贺州学院-小学同学聚会感言

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第1章数与运算
1.1 数与运算概述

1.1.1数的产生

<1）分类

分类，就是根据事物的特点进行归类，把具有相应共同特征和属性的
事物放在一起，便于研究和 讨论。

<2）比较

比较，就是对两种或两种以上的同类事物辨别异同，便 于更好地认识
同类事物，常将事物按照大小、多少、高矮、长短、轻重等进行比较。
b5E2R GbCAP

<3）多少

多少，就是对同类事物在数量上进行比较，考察它们在数量上的差
异。

<4）数数

数数，就是采用实物一一对应或口头念叨或心中默念等方式查点数
目，逐个说出数目，这是对事物的数量进行比较精确的界定。p1EanqFDPw

<5）替代

替代，就是用具体事物<比如石子、小木棍等），一一一对应的形式替< br>代要记录的物体，表述物体的数量。

<6）计数

计数，就是用语言、符号、文字等将数数的结果记录下来，便于日后
使用。

1.1.2运算与数

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在自然数范围 内，加法与乘法可以畅通无阻地进行，而减法与除法则
不行。为了小数减大数的运算，就需要引进新的数 ——负数。同样，当两
个数相除时，商不是自然数，想要表示运算的结果，就需要引进新的数—
—分数。因此，新数往往由运算的需要而产生。DXDiTa9E3d

1.2 自然数

1.2.1自然数的产生

自然数两重属性：

一是基数属性，表示一个集合一共有几个元素，即表示元素的总个
数。

二是 序数属性，当集合中的元素按一定的顺序排列时，表示某个元素
的顺序，在第几个位置上。

1.2.2自然数的基数理论

自然数的基数定义是建立在集合论的基础上。表示集合 中元素个数的
数叫做基数。有限集合的基数叫做自然数。

，，3个人组成的集合，都 认为它们是等价地构成
一类，它们具有相同的基数，用自然数3表示这个基数。

设与分别表示集合与的基数。

若与能够建立一一对应，则；

；

。

若与的真子集能够建立一一对应，则
若的真子集与 能够建立一一对应，则
1.2.3自然数的序数理论

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1889年，意大利数学家皮亚诺术原理新方法》中用公理化的方法从顺序的角度揭示了自然数的意义， 被
称为自然数的序数理论，或称为自然数的皮亚诺公理。RTCrpUDGiT

一个集合的元素间有一种基本的关系——后续<用表示），并满足
下列四条公理：

<1）
<2）任何
，对任意，；

<即）；

，有唯一的后续
<3）除1以外的任何元素，只能是一个元素的后续<即
）；

<4）若，且①，②，那么。

那么，集合的元素就叫做自然数。

皮亚诺公理完整地刻画了自然数的序列：

<1）说明了1是第一个自然数；

<2）说明了任何一个自然数的后续唯一确定；即，，…；

<3）说明了后续唯一确定前一个自然数，自然数中没有两个相等的
数；

<4）说明了自然数集合是无限集，它又被称为归纳公理，是数学归纳
法的基础。、

以皮亚诺公理为基础，可以对自然数的加法进行归纳定义：<1）设
，则
加数，
；<2）设，则。其中，和叫做
叫做它们的和。5PCzVD7HxA

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以皮亚诺公理为基础，可以对自然数的乘法进行归纳定义：<1） 设
，则；<2）设，则。其中，叫做被乘
数，叫做乘数，叫做它们的积。jLBHrnAILg

就是在的后面连续数个数，最后那个数
就是在被乘数连加次，最后的结
加法 的本质就是数数，
就是
果就是
；乘法的本质就是连加，
。xHAQX74J0 X

皮亚诺公理中的后续关系，指明了相邻自然数的大小关系。根据自然
数的加法，可 以定义任意两个自然数的大小关系。如果
，使得
。LDAYtRyKfE

1.2.4计数与读数

<1）计数

计数的发展经历了手指计数、 石子计数、结绳计数等实物计数阶段，
逐渐过渡到符号计数阶段。早期的技术方式是用一个符号表示一个 数，要
表示很多数，就需要很多符号。后来，人们使用有限的符号，按照一定的
顺序加上排列规 则来表示很多的数，这就是计数。Zzz6ZB2Ltk

计数的方法很多，目前常用的是十进 制计数法。“十进制计数法”包
括“十进位”和“位值制”两条原则。

所谓“十进位 ”，就是满十进一，即相邻两个计数单位之间的进率为
十，10个一向十位进一，10个十向百位进一， ……。dvzfvkwMI1

所谓“位值制”，就是同一个数字在不同数位上表示的数值不同。

按照十进制计数法，我国是按“四位一级”给自然数命名的。

，那么称小于，记作< br>，存在
，也称大于，记作
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①自然数的前 十个数给予单独的名称，即〇、一、二、三、四、五、
六、七、八、九，对应的大写为零、壹、贰、叁、 肆、伍、陆、柒、捌、
玖，对应的阿拉伯数字为0、1、2、3、4、5、6、7、8、9。rqyn1 4ZNXI

②按照“满十进一”的原则规定计数单位，十个一叫作十，十个十叫
作百 ，十个百叫作千，十个千叫作万，十个万叫作十万，十个十万叫作百
万，十个百万叫作千万，十个千万叫 作亿，十个亿叫作十亿，，依次为百
亿、千亿、兆，……，十、百、千、万、亿的大写分别为拾、佰、仟 、
万、亿。其中，个、十、百、千为个级；万、十万、百万、千万为万级；
亿、十亿、百亿、千 亿为亿级；……EmxvxOtOco

③其他自然数的命名，由前十个数和计数单位组合而成。

级名


亿级

百十亿

千
万级

百十
个级

万

千

百

十

个

计数单…

兆

千
位



亿

亿

亿

…












万

万

万

















<2）读数

按照我国传统习惯，我们这样读数：

不含0的数，从 低位到高位进行四位分级，然后从高位起，顺次读出
各级里的数和它们的级名。

含0 的数，从低位到高位进行四位分级，然后从高位起，顺次读出各
级里的数和它们的级名。每一级中间的0 只读一次，每一级末尾的0不
读。SixE2yXPq5

1.3 四则运算

1.3.1 加法

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<1）定义

有限集合的基数为，有限集合的基数为，且
集合的并集
，集合与
的基数为，那么叫作与的和，求两个数的和的运
；读作：加等于；其中与叫作加数，算 叫作加法。记作：
叫作和，“”叫作加号。6ewMyirQFL

在小学数学里，将 加法定义为把两个数<有时也指多个数）合并成一个
数的数学运算，其含义是合并和求和。加法的基本意 义是表示聚合，并由
聚合延伸出比较。kavU42VRUs

<2）运算律

加法交换律：
加法结合律：


拓展1：若干个数相加，任意交换 加数的位置，或者先把其中任意几个
加数作为一组加起来，再与其他数相加，它们的和不变。y6v3A LoS89

拓展2：
和不变性质：若
<3）运算法则

加 法就是数数，而且是顺着数数。把几加几的结果整理成加法表或加
法口诀。笔算加法的实质是“位值原理 ”。

1.3.2 减法

<1）定义

有限集合的基数为，有限集合的基数为，且
合的差集的基数定义为。

6
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，则。

，集合与集

个人收集整理资料， 仅供交流学习， 勿作商业用途 < br>在数学上，一般借助加法来定义减法。已知两个数和，求一个数
，使得与的和等于，这种运算叫作 减法。记作：；读作：
减等于；其中叫作被减数，叫作减数，叫作与的差，“-”叫作
减号。M 2ub6vSTnP

在小学数学里，将减法定义为从一个大数中去掉一个小数而剩下的数的数学运算，其基本意义是分离，并由聚合延伸出比较。0YujCfmUCw

<2）运算律

性质1：
性质2：
性质3：
差不变性质：若
<3）运算法则

减法就是倒着数数。减法有表内减法和表外减法。笔算减法的实质是
“位值原理”。

1.3.3 乘法

<1）定义

集合与集合的笛卡尔集定义为与中各取一个元素，构成有序数对
合。，有限的基数为，且
eUts8ZQVRd

一般地，自然数乘以自然数的结果
数为的集合构成的笛卡尔集的基数。

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，则。

。即从集合
，就是有序数对构成的集
。，集合与集合的差集的基数定义为
是指 基数为的集合和基

个人收集整理资料， 仅供交流学习， 勿作商业用途 我们借助加法来定义自然数的乘法。个相同加数的和叫作与的
积。就是。求两个数的积的运算叫作乘 法。记作：或
。读作：乘等于，或乘等于。其中与叫作乘数，叫作
积。“”叫作乘号，乘号有时 也用“”表示。sQsAEJkW5T

<2）运算律

交换律：
结合律：
分配律：
差不变性质：若
<3）运算法则

乘法法有表内乘法<九九乘法表）和表外乘法。

1.3.4 除法

<1）定义

在数学上，一般借助乘法来定义除法。已知两个数和，求一个数
，使得与的和等于，这种运算叫作减法。记作：；读作：



，则。

除以等于；其中叫作被除数，叫作除数，叫作与的商，“”
叫作除号 。GMsIasNXkA

如果我们把乘法定义为“连加”，那么除法则可以理解为“连减”，
这同“包含除”的意思是一致的。在小学阶段，学生初学除法时，让学生
理解平均分<也就是包 含除的思想）比较可行。TIrRGchYzg

推论一：
推论二：
<2）运算性质

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性质一：
性质二：
性质三：
商不变性质：若
<3）运算法则




，则。

除法法有表内除法和表外除法。

1.3.5 四则混合运算

在四则混合运算中，将加法和减法看作一级运算，乘法和 除法看作二
级运算，具体运算顺序如下：

在没有括号的算式中，如果为同一级运算， 则从左向右依次进行运
算；如果非同一级运算，则先算乘除，后算加减。7EqZcWLZNX

在有括号的算式中，先算括号里面的算式，再算括号外面的算式。如
果有多重括号，先算小括号 里面的算式，再算中括号里面的算式，最后算
大括号里面的算式。lzq7IGf02E

1.4整数

1.4.1 负整数

中国人在《九章算术》的“方程 ”一章中，在解方程时，因涉及小数
减大数，就引入了负数。汉代数学家刘徽<约225—295），给 出了正负数
的加减法则，元代数学家朱世杰给出了正负数的乘除法则。这些成果经印
度传到阿拉 伯，再从阿拉伯传到欧洲。直到17世纪，笛卡尔创立解读几
何，负数获得了几何解释和实际意义，负数 才逐渐被人们认可并使用。
zvpgeqJ1hk

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1.4.2 整数运算

在整数范围内，加减法可以畅通无阻地进行，加法交换律和结合律成
立。

数学上规定：如果
，则。

，则；如果，则；如果
在整数范围内，借 助负整数的本质，可以将整数乘法转化为非负整数
乘法来讨论。

1.4.3 整数性质

性质1：整数构成一个环，称为整数环。

性质2：整数集是有序集。

性质1：整数集是可列集。

1.4.4 特殊整数

第一个特殊整数是1，其特殊性表现在：1是构成自然数的单 位，由它
生成其他非零自然数；1是乘法的不变元，即任何数乘以1还等于自身；
乘法有了不变 元，才有逆元<即倒数），为除法奠定基础；1既不是质数，
也不是合数；1在分数中被视为整体，常叫 作单位1；在比的问题中，1作
为基准量。NrpoJac3v1

第一个特殊整数是 0，它原来不属于自然数，1993年，《中华人民共
和国国家标准》规定：0是自然数，表示一个也没 有。其特殊性表现在：0
与空集基数相对；0是加法的不变元，即任何数加0还等于自身；有了0
才有相反数，为负数创造条件；减法更广泛；有了0，产生负整数，自然
数扩大到整数。1nowfT G4KI

1.5分数

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1.5.1分数的定义

人们在生产、生活实际中，当均分、测量物体、除法运算等活 动中，
往往不能得到整数的结果，即这些问题不能在整数范围内解决，这时就要
引入一种新的数 —分数。分数是自然数的扩展，是有理数域中的一种重要
的数。fjnFLDa5Zo

<1）分数的“份数定义”

小学数学中，分数的定义是“把单位1平均分成若干份， 表示这样的
一份或几份的数，叫作分数。”一个物体或一些物体都可以看作一个整
体，把这个整 体平均分成的份数叫作分母，其中的一份或几份的数叫
作分子，分数写作
单位。tfnNhnE 6e5

当“平均分”物体时，学生要体验或经历把一个“整体”平均分成几
个“部分 ”的过程，把所得的部分与整体之间的关系用一个数来表示，逐
步形成分数的概念。HbmVN777s L

<2）分数的“比定义”

分数可以理解为两个自然数之比。分数可以看 作“一部分和另一部分
之比”，即两个自然数之比，用“线段模型”、“面积模型”、“集合模
型”等进行解释。V7l4jRB8Hs

<3）分数的“商定义”

分数可 以定义为：由自然数除以自然数所得的商，两个自
，读作：“分之”，表示一份的分数叫作分数
然数相除，如果能整除，其商为整数；如果不能整除，其商为分数。表示
两个自然数和相除的结果，记为 。83lcPA59W9

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这个定义体现了分数的本质，可以看出分数与除法运算的关系，
。

用“数线 模型”可以解释分数的“商定义”。分数的“数线模型”就
是用数直线上的点表示一个抽象的数—分数。 “数线模型”是数轴的雏
形，用相邻的两个自然数之间的点表示分数。mZkklkzaaP

<4）分数的“形式化定义”

形如<和都是整数，且）的数叫作分数。这个定义是从 形式
决定的，不考虑其现实意义。有上给出描述，即分数是由一个整数对
一个整数对就有唯一的 分数与之对应。AVktR43bpw

1.5.2分数的性质

<1）分数的相等于不等

定义：如果第一个分数的分子与第二个分数的分母的积等于 第二个分
数的分子与第一个分数的分母的积，那么这两个分数相等。即，有两个分
数和，如果， 则。ORjBnOwcEd

定义：如果第一个分数的分子与第二个分数的分母的积大于第二个 分
数的分子与第一个分数的分母的积，那么第一个分数大于第二个分数。
即，有两个分数和，如 果
<2）分数的基本性质

如果分数的分子和分母同时乘以<或除以）一个不等于零的数，分数的
大小不变。

；。



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，则。2MiJTy0dTT

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<3）约分和通分

约分：把一个分数的分子、 分母分别除以它们的公约数<1除外），化
为与原分数相等的分数，叫作约分。分子和分母互质的分数叫 作最简分
数。gIiSpiue7A

通分：把几个分数化成分母相同的分数，而不改 变每个分数的大小，
叫作通分。化成的相同的分母叫作这几个分母的公分母。uEh0U1Yfmh
1.5.3分数的四则运算

<1）分数的加法和减法

分数 的加法的意义和整数的加法相同，都是把两个数合并成一个数的
运算。但在计算时，分数的加法和整数的 加法、小数的加法相比难度更
大。IAg9qLsgBX

<2）分数的乘法和除法

分数乘法包括分数乘整数和分数乘分数。分数乘整数可以沿 用整数的
乘法思想，即求几个相同的分数相加的和，相当于几个同分母分数相加。
WwghWv VhPE

但分数乘分数不能沿用整数的乘法思想，可以借助“面积模型”来理
解。



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分数除法：已知两个分数和，求一个分数，使得与的积等于
，这种运算叫作分数的除法，记作
数，是商。asfpsfpi4k


。其中是被除数，是除
1.6小数

1.6.1小数的定义

小数的一种定义：根据十进位制的位值原则，把十进分数改写成不带
分母的形式的数叫作小数。

小数的另一种定义：小数的出现标志着十进制计数法从整数扩展到了
分数，使分数与整数在 形式上获得了统一。

小数与百分数，在形式上不同于分数，但是，它们都是从分数中分离出来的。分数中分离出十进分数，将其改写成不带分母的形式的数就是小
数。ooeyYZTjj1

将十进分数改写成不带分母的形式的数只能是一些有限小数，既不包
括无限循环小数 ，也不包括无限不循环小数。

下面给出一个比较完整的小数定义。

引理： 设是整数，且
<1）根据十进位制的位值原则，将和
其中是非负整数，是整数，且
，则 级数
记作
，则称
是收敛的。

。
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为非负有限小数。其中小圆点“.”叫作小数点。当、
为 零时，为负有限小数。BkeGuInkxI

不全
<2）根据十进位制的位值原则， 将和
。其中是非负整数，
则称
、
PgdO0sRlMo

非负无限小数和负无限小数统称为无限小数。

<3）有限小数和无限小数统称为小数。

是整数，且
记作
，
为非负无限小数。其中小圆点“.”叫作小数点。当
不全为零时，为负无限小数。
<4）小数 中小数点左边的部分叫作小数的整数部分，小数中小数点右
边的部分叫作小数的小数部分。整数部分为零 的小数叫作纯小数，整数部
分不为零的小数叫作带小数。3cdXwckm15

1.6.2小数的性质和大小比较

<1）小数的性质

第3章比例与方程

3.1 比与比例

3.1.1比
< br>比的知识在生活中应用广泛，小学数学中的比例尺、按比例分配是比
的概念的应用，比例的学习也 需要比的知识作为基础。h8c52WOngM

小学数学中，两个数与相除，叫作与的比，记 作。其
中，叫作比的前项，叫作比的后项，“”是比号。

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可以表示成除法算式的形式，也可以表示成分数的形式。
比具有次序性，即比的前项与后项是有顺序的，如和是不同的，它们
互为倒数。比的前项除以比的后项， 最终结果是一个数值，这个数值就是
比值。比的基本性质是：v4bdyGious

比的前项和后项同时乘以或处以同一个数<0除外），比值不变。

3.1.2比例

表示两个比相等的式子叫作比例，即如。组成比例的四个数
是比例的项，和是比例的外项，和是比例的内项。

比例的基本性质：在比例里，两个外项的乘积等于两个内项的乘积。
即若，则。

，则
，则
。

，。

反比定理：若
更比定理：若
3.1.3正比例与反比例

两种相关联 的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量
中相对应的两个数的比值<也就是商）一定，这 两种量就叫作成正比例的
量，它们的关系叫作正比例关系。如果用字母和表示两种相关联的
量， 用表示它们的商<一定），正比例关系可以用下面的关系表示：
。J0bm4qMpJ9
如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量就叫作成反比
例的量，它们的关系叫作反比例 关系。如果用字母和表示两种相关联
的量，用表示它们的乘积<一定），反比例关系可以用下面的关系表 示：
。XVauA9grYP

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3.1.2黄金分割比

1. 定义

把任一线段分割成两段<可以 有两个分割点），使得大段全段=小段
大段，这样的分割叫作黄金分割，这样的比值叫作黄金比。bR9 C6TJscw

2. 计算黄金比

假如设全段长为1，不妨设黄金比为，则大段=，小段=
故有
其正根
3. 黄金分割尺规作图

3.2函数

3.2.1常量与变量

比的知识在生活中应用广泛，小学数学


。

，即，解得
。

。

申明：
所有资料为本人收集整理，仅限个人学习使用，勿做商业用途。


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