腊八粥的来历-东莞英语

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2018六年级数学上册知识点归纳与整理

班级 姓名
第一单元 分数乘法
（一）、分数乘法的意义。
1、分数乘整数：分数乘整数的意义与整数乘法的意义相同，就是求几个相同加数和得简便运算。
555
例如： ×6，表示：6个 相加是多少，还表示 的6倍是多少。
121212
2、一个数（小数、分数、整数）乘分数：一个数乘分数的意义与整数乘法的 意义不相同，是表
示这个数的几分之几是多少。
例如：6×
55
，表示：6的 是多少。
1212
2525
× ，表示： 的 是多少。
712712
（二）、分数乘法的计算法则：
1、整数和分数相乘：整数和分子相乘的积作分子，分母不变。
2、分数和分数相乘：分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母。
3、注意：能约分的先约 分，然后再乘，得数必须是最简分数。当带分数进行乘法计算时，要先把
带分数化成假分数再进行计算。
（三）、分数大小的比较：
1、一个数（0除外）乘以一个真分数，所得的积小于它本身。 一个数（0除外）乘以一个假分数，
所得的积等于或大于它本身。一个数（0除外）乘以一个带分数，所 得的积大于它本身。
2、如果几个不为0的数与不同分数相乘的积相等，那么与大分数相乘的因数反而 小，与小分数相
乘的因数反而大。
（四）、解决实际问题。
1分数应用题一般解题步行骤。
（1）找出含有分率的关键句。
（2）找出单位“1”的量
（3）根据线段图写出等量关系式：单位“1”的量×对应分率=对应量。
（4）根据已知条件和问题列式解答。
2．乘法应用题有关注意概念。
（1）乘法应用题的解题思路：已知一个数，求这个数的几分之几是多少？
（2）找单位“1 ”的方法：从含有分数的关键句中找，注意“的”前“比”后的规则。当句子中的

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单位“1”不明显时，把原来的量看做单位“1”。
（3）甲比乙多几分之几表示甲比乙多的数占乙的几分之几，甲比乙少几分之几表示甲比乙少数占
乙的几 分之几。
（4）在应用题中如：小湖村去年水稻的亩产量是750千克，今年水稻的亩产量是800千 克，增产
几分之几？题目中的“增产”是多的意思，那么谁比谁多，应该是“多比少多”，“多”的是指
800千克，“少”的是指750千克，即800千克比750千克多几分之几，结合应用题的表达方式 ，
可以补充为“今年水稻的亩产量比去年水稻的亩产量多几分之几？”
（5）“增加”、“提高”、“增产”等蕴含“多”的意思，“减少”、“下降”、“裁员” 等蕴
含“少”的意思，“相当于”、“占”、“是”、“等于”意思相近。
（6）当关键句中 的单位“1”不明显时，要把关键句补充完整,补充成“谁是谁的几分之几”或“甲
比乙多几分之几”、 “甲比乙少几分之几”的形式。
（7）乘法应用题中，单位“1”是已知的。
（8）单位“ 1”不同的两个分率不能相加减，加减属相差比，始终遵循“凡是比较，单位一致”的
规则。
（9）．找到单位“1”后，分析问题，已知单位“1”用乘法，未知单位“1”用除法（注意：求单
位 “1”是最后一步用除法，其余计算应在前）。 单位“1”×分率=比较量 ； 比较量÷分
率=单位“1”
（10）．单位“1”不同的两个分率不能相加减，解应用题时应 把题中的不变量做为单位“1”，统一
分率的单位“1”，然后再相加减。
（11）．单位“1”的特点： ①单位“1”为分母； ②单位“1”为不变量。
（12）分率与量要对应。
①多的对应量对多的分率；
②少的对应量对少的分率；
③增加的对应量对增加的分率；
④减少的对应量对减少的分率；
⑤提高的对应量对提高的分率；
⑥降低的对应量对降低的分率；
⑦工作总量的对应量对工作总量的分率；
⑧工作效率的对应量对工作效率的分率；
⑨部分的对应量对部分的分率；
⑩总量的对应量对总量的分率；
例如：1、求一个数的几分之几是多少？（求一个数的几分之几用乘法计算）

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方法：单位“1”的数量×对应分率=对应数量。
2、分数的连乘。找到每一个分率的单位“1”。
（五）、倒数
1、倒数：乘积是1的两个数互为倒数。
2、求倒数的方法：把这个数写成分数形式，然后将分子和分母交换位置。
3、0没有倒数，1的倒数是它本身。
4、真分数的倒数都大于它本身，假分数的倒数等于或小于它本身。
注意：倒数必须是成对的两个数，单独的一个数不能称做倒数。
（一）分数乘法意义：
1、分数乘整数的意义：（与整数乘法的意义相同） 就是求几个相同加数的和的简便运算。 ◆“分数乘
整数”指的是第二个因数必须是整数，不能是分数。
例如：
3
33
×7表示: 求7个的和是多少？ 或表示：的7倍是多少？
55
5
2、一个数乘分数的意义：就是求一个数的几分之几是多少。
◆“一个数乘分数”指的是第二个因数必须是分数，不能是整数。第一个因数是什么都可以。
例如：
313111
×表示: 求的是多少？ A× 表示: 求A的是多少？
565666
（二）分数乘法计算法则：
1、分数乘整数的运算法则是：分子与整数相乘，分母不变。
2、分数乘分数的运算法则是：用分子相乘的积做分子，分母相乘的积做分母。
◆为了计算简便,能约分的先约分再计算。
3、分数的基本性质：分子、分母同时乘或者除以一个相同的数（0除外），分数的大小不变。
（三）积与因数的关系：
1、一个数（0除外）乘大于1的数，积大于这个数。a×b=c,当b >1时，c>a.
2、一个数（0除外）乘小于1的数，积小于这个数。a×b=c,当b <1时，c3、一个数（0除外）乘等于1的数，积等于这个数。a×b=c,当b =1时，c=a .
◆在进行因数与积的大小比较时，要注意因数为0时的特殊情况。
（四）分数混合运算
1、分数合运算顺序：(与整数相同)，先乘、除后加、减，有括号的先算括号里面的。
2、整数乘法运算定律对分数乘法同样适用；运算定律可以使一些计算简便。
乘法交换律：a×b=b×a
乘法结合律：(a×b)×c=a×(b×c)
乘法分配律：a×(b±c)=a×b±a×c
（五）分数乘法应用题 ——用分数乘法解决问题
◆已知单位“1”的量，求它的几分之几是多少，用单位“1”的量与分数相乘。
1、求一个数的几分之几是多少？（用乘法）
例如：求25的
甲数的
33
是多少？ 列式：25×=15
55
33
等于乙数，已知甲数是25，求乙数是多少？ 列式：25×=15
55
3
，乙数是25，求甲数是多少？
5
2、求比一个数多（少）几分之几的数是多少？
例如：甲数比乙数多（少）

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333
甲数＝乙数＋乙数× 即25＋25×=25×（1＋）＝40（或10）
555
◆巧找单位“1”的量：“的” 前 “比” 后，“的”字相当于“×”，“是”字相当于“＝”
3、求甲比乙多（少）几分之几？
多：（甲－乙）÷乙
相差数÷单位“1”
少：（乙－甲）÷乙


第二单元 位置与方向
一、确定物体位置的方法：
1、先找观测点；
2、再定方向（看方向夹角的度数）；
3、最后确定距离（看比例尺）
二、描绘路线图的关键是选好观测点，建立方向标，确定方向和路程。
三、位置关系的相对性：
两地的位置具有相对性在叙述两地的位置关系时，观测点不同，叙述 的方向正好相反，而度数
和距离正好相等。
四、相对位置：东--西；南--北；南偏东 --北偏西。
1、确定位置的条件：
当观测点（中心）确定以后，确定物体位置是条件是（方向）和（距离）。
2、在平面图上标出物体位置的方法：
先确定（中心或观测点），然后确定（方向），再以图 例选定的单位长度为基准来确定（距离）；最后在具体
位置标出（名称）。
3、描述并绘制简单的路线图：
先按路线确定每一个观测点，然后以每一个观测点建立（方向 标），描述到下一个目的地的（方向）和（距
离）。
4、位置关系的相对性;
（1）描述物体的位置与（观测点）有关系，观测点不同，物体位置的描述就（不同）。
（2）两地的位置具有（相对性），观测点不同，叙述的（方向）正好相反，（角度）和（距离）不变。
第三单元 分数除法
（一）、分数除法的意义：
分数除法的意义：分数除法的 意义与整数除法的意义相同，都是已知两个因数的积与其中一个
因数，求另一个因数的运算。
2121


表示：已知两个数的积是 ,与其中一个因数 ，求另一个因数是多少。
5454
222
÷4表示已知两个数的积是 ,与其中一个因数4，求另一个因数是多少。还表示把平均
555
例如：

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分成4份，每份是多少。
（二）、分数除法的计算：
分数除法的计算法则：甲数除以乙数（0除外），等于甲数乘乙数的倒数。
（三）比和比的应用：
1．比的意义：两个数相除又叫做两个数的比。比的后项不能为0。
2. 比值的意义：比的前项除以后项所得的商，叫做比值。
3．比值的表示方式：通常用分数、小数和整数表示。
4．比同除法的关系：比的前项相当于被除数，后项相当于除数，比值相当于商.
5．比同分数的关系：比的前项相当于分子，比的后项相当于分母，比值相当于分数的值。
6．比的基本性质：比的前项和后项同时乘上或者同时除以相同的数（0除外），比值不变。
7. 化简比的方法：根据比的基本性质，把两个数的比化成最简单的整数比，叫做化简比，比的前项和后项必须是互质的整数。
例如：（1） 16﹕20=（16÷4）﹕（20÷4）=4﹕5
5353
（2） ﹕ =( ×12)﹕（ ×12）=10﹕9
6464
（3）1.8﹕0.09 =（1.8×100）﹕（0.09×100）=180﹕9=20﹕1
8．在工农业生产中和日常 生活中，常常需要把一个数量按照一定的比来进行分配。这种方法通常
叫做按比例分配。
9．按比例分配的解题方法：
（1）先求出总的份数，再求出各部分数量占总数的几分之几。
（2）用总数乘各部分的分率求出各部分的数量。
10．分数除法中，被除数与商的大小关系：
一个数（0除外）除以一个真分数，所得的商大于它本身。
一个数（0除外）除以一个假分数，所得的商小于或等于它本身。
一个数（0除外）除以一个带分数，所得的商小于它本身。
（四）解分数应用题注意事项：
1．找单位“1”的方法：从含有分率的句子中找，“的”前或“比”后的规则。当句子中的单位
“1”不明显时，把原来的量看做单位“1”。
2．找到单位“1”后，分析问题，已知单位“1” 用乘法，未知单位“1”用除法（注意：求单位
“1”是最后一步用除法，其余计算应在前）。
数量关系： 单位“1”×对应分率=对应数量；
对应量÷对应分率=单位“1”的量

学习必备 欢迎下载 < br>3．单位“1”不同的两个分率不能相加减，解应用题时应把题中的不变量做为单位“1”，统一分
率的单位“1”，然后再相加减。
4．单位“1”的特点： ①单位“1”为分母； ②单位“1”为不变量。
5.“已知一个数的几分之几是多少，求这个数”的解题方法：
（1）设单位“1”的量为x，列方程解答。
（2）对应数量÷对应分率=单位“1”的总数量。
6．工程问题：把工作总量看作单位“1”，
工作效率=
1

工作时间
工作时间=1÷工作效率
合作时间 = 工作总量÷工作效率之和
（一）倒数
1、意义：乘积为1的两个数互为倒数。
◆倒数是两个数的关系，它们 互相依存，不能单独存在。单独一个数不能称为倒数。（必须说清谁是谁的倒
数）
2、判断两个数是否互为倒数的唯一标准是：两数相乘的积是否为“1”。
例如：a×b＝1则a、b互为倒数。
3、求倒数的方法：
①求分数的倒数：交换分子、分母的位置。（
ba
的倒数是）
ab
1
）
a
②求整数的倒数：整数分之一。（非零整数a(a≠0 )，它的倒数为
③求带分数的倒数：先化成假分数，再交换分子和分母的位置。
④求小数的倒数：先化成分数再求倒数。
4、特殊数的倒数：
①1的倒数是它本身，因为1×1=1
②0没有倒数，因为任何数乘0积都是0，且0不能作分母。
◆真分数的倒数是假分数，真分数的倒数大于1，也大于它本身。
假分数的倒数小于或等于1；带分数的倒数小于1。
（二）分数除法
1、意义：（分数除法 是分数乘法的逆运算），已知两个数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算。或是
求一个数中包含了 几个另一个数。
2、计算法则：除以一个数（0除外），等于乘上这个数的倒数。
被除数÷除数=被除数×除数的倒数。例
331135
÷3＝×＝ 3÷＝3×＝5
553553
◆除法转化成乘法时，被除数一定不能变，“÷”变成“×”， 除数变成它的倒数。
3、分数除法算式中出现小数、带分数时要先化成分数、假分数再计算。
4、被除数与商的变化规律：
①除以大于1的数，商小于被除数：a÷b=c 当b>1时，c②除以小于1的数，商大于被除数：a÷b=c 当b<1时，c>a (a≠0 b≠0)

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③除以等于1的数，商等于被除数：a÷b=c 当b=1时，c=a
（三）分数混合运算：同整数。
（四）分数除法应用题
1、分数乘除法应用题的对比
3
①已知单位“1”的量用乘法。例：甲是乙的，乙是25，求甲是多少？
5
即：甲＝乙×
3
3
—→ 25×=15
5
5
3
，甲是15，求乙是多少？
5
②未知单位“1”的量用除法（或方程）。例: 甲是乙的
即：甲＝乙×
333
—→ 15÷＝25 （建议列方程答） x＝25
555
2、分数应用题基本数量关系
（1）甲是乙的几分之几？
33
甲＝乙×几分之几 （例：甲是15的，求甲是多少？15×＝9）
55
33
乙＝甲÷几分之几 （例：9是乙的，求乙是多少？9÷＝15）
55
3
几分之几＝甲÷乙 （例：9是15的几分之几？9÷15＝）
5
（2）甲比乙多（少）几分之几？
差
15962
（例：9比15少几分之几？（15－9）÷15＝＝＝）
15155
乙
B.方法2：先求甲是乙的几分之几，再与1相比。
甲
1552
①多几分之几是：－1 （例： 15比9多几分之几？15÷9＝－1＝－1＝）
3
93
乙
甲
932
②少几分之几是：1－ （例：9比15少几分之几？1－9÷15＝1－＝1－＝）
15
5
5
乙
（3）甲比乙多（少）几分之几，求乙是多少？
几
乙=甲÷(1＋ )
几
3
22
例：9比乙少，求乙是多少？9÷（1－）＝9÷＝15
55
5
225
例：15比乙多，求乙是多少？15÷（1＋）＝15÷＝9
333
◆画线段图：
（1）找出单位“1”的量，先画出单位“1”，标出已知和未知。
（2）分析数量关系。
（3）找等量关系。
（4）列方程。
两个量的关系画两条线段图，部分和整体的关系画一条线段图。

A.方法1：差÷乙＝
第四单元 比
1、两个数相除又叫做两个数的比。在两 个数的比中，比号前面的数叫做比的前项，比号后面的数

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叫做比的后项。比的前项除以后项所得的商，叫做比值。比的后项不能为0. 例如 15 ：10 = 15
÷10=32(比值通常用分数表示，也可以用小数或整数表示)
2、比可以表示两个相同量的关系，即倍数关系。也可以表示两个不同量的比，得到一个新量。例：
路程÷速度=时间。
3、区分比和比值
比：表示两个数的关系，可以写成比的形式，也可以用分数表示。
比值：相当于商，是一个数，可以是整数，分数，也可以是小数。
4、比和除法、分数的联系与区别：（区别）除法是一种运算，分数是一个数，比表示两个数的关系。
比的前项相当与除法中的被除数，分数中的分子；比的后项相当与除法中的除数，分数中的分母；
比号相当于除法中的除号，分数中的分数线；比值相当于除法的商，分数的分数值。
注意：体育比赛中出现两队的分是2：0等，这只是一种记分的形式，不表示两个数相除的关系。
(二)、比的基本性质
1、根据比、除法、分数的关系：
商不变的性质：被除数和除数同时乘或除以相同的数(0除外)，商不变。
分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以相同的数时(0除外)，分数值不变。
比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以相同的数(0除外)，比值不变。
2、比的 前项和后项都是整数，并且是互质数，这样的比就是最简整数比。根据比的基本性质，把
比化成最简整数 比。
3.化简比：
(2)用求比值的方法。
注意： 最后结果要写成比的形式。如： 15∶10 = 15÷10 = 32 = 3∶2 5.按比例分配：把一个
数量按照一定的比来进行分配。
这种方法通常叫做按比例分配.
（一）比的意义：两个数的比表示两个数相除。
1、比式中，比号（∶）前面的数叫比的前项 ，比号后面的项叫做比的后项，比号相当于除号，比的前项除
以后项的商叫做比值。
◆连比如：3：4：5读作：3比4比5
2、比表示的是两个数的关系，可以用分数表示，写成分数的形式，读作几比几。
12
3
例：12 ∶ 20 ＝ ＝ 12÷20＝ ＝0.6 12∶20读作：12比20
5
20

前项
比值
比号 后项
3、区分比和比值：
（1）比值是一个数，通常用分数表示，也可以是整数、小数。
（2）比是一个式子，表示两个数的关系，可以写成比，也可以写成分数的形式。
4、比和除法、分数的区别：
除法 被除数 除号 除数（不能为0） 商不变性质 是一种运算

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分数
比
分子
前项
分数线
比号
分母（不能为0）
后项（不能为0）
基本性质
基本性质
是一个数
两个数的关系
（二）比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变。
（三）化简比：化简之后结果还是一个比，不是一个数。
1、根据比的基本性质，可以把比化成最简单的整数比。
2、方法：
（1）整数比：用比的前项和后项同时除以它们的最大公约数。
（2）分数比：用前项后项同时乘分母的最小公倍数，再按化简整数比的方法来化简。
（3）小数比：向右移动小数点的位置，把小数比先化成整数比,再化简。
◆也可以先求出比的比值，再将结果写成比的形式。
（四）按比例分配：把一个量按一定的比分配的方法叫做按比例分配。
例如：已知甲乙的和是56，甲、乙的比3∶5，求甲、乙分别是多少？
方法一：56÷（3+5）＝7 甲：3×7＝21 乙：5×7＝35
5
3
方法二：甲：56×＝21 乙：56×＝35
3535
例如：已知甲是21，甲、乙的比3∶5，求乙是多少？
方法一：21÷3＝7 乙：5×7＝35
5
3
方法二：甲乙的和21÷＝56 乙：56×＝35
3535
333
方法三：甲÷乙＝ 乙＝甲÷＝21÷＝35
555


第五单元 圆
1、圆心：圆中心一点叫做圆心。用字母“O”来表示。
半径：连接圆心和圆上任意一点的线段叫做半径，用字母“r”来表示。
直径：通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径，用字母“d”表示。
2．圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。
3．在同一个圆内，所有的半径都相等，所有的 直径都相等。在同一个圆内，有无数条半径，有无
数条直径。在同一个圆内，直径的长度是半径的2倍， 半径的长度是直径的一半。用字母表示为：
1
d＝２r r ＝ d
2
4．圆的周长：围成圆的曲线的长度叫做圆的周长。
5．圆的周长总是直径的3倍 多一些，这个比值是一个固定的数。我们把圆的周长和直径的比值叫
做圆周率，用字母

表示。圆周率是一个无限不循环小数。在计算时，取


3.14。世界上第一个< br>把圆周率算出来的人是我国的数学家祖冲之。
6．圆的周长公式：C=

d 或C=2

r
7、圆的面积：圆所占平面的大小叫圆的面积。
8．把一个 圆割成一个近似的长方形，割拼成的长方形的长相当于圆周长的一半，宽相当于圆的半

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径，因为长方形面积=长×宽，所以圆的面积=

r×r＝

ｒ²
9．圆的面积公式：Ｓ＝

ｒ² 或者S=

（d

2）²
或者S=

（C




2）²
10． 在一个正方形里画一个最大的圆，圆的直径等于正方形的边长。圆的面积和正方形面积的比是

：4。
在一个圆里画一个最大正方形的，圆的直径的长度等于正方形的对角线的长度，正方形的面积= 对
角线×对角线÷2=直径×直径÷2 。
11．在一个长方形里画一个最大的圆，圆的直径等于长方形的短边。
12．一个环形，外圆 的半径是R，内圆的半径是r，它的面积是S=

R²－

ｒ² 或 S=

（R²－ｒ
²）。
（其中R＝r＋环的宽度．）
13．环形的周长＝外圆周长＋内圆周长
14．半圆的周长等于圆的周长的一半加直径。
半圆周长公式：Ｃ＝

d

2＋d 或Ｃ＝

r＋2r
15．半圆面积＝圆面积

2 公式为：Ｓ＝

ｒ²

2
46．在同一个圆里，半径扩大或缩小多 少倍，直径和周长也扩大或缩小相同的倍数。而面积扩大或
缩小以上倍数的平方倍。
例如：在同一个圆里，半径扩大４倍，那么直径和周长就都扩大４倍，而面积扩大１６倍。
17．两个圆的半径比等于直径比等于周长比，而面积比等于以上比的平方。
例如：两个圆的 半径比是２：３，那么这两个圆的直径比和周长比都是２：３，而面积比是４：
９。
18．当一个圆的半径增加ａ厘米时，它的周长就增加２

ａ厘米；
当一个圆的直径增加ａ厘米时，它的周长就增加

ａ厘米。
19．在同一圆 中，圆心角占圆周角的几分之几，它所在扇形面积就占圆面积的几分之几；所对的弧
就占圆周长的几分之 几．
20．当长方形，正方形，圆的周长相等时，圆的面积最大，长方形的面积最小；
当长方形，正方形，圆的面积相等时，长方形的周长最大，圆的周长最小。

nn
2

r 或 

d
360360
21．扇形弧长公式：Ｌ＝
n

扇形的面积公式： S=
360

ｒ² （n为扇形的圆心角度数，r为扇形所在圆的半径）
22．轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线对 折，两侧的图形能够完全重合，这个图形就是轴对

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称图形。折痕所在的这条直线叫做对称轴。
23．有1一条对称轴的图形有：角、等腰三角形、等腰梯形、扇形、半圆。
有2条对称轴的图形是：长方形
有3条对称轴的图形是：等边三角形
有4条对称轴的图形是：正方形
有无数条对称轴的图形是：圆、圆环。
24．直径所在的直线是圆的对称轴。
25、

倍表
1π
3.14
11
34.5
21
65.9
6
2
π
113.0
16
2
803.84
π
4
π
4 4
π
2π
6.28
12
37.6
22
69.0
7
2
π
153.8
17
2
907.46
π
8
π
8 6
π
3π
9.42
13
40.8
23
72.2
8
2
π
200.9
18
2
1017.3
π
2
π
2 6
π
6
4π
12.5
14
43.9< br>24
75.3
9
2
π
254.3
19
2
1133.5
6
π
6
π
6 4
π
4
5π
15.7
15
47.1
25
78.5
10
2
314
π π π
20
2
1256
π
6π
18. 8
16
50.2
26
81.6
11
2
379.9< br>21
2
1384.7
4
π
4
π
4
π
4
π
4
7π
21.9
17
5 3.3
27
84.7
12
2
452.1
22
21519.7
8
π
8
π
8
π
6
π
6
8π
25.1
18
56.5
28
87.9
13
2
530.6
23
2
1661.0
2
π
2
π
2
π
6
π
6
9π
28.2
19
59.6
29
91.0
14< br>2
615.4
24
2
1808.6
6
π
6
π
6
π
4
π
4
10
31.4
20
62.8
30
94.2
15
2
706.5
25
2
1962.5
π π π π π

（一）圆的认识
1、定义：圆是平面内封闭曲线围成的平面图形。
2、相关概念：
（1） 圆心O：圆中心的点叫做圆心。圆心一般用字母O表示。圆多次对折之后，折痕的相交于圆的中心即

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圆心。圆心确定圆的位置。
（2） 半径r：连接圆心到圆上任意一点的线段叫做半径。在同一个圆里，有无数条半径，且所有的半径都
相等 。半径确定圆的大小。
（3）直径d: 通过圆心且两端都在圆上的线段叫做直径。在同一个圆里，有 无数条直径，且所有的直径都相
等。直径是圆内最长的线段。
1
d
◆同圆或等圆内直径是半径的2倍：d＝2r 或 r＝d÷2＝d＝
2
2
（4）等圆：半径相等的圆叫做等圆，等圆通过平移可以完全重合。
（5）同心圆：圆心重合、半径不等的两个圆叫做同心圆。
3、圆是轴对称图形：如果一个图形沿着一 条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形是轴对称图形。
折痕所在的直线叫做对称轴。
◆有1条对称轴的图形：半圆、扇形、等腰梯形、等腰三角形、角
有2条对称轴的图形：长方形
有3条对称轴的图形：等边三角形
有4条对称轴的图形：正方形
有无数条对称轴的图形：圆，圆环
4、画圆
（1）圆规两脚间的距离是圆的半径。
（2）画圆步骤：定半径、定圆心、旋转一周。
（二）圆的周长：围成圆的曲线的长度叫做圆的周长，周长用字母C表示。
1、圆的周长总是直径的三倍多一些。
2、圆周率：圆的周长与直径的比值是一个固定值，叫做圆周率，用字母π表示。
周长
即：圆周率π＝＝周长÷直径≈3.14
直径
所以,圆的周长(c)=直径(d)×圆周率(π) ——周长公式： C＝πd 或 C＝2πr
◆圆周率π是一个无限不循环小数，3.14是近似值，π＞3.14。
3、周 长的变化的规律：半径扩大多少倍，直径也扩大多少倍，周长扩大的倍数与半径、直径扩大的倍数相
同。 如果r
1
∶r
2
∶r
3
＝d
1
∶d
2
∶d
3
＝C
1
∶C
2
∶C
3

1
4、半圆周长＝圆周长一半＋直径＝×2πr ＝ πr＋d
2
（三）圆的面积
1、圆面积公式的推导
把一个圆沿直径等分成若干份，剪开拼成长方形，份数越多拼成的图像越接近长方形。
◆圆与拼成的长方形有如下关系：
圆的半径＝长方形的宽 圆的周长的一半＝长方形的长
长方形面积＝长 ×宽
圆的面积＝圆的周长的一半（πr）×圆的半径（r）
1
S
圆
＝πd× r S
圆
＝πr×r ＝πr
2

2
2、几种图形，在面积相等的情况下，圆的周长最短，而长 方形的周长最长；反之，在周长相等的情况下，
圆的面积则最大，而长方形的面积则最小。
周长相同时，圆面积最大，利用这一特点，蒙古包、篮子、盘子等做成圆形。
3、圆面积的变 化的规律：半径扩大多少倍，直径、周长也同时扩大多少倍；圆面积扩大的倍数是半径、直
径扩大的倍数 的平方倍。
如果: r
1
∶r
2
∶r
3< br>＝d
1
∶d
2
∶d
3
＝C
1
∶C< br>2
∶C
3
＝2∶3∶4

则：S
1
∶S
2
∶S
3
＝4∶9∶16

4、环形面积 ＝ 大圆面积－小圆面积＝πr
大
2
－πr
小
2
＝π（R
大
2
- r
小
2
）
（四）扇形

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1、定义：圆上任意两点（如点A、B）之间的部分叫做弧（读作弧AB），一条弧和经过这 条弧两端的两条
半径所围成的图形叫做扇形。
2、圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角。（在同一圆内，扇形的大小与圆心角的大小有关）
n
（n表示扇形圆心角的度数）
360
11
特殊扇形的面积（90︒、180︒）：S＝πr
2
S＝πr
2

42
3、扇形面积 ＝ πr
2
×
（五）圆周长与圆面积的实际应用
1、跑道：每条跑道的周长等于两半圆跑道合成的圆的周长加上两条直跑道的和。因为两条直跑道长度相 等，
所以，起跑线不同，相邻两条跑道起跑线也不同，间隔的距离是：2×π×跑道宽度。
2、任意一个正方形的内切圆的直径是正方形的边长，它们的面积比是4∶π即4∶3.14。
3、外方内圆的间隙面积＝正方形的面积－圆的面积 S＝0.86 r
2
外圆内方的间隙面积＝圆的面积－正方形的面积 S＝1.14 r
2

4、常用数据
π＝3.14 2π＝6.28 3π＝9.42 4π＝12.56 5π＝15.7
6π＝18.84 7π＝21.98 8π＝25.12 9π＝28.26
1
2
π＝3.14 2
2
π＝12.56 3
2
π＝28.26 4
2
π＝50.24 5
2
π＝78.5
6
2
π＝113.04 7
2
π＝153.86 8
2
π＝200.96 9
2
π＝254.34

第六单元 百分数
1．百分数的定义：表示一个数是另一个数的百分之几的数，叫做百分数。百分数也叫做百分率或
百分比 。
百分数表示两个数之间的比率关系，不表示具体的数量，无单位名称。
例如：25％的意义：表示一个数是另一个数的25％。
2．百分数通常不写成分数形式，而在原来分 子后面加上“％”来表示。分子部分可为小数、整数，
可以大于100，小于100或等于100。
3．小数与百分数互化的规则：
把小数化成百分数，只要把小数点向右移动两位，同时在后面添上百分号；（加向右）
把百分数化成小数，只要把百分号去掉，同时把小数点向左移动两位。（去向左）
4．百分数与分数互化的规则：
把分数化成百分数，通常先把分数化成小数（除不尽的保留三位小数），再把小数化成百分数；
把百分数化成分数，先把百分数改写成分数，能约分的要约成最简分数。
5、常用的分数、小数及百分数的互化
11
=0.5=50% =0.25=25%
24
31
=0.75=75% =0.2=20%
45

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23
=0.4=40% =0.6=60%
55
41
=0.8=80% =0.125=12.5%
58
35
=0.375=37.5% =0.625=62.5%
88
71
=0.875=87.5% =0.1=10%
810
11
=0.0625=6.25% =0.05=5%
1620
11
=0.04=4% =0.025=2.5%
2540
11
=0.02=2% =0.01=1%
50100
6．百分率公式：求百分率就是求一个数是另一个数的百分之几。（算式要加×100%，包 括浓度、
利润率）
发芽率
发芽种子数面粉的重量
100%

出粉率100%

试验种子总数小麦的重量
合格产品数实际出勤人数
100%

出勤率
100%

产品总数总人数
盐的重量
油的重量
100%

100%

含盐率

盐水的重量
花生仁
< br>油菜子

的重量
合格率
出油率
含糖率=
糖的重量 及格的人数
100%

及格率
100%

糖水的重量参加考试的总人数
命中的数量活了的棵数
100%

成活率
100%

打的总数量栽的总棵数
正确的题数大米的重量
100%

出米率100%

做题的总数稻谷的重量
命中率
正确率
7. 求一个数比另一个数多（或少）百分之几（另一个数是单位“1”）
实际生活中，人们常用增加 了百分之几、减少了百分之几、节约了百分之几等来表示增加、或
减少的幅度。
求甲比乙多百分之几 （甲-乙）÷乙

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求乙比甲少百分之几 （甲-乙）÷甲
8．求一个数的百分之几是多少
一个数（单位“1”） ×百分率
9． 已知一个数的百分之几是多少，求这个数 ？
部分量÷百分率=一个数（单位“1”）
10、浓度问题
溶质（盐）的重量＋溶剂（水）的重量＝溶液（盐水）的重量
溶质(盐)的重量÷溶液（盐水）的重量×100%＝浓度
溶液（盐水）的重量×浓度＝溶质（盐）的重量
溶质（盐）的重量÷浓度＝溶液（盐水）的重量
最常用的是用方程解浓度问题
比如两种不同浓度的溶液混合，最常用的数量关系是
甲溶液质量×甲的浓度+乙溶液质量×乙的浓度
=总溶液质量×总的浓度
（一）百分数的意义：表示一个数是另一个数的百分之几。
◆百分数是专门用来表示一种特殊 的倍比关系的，表示两个数的比，所以，百分数又叫百分比或百分率，
百分数不能带单位。
1、百分数和分数的区别和联系：
（1）联系：都可以用来表示两个量的倍比关系。
（2）区别：意义不同：百分数只表示倍比关系，不表示具体数量，所以不能带单位。分数不仅表示倍比关系，
还能带单位表示具体数量。
百分数的分子可以是小数，分数的分子只以是整数。
◆百分数在生活中应用广泛，所涉及问题基本和分 数问题相同，分母是100的分数并不是百分数，必须把分
母写成“%”才是百分数，所以“分母是10 0的分数就是百分数”这句话是错误的。一般来讲，出勤率、成活率、
合格率、正确率能达到100%， 出米率、出油率达不到100%，完成率、增长了百分之几等可以超过100%。一般出
粉率在70、8 0%，出油率在30、40%。
2、小数、分数、百分数之间的互化
（1）百分数化小数：小数点向左移动两位，去掉“%”。
（2）小数化百分数：小数点向右移动两位，添上“%”。
（3）百分数化分数：先把百分数写成分母是100的分数，然后再化简成最简分数。
（4）分数化百分数：分子除以分母得到小数，（除不尽的保留三位小数）然后化成百分数。
（5）小数化分数：把小数成分母是10、100、1000等的分数再化简。
（6）分数化小数：分子除以分母。
（二）百分数应用题
1、求常见的百分率 如：达标率、及格率、成活率、发芽率、出勤率等求百分率就是求一个数是另一个数的
百分之几。
◆由于求率的特殊要求，不要忘记在算式后面“×100%”
2、 求一个数比另一 个数多（或少）百分之几，实际生活中，人们常用增加了百分之几、减少了百分之几、
节约了百分之几等 来表示增加、或减少的幅度。
◆方法同求一个数比另一个数多（少）几分之几，只不过结果用百分数表示而已。
求甲比乙多百分之几 （甲－乙）÷乙
相差数÷单位“1”

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求乙比甲少百分之几 （甲－乙）÷甲
3、 求一个数的百分之几是多少 一个数（单位“1”） ×百分率
4、 已知一个数的百分之几是多少，求这个数 对应量÷百分率＝一个数（单位“1”）
5、百分数应用题型分类
（1）一个数是另一个数的百分之几
①甲是50，乙是40，甲是乙的百分之几？（50是40的百分之几？）50÷40＝125%
②甲是50，乙是40，乙是甲的百分之几？（40是50的百分之几？）40÷50＝80%
③乙是40，甲是乙的125%，甲数是多少？（40的125%是多少？）40×125%＝50
④甲是50，乙是甲的80%，乙数是多少？（50的80%是多少？）50×80%＝40
⑤乙是40，乙是甲的80%，甲数是多少？（一个数的80%是40，这个数是多少？）40÷80%＝50
⑥甲是50，甲是乙的125%，乙数是多少？（一个数的125%是50，这个数是多少？）50÷1 25%＝40
（2）一个数比另一个数多（少）百分之几
①甲是50，乙是40，甲比乙多 百分之几？（50比40多百分之几？）(50-40)÷40＝25%
②甲是50，乙是40，乙比 甲少百分之几？（40比50少百分之几？）(50-40)÷50＝20%
③甲比乙多25%，多10，乙是多少？10÷25%＝40
④甲比乙多25%，多10，甲是多少？10÷25%+10＝50
⑤乙比甲少20%，少10，甲是多少？10÷20%＝50
⑥乙比甲少20%，少10，乙是多少？10÷20%-10＝40
（3）比一个数多（少）百分之几的数
①乙是40，甲比乙多25%，甲数是多少？（什么数比40多25%？）40×（1+25%）＝50
②甲是50，乙比甲少20%，乙数是多少？（什么数比50多25%？）50×（1-20%）＝40
③乙是40，比甲少20%，甲数是多少？（40比什么数少20%？）40÷（1-20%）＝50
④甲是50，比乙多25%，乙数是多少？（50比什么数多25%？）40÷（1+25%）＝40
第七单元 统计
扇形统计图的特点：可以清楚直观地反映各部份数量同总量之间的关系。
折线统计图的特点：不但能够看出数量的多少，还可以反映出数量增减变化的情况。
条形统计图的特点：能够清楚的看出数量的多少。
第八单元 : 数学广角
1、 要看到图形，借助数看图形！ 2、要看到数，借助图形看数！
3、把数学画出来！ 4、 把事物量出来！