
克，从第 二块地里运走的苹果是第一块地里运走的3倍。第二块地里还剩苹果多少千
克？



3．从甲村到乙村正好翻一座小山，甲村在山南，乙村在山北，南
坡长200米，北 坡长400米。一天张峰同志从甲村到乙村办事，他上
坡时每分走40米，下坡时每分走50米。张峰同 志在乙村办完事之后
又原路返回甲村，张峰同志从甲村到乙村往返一次共用多少时间？



4．甲、乙二人同时从A地去相距90千米的B地，甲的速度是乙的3倍，甲比乙
早到3小时。甲、乙两人的速度各是多少？



5．一个气象小 组在一周内，每天早晨8点测得室外的温度分别是：18度、17度、
18度、14度、16度、15度 、`4度。求这一周早晨8点室外的平均温度是多少？



6．高级奶糖 每千克10元，普通奶糖每千克6元，水果糖每千克2元，现将2千
克高级奶糖、3千克普通奶糖和5千 克水果糖混合在一起。问这种杂拌糖每千克多少
元？



7．水 果店运进一批水果，苹果的重量是梨的3倍，西瓜的重量是苹果的4倍。
已知梨比苹果少240千克，三 种水果各运进多少千克？

解题思路点滴－－设数法
有 些数学题涉及的概念易被混淆，解题时把握不定，还有些数学题是要求两个（或
几个）数量间的等量关系 或者倍数关系，但已知条件却十分抽
象，数量关系又很复杂，凭空思索，则不易捉摸。为了使数量
关系变得简单明白。可以给题中的某一个未知量适当地设一个
具体数值，以利于探索解答问题的规律， 正确求得问题的答案。
这种方法就是设数法。设数法是假设法的一种特例。
给哪一个未知量设 数，要便于快速解题。为了使计算简便。
数字尽可能小一点。在分数应用题中，所设的数以能被分母整< br>除为好。若单位“1”未知，就给单位“1”设具体数值。

例1 判断下面各题。（对的打√，错的打×）
（1）除1以外，所有自然数的倒数都小于1。（ ）
（2）正方体的棱长和它的体积成正比例。（ ）

例2 六年级同学中，男生人数比女生人数多
几？
答：女生人数比男生人数多

例3 某人骑自行车从A地往B地。去时用了
1
小时，沿原路回家时，速度比
原来加快
1
，女生人数比男生人数少几分之
3
1
。
4
1
5
1
，那么需要多少小时？
3
9
答：回家时需要小时。
10

例4 已知甲校学生 数是乙校学生数的40%，甲校女生数是甲校学生数的30%，
乙校男生数是乙校学生数的42%，那么 ，两校女生总数占两校学生总数的百分比
是 。
答：两校女生总数是两校学生总数的50%。

例5 如图，正方形面积为20平方厘米，求阴影部分
的面积。
答：阴影部分的面积为4．3平方厘米。

解题思路点滴－－归纳与递推
归纳与递推是数学竞赛中考查的重要方法。其中 归纳有完全归纳法（如枚举法）
和不完全归纳法；递推法有正向递推法，也有逆向递推法。
例1 在下面各列数中的横线上填上适当的数。
12346
，，，， ，；
23457
2533
（2），1，，， ，；
3642
（1）
（3）1，2，4，8， ，32；
（4）1，10，19，28， ，46；
（5）1，3，7，13， ，31；
（6）1，3，8，15， ，35；
（7）1，3，4，7， ，18。
【分析与解】给数列填数问题的基本解法是按数据特点归纳出数据关系形成数列
通项 ，或发现前后之间的递推关系，进一步按通项或由递推式填出横线上的数。
（1）该数列的第n项形如
n5
，而横线上的是第5项，故应填；
n16
（2）按分母特点把各项还原成分数
246812
，，，， ，
34568
2n10
故第n项形如，横线上应填；
n27
（3）把各项分解质因数得
1，2，2
2
，2
3
， ，2
5
；
－
故第n项形如2
n1
，横线上的数＝2
4
＝16。
（4）易观察得：每项加上9便得后面一项，故横线上的数是29＋9＝37。
（5）设横线上的数是x，则将数列中各项与前项相减组成新数列得
2，4，6，x－13，31－x。
∴x－13＝8，且31－x＝10；
故x＝21。
∴横线上应填21。
（6）容易看出数列的第n项形如n
2
－1，横线上是第5项，故应填24。
（7）容易看出，每两项相加便得后面一项，故横线上的数是11。
【评注】分析数据之间的 关系，归纳出数列通项，或相邻项之
间的递推关系，是解填数问题的常用方法。其中常用的技巧有：差< br>分法、 分数化法、分解质因数法、设未知数法等。

例2 数列1，3，2，－1， －2，1，…，的第n项a
n
及其后面

两项a
n
＋< br>1
，a
n
＋
2
之间满足关系式a
n
＋
2
＝a
n
＋
1
－a
n
。求这个数列的前2000 项之和。（前2000
项的和＝333×（1＋3＋2－1－3－2）＋1＋3＝4）

例3 求1999
1999
的个位数字。（9）


例4 现有100个数按递推排列，其中第一个数是0，第二个数是2，并且从第二
个数起每个数的三倍都等于 其前后两个数之和，问第100个数被6除所得余数是几？
（2）

例5 （1）平面上5条直线最多能把一个圆的内部分成几部分？（16）
（2）平面上100条直线最多能把一个圆分成多少部分？（5051）


例6 平面上100个不同的圆最多把平面分成多少部分。
（99092）

例7 王大爷卖西瓜，第一次卖了全部的一半又半个；第二
次卖了余下的一半又半个；第三次卖 了第二次余下的一半又半
个；第四次卖了第三次余下的一半又半个。最扣还剩下一个西
瓜，问王 大爷原来一共有多少个西瓜？（31）


例8 如果
xyz
＝x
3
＋y
3
＋z
3
，则称三位数
xyz
为芙 蓉花数，试求出大于400而小
于500的所有芙蓉花数。


练习
1．请你根据下列各个数之间的关系，在括号里填上恰当的数
（1）1，5，9，13，17，（ ）
（2）0．625，1．25，2．5，5，（ ）
（3）
2345( )
，，，，…，
10162228
58
（4）198，297，396，495，（ ），（ ）。
2．从1到1001的所有自然数按图排列，用一个正方形框子框出九个数，要使这
九个 数的和等于
（1）1994，（2）2529，（3）1998。
问能否办到？若能办到，请你写出正方形框里的最大数和最小数。

1 2 3 4 5 6 7
8 9 10 11 12 13 14
15 16 17 18 19 20 21
22 23 24 25 26 27 28
29 30 31 32 33 34 35
36 37 38 39 40 41 42
…… ……
995 996 997 998 999 1000 1001
3．假设刚出生的雌雄一对小兔过两个月就能生下雌雄一对小兔子，此后每月生
下一 对小兔。如果养了初生的一对小兔，问满一年共可得多少对兔子？
4．（抢30）两人按自然数顺序轮 流报数，每人每次只能报1个或2个数。比如第
1个人可以报1，第2个人可以报2或2，3；第1个人 也可以报1、2，第2个人可以
报3，或3、4。这样继续下去，谁报到30，谁就胜。请问，谁有必胜 的策略？
5．54张扑克牌，两个人轮流拿牌，每人每次只能拿1张到4张，谁取最后一张
谁 输，问先拿牌的人怎样才能保证获胜？
6．有三堆火柴，其根数分别为17，15，3。现有甲、乙两
个轮流从其中的任意一堆取走火柴，每次至少取1根，也可以
全堆取完但不允许跨堆
A
5

取。判定取到最后火柴
者为胜。问甲先取时是否有必胜的策略？
A
4

A
6

7．有10个村庄，分别用A
1
，A
2
，…A
10
A
7

A
3

表示，某人从A
1
出发按箭头方向绕一圈最后经由A
10
到A
1
，有多少种不同走法？注：每点（村）
A
2

A
8

至多过一次，两村之间，可走直线，也可走圆
周上弧线，但都必须按箭头方向走。
A
10


A
9

A
1

8．某足球邀请赛有十六个城市参加，每市
题7
派出甲、乙两队。根据比赛规则，每 两队之间
至多赛一场，并且同城市的两个队之间不进行
比赛。比赛若干场以后进行统计，发现除 A市甲队外，其他各队比赛过的场数各不相
同，问A市乙队赛过多少场？

第一章 图形计数
计数就是数数，在四年级分册里已 介绍了数线段，数长方形和正方形的方法，知
道计数的关键是不遗漏、不重复。要做到这一点，必须按照 一定的规律，有次序、有
条理地数。
图形的计数内容很广，包括数线段的条数，角的个数，< br>长方形、正方形、三角形、平行四边形、梯形等图形的个
数，也包括数立体图形的个数。图形的计 数一般有两种思
考方法：其一是公式计算法，其二是分类计数法。前面学
习的线段、长方形和正 方形的计数就属于公式计算法。
（1）一条线段有两个端点，若这条线段上有n个点，
那么线段总数是
（n－1）＋（n＋2）＋…＋3＋2＋1

（2）如果一个长方形的长边上有 n个小格，宽边上有m个小格，那么长方形的
总数是
（1＋2＋3＋…＋n）×（1＋2＋…＋m）
（3）如果把正方形各边都n等分，那么正方形的总数是
222222
n＋（n－1）＋（n－2）＋…＋3＋2＋1
上面计算线数的方法也 可用于计算角的个数，而且，根据这些计数方法在以后还
可以类推出立体图形的计算方法。
试一试
下面图形分别有多少个三角形、长方形和正方形。




本讲着重给同学们介绍另一种计数的思考方法――分类计数法。
这种计数法的关键是根据图形的某一特征，将要数的图形进行分类，然后分别计
数。

例1 数一数图1中共有多少个三角形？（28个）


A

图1

G
F
B E

例2 数一数下图中共有多少个三角形？（35个）
H
N

M

C D
图2

D

例3 数一数图3中共有多少个三角形？
E
B
（12个）
T

A
N
C
F
例4 图4中可以数出多少个三角形？（42个）
图3


C

例5 图5中有16
个点，排成4×4的方
F
阵，可以连成几个正方
形？
B
A
图4

（1）面积是1平方单位的正方形有9个（3×3）
正方形有9个（3×3）
（2）面积是2平方单位的正方形有4个（见下图）
· · · · · · · · · ·
· · · · · · · · · ·
· · · · · · · · · ·
· · · · · · · · · ·
· · · · · · · · · ·

图中的正方形可以分割成四个等腰直角三角形，每两个三角形刚好拼成 一个小正
方形，因此它的面积是2平方单位。这样的正方形还可以画出3个。
3）面积是4平方单位的正方形有4个（见左下图）

· · · · · · · ·
· · · · · · · ·
· · · · · · · ·
· · · · · · · ·
（4）面积是5平方单位的正方形有2个（见右上图，图中只画出一个，另一个
请同学们画一画）。因为所画出的正方形的面积等于大正方形的面
积减去4个直角三角形的面积，每个 直角三角形的面积是2×1÷
2＝1平方单位，因此正方形的面积是9－1×4＝5平方单位。
（5）最后，面积是9平方单位的正方形只有1个，其余面积
分别为3，6，7，8平方单位的正方形 是连不出来的。
因此，因5中的16个点共可连成正方形
9＋4＋4＋2＋1＝20（个）。
分类计数法，最重要的是确定好分类标准。即按什么分类 ，对于不同的图形，应
选择不同的分类标准。这就要求同学们认真审题，善于根据图形的特点和构成特征 ，
灵活地选择好分类标准。

例6 四边形ABCD中有一点O（如图），从O点到 四条边的垂线都是4厘米，已知
这个四边形的周长是36厘米，问四边形ABCD的面积是多少平方厘米 ？

A
A D
D


O
O

B C B C

答：四边形ABCD的面积为72平方厘米。
练习
1．数一数，下图中各有多少个三角形？

题1
2．数一数，下图中有多少个三角形？




题2

3．下图中AB、CD、EF、MN互相平行，则图中梯形个数与三角形的个数的差是多
少？






题3
4．下图的（1）和（2）中各有多少个三角形？








（1）
题4
（2）
各分点作边的平行线，在所5．将△ABC的每一边4等分，过
得下中有多少个平行四边形？



题5

第二章 三角形
第一节 三角形的内外角和
我们知道，三角形的三个内角的和等于180º，我们自然要问 ，
四边形、五边形、更多边形的多边形，它们的内角和又是多少？
假如能把四边形划分成三有 形的话，那么求四边形内角和的问
题就转化为求三角形内角和的问题？怎样划分呢？
如图6－ 1，我们将四边形相对的顶点A和C连接起来，则AC
把四边形ABCD划分为三角形ACD和三角形A BC。显然，四边形ABCD的四个内角和就
等于这两个三角形内角和的和，也就是180º×2＝36 0º。
五边形的内角和等于多少呢？图6－2，与求四边形内角和的做法相同，连接AC、
A D，这两条对角线就把五边形分为三个三角形。因此，五边形的内角和等于三个三角
形内角和的和，即1 80º×3＝540º。

D
D
C


E
C



A
B
A
图6－2
B
图6－1

同样道理，对于图6－3中的六边形，AC、AD、AE这 三条对角线将它分成四个
三角形，因而，六边形的内角和等于四个三角形的内角和，即即180º×4＝ 720º。
由此，我们发现，多边形的内角和一定＝180º×（边数－2）。
练一练：
（1）156边形的内角和是多少？
（2）1999边形的内角和是多少？
例1 已知一个四边形的一个内角是46º，第二个内角是第
一个内角的3倍，第三个内角是第二个内角的一半 ，求第四个
内角。
答：第四个内角为107º。
例2 如图6－4，已知五边形ABCDE，F是AE的延长线与CD延长线的交点，∠
A＝∠B＝


F



A
1
∠C，∠FED＝55º，∠FDE＝65º，求∠A的度数。
3
F
E
D
E
C
图6－3
B
A
图6－4
D
C
B

Q
P
N M
L
K




A
D
C
B
I
E F
G
J
题5
H
70º
答：∠A的度数是50º。

例3 如图6－5所示，∠1＝∠2，∠3＝∠4，求∠
5的度数。
1
5
3
2 4

图6－5
例4 如图6－8，求∠1的度数。
B

D
C
65º


C

2
E
25º
30º

1
A

B A D
图6－8
图6－7

答：∠1的度数是120º。
例5 计算图6－9中，∠A、∠B、∠C、∠D、∠E、∠F、∠G
和∠H这八个角的和。
练习
1．试求八边形、十九边形的内角和。

2．如图，四边形ABCD，∠A＋∠C＝210º，∠D＝2∠B，试求∠B。

A
K
F
1
F
J
2
I
D
3
A
H
B
D A
70º
C
E
2
40º
O
1
题3
C
3
30º
4
B
题4
C
题2
B

3．如图，求∠1，∠2，∠3。
5
1

2
4．如图，已知：∠ABC－90º，∠DCG＝90º， 求∠1＋∠2＋∠3＋∠4。
6
5．如图，试求∠A＋∠B＋∠C＋∠F＋∠G＋∠H＋∠J＋∠K＋∠L＋∠N＋∠P＋∠Q。
8
7
3
6．如图，已知：∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180º,求∠5＋∠6＋∠7＋∠
4
8。
题6

G

第二节 三角形的分割
康大学校有块植物园地，生物小组的同学们在上面种植花草，一次他们想把这块
三角形的园地分分成面积相等的两部分，以便种植两种不同的花为籽进行试验，怎么
分呢？他们请数学小 组的同学们帮忙，呵，数学小组的同学们马上就给他们提出了下
面的3种方案，见图1，其中D、E、F 分别是AB、BC、AC边的中点，同学们，你们明
白这样分的道理吗？下面我们就一起来研究一下这个 问题。


C C
C

E

F
B
B
A
A
D A
B
（b）
（

a）
图1
（c）
在图1（a）中，线段CD把三 角形ABC分成了两部分，即三角形ADC和三角形BCD，
因为D是AB的中点，所以AD＝DB。过 C点作CM垂直AB（如图2），则CM是三角形
ADC的高，也是三角形DBC的高，根据三角形的面 积公式，有：
三角形ADC的面积
C
＝AD×CM÷2
三角形DBC的面积
＝DB×CM÷2
A
D
M
B
因为AB＝DB，所以有：
图2
三角形ADC的面积＝三角形DBC的面积
也就是说，线段CD把三角形ABC分成了面积相等的两部分。
同样的道理，在图1（b）、 （c）中，线段AE和线段BF也把三角形ABC分别分成
了面积相等的两个部分。
上面的分 法实际上是依据了这样一条结论：等底等高的三角形面积相等。这是一
个非常重要的结论，在解决多边形 面积的许多问题中都要利用它。
例1 将任一三角形分成面积相等的六个三角形，应怎么分？
根据上面的分析，便可得到如图3所
A A A
示的一种分法。
A A
A


C
B
C
B
C
B

图
C
B
B
C
B
C

A A A
图



C C
B
C
B B
图

于这样的 分法，我们还可以画出许多，这里就不一一列举了。积分出三个16，再把
余下的36等分成3份。
根据上面的分析，又可以得到如图6所示的又一种分法。
例1介绍的几种六等分三角形的方法 ，有一个共同的特点，就是想办法找等底等
高的三角形，而找这种三角形的办法，又都是几等分某一条线 得到的，掌握了这一特
点，几等分三角形的问题就不难解决了。当然，几等分三角形的面积，除了上面介 绍
的几种方法以外，还有其它方法，这里就不一一介绍了。

A A A



C
B
C
B
C
B

图6
现在我们已经知道了，等底等高的三角形面积一定相等，同学们进一步想一想，
如果两个三角形的底相等，高不相等，它们的面积有什么关系
呢？例如，两个底边长度都为10的三角形 甲和乙，三角形甲
的高为9，三角形乙的高为27，根据三角形面积公式，可知：
三角形乙的面 积是三角形甲的面积的3倍，也就是说三角形甲
和乙的面积之比为1：3，又如，两个底边长度都为10 的三角
形甲和乙，三角甲的高为8，三角形乙的高为18，则三角形甲
和乙的面积之比为4：9 。类似地，我们还可以举出许多例子，
由此可以看出，如果两个三角形底的长度相等，高的长度不相等， 那么它们的面积之
比正好等于这两个三角形高的长度比。
同样的道理，我们还可以推出，如果 两个三角形高的长度相等，底的长度不相等，
那么这两个三角形的面积之比正好等于它们的底的长度比， 因此我们有下面的结论。
如果甲、乙两个三角形的高（底）的长度相等，那么甲、乙两个三角形的面积 之
比等于它们的高（底）的长度之比。
例2 把三角形ABC分成甲、乙、丙三部分，使甲的面积是乙面积的3倍，丙的面
积是乙的面积的4倍。
。
A
例3 在图8的三角形ABC中，DC＝3BD，
CE＝3AE，阴 影部分的面积是20平方厘米，求
三角形ABC的面积。（120（平方厘米）
甲
乙
丙

A

C
B
图7



B
C
D
图8

练习
1．将任意一个三角形的面积四等分、五等分，你能找到三种以上的方法吗？



2．见下图，在三角形ABC中CD是AC的，E是BD的中点，你能在原图形的基础
上将三角形ABC的面积七等分吗？
A
A


E
F

D

B
C
E
题2

C
B
题3
D


3．见图，在 三角形ABC中，如果D、E、F分别为BD、AB、AC的中点，那么线段
AD、DE、DF将三角形 ABC分成面积相等的四个小三角形，你能说明理由吗？



4．见图， ABCD是平行四边形，E是BC的中点，平行四边形ABCD的面积比三角
形ABE的面积多多少倍？
A
D




B
E
C
题4

5．如图，把大三角形分成了甲、乙两部分，乙由A、B两部分组成，求甲与 乙两
部分面积的比值。
3

4．5
甲


4．5
B
乙


题5

第三节 三角形面积的变化
我们在课本上已经学过三角形的面积计算公式：
三角形的面积＝底×高÷2
由三角形的面积公式，我们可以得出下面几个公式：
（1）等底等高的三角形面积相等。
（2）高不变，底扩大（或缩小）多少倍，三角形的面积就扩大（或缩小）相同
的倍数。
（3）底不变，高扩大（或缩小）多少倍，三角形面积就扩大（或缩小）相同的
倍数。

例1 图7－1，BD长是2，DC长是4，那么三角形ADC的面积是三角形ABD
面积的多少倍呢？（2倍）
A
A


F

B

C B
D
D
图7－2
E
C

图7－1

例2 图7－2中，BD、DE、EC的长分别 是2、6、4，是AE的中点，三角形ABC
的BC边上的高为6。求三角形DEF的面积。（9）

例3 如图7－3，已知三角形ABC面积为1，延长AB到D，使BD＝AB，延长
BC至E，使CE＝3BC，延长CA至F，使AF＝2AC，求三角形DEF的面积。

F



A

B

C
E

D
图7－3
答：三角形DEF的面积等于18。

例4 图7－4中，长方形长20，宽12，求它的内部阴影部分的面积。（120）

A B


F
E


D C
图7－4

例5 如图7－5，过梯形ABCD的顶点D作DE平行于AB 交BC于点E，交AC
于点F，三角形CDF的面积是1。求三角形BEF的面积。

D
A



F

B

E C
图7－5

例6 如图7－6，在边长为6的正方形内有一个三角 形BEF，线段AE＝3，DF＝
2。求三角形BEF的面积。（12）
B

A



E


C
D
F
图7－6

例7 如图7－7中，大正方形边长为8厘米，小正方形边长为6厘米，求阴影部
分的面积。
D

E
D
E
A

A
6

8
6 8

F

B C
F
图7－7
B C

图7－8
答：阴影部分的面积是32平方厘米。

例8 一个等腰直角三角形的斜边长是10厘米，这个等腰直角三角形的面积是多
少？



图7－10
图7－9

答：这个等腰直角三角形的面积是25平方厘米。
例9 如图7－11，两个相同的直角三角形部分
A
叠在一起。求阴影部分的面积。
3
答：阴影部分面积是32．5个平方单位。
8 B

D
5
C
图7－
E

例10 如图7－12是一块长方形草地，长 方形的长是16，宽是10。中间有两条道
路，一条是平行四边形，一条是长方形，那么有草部分（阴影 部分）的面积有多大？
答：草地部分面积有112个平方单位。
16

16
2


10
10
2


2
图7－13
2
图7－12

练习 < br>1．如图，三角形ABC的面积为1，延长AB至D，使BD＝2AB，延长AC至E，
使CE＝ 3AC。求三角形ADE的面积。
2．如图，长方形的长是6，宽是4，A和B是宽的中点。求长方形内阴影部分的
面积。
A
A
3
B
C
B
10
题2
7

E
D
C
D
题1
8

题3

3．如图，有四条线段的长度已知，还有两个角是直角，那么四边 形ABCD（阴
影部分）的面积是多少？


4．把长为9厘米，宽为6厘 米的长方形，划成如图所示的四个三角形。其面积
分别为S
1
，S
2
，S
3
，S
4
且S
1
＝S
2
＝S
3
＋S
4
，求S
4
。

A D
S
1



S
3

F

S
2

S
4

B

E
C
题4

5．如图，在平行四边形ABCD中，AC为对角线，EF平行 于AC，如果三角形
AED的面积为8平方厘米，求三角形DCF的面积。

A C


F

A
B
E
题5