天津工大-证券基础知识重点

2019〜2020学年度高三年级第一学期教学质量调研（三）
数学（文科）试题
一、填空題：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案填写在答题卡相应位置上. 1.已知集合
A

x()1

，集合
Bxlgx 0
，则
A


1
2
x


B
▲ ・
2.若复数z满足
z

12i

34i
（i是虚数单位），则复数z的实部是 ▲ ・
3.右图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是 ▲ .
4. 现把某类病毒记作
X
m
Y
n
,其中正整数
m，n(m6, n8）
可以任意选
取，则
m，n
都取到奇数的概率为 ▲
5・在样本的频率分布直方图中，共有8个小长方形，若中间一个小长方
形的面积等于其他7个小长方形的面积的和的
一组的频数是 ▲ _・
1
,且样本容量为120,则中间
5
x
2
y
2
6. 若双曲线
2

2
1

a0,b0

与直线
y3x
有交点，则离心率
e
ab
的取值范围为 ▲ .
7. 等比数列

a
n

中，
a
1
1
,前
则
S
5
= ▲ ・
8. 如图，在正三棱柱
ABCA
1
B
1
C
1
中，已知
ABAA
1
3
,点
P
在棱
CC
1上，
则三棱锥
PABA
1
的体积为 ▲
9.已知
sin

cos


.
n< br>项和为
S
n
,满足
S
6
3S
5
 2S
4
0
，
1
,0



, 则
sin
2

sin2


▲ .
5
11・定义：如果函数
yf

x

在 区间

a,b

,可上存在
x
0
(ax
0
b）
,
满足
f

x
0

< br>f

b

f

a

,
则 称
x
0
是函数
yf

x

在区间

a,b

上的一个均
ba
xx1
值点.已知函数< br>f

x

42
▲ .
m
在区间[［0,1］]上存在均值点，则实数加的取值范围是

12.已知
0a1,0b1
,且
4ab4a4b3  0
,则
12

的最小值为. ▲ ・
ab
33
，若
P
为
2
13．已知
ABC
中，
AB3,AC1
,且
AB3

1


AC

R

的最小值为
边
AB
上任意一点,则
PBPC< br>的最小值是 ▲ .
14.已知函数
f

x
< br>x
3
ax
2
4x1
在

0,2< br>
上是增函数，函数
g

x

lnxa2ln x
,若
3

x
1
,x
2

< br>e,e

（e为自然对数的底数）时，不等式
g

x
1

g

x
2

5
恒成立，则实数
a
的取值
范围是 ▲ .
二、解答題：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字
说明、证明过程或演算步骤.
15．（本小题满分14分）
已如函数
f< br>
x

13cos2x2sin

2



x



4

⑴求
f< br>
x

的最小正周期和单调递减区间；
⑵若方程
f

x

m0
在区间


16.（本小题满分14分）
如图，在四棱锥
PABCD
中,底面
ABCD
是矩形,点
E
是棱
PC
的中点，平面
ABE与棱



,


上有两个不同的实
数解,
求实数
m
的取值范围。
4

PD交于点F.

⑴求证：
ABEF
；
⑵
PAAD
,且
PACD
，求证：
AF
平面
FCD
.

17・(本小题满分14分)
x
2
y
2
1

3

已知椭圆
C:
2

2
1

ab0

的离率为，并且椭圆
C
过点
1,


ab
2

2

(1) 求
C
的方程；
(2) 直线
l
为椭圆
C
的右准 线，直线
l
与
x
轴的交点记为
F
,过右焦点
F的直线与椭圆
C
交
于两点.设点
M
在直线
l
上，且满足
MFAB
，若直线
OM
与线段
MB
交于点
D
。.求证：点
D
为线段
AB
的中点.





18.(本小题满分16分)
某沿海特区为了缓解建设用地不足的矛盾，决定进行围海造陆以增加陆地面积•如图， 两海
岸 线
OA
,帥所成角为
2

，现欲在海岸线
OA，OB
上分别取点
P, Q
修建海堤，以便围成三
3
角形陆地
OPQ,已知海堤
PQ
长为6千米.
(1) 如何选择
P，Q
的位置，使得
OPQ
的面积最大；
(2) 若需 要进一步扩大围海造陆工程，在海堤
PQ
的另一侧选取点修建海堤
MP,MQ
围成
四边形陆地・当海堤与的长度之和为10千米时，求四边形
MPOQ
面积的 最大值.

19. (本小题满分16分)
已知数列

a
n< br>
的前
n
项和
S
n
满足
2S
n3

a
n
1

nN

.
(1) 求数列

a
n

的通项公式；
(2) 记
b
n

a
n
1

，
T
n
是数列

b
n

的前
n
项和，求证：< br>T
n


nN

；
4

a
n
1

a
n1
1

(3) 记
c
n

a
n
，是否存在互不相等的正整数加
m, s,t
,使
m,s,t
成等差数列，且
a
n
2
c
m
1,c
5
1,c
1
1
成等比数列？如果存 在，求出所有符合条件的加m,s,t；如果 不存在，请说明理
由.




20. (本小题满分16分)
已知函数
f

x

x
3
ax32,a0
・
(1) 当
a 2
时，求函数
yf

x

的单调递增区间；
(2) 若函数
yf

x

只有一个零点，求实数
a
的取值范围;
(3) 当
0a1
时，试问：过点
P

2,0

存在几条直线与曲线
yf

x
< br>相切？