农夫与蛇-对孩子的寄语

2020最新人教版六年级数学
上册知识点汇总+人教版六年级上册数学知识点汇总
新课标人教版六年级数学上册各单元知识点归纳
第一单元分数乘法

一、分数乘法
(一)分数乘法的意义：
1、分数乘整数与整数乘法的意义相同。都是求几个相同加数的和的简便运算。
例如：65×5表示求5个65的和是多少? 13×5表示求5个13的和是多少?
2、一个数乘分数的意义是求一个数的几分之几是多少。
例如：13×47表示求13的47是多少。
4×38表示求4的38是多少.
(二)、分数乘法的计算法则：
1、分数与整数相乘：分子与整数相乘的积做分子，分母不变。(整数和分母约分)
2、分数 与分数相乘：用分子相乘的积做分子，分母相乘的积做分母。注意：当
带分数进行乘法计算时，要先把带 分数化成假分数再进行计算。
3、为了计算简便，能约分的要先约分，再计算。（尽量约分，不会约分 的就不约，
常考的质因数有11×11=121；13×13=169；17×17=289；19×1 9=361）
4、小数乘分数，可以先把小数化为分数，也可以把分数化成小数再计算（建议
把小数化分数再计算）。
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(三)、 乘法中比较大小的规律
一个数(0除外)乘大于1的数，积大于这个数。
一个数(0除外)乘小于1的数(0除外)，积小于这个数。
一个数(0除外)乘1，积等于这个数。
(四)、分数混合运算的运算顺序和整数的运算顺序相同 。整数乘法的交换律、
结合律和分配律，对于分数乘法也同样适用。
乘法交换律： a × b = b × a
乘法结合律： ( a × b )×c = a × ( b × c )
乘法分配律： ( a + b )×c = a c + b c
二、分数乘法的解决问题(已知单位“1”的量(用乘法)，即求单位“1”的几分
之几是多少) 1、画线段图：(1)两个量的关系：画两条线段图，先画单位一的量，注意两条线
段的左边要对齐 。(2)部分和整体的关系：画一条线段图。
2、找单位“1”： 单位“1” 在分率句中分率的前面；
或在“占”、“是”、“比”“相当于”的后面。
3、写数量关系式的技巧：
(1)“的” 相当于 “×” ，“占”、“相当于”“是”、“比”是 “ = ”
(2)分率前是“的”字：用单位“1”的量×分率=具体量
例如：甲数是20，甲数的13是多少？列式是：20×13
4、看分率前有没有多或少的问题；分率前是“多或少”的关系式：

（比少）：单位“1”的量×(1-分率)=具体量；
例如：甲数是50，乙数比甲数少12，乙数是多少？
列式是：50×（1-12）
（比多）：单位“1”的量×(1+分率)=具体量
例如：小红有30元钱，小明比小红多35，小红有多少钱？
列式是：50×（1+35）
3、求一个数的几倍是多少：用 一个数×几倍；
4、求一个数的几分之几是多少： 用一个数×几分之几。
5、求几个几分之几是多少：用几分之几×个数
6、求已知一个部分量是总量的几分之几，求另一个部分量的方法：
(1)、单位“1”的量×(1-分率)=另一个部分量（建议用）
(2)、单位“1”的量-已知占单位“1”的几分之几的部分量=要求的部分量
例如：教材 15页做一做和16页练习第七题（题目中有时候会有这种题的关键字
“其中”）
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第二单元位置与方向（二）

一、确定物体位置的方法：1、先找观测点；2、再定方向（看方向夹角的度数）；
3、最后确定距离（看比例尺）
二、描绘路线图的关键是选好观测点，建立方向标，确定方向和路程。
三、位置关系的相对性：1、两地的位置具有相对性在叙述两地的位置关系时，
观测点不同，叙 述的方向正好相反，而度数和距离正好相等。
四、相对位置：东--西；南--北；南偏东-- 北偏西。

第三单元分数除法

三、倒数
1、倒数的意义： 乘积是1的两个数互为倒数。
强调：互为倒数，即倒数是两个数的关系，它们互相依存，倒数不能单独存在。
(要说清谁是谁的倒数)。
2、求倒数的方法：
(1)、求分数的倒数：交换分子分母的位置。
(2)、求整数的倒数：把整数看做分母是1的分数，再交换分子分母的位置。
(3)、求带分数的倒数：把带分数化为假分数，再求倒数。
(4)、求小数的倒数： 把小数化为分数，再求倒数。
3、 1的倒数是1； 因为1×1=1；0没有倒数，因为0乘任何数都得0，(分
母不能为0)
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4、真分数的倒数大于1;假分数的倒数小于或等于1;带分数的倒数小于1。
5、运用，a×23= b×14求a和b是多少。把a×23=b×14看成等于1,也就是求
23的倒数和求14的倒数。
1、分数除法的意义：
乘法： 因数 × 因数 = 积
除法： 积 ÷ 一个因数 = 另一个因数
分数除法与整数除法的意义相同，表示已知两个因数的积和其中一个因数， 求另

一个因数的运算。
例如：12÷35意义是：已知两个因数的积是12与 其中一个因数35，求另一个
因数的运算。
2、分数除法的计算法则：
除以一个不为0的数，等于乘这个数的倒数。
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3、分数除法比较大小时的规律：
(1)当除数大于1，商小于被除数;
(2)当除数小于1(不等于0)，商大于被除数;
(3)当除数等于1，商等于被除数。
“[ ]”叫做中括号。一个算式里，如果既有小括号，又有中括号，要先算小括
号里面的， 再算中括号里面的。
二、分数除法解决问题
1，解法：(1)方程： 根据数量关系式设未知量为X，用方程解答。
解：设未知量为X （一定要解设）,再列方程 用 X×分率=具体量
例如：公鸡有20只，是母鸡只数的13，母鸡有多少只。（单位一是母鸡只数，
单位一未知.）解：设母鸡有X只。列方程为：X×13=20
(2)算术(用除法)：单位“1”的量未知用除法：
即已知单位“1”的几分之几是多少，求单位“1”的量。
分率对应量÷对应分率 = 单位“1”的量
例如：公鸡有20只，是母鸡只数的13，母鸡有多少只。（单位一是母鸡只数，单位一未知，）用除法，列式是：20÷13
2、看分率前有没有比多或比少的问题；
分率前是“多或少”的关系式：
（比少）：具体量÷ (1-分率)= 单位“1”的量；
例如:桃树有50棵，比苹果树少16，苹果树有多少棵。
列式是：50÷（1-16）
（比多）：具体量 ÷ (1+分率)= 单位“1”的量
例如:一种商品现在是80元，比原价增加了17，原价多少？
列式是：80÷（1+17）
3、求一个数是另一个数的几分之几是多少： 用一个数除以另一个数，结果写
为分数形式。
例如:男生有20人，女生有15人，女生人数占男生人数的几分之几。
列式是：15÷20=1520=34
4、求一个数比另一个数多几分之几的方法：
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用两个数的相差量÷单位“1”的量 =分数
即①求一个数比另一个数多几分之几：用（大数–小数） ÷另一个数（比那个
数就除以那个数），结果写为分数形式。
例如：
5比3多几分之几？（5－3）÷3=23
②求一个数比另一个数少几分之几：用（大数–小数） ÷另一个数（比那个数
就除以那个数），结果写为分数形式。
例如：
3比5少几分之几？（5－3）÷5=25
说明：多几分之几不等于少几分之几，因为单位一不同。
5、
工程问题：把工作总量 看作单位“1”，合做多长时间完成一项工程用1
÷效率
和，即1÷（1时间+1时间），（工 作效率=1时间）

例如：一项工程甲单独做要5天完成，乙单独做要10天完成，甲单 独做要3天
完成，三人合做几天可以完成？列式：1
÷（15+110+13）

第四单元比
(一)、比的意义
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1、比的意义：两个数相除又叫做两个数的比。
2、在两个数的比中，比号前面 的数叫做比的前项，比号后面的数叫做比的后项。
比的前项除以后项所得的商，叫做比值。
例如
15 ：10 = 15÷10=32
(比值通常用分数表示，也可以用小数或整数表示)
15 ∶ 10
＝ 32
前项 比号 后项 比值
3、比可以表示两个相同量的关系，即倍数关系。例：长是宽的几倍。
也可以表示两个不同量的比，得到一个新量。例： 路程÷速度=时间。
4、区分比和比值
比：表示两个数的关系，可以写成比的形式，也可以用分数表示。
比值：相当于商，是一个数，可以是整数，分数，也可以是小数。
5、根据分数与除法的关系，两个数的比也可以写成分数形式。
6、 比和除法、分数的联系：
比 前 项 比号“：” 后 项 比值
除 法 被除数 除号“÷” 除 数 商
分 数 分 子 分数线“—” 分 母 分数值
7、比和除法、分数的区别：除法是一种运算，分数是一个数，比表示两个数的
关系。
8、根据比与除法、分数的关系，可以理解比的后项不能为0。
9、体育比赛中出现两队的分是2：0等，这只是一种记分的形式，不表示两个数
相除的关系。
10、求比值：用前项除以后项，结果最好是写为分数（不会约分的就不约分）
例如：
15∶ 10 ＝15÷10＝15／10＝32
(二)、比的基本性质
1、根据比、除法、分数的关系：
商不变的性质：被除数和除数同时乘或除以相同的数(0除外)，商不变。
分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以相同的数时(0除外)，分数值
不变。
比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以相同的数(0除外)，比值不变。
2、最简整数比：比的前项和后项都是整数，并且是互质数，这样的比就是最简
整数比。
3、根据比的基本性质，可以把比化成最简单的整数比。
4.化简比：

(2)用求比值的方法。注意： 最后结果要写成比的形式。
例如： 15∶10 = 15÷10 =15／10＝ 32 = 3∶2
还可以15∶10 = 15÷10 = 32 最简整数比是3∶2
5、比中有单位的，化简和求比值时要把单位化相同再化简和求比值，结果没有
单位。
6.按比例分配：把一个数量按照一定的比来进行分配。这种方法通常叫做按比例
分配。一般有两种解 题法
１，用分率解:按比例分配通常把总量看作单位一，即转化成分率。要先求出总
份数，再 求出几份占总份数的几分之几，最后再用总量分别乘几分之几。
例如：有糖水25克，糖和水的比为1:4，糖和水分别有几克？
1+4=5 糖占15 用 25×15得到糖的数量，水占45 用 25×45得到水的数量。
2，用份数解：要先求出总份数，再求出每一份是多少，最后分别求出几份是多
少。
例如：有糖水25克，糖和水的比为1:4，糖和水分别有几克？
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糖和水的份数一共有1+4=5 一份就是25÷5=5糖有1份就是5×1水有4分就
是5×4

第五单元圆的认识
一、认识圆形
1、圆的定义：圆是由曲线围成的一种平面图形。
2、圆心：将一张 圆形纸片对折两次，折痕相交于圆中心的一点，这一点叫做圆
心。一般用字母O表示。它到圆上任意一点 的距离都相等.
3、半径：连接圆心到圆上任意一点的线段叫做半径。一般用字母r表示。把圆
规两脚分开，两脚之间的距离就是圆的半径。
4、直径：通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径 。一般用字母d表示。直
径是一个圆内最长的线段。
5、圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。
6、在同一个圆内或等圆内，有无数条半径，有 无数条直径。所有的半径都相等，
所有的接近长方形。 长方形的长相当于圆的周长的一半，长方形的宽相当于圆
的半径。
(2)拼出的图形与圆的周长和半径的关系。

圆的半径 = 长方形的宽
圆的周长的一半 = 长方形的长
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3、圆面积的计算方法：因为：长方形面积 = 长 ×宽
所以：圆的面积 = 圆周长的一半 × 圆的半径
即S圆 = Ｃ÷2× r＝πr × r＝πr
2
圆的面积公式：S圆 =πr → r = S 圆÷ π 4、环形的面积：一个环形，外圆的半径用字母R表示，内圆的半径用字母r表
示。(R=r+环的 宽度.)
S
环
= πR-πr或环形的面积公式：S环 = π(R-r)（建议用这个公式）。
5、一个圆，半径扩大或缩小多少倍，直径和周长也扩大或缩小相 同的倍数。而
面积扩大或缩小的倍数是这倍数的平方倍。
例如：在同一个圆里，半径扩大3倍 ，那么直径和周长就都扩大3倍，而面积扩
大3的平方倍得到9倍。
6、两个圆： 半径比 = 直径比 = 周长比；而面积比等于这比的平方。
例如：两个圆的半径比是2∶3，那么这两个圆 的直径比和周长比都是2∶3，而
面积比是4∶9
7、任意一个正方形与它内切圆的面积之比都是一个固定值，即：4∶π
8、当长方形，正方 形，圆的周长相等时，圆面积最大，正方形居中，长方形面
积最小。反之，面积相同时，长方形的周长最 长，正方形居中，圆的周长最短。
9、常用各π值结果：π = 3.14；2π = 6.28 ；5π=15.7
10、外方内圆（内切圆）公式S=0.86r推导过程：S=S正- S圆=d-πr =2r
×2r-
πr=4r-πr=r
×(4-
π)=0.86r
11、外圆内方（外切圆）公式S=1.14r推导过程：S=S圆-S正=πr- dr2
×2=
2r
×
半径 半径的平方 直径 周长 面积
22< br>22222
222
2222
2
2
r
2
×r=
πr-2r=r
×(
π-2)=1.14r（把正方形看成两个面积相等的三角形，三 角
2222
形的底就是直径，高是半径）
12、一条弧和经过这条弧两端的两条半径 所围成的图形叫做扇形。顶点在圆心的
角叫做圆心角。扇形的面积与圆心角大小和半径长短有关。
13、S扇=
S圆×n
360；S扇环=
S环×n
360
14、扇形也是轴对称图形，有一条对称轴。

1 1 2 6.28 3.14
2 4 4 12.56 12.56
3 9 6 18.84 28.26
4 16 8 25.12 50.24
5 25 10 31.4 78.5
6 36 12 37.68 113.04
7 49 14 43.96 153.86
8 64 16 50.24 200.96
9 81 18 56.52 254.34
10 100 20 62.8 314
1.5 2.25 3 9.42 7.065
2.5 6.25 5 15.7 19.625
3.5 12.25 7 21.98 38.465
4.5 20.35 9 28.26 63.585
5.5 30.25 11 34.54 94.985
7.5 56.25 15 47.1 176.625
15、常见半径与直径的周长和面积的结果。
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第六单元百分数

一、百分数的意义和写法
（一）、百分数的意义：表示 一个数是另一个数的百分之几。百分数是指的两个
数的比，因此也叫百分率或百分比。
（二）、百分数和分数的主要联系与区别：
联系：都可以表示两个量的倍比关系。
区别：①、意义不同：百分数只表示两个数的倍比关系，不能表示具体的数量，
所以不能带单位;
分数既可以表示具体的数，又可以表示两个数的关系，表示具体数时可以带单位。
②、百分数的分子可以是整数，也可以是小数;

分数的分子不能是小数，只能是除0以外的自然数。
3、百分数的写法：通常不写成分数形式，而在原来分子后面加上“%”来表示，
读作百分之。
二、百分数和分数、小数的互化
(一)百分数与小数的互化：
1、小数化成百分数：把小数点向右移动两位（数位不够用0补足），同时在后面
添上百分号。
2. 百分数化成小数：把小数点向左移动两位（数位不够用0补足），同时去掉百
分号。
(二)百分数的和分数的互化
1、百分数化成分数：先把百分数改写成分母是100的分数，能约分要约成最简
分数。
2、分数化成百分数：
① 用分数的基本性质，把分数分母扩大或缩小成分母是100的分数，再写成百

分数形式。
②先把分数化成小数(除不尽时，通常保留三位小数)，再把小数化成百分数。（建
议用这种方 法）
(三)常见分数小数百分数之间的互化；
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三、用百分数解决问题
(一)一般应用题
1、常见的百分率的计算方法：




一般来讲，出勤 率、成活率、合格率、正确率能达到100%，出米率、出油率达
不到100%，完成率、增长了百分之 几等可以超过100%。
2、求一个数是另一个数的百分之几用一个数除以另一个数，结果写为百分数形
式。
例如：例如:男生有20人，女生有15人，女生人数占男生人数的百分之几。
列式是：15÷20=1520=75﹪
3、已知单位“1”的量(用乘法)，求单位“1 ”的百分之几是多少的问题，数量
关系式和分数乘法解决问题中的关系式相同：
(1)百分率前是“的”： 单位“1”的量×百分率=百分率对应量
(2百分率前是“多或少”的数量关系：
单位“1”的量×(1±百分率)=百分率对应量
4、未知单位“1”的量(用除法)，已知单位“1”的百分之几是多少，求单位“1”。
方法与分数的方法相同。
解法： (1)方程： 根据数量关系式设未知量为X，用方程解答。

(2)算术(用除法)： 百分率对应量÷对应百分率 = 单位“1”的量
5、求一个数比另一个数多(少)百分之几的方法与 分数的方法相同。只是结果要
写为百分数形式。看百分率前有没有比多或比少的问题；
百分率前是“多或少”的关系式：
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（比少）：具体量÷ (1-百分率)= 单位“1”的量；
例如:大米有50千克，比面粉树少50﹪，面粉有多少千克。
列式是：50÷（1-50﹪）
（比多）：具体量 ÷ (1+百分率)= 单位“1”的量
例如:工人做110个零件，比原计划多做了10﹪，原计划做多少个？
列式是：110÷（1+10﹪）
6、求一个数比另一个数多百分之几的方法：方法与分数的方法相同。
用两个数的相差量÷单位“1”的量 =百分之几
即①求一个数比另一个数多百分之几：用（大数–小数） ÷另一个数（比那个
数就除以那个数），结果写为百分数形式。
甲比乙多几分之几的问题，方法A，（甲-乙）÷乙 （建议用）
方法B，甲÷乙-100﹪
例如：老师计划改40本作业，实际改了50本，实际比计划多改了百分之几？
列式是：
（50－40）
÷40=0.25=25﹪
②求一个数比另一个数少几分之几：用（大数–小数） ÷另一个数（比那个数
就除以那个数），结果写为百分数形式。
乙比甲少几分之几的问题，方法A,（甲-乙）÷甲（建议用）
方法B， 100﹪-乙÷甲
例如：张三家用了100度电，李四家用了90度电，李四家比张三家少用百分之
几？
（100－90）÷100=0.1=10﹪
说明：多百分之几不等于少百分之几，因为单位一不同。
7、如果甲比乙多或少a﹪，求乙比甲少或多百分之几，用a﹪÷（1±a﹪）
8、求价格先 降a﹪又上升a﹪后的价格：1×（1-a﹪）×（1+a﹪）（假设原来的
价格为“1”。求变化幅度 （求降价后的价格是涨价后价格的百分之几）用1-降价
后又上升的百分率。


第七单元：扇形统计图

一、扇形统计图的意义：用整个圆的面积表示总数，用圆内 各个扇形面积表示各
部分数量同总数之间的关系。也就是各部分数量占总数的百分比(因此也叫百分比图)。
二、常用统计图的优点：
1、条形统计图：可以清楚的看出各种数量的多少。
2、折线统计图：不仅可以看出各种数量的多少，还可以清晰看出数量的增减变
化情况。 3、扇形统计图：能够清楚的反映出各部分数量同总数之间的关系。（要在统计图
上写出百分率）
三、扇形的面积大小：在同一个圆中，扇形的大小与这个扇形的圆心角的大小有

关，圆心角越大，扇形越大。(因此扇形面积占圆面积的百分比，同时也是该扇
形圆心角度数占圆周角度 数的百分比。)
四、应用：1.会观察统计图。
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2、你得到什么数学信息？
回答①、***占总体的百分之几；
②、**占的百分比最多，**占的百分比最少；
3、你还能提什么数学问题：**和**一共占百分之几。

数学广角：数与形 < br>1、每幅图的圆点总数都可以看作是两个相同的数相乘的积，这些算式还可以用
平方数的形式来表 示。 1+3=2
2
1+3+5=3
2
1+3+5+7=4
2
得出：从1起连
续奇数的和等于奇数个数的平方。
2
2、
从2起连续偶数的和等于偶数个数的平方加偶数个数（即（n
+n）， 或等于偶
数个数乘比偶数个数大1的数即n×（n+1）。



补充内容（位置）

1、我们用数对（数对：由两个数组成，中间用逗号隔开，用括 号括起来。括号
里面的数由左至右为列数和行数，即“先列后行”）确定点的位置。如数对(3，
5)表示：(第三列，第五行)
竖排叫列(从左往右看)横排叫行(从前往后看)，先数列再数行。
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2、平移时用“上”、“下”、“前”、“后”、“左”、“右”来表述 ，平移时图形的现
状不变。
3、图形左、右平移： 行不变 ；图形上、下平移： 列不变
补充内容（“鸡兔同笼”问题）

一、“鸡兔同笼”问题的特点：
题目中有两个或两个以上的未知数，要求根据总数量，求出各未知数的单量。
二、“鸡兔同笼”问题的解题方法
1、假设法（1） 假如都是兔（2） 假如都是鸡；
（ 一般假设都是大数（脚多的），再求出两个脚的相差量，用大的相差量除以小
的相差量得到小数（脚少的 ）最后再用总的头减小数得到大数。（我们称为设大
得小，设小得大）
例，有34个同学去划 船，大船每船坐4人，小船每船坐2人，租12条船刚好坐满，问大船
和小船各租了几条。
假设法：
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①假设全部是大船则坐12×4=48(人)
②那么实际人数与大船做的人数相差48-34=14(人)，
③实际一条大船比一条小船多坐4-2=2(人)
④大的相差量÷小的相差量得到小的量（即得到小船的数量），14÷2=7（条）
⑤总的船减小的船得到大的船12-7=5（条）。(要注意单位)
2、列方程法：例
有34个同学去划船，大船每船坐4人，小船每船坐2人，租12条船刚
好坐满，问大船和小船各租了 几条。

解：设大船有X条，则小船有12-X条
4X+2×(12-X)=34 4X是大船坐的人数，4是大船每船坐4人，2×(1 2-X)是小船坐的人
数，小船每船坐2人，有(12-X)条船，相加就得到总人数34人。2×(1 2-X)用乘法分配律计算
得到24-2X.。
所以4X+2×(12-X)=34
4X+2×12-2×X=34
4X+24-2 X=34
2 X+24=34
2 X=34-24
2 X=10
X=5
12-5=7（条）
答：租大船5条，小船7条。
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第一单元 位置

1．找位置要先列后行，写位置先定第几列，再写第几行，格式为：（列，行）。

第二单元 分数乘法
1．分数乘整数的意义和整数乘法的意义相同，就是求几个相同加数的和的简便
运算。
2．分数乘整数的计算法则：分数乘整数，用分数的分子和整数相乘的积作分子，
分母不变。
（为了计算简便，能约分的要先约分，然后再乘。）
注意：当带分数进行乘法计算时，要先把带分数化成假分数再进行计算。
3．一个数与分数相乘，可以看作是求这个数的几分之几是多少。
4．分数乘分数的计算法则：分数乘分数，用分子相乘的积作分子，分母相乘的
积作分母。
（为了计算简便，可以先约分再乘。）
注意：当带分数进行乘法计算时，要先把带分数化成假分数再进行计算。
5．整数乘法的交换律、结合律和分配律，对分数乘法同样适用。
乘法交换律： a × b = b × a
乘法结合律： ( a × b )×c = a × ( b × c )

乘法分配律： （ a + b ）×c = a c + b c a c + b c = （ a + b ）
×c
6．乘积是1的两个数互为倒数。
7．求一个数（0除外）的倒数，只要把这个数的分子、分母调换位置。 1
的倒数是1。0没有倒数。
真分数的倒数大于1；假分数的倒数小于或等于1；带分数的倒数小于1。
注意：倒数必须是成对的两个数，单独的一个数不能称做倒数。
8．一个数（0除外）乘以一个真分数，所得的积小于它本身。
9．一个数（0除外）乘以一个假分数，所得的积等于或大于它本身。
10．一个数（0除外）乘以一个带分数，所得的积大于它本身。
11．分数应用题一般解题步骤。
（1）找出含有分率的关键句。
（2）找出单位“1”的量（以后称为“标准量”） 找单位“1”： 在分率句中分
率的前面；或
“是”、“占”、 “比” 、“ 相当于”的后面
（3）画出线段图，标准量与比较量是整体与部分的关系画一条线段即可，标准
量与比较量不是整体 与部分的关系画两条线段即可。
（4）根据线段图写出等量关系式：标准量×对应分率=比较量。求一个数的几倍：
一个数×几倍； 求一个数的几分之几是多少： 一个数×
写数量关系式技巧：
几
。
几
（1）“的” 相当于 “×” “占”、“是”、“比”相当于“ = ”
（2）分率前是“的”： 单位“1”的量×分率=分率对
应量
（3）分率前是“多或少”的意思： 单位“1”的量×（1

分率）=
分率对应量

（
5）根据已知条件和问题列式解答。
12．乘法应用题有关注意概念。

（1）乘法应用题的解题思路：已知一个数，求这个数的几分之几是多少？ 单
位“1”×对应分率=对应量
（2）找单位“1”的方法：从含有分数的关键句中找，注意“的”前 “是、比、
相当于、占、等于”后的规则。
（3）甲比乙多几分之几表示甲比乙多的数占乙的 几分之几，乙比甲少几分之几
表示乙比甲少的数占甲的几分之几。
（甲－乙）÷乙 = 甲÷乙－1 （甲－乙）÷甲 =
1－乙÷甲
（4）江氏规则：多比少多，少比多少。如8比5多，6比9少，在应用题中如：
小湖村去年 水稻的亩产量是750千克，今年水稻的亩产量是800千克，增产几分之
几？题目中的“增产”是多的 意思，那么谁比谁多，应该是“多比少多”，“多”
的是指800千克，“少”的是指750千克，即8 00千克比750千克多几分之几，结合
应用题的表达方式，可以补充为“今年水稻的亩产量比去年水稻 的亩产量多几分
之几？”
（5）“增加”、“提高”、“增产”等蕴含“多”的意思，“减少 ”、“下降”、“裁员”
等蕴含“少”的意思，“相当于”、“占”、“是”、“等于”意思相近。 < br>（6）当关键句中的单位“1”不明显时，要把关键句补充完整,补充成“谁是谁
的几分之几”或 “甲比乙多几分之几”、“甲比乙少几分之几”的形式。
（7）乘法应用题中，单位“1”是已知的。
（8）单位“1”不同的两个分率不能相加减，加减属相差比，始终遵循“凡是比
较，单位一致 ”的规则。
（9）分率与量要对应。
①多的比较量对多的分率； ②少的比较量对少的分率； ③增加
的比较量对增加的分率；
④减少的比较量对减少的分率； ⑤提高的比较量对提高的分率； ⑥降低
的比较量对降低的分率；
⑦工作总量的比较量对工作总量的分率； ⑧工作效率的比较量对工作效率的
分率；
⑨部分的比较量对部分的分率； ⑩总量的比较量对总量的分率；

第三单元 分数除法
1．分数 除法的意义：分数除法的意义与整数除法的意义相同，都是已知两个因
数的积与其中一个因数，求另一个 因数的运算。
2．分数除以整数（0除外），等于分数乘这个整数的倒数。整数除以分数等 于整
数乘以这个分数的倒数。
3．一个数除以分数的计算法则：一个数除以分数，等于这个数乘以分数的倒数。
4．分数除法的计算法则：甲数除以乙数（0除外），等于甲数乘乙数的倒数。
5．两个数相 除又叫做两个数的比。比的前项除以后项所得的商，叫做比值。从
应用的角度理解，比可以分为同类量比 和不同类量比；同类量比表示倍数关系，
比的前项和后项必须单位一致；不同类量比的结果产生新的量， 比的前项和后项
的单位不相同。
6．比值通常用分数、小数和整数表示。
7．比的后项不能为0。
8．同除法比较，比的前项相当于被除数，后项相当于除数，比值相当于商；
9．根据分数与 除法的关系，比的前项相当于分子，比的后项相当于分母，比值
相当于分数的值。
10．比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变。
11． 在工农业生产中和日常生活中，常常需要把一个数量按照一定的比来进行分
配。这种方法通常叫做按比例 分配。
比的应用
1、比的第一种应用：已知两个或几个数量的和，这两个或几个数 量的比，求这
两个或这几个数量是多少？
例如：六年级有60人，男女生的人数比是5：7，男女生各有多少人？
题目解析：60人就是男女生人数的和。
解题思路：第一步求每份：60÷（5+7）=5人
第二步求男女生：男生：5×5=25人 女生：5×7=35人。
2、比的第二种应用：已知一个数量是多少，两个或几个数的比，求另外几个数
量是多少？ < br>例如：六年级有男生25人，男女生的比是5：7，求女生有多少人？全班共有多

少人？
题目解析：“男生25人”就是其中的一个数量。
解题思路：第一步求每份：25÷5=5人
第二步求女生： 女生：5×7=35人。 全班：25+35=60人
3、比的第三种应用：已知两个数量的差，两个或几个数的比，求这两个或这几
个数量是多少？
例如：六年级的男生比女生多20人（或女生比男生少20人），男女生的比是7：
5，男女生 各有多少人？全班共有多少人？
4、要求量=已知量×
要求量份数

已知量份数
5、比在几何里的运用：
（1）已知长方形的周长，长和宽的比是ａ：ｂ。求长和宽、面积。
长=周长÷2×
a
b
宽=周长÷2× 面积＝长×宽
a b
ab
（2）已知已知长方体的棱长和，长、宽、高的比是ａ：ｂ：ｃ。求长、宽、高、< br>体积
ab
宽=周长÷４×
abcabc
c
高=周长÷４× 体积＝长×宽×高
abc
长=周长÷４×
（３）已知三角形三个角的比是ａ：ｂ：ｃ，求三个内角的度数。
三个角分别为：
１８０×
abc
１８０× １８０×
abcabcabc
（４）已知三角形的周长，三条边的长度比是ａ：ｂ：ｃ，求三条边的 长度。
三条边分别为：
周长×
abc
周长× 周长×
abcabcabc
12．一个数（0除外）除以一个真分数，所得的商大于它本身。
13．一个数（0除外）除以一个假分数，所得的商小于或等于它本身。
14．一个数（0除外）除以一个带分数，所得的商小于它本身。
已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法计算； 对应量÷对
应分率=单位“1”

四则混合运算
1．分数四则混合运算的顺序与整数四则混合运算的运算顺序 相同。在有一级运
算和二级运算的计算中，要先算二级运算再算一级运算，即：先乘除后加减。在
同级运算中，应按从左到右的顺序依次计算。
2．在分数四则混合运算中，可以应用运算定律使计算简便。
运算定律包括：加法的交换律、加法的结合律、乘法的交换律、乘法的结合律、
乘法的分配律。
第四单元 圆
1．圆的定义：平面上的一种曲线图形。
2．将一张圆形纸片对折两次，折痕相交于圆中心的一点，这一点叫做圆心。
圆心一般用字母O表示。它到圆上任意一点的距离都相等。
3．半径：连接圆心到圆上任意一点的线段叫做半径。
半径一般用字母r表示。把圆规两脚分开，两脚之间的距离就是圆的半径。
4．圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。
5．直径：通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。直径一般用字母d表示。
6．在同一个圆内，所有的半径都相等，所有的直径都相等。
7．在同一个圆内，有无数条半径，有无数条直径。
8．在同一个圆内，直径的长度是半径的2倍，半径的长度是直径的一半。 用
字母表示为：d＝2r 或r＝
d

2
9．圆的周长：围成圆的曲线的长度叫做圆的周长。
10．圆的周长总是直径的3 倍多一些，这个比值是一个固定的数。我们把圆的周
长和直径的比值叫做圆周率，它是一个无限不循环小 数，用字母π表示。在计算
时，取π ≈ 3.14。世界上第一个把圆周率算出来的人是我国的数学家祖冲之。
11．圆的周长公式：C= πd或C=2πr
12、圆的面积：圆所占面积的大小叫圆的面积。
13．把圆平均分成若 干份，然后把它们剪开，可以拼成一个近似长方形的图形，
这个长方形的长相当于圆的周长的一半（C
=πr），长方形的宽相当于圆的半径
2
（r），因此长方形的面积等于圆的面 积，所以圆的面积是 πr×r=πr
2

14．圆的面积公式：Ｓ＝πｒ 或者S= π（
d
） 或者S= π（C÷π÷2）
2
222
15．在一个正方形里画一个最大的圆，圆的直径等于正方形的边长。
r
2
×2:πｒ
2
:(2r)
2
= 2r
2
:πｒ
2
:4r
2

16．在一个长方形里画一个最大的圆，圆的直径等于长方形的宽。
S小正：S圆：S大正=2：π ：4
17．一个环形，外圆的半径是R，内圆的半径是r（其中R＝r＋环的宽度）
圆环的面积（铺小路的面积）=大圆的面积 － 小圆的面积=πR
2
－πr
2
=π（R
2
－r
2
）
18．环形的周长＝外圆周长＋内圆周长
19．半圆的周长等于圆的周长的一半加直径。 半圆的周长公式：Ｃ＝πd ÷
2＋d 或 Ｃ＝πr＋2r
20．半圆面积＝圆的面积÷2 公式为：Ｓ＝πｒ2÷ 2
21．在同一个圆里，半径扩大或缩小几倍，直径和周长也扩大或缩小相同的倍数；
面积则扩大 或缩小对应数平方倍。
例如：在同一个圆里，半径扩大４倍，那么直径和周长就都扩大４倍，而面积扩
大１６倍。
22．两个圆的半径比等于直径比等于周长比，而面积比等于以上比的平方。
例如：两个圆的 半径比是２：３，那么这两个圆的直径比和周长比都是２：３，
而面积比是２
２
：３< br>２
＝４：９。
23．当一个圆的半径增加ａ，它的周长就增加２πａ；当一个圆的直径 增加ａ，
它的周长就增加πａ。
24．在同一圆中，圆心角占圆周角的几分之几，它所在扇形 面积占圆面积的几分
之几；所对的弧占圆周长的几分之几。
25．周长相等的三角形、平行四边形、长方形、正方形和圆，它们的面积依次
增大。
面积相等的三角形、平行四边形、长方形、正方形和圆，它们的周长依次减
少。
26．扇形弧长公式：Ｌ＝πd÷360×n 扇形的面积公式：S= πｒ
2
÷360
×n （n为扇形的圆心角度数）
27．轴对称图形 ：如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，

这个图形就是轴对称图形 。折痕所在的
这条直线叫做对称轴。
28．只有1一条对称轴的图形有：角、等腰三角形、等腰梯形、扇形、半圆。
只有2条对称轴的图形是：长方形
只有3条对称轴的图形是：等边三角形
只有4条对称轴的图形是：正方形;
只有5条对称轴的图形是：正五边形、五角星;
……
有无数条对称轴的图形是：圆、圆环。
29．直径所在的直线是圆的对称轴。

第五单元 百分数
1．百分数的定义：表示一个数是另一个数的百分之几的数， 叫做百分数。百分
数也叫做百分率或百分比。
百分数表示两个数之间的比率关系，不表示具体的数量，所以百分数不能带单位。
百分数与分数的区别
（1）意义不同。百分数是“表示一个数是另一个数的百分之几的数。” 它
只能表示两数之间的倍数关系，不能表示某一具体数量。因此，百分数后
面不能带单位名称。 分数是“把单位‘1’平均分成若干份，表示这样一份
或几份的数”。分数还可以表示两数之间的倍数关 系.
（2）应用范围不同。百分数在生产、工作和生活中，常用于调查、统计、
分析与比较 。而分数常常是在测量、计算中，得不到整数结果时使用。
（3）书写形式不同。百分数通常不写成 分数形式，而采用百分号“%”来
表示。因此，不论百分数的分子、分母之间有多少个公约数，都不约分 ；
百分数的分子可以是自然数，也可以是小数。
而分数的分子只能是自然数，它的表示形式有 ：真分数、假分数、带分数，
计算结果不是最简分数的一般要通过约分化成最简分数，是假分数的要化< br>成带分数。任何一个百分数都可以写成分母是100的分数，而分母是100
的分数并不都具有百 分数的意义.
（4）百分数不能带单位名称；当分数表示具体数时可带单位名称。

30.百分数应用
百分数一般有三种情况： ①100%以上，如：增长率、增产率等。 ②100%
以下，如：发芽率、成长率等。 ③刚好100%，如：正确率，合格率等。
31.百分数的意义
百分数只可以表示分率，而不能表示具体量,所以不能带单位。
2．百分数的意义：表示一个数是另一个数的百分之几。
例如：25％的意义：表示一个数是另一个数的25％。
3．百分数通常不写成分数形式，而 在原来分子后面加上“％”来表示。分子部
分可为小数、整数，可以大于100，小于100或等于10 0。
4．小数与百分数互化的规则：
把小数化成百分数，只要把小数点向右移动两位，同时在后面添上百分号；
把百分数化成小数，只要把百分号去掉，同时把小数点向左移动两位。
5．百分数与分数互化的规则：
把分数化成百分数，通常先把分数化成小数（除不尽的保留三位小数），
再把小数化成百分数；
把百分数化成分数，先把百分数改写成分数，能约分的要约成最简分数。
6．百分率公式：
合格率=
勤率=
合格产品数发芽种子数
×100% 发芽率=×100% 出
产品总数实验种子数
出勤人数
×100%
应出勤人数
达标学生人数成活的棵数
×100% 成活率=×100% 含
学生总人数总棵数
达标率=
盐率=
盐的质量
×100%
盐水的质量
面粉的质量油的质量
×100% 出油率=×
小麦的质量农作物的质量
小麦出粉率=
100% ……
7．纳税：纳税是根据国家各种税法的有关规定，按照一定的比率把集体或个人
收入的一 部分缴纳给国家。
8．纳税的意义：税收是国家财政收入的主要来源之一。国家用收来的税款发展经济、科技、教育、文化和国防安全。
9．纳税的种类：将纳税主要分为增值税、消费税、营业税、个人所得税等几类。

10．应纳税额：缴纳的税款叫应纳税额。
11．税率：应纳税额与各种收入的比率叫做税率。
12．应纳税额的计算：应纳税额＝各种收入×税率
13．储蓄的意义：人们常常把暂时不用 的钱存入银行或信用社，储蓄起来，这样
不仅可以支援国家建设，也使得个人用钱更加安全和有计划，还 可以增加一些收
入。
14．存款的类型：存款分为活期、整存整取、零存整取等方式。
15．本金：存入银行的钱叫做本金。
16．利息：取款时银行多支付的钱叫做利息。
17．国家规定，存款的利息要按一定的税率纳税。国债的利息不纳税。
18．利率：利息与本金的比值叫做利率。
19．银行存款税后利息的计算公式：税后利息＝本金×利率×时间×（１－税率）
20．银行存款利息的税金＝利息×税率 或 银行存款利息的税金＝本金×利率
×时间×税率
21．国债利息的计算公式：利息＝本金×利率×时间
22．本息：本金与利息的总和叫做本息。
打折：商店降价出售商品。
百分数应用题（一）
求增加百分之几？减少百分之几？
公式：增加百分之几=增加的部分÷单位1
减少百分之几=减少的部分÷单位1
例如：1、45立方厘米的水结成冰后，冰的体积为50立方厘米，冰的体积比原
来水的体积增加百分之 几？
解题思路：根据公式增加百分之几=增加的部分÷单位1，先确定单位1是水，
已经知道 是45：增加的部分不知道，可以利用50减45求得5；最后用增加的部
分5÷单位1水的45就等于 增加百分之几。
计算步骤：第一步：单位1：水：45立方厘米
第二步：增加的部分：50—45=5立方厘米
第三步：增加百分之几：5÷45=11.1%
2、45立方厘米的水结成冰后，体积增加了5立方厘 米，冰的体积比原来水的体
积增加百分之几？
解题思路：根据公式增加百分之几=增加的部分 ÷单位1，先确定单位1是水，
已经知道是45：增加的部分是5立方厘米；最后用增加的部分5÷单位 1水的
45就等于增加百分之几。
计算步骤：第一步：单位1：水：45立方厘米
第二步：增加的部分： 5立方厘米

第三步：增加百分之几：5÷45=11.1%
3、水结成冰后，体积增加了5立方厘米，冰的体积为 50立方厘米，冰的体积比
原来水的体积增加百分之几？
解题思路：根据公式增加百分之几= 增加的部分÷单位1，先确定单位1是水，
不知道但可以根据题目“水结成冰后，体积增加了5立方厘米 ”知道水是少的，
冰是多的，所以可以用50—5求出水是45立方厘米。加的部分是5立方厘米；；< br>最后用增加的部分5÷单位1水的45就等于增加百分之几。
计算步骤：第一步：单位1：水：50—5=45立方厘米
第二步：增加的部分： 5立方厘米
第三步：增加百分之几：5÷45=11.1%
4、“减少百分之几与增加百分之几”的解题方法完全相同。
5、与增加百分之几相同的还有“多百分之几”“提高百分之几”
“增长百分之几“等。
与减少百分之几相同的还有“少百分之几”“降低百分之几”“节约百分之几”
等。
百分数应用题（二）
比一个数增加百分之几的数，比一个数减少百分之几的数。
例如1、光明小学去年有80名学生，今年的学生人数比去年增加了25%，今年有
多少名学生？
解题思路：单位1去年已经知道用乘法，增加用（1+25%）
算式：80×（1+25%）
2、光明小学去年有80名学生，今年的学生人数比去年减少了25%，今年有多少
名学生？
解题思路：单位1去年已经知道用乘法，减少用（1-25%）
算式：80×（1-25%）
3、光明小学今年有100名学生，比去年增加了25%，去年有多少名学生？
解题思路：单位1去年不知道用除法，增加用（1+25%）
算式：100÷（1+25%）
4、光明小学今年有100名学生，比去年减少了25%，去年有多少名学生？
解题思路：单位1去年不知道用除法，增加用（1-25%）
算式：100÷（1-25%）
百分数应用题（三）列方程解百分数应用题
1、小明看一本书，第一天看了全书的25%，第 二天看了全书的20%，第一天比第
二天多看20页，这本书一共有多少页？
解题思路：单位1一本书不知道，可以选用方程或除法来解答。
根据“第一天比第二天多看2 0页”可以知道第一天是多的，第二天是少的，第
一天减去第二天等于多出的20页。
等量关系式：第一天—第二天=20页
方法1：解：设这本书一共有X页。
由“第 一天看了全书的25%”可以知道第一天等于全书乘以25%，用X可以表示
为25%X，由“第二天看 了全书的20%”可以知道第二天等于全书乘以20%，用X
可以表示为20%X.依据等量关系式“第 一天—第二天=20页”可以列方程为：25%X
—20%X=20
方法2：“第一天比第二 天多看20页”可以知道20页是第一天和第二天的差。

要求单位1只要用20页除以2 0页的对于分率。
列算式为：20÷(25%—20%)
2、小明看一本书，第一天看了全 书的25%，第二天看了全书的20%，两天共看了
20页，这本书一共有多少页？
等量关系式：由“两天共看了20页”可以知道第一天+等二天=20页。
方程法：解：设这本书共有X页，则第一天为25%X，第二天为20%X。
方程列为：25%X+20%X=20
算术法：由“两天共看了20页”可以知道20页是第 一天和第二天的和，要求单
位1只要用20页除以20页的对于分率。
列算式为：20÷(25%+20%)
3、小明看一本书，第一天看了全书的25%，第二天 看了全书的20%，还剩20页，
这本书一共有多少页？
等量关系式：一本书—第一天—第二天=20页
方程法：解设这本书一共有X页，则第一天为25%X，第二天为20%X。
列方程为：X—25%X—20%X=20
算术法：20÷（1- 25%X- 20%）
4、小明看一本书，第一天看了全书的25%，第二天比第一天多看10页，还剩20
页，这本 书一共有多少页？
方程法：解设这本书一共有X页，则第一天为25%X，第二天为（25%X+10）页。
列方程为：X—25%X—（25%X+10）=20
百分数应用题（四）利息的计算
1.本金：存入银行的钱叫做本金。
2．利息：取款时银行多支付的钱叫做利息。
利息=本金×利率×时间
3．2008年10月9日以前国家规定，存款的利息要按20％的 税率纳税。国债的
利息不纳税。2008年10月9日以后免收利息税。所以如无特殊说明，就不再计< br>算利息税。
4．利率：利息与本金的比值叫做利率。
5．银行存款税后利息的计算公式：税后利息＝利息×（１－20％）
6．国债利息的计算公式：利息＝本金×利率×时间
7．本息：本金与利息的总和叫做本息。
8．应纳税额：缴纳的税款叫应纳税额。
9．税率：应纳税额与各种收入的比率叫做税率。
10．应纳税额的计算：应纳税额＝各种收入×税率
例如：李老师把2000元钱存入银行， 整存整取五年，年利率按4.14%计算，到
期时，李老师的本金和利息共有多少元？
解题思路：要求“本金和利息共有多少元”应该用本金的2000元加上利息的。
解题步骤：第一步：根据“利息＝本金×利率×时间”算利息

利息：2000×4.14%×5=414元
第二步：本金+利息：2000+414=2414元。
例如：李老师把2000元钱存入银行，整存整取五年，年利率按4.14%计算，到
期时，李 老师的本金和利息共有多少元？（如果利息按20%来上税）
解题思路：要求“本金和利息共有多少元”应该用本金的2000元加上利息的。
解题步骤：第一步：根据“利息＝本金×利率×时间”算利息
利息：2000×4.14%×5=414元
第二步：算税后利息：414×（1—20%）=331.2元
本金+利息：2000+331.2=233.2元。

第六单元 统计
一、扇形统计图的意义：
用整个圆的面积表示总数，用圆内各个扇形面积表示各部分数量同总数之间
的关系。
也就是各部分数量占总数的百分比（因此也叫百分比图）。
二、常用统计图的优点：
1、条形统计图：可以清楚的看出各种数量的多少。
2、折线统计图：不仅可以看出各种数量的多少，还可以清晰看出数量的增减
变化情况。
3、扇形统计图：能够清楚的反映出各部分数量同总数之间的关系。
三、扇形的面积大小：在 同一个圆中，扇形的大小与这个扇形的圆心角的大小有
关，圆心角越大，扇形越大。（因此扇形面积占圆 面积的百分比，同时也是
该扇形圆心角度数占圆周角度数的百分比。）

第七单元 数学广角
一、“鸡兔同笼”问题的特点：
题目中有两个或两个以上的未知数，要求根据总数量，求出各未知数的单量。
二、“鸡兔同笼”问题的解题方法
1、
猜测法 2、假设法（1） 假如都是兔（2） 假如都是鸡（3） 古人“抬脚
法”： 3、列方程法

附1
、
常用单位换算

长度单位换算
1千米=1000米 1米=10分米 1分米=10厘米 1米=100厘米 1厘米=10毫米
面积单位换算
1平方千米=100公顷 1公顷=10000平方米 1平方米=100平方分米
1平方分米=100平方厘米 1平方厘米=100平方毫米
体(容)积单位换算
1立方米=1000立方分米 1立方分米=1000立方厘米 1立方分米=1升
1立方厘米=1毫升 1立方米=1000升
重量单位换算
1吨=1000 千克 1千克=1000克 1千克=1公斤
人民币单位换算
1元=10角 1角=10分 1元=100分
时间单位换算
1世纪=100年 1年=12月 大月(31天)有:135781012月 小月(30天)
的有:46911月
平年2月28天, 闰年2月29天 平年全年365天, 闰年全年366天 1日=24
小时
1时=60分 1分=60秒 1时=3600秒

附2
、常用平方数结果
11
2
= 121
12
2
= 144
13
2
= 169
14
2
= 196
15
=
2
225
16
= 256
17
= 289
18
= 324
19
= 361
附3
、
常见的分数与小数、百分数之间的互化
15
1
= 0.5 = 50% = 0.2 = 20% = 0.625
58
2
= 62.5%
2222
1
12
= 0.25 = 25% = 0.4 = 40% = 0.125
8
45
= 12.5%
33
3
= 0.75 = 75% = 0.6 = 60% = 1.375
58
4
= 37.5%

147
= 0.0625 = 6.25% = 0.8 = 80% = 0.875
1658
= 87.5%
1234
= 0.04 = 4﹪ = 0.08 = 8﹪ = 0.12 = 12﹪ = 0.16
25252525
= 16﹪