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《二元一次方程组》中的数学思想

河北 寇焕新

数学知识很重要，更重要的是以数学知识为载体所体现出来的数学思想和方法，近几年
尤其是新 课改以后的中考试题中，考查数学思想和方法的题目越来越多，因此，在学习中要
注意体会教材例题、习 题所体现的数学思想和方法，培养用数学思想和方法解决问题的意识。
本章所体现的数学思想有：方程思 想、化归思想和数学形结合思想。
所谓方程思想是指从分析问题的数量关系入手，将问题中的已知量和 未知量之间的数量
关系通过适当设元建立起方程(组)，然后通过解方程(组)使问题得到解决的思维方 式 。
用方程思想解题的关键是利用已知条件或公式、定理中的已知结论构造方程(组)。这种
思想在代数、几何及生活实际中有着广泛的应用。
例1：某商店出售的某种茶壶每只定价20元，茶 杯每只定价3元，该商店在营销淡季
特规定一项优惠方法，即买一只茶壶赠送一只茶杯，某单位花了20 5元，买回了茶壶和茶杯
一共45只，问该单位买回茶壶茶杯各多少只？
解：设买回茶壶x个，茶杯y个，根据题意得
x+y=45
20x+3(y－x)=205
解这个方程组得，x=5
y=40
答：买回茶壶5只，茶杯40只。
所谓化归思想，就是化未知为已知，化繁为简，化难为易。 比如本章解二元一次方程
组的基本思路是“消元”，通过“消元”，把二元一次方程转化为一元一次方程 ，逐步实现化
“未知”为“已知”的目的，这就是“化归”的数学思想。掌握了这个思想，三元一次方程
组也就迎刃而解了。（例2中解方程组的过程就是对化归思想的一种灵活运用。）
所谓数形结 合思想就是根据数学问题的题设和结论之间的内在联系，既分析其数量关
系，又揭示其几何意义，使数量 关系和几何图形巧妙地结合起来，并充分地利用这种结合，
探求解决问题的思路，使问题得到解决的方法 。
例2：甲、乙、丙三人共解100道数学题，每人都解了其中的60道题，将其中一人解
出 的题目叫难题，三人都解出的题叫容易题。试问：难题多还是容易题多？（多的比少的）
多几道？ 解：设三人都解出的容易题为x个，只有一个人解出的难题分别为y
1
、
、
y
2
、
、
y
3
、个，则
难题总数为y=y
1
+y
2
+y
3
．由图可知：
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x+y
1
+a+b=60 ①
x+y
2
+a+c=60 ②
x+y
3
+b+c=60 ③
x+y+(a+b+c)＝100 ④
①+②+③，得３x+y+2(a+b+c)=180. ⑤
由④得2x+2y+2(a+b+c)=200. ⑥
⑥－⑤得y－x=20。
答：难题多，难题比容易题多２０道．
本题涉及的因素较 多，直接建立方程困难较大，因此利用数形结合思想，造形助数，从
而解决问题．
























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