霍金的简介-教师节祝福的话

河南省洛阳市第二外国语学校 高考数学 闯关密练特训《3-3导
数的实际应用》试题 新人教A版

1.(文)正三棱柱体积为
V
，则其表面积最小时，底面边长为( )
3333
A.
V
B.2
V
C.4
V
D．2
V

[答案] C
[解析] 设正 三棱柱底面边长为
a
，高为
h
，则体积
V
＝
32
43
V
a
＋，
2
a
3
2
4
V
3
ah
，∴
h
＝，表面积
S
＝
2
42
3
a
a
2
＋3
ah
＝
4 3
V
3
由
S
′＝3
a
－
2
＝0， 得
a
＝4
V
，故选C.
a
(理)在内接于半径为
R
的半圆的矩形中，周长最大的矩形的边长为( )
R
3
A.和
R

22
47
C.
R
和
R

55
[答案] B
B.
545
R
和
R

55
D．以上都不对
[解析] 设矩形垂直于半圆直径的边长为
x
，则另一边长为2
R
－
x
，则
l
＝2
x
＋ 4
R
－
x

(0＜
x
＜
R
)，
2222
l
′＝2－
当0＜
x
＜
4
xR
2
－
x
，令
l
′＝0，解得
x
＝< br>2
5
R
.
5
55
R
时，
l
′＞0；当
R
＜
x
＜
R
时，
l
′＜0.
55
5545
R
时，
l
取最大值，即周长最大的矩形的边长 为
R
，
R
.
555
所以当
x
＝
2．已知某生产厂家的年利润
y
(单位：万元)与年产量
x
(单位：万件)的 函数关系式为
y
1
3
＝－
x
＋81
x
－2 34，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为( )
3
A．13万件
C．9万件
[答案] C
1
3
[解析] ∵
y
＝－
x
＋81
x
－234，
3
∴
y
′＝－
x
＋81(
x
>0)．
- 1 -
2
B．11万件
D．7万件

令< br>y
′＝0得
x
＝9，令
y
′<0得
x
>9， 令
y
′>0得0<
x
<9，
∴函数在(0,9)上单调递增，在(9，＋∞)上单调递减，
∴当
x
＝9时，函数取得最大值．故选C.
[点评] 利用导数求函数最值 时，令
y
′＝0得到
x
的值，此
x
的值不一定是极大(小) 值
时，还要判定
x
值左右两边的导数的符号才能确定．
3．(文)做一个圆 柱形锅炉，容积为
V
，两个底面的材料每单位面积的价格为
a
元，侧面
的材料每单位面积的价格为
b
元，当造价最低时，锅炉的底面直径与高的比为( )
A.
a
b
B.
a
2
b
C.
bb
2
a
D.
a

[答案] C
[解析]

如图，设圆柱的底面半径为
R
，高为
h，则
V
＝π
R
2
h
.
设造价为
y< br>，则
y
＝2π
R
2
a
＋2π
Rhb
＝2π
aR
2
＋2π
Rb
·
V
2
2
bV
π
R
2
＝2π
aR
＋
R
，
∴
y
′＝4π
aR
－
2
bV
R
2
.
令
y
′＝0并将
V
＝π
R
2
h代入解得，
2
R
h
＝
b
a
.
(理)圆柱的表面积为
S
，当圆柱体积最大时，圆柱的底面半径为( )
A.
S
3π
B.3π
S

C.
6π
S
6π
D．3π·6π
S

[答案] C
[解析] 设圆柱底面半径为
r
，高为
h
，
S
＝2π
r
2
＋2π
rh
，∴
h
＝
S
－2π
r
2
∴
2π
r
，
- 2 -

又
V
＝π
rh
＝
2
2
rS
－2π
r
3
2
，则
V
′＝
S
－6π
r
2
2
，令
V
′＝0，
得
S
＝6π
r
，∴
h
＝2
r
，
r
＝
6π
S
.
6π
4．某公司生产某种产品，固定成本为20000 元，每生产一单位产品，成本增加100元，
1


400
x
－
x
2
，0≤
x
≤400，
2
已知总收益
R
与产量
x
的关系是
R
＝



80000，
x
＞400.
产的产品是( )
A．100
C．200
[答案] D
[解析] 由题意，总成本为
C
＝ 20000＋100
x
.所以总利润为
P
＝
R
－
C
＝
B．150
D．300

则总利润最大时，每年生
x


300
x
－－20000，0≤
x
≤400，
2



60000－100
x
，
x＞400，
2






300－
x
，0≤
x
≤400，
P
′＝


－100，
x
＞400.

令
P
′＝0，得
x< br>＝300，易知当
x
＝300时，总利润最大．
5．(文)内接于半径为
R
的球并且体积最大的圆锥的高为( )
A．
R

4
C.
R

3
[答案] C
[解析] 设圆锥的高为
h
，底面半径为
r
，则
R
＝(
h
－
R
)＋
r
，∴
r
＝2
Rh
－
h
，
1
2
π2π
322
∴
V
＝π
rh
＝
h
(2
R h
－
h
)＝π
Rh
－
h
，
3333
22222
B．2
R

3
D.
R

4
V
′＝π
Rh
－π
h
2
，令
V
′＝0得
h
＝
R
.

(理)要制做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20cm，要使其体积最大，则高为( )
A.
3
cm
3
163
cm
3
103

3
203

3
4
3
4
3
C.
[答案] D
- 3 -

[解析] 设圆锥的高为
x
，则底面半径为20－
x
，
1
2
其体积为
V
＝π
x
(400－
x
) (0＜
x
＜20)，
3
22
V
′＝π(400－3
x
2
)，令
V
′＝0，解得
x
＝
1
3< br>203
.
3
203203
当0＜
x
＜时，
V
′＞0；当＜
x
＜20时，
V
′＜0，
33
203
所以当
x
＝时，
V
取最大值．
3
1
6．(2012·保定模拟)定义域为R的函数
f
(
x
)满足
f
(1)＝1，且
f
(
x
)的导函数
f< br> ′(
x
)>，
2
则满足2
f
(
x
)<
x
＋1的
x
的集合为( )
A．{
x
|－1<
x
<1}
C．{
x
|
x
<－1或
x
>1}
[答案] B
[解析] 令
g
(
x
)＝2
f(
x
)－
x
－1，
1
∵
f
′(
x
)>，∴
g
′(
x
)＝2
f
′(
x
)－1>0，∴
g
(
x
)为单调增函数，∵
f< br>(1)＝1，∴
g
(1)＝
2
2
f
(1)－1－1＝ 0，
∴当
x
<1时，
g
(
x
)<0，即2
f
(
x
)<
x
＋1，故选B.
7．(文)用长为18m 的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为21，
该长方体的最大体积是_____ ___．
[答案] 3m
9

2

9
[解析] 设长方体的宽为
x
，则长为2
x
，高为－3
x
(0<x
<2)，故体积为
V
＝2
x

－3
x

＝
2

2

－6
x
＋9
x< br>，
32
3
B．{
x
|
x
<1}
D．{
x
|
x
>1}
V
′＝－18
x< br>2
＋18
x
，令
V
′＝0得，
x
＝0或1，
∵0<
x
<2，∴
x
＝1.
∴该长方体的长、宽、高各为 2m、1m、1.5m时，体积最大，最大体积
V
max
＝3m.
(理)用 总长为14.8m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作容器的底面的一边
比另一边长0.5m ，那么容器的容积最大时，容器的高为________．
[答案] 1.2m
[解析] 设容器的短边长为
x
m，
则另一边长为(
x
＋0.5)m，
14.8－4
x
－4
高为
4

3
x
＋0.5
＝3.2－2
x
.
- 4 - < /p>

由3.2－2
x
>0和
x
>0，得0<
x<1.6，
设容器的容积为
y
m，
则有
y
＝
x
(
x
＋0.5)(3.2－2
x
)(0<
x
< 1.6)，
整理得
y
＝－2
x
＋2.2
x
＋1. 6
x
，
∴
y
′＝－6
x
＋4.4
x
＋1.6，
令
y
′＝0，有－6
x
＋4.4
x
＋1.6＝0，即15< br>x
－11
x
－4＝0，
4
解得
x
1
＝1，
x
2
＝－(不合题意，舍去)，
15
∴高＝3.2－2＝1.2，容积
V
＝1×1.5×1.2＝1.8.
1
2
8．(文)(2011·北京模拟)若函数
f
(
x)＝ln
x
－
ax
－2
x
存在单调递减区间，则实数< br>a
的
2
取值范围是________．
[答案] (－1，＋∞)
[分析] 函数
f
(
x
)存在单调减区间，就是不等式
f
′(
x
)<0有实数解，考虑到函数的定
义域为(0，＋∞)，所以本题就是求
f
′(
x
)<0在(0，＋∞)上有实数解时
a
的取值范围．
1－
ax
－2
x
[解析] 解法1：
f
′(
x
)＝－
ax
－2＝，由题意知
f
′(
x< br>)<0有实数解，∵
1
2
22
2
32
3
xx
x
>0，∴
ax
2
＋2
x
－1>0有实数解．当< br>a
≥0时，显然满足；当
a
<0时，只要Δ＝4＋4
a
>0， ∴－
1<
a
<0，综上知
a
>－1.
11－
ax
－2
x
解法2：
f
′(
x
)＝－
ax
－2＝，
2
xx
由题意可知
f
′(
x
)<0在(0，＋∞)内有实数解．
即1－
ax
－2
x
<0在(0，＋∞)内有实数解．
12
即
a
>
2
－在(0，＋∞)内有实数解．
2
xx
121
2
∵
x
∈(0，＋∞)时，
2
－＝(－1)－1≥－1，∴
a
>－1.
xxx
(理)(2011～201 2·黄冈市期末)对于三次函数
y
＝
ax
＋
bx
＋
cx
＋
d
(
a
≠0)，给出定义：设
32
f
′(
x
)是函数
y
＝
f
(
x
)的导数 ，
f
″(
x
)是
f
′(
x
)的导数， 若方程
f
″(
x
)＝0有实数解
x
0
，
则 称点(
x
0
，
f
(
x
0
))为函数
y
＝
f
(
x
)的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函 数都有
1
3
1
2
“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐 点”就是对称中心．若
f
(
x
)＝
x
－
x
32
5
＋3
x
－，请你根据这一发现，求：
12
1
3
1
2
5
(1)函数
f
(
x
)＝
x
－
x
＋3
x
－的对称中心为________；
3212
- 5 -

12342013
(2)计算
f
()＋
f
()＋
f
()＋
f
()＋…＋
f
()＝________.
20142014
1
[答案] (1)(，1) (2)2013
2
1111
32
[解析] (1)
f
′(
x
)＝
x
－
x
＋3，f
″(
x
)＝2
x
－1，由2
x
－1＝0得< br>x
＝，
f
()＝×()
2232
11
2
15 1
－×()＋3×－＝1，由拐点的定义知
f
(
x
)的拐点即对称中 心为(，1)．
222122
kkk
2014－
k
(2)∴
f
()＋
f
(1－)＝
f
()＋
f
()＝2(< br>k
＝1，2，…，1007)，
2014
∴
f
(
1 222
)＋
f
()＋…＋
f
()＝[
f
()＋f
()]＋[
f
()＋
f
()]＋…
2014
1
＋[
f
()＋
f
()]＋
f
()＝2×1006 ＋1＝2013.
2
9．有一个容积
V
一定的有铝合金盖的圆柱形铁桶，已 知单位面积铝合金的价格是铁的3
倍，问如何设计使总造价最小？
[分析] 桶的总造价要根 据铁与铝合金的用量来定，由于二者单位面积的价格不同，在
保持铁桶容积不变的前提下，使总造价最小 ．问题转化为
V
一定求总造价
y
的最小值，选取
恰当变量(圆柱高< br>h
或底半径
r
)来表示
y
即变为函数极值问题．
[解析] 设圆柱体高为
h
，底面半径为
r
，又设单位面积铁的造价 为
m
，桶总造价为
y
，
则
y
＝3
m
π
r
＋
m
(π
r
＋2π
rh
)． 22
V
2
mV
22
由于
V
＝π
rh< br>，得
h
＝
2
，所以
y
＝4
m
πr
＋ (
r
>0)．
π
rr
2
mV
所以，
y
′＝8
m
π
r
－
2
.
r
令
y
′＝0，得
r
＝


V

1
，此时，
h
＝
V
＝4

V
< br>1
.

4π

3
2
π
r

4π

3

该函数在(0，＋∞)内连续可导，且只有一个使 函数的导数为零的点，问题中总造价的最
小值显然存在，当
r
＝


V

1
时，
y
有最小值，即
hr
＝4时， 总造价最小．


4π

3
10．(文)已知球的直径为
d
，求当其内接正四棱柱体积最大时，正四棱柱的高为多少？
[解析] 如右图所示，设正四棱柱的底面边长为
x
，高为
h
，
- 6 -

由于
x
＋
x
＋
h
＝
d
，
1
222
∴
x
＝(
d
－
h
)．
2
∴球内接正四棱柱的体积为
2222
V
＝
x
2
·
h
＝(
d
2
h
－
h
3
)，0<
h
<
d
.
V
′＝(
d
2
－3
h
2
)＝0，∴
h
＝
1
2
3
d
.
3
1
2
在(0，
d
)上，函数变化情况如下表：
h
V
′

V
3


0，
d


3

＋

↗

3
d
3
0

极大值

3
d
.
3

3


d
，
d



3

－
↘
由上表知体积最大时，球内接正四棱柱的高为
(理)

π
如右图所 示，扇形
AOB
中，半径
OA
＝1，∠
AOB
＝，在
OA
的延长线上有一动点
C
，过点
2
C
作
CD< br>与
AB
相切于点
E
，且与过点
B
所作的
OB
的垂线交于点
D
，问当点
C
在什么位置时，直
角梯形
OCDB
的面积最小．
- 7 -

[分析] 要求直角梯形< br>OCDB
的面积的最小值，需先求出梯形面积，可设
OC
＝
x
，进而用
x
表示
BD
，然后利用导数的方法求最小值．
[解析] 如上图所示，过
D
作
DF
⊥
OA
于
F
，可 知
△
OEC
≌△
DFC
，
所以
OC
＝
CD
，设
OC
＝
x
(
x
＞1)，
在Rt△
CDF
中，
CD
＝
CF
＋
DF
，即
x
＝(
x
－
BD
)＋1，
所以
BD
＝
x
－
x
－1，
所以梯形的面积为
2
22222
S
＝(
BD
＋< br>OC
)·
OB
＝(2
x
－
x
2
－1 )，
S
′＝(2－
1
2
1
2
1
2
x
)．
2
x
－1
2
3
，
x
2
＝－
2
3
(舍去)． 令
S
′＝0，解得
x
1
＝
当
x
＞
22
时，
S
′＞0；当1＜
x
＜时，
S
′＜0.
33
23
所以当
x
＝时，
S
取最小值．
3
23
即当
OC
＝时，直角梯形
OCDB
的面积最小.
3
能力拓展提升
1
3
1
2
11.已知非零向量< br>a
、
b
满足：|
a
|＝2|
b
|，若函数< br>f
(
x
)＝
x
＋|
a
|
x
＋
a
·
bx
在R上有极
32
值，设向量
a
、
b
的夹角为
θ
，则cos
θ
的取值范围为( )

1

A.

，1


< br>2

1

C.

－1，


2

[答案] D

1

B.

，1



2

1

D.

－1，


2

[解析] ∵函数
f
(
x
)在R上有极值，∴
f
′(
x)＝
x
＋|
a
|
x
＋
a
·
b
＝0有两不等实根，∴
1
222
Δ＝|
a
|－4|
a
|·|
b
|cos
θ
＝4|
b
|－8|
b
|cos
θ
>0，∴cos
θ
<，∴选D.
2
[点评] 若
f
(
x
)为三次函数，
f
(
x
)在R上有极值，则
f
′(
x
)＝0应有二不等实根 ，当
2
f
(
x
)有两相等实根时，不能保证
f
(< br>x
)有极值，这一点要特别注意，如
f
(
x
)＝
x< br>3
，
f
′(
x
)＝
x
2
＝0有实 根
x
＝0，但
f
(
x
)在R上单调增，无极值．即导数为0 是函数有极值的必要不充分
条件．
- 8 -
1
3

12．如图，过函数
y
＝
x
sin
x
＋cos
x
图象上点(
x
，
y
)的切线的斜率为
k
，若k
＝
g
(
x
)，则
函数
k
＝
g
(
x
)的图象大致为( )

[答案] A
[解析] ∵
y
′＝sin
x
＋
x
cos
x
－sin
x
＝
x
cos
x
，
∴
k
＝
g
(
x
)＝
x
cos
x
， 易知其图象为A.
1
23
13．函数
f
(
x
)＝ 2
x
＋
x
－
x
＋1的图象与
x
轴交点个数 为________个．
2
[答案] 1
111
2
[解析]
f
′(
x
)＝6
x
＋
x
－1＝(3x
－1)(2
x
＋1)，当
x
<－时，
f
′(
x
)>0，当－<
x
<时，
223
f
′(
x
)<0，当
x
>时，
f
′(
x
) >0，∴
f
(
x
)在(－∞，－)上单调递增，在(－，)上单调递
1
减，在(，＋∞)上单调递增，
3
111143
∴当
x
＝－时，
f
(
x
)取到极大值，当
x
＝时，
f(
x
)取到极小值，故
f
(
x
)的图象与
x< br>28354
轴只有一个交点．
14．将边长为1m的正三角形薄铁皮，沿一条平行于某 边的直线剪成两块，其中一块是梯
梯形的周长
形，记
s
＝
梯形的面积
[答案]
323

3
2
1
3
1
2
1
2
1
3
，则
s
的最小值是________．
- 9 -

[解析] 设
DE
＝
x
，
则梯形的周长为：3－
x
， 133
2
梯形的面积为：(
x
＋1)·(1－
x
)＝( 1－
x
)，
224
∴
s
＝
3－
x
3
4
1－
x
2
2
43
x
－6
x
＋9
＝·，
x
∈(0,1)，
2
31－
x
2
2
x
2
－6
x
＋9－6
x
＋20x
－6
设
h
(
x
)＝，
h
′(
x
)＝.
222
1－
x
1－
x
1
令< br>h
′(
x
)＝0，得：
x
＝或
x
＝3(舍) ，
3

1

∴
h
(
x
)
最小值
＝
h

＝8，

3

43323
∴
s
最小值
＝×8＝.
33
15．(文)甲乙两地相距400km，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过100 kmh，已
1
4
1
3
知该汽车每小时的运输成本
P
(元)关于速度
v
(kmh)的函数关系是
P
＝
v
－
v
＋15
v
.
19200160
(1)求全程运输成本
Q
(元)关于速度
v
的函数关系式；
(2)为使全程运输成本最少，汽车应以多大速度行驶？并求此时运输成本的最小值．
5
v
[解析] (1)汽车从甲地到乙地需用h，故全程运输成本为
Q
＝＝－＋6000
vv
482
400
(0<
v
≤100)．
(2)
Q
′＝－5
v
，令
Q
′＝0得，
v
＝80 ，
16
2000
∴当
v
＝80kmh时，全程运输成本取得最小值 ，最小值为元．
3
(理)(2011·江苏)请你设计一个包装盒．如图所示，
AB CD
是边长为60cm的正方形硬纸片，
- 10 -
400
Pv
32
v
2

切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线 折起，使得
A
，
B
，
C
，
D
四个点重合于图中的点
P
，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，
E
、
F
在
AB
上，是被切去的一个等腰
直角三角形斜边的两个端点，设
AE
＝
FB
＝
x
(cm)．

(1)若广告商要求包 装盒的侧面积
S
(cm)最大，试问
x
应取何值？
(2)某厂商要 求包装盒容积
V
(cm)最大，试问
x
应取何值？并求出此时包装盒的高与底 面
边长的比值．
[解析] 设包装盒的高为
h
(cm)，底面边长为
a
(cm)，由已知得
3
2
a
＝2
x
，
h
＝
60－2
x< br>＝2(30－
x
)，0<
x
<30.
2
2
(1)
S
＝4
ah
＝8
x
(30－
x
)＝ －8(
x
－15)＋1800，
所以当
x
＝15时，
S
取得最大值．
(2)
V< br>＝
ah
＝22(－
x
＋30
x
)，
V
′＝62
x
(20－
x
)．
由
V
′＝0得
x
＝0(舍)或
x
＝20.
当
x
∈(0,20)时，
V
′>0；当
x
∈(20,30 )时，
V
′<0.
所以当
x
＝20时，
V
取得极大值，也是最大值．
232
h
11
此时＝.即包装盒的高与底面边长的比值为.
a
22
16．(文)

用一块钢锭浇铸一个厚度均匀，且全面积为 2m的正四棱锥形有盖容器(如右图)．设容器
的高为
h
m，盖子边长为
a< br>m.
(1)求
a
关于
h
的函数解析式；
2
- 11 -

(2)设容器的容积为
V
m，则 当
h
为何值时，
V
最大？求出
V
的最大值．(容器的厚度忽 略
不计)
3

[解析] (1)如右图，作
PO
⊥平面< br>ABCD
，
O
为垂足，作
OE
⊥
BC
于E
，连结
PE
，则
PE
⊥
BC
，
正四 棱锥的全面积为
1
2＝4××
a
×
2
所以
a＝
1
1＋
h
2
h
2
＋
a
2< br>2
＋
a
.
2
(
h
>0)．
1
2
1
h
(2)
V
＝
ah
＝·
2< br>(
h
>0)，
331＋
h
11＋
h
－h
2
h
1－
h
V
′＝·＝
222
31 ＋
h
31＋
h
22
2
.
所以当0<
h< br><1时，
V
′>0.所以
V
(
h
)在(0,1]上为 增函数．
当
h
>1时，
V
′<0，所以
V
(h
)在[1，＋∞)上为减函数．
故
h
＝1为函数
V
(
h
)的唯一极大值点也是最大值点，
1
∴
V
max
＝.
6
1
3
答：当高
h
＝1m时，容积取最大值m.
6
(理)如图，有一矩形钢板
ABCD
缺损了一角(如图所示)，边缘线
OM
上每一点到点
D
的距
离都等于它到边
AB
的距离．工人师傅 要将缺损的一角切割下来使剩余部分成一个五边形，若
AB
＝1m，
AD
＝0 .5m，问如何画切割线
EF
可使剩余部分五边形
ABCEF
的面积最大？
- 12 -

[解析] 由题知，边缘线
OM
是以点
D
为焦点，直线
AB
为准线的抛物线的一部分．
111以
O
点为原点，
AD
所在直线为
y
轴建立直角坐标系， 则
D
(0，)，
M
(，)．
424
1
2
所以边缘线
OM
所在抛物线的方程为
y
＝
x
(0≤
x
≤)．
2

要使如图的五边形
ABCEF
面积最大，则 必有
EF
所在直线与抛物线相切，设切点为
P
(
t
，
t
2
)．
则直线
EF
的方程为
y
＝2
t
(
x
－
t
)＋
t
，即
y
＝2< br>tx
－
t
，
1＋4
t
1
2
由此可 求得点
E
，
F
的坐标分别为
E
(，)，
F
(0，－
t
)．
8
t
4
11＋4
t
1< br>2
所以
S
△
DEF
＝
S
(
t
)＝··(＋
t
)
28
t
4
116
t
＋8
t
＋11
＝·，
t
∈(0，]．
64
t2
148
t
＋8
t
－1
所以
S
′(< br>t
)＝·
64
t
2
2
42
42
2
2
22
＝
12
t
－1
2
64
t< br>34
t
＋1
4
t
＋1
＝
2
2
t
＋
16
t
3
6
2
t
－
36
，
- 13 -

显然函数
S
(
t
)在(0，
3313
]上是减函数，在(，]上是增函数．所以当
t
＝时，
S
△
DEF
6626
取得最小值，相应地，五边形
ABCEF
的面积最大．
此时点
E
、
F
的坐标分别为E
(
311
3
，
4
)，
F
(0，－< br>12
)．
此时沿直线
EF
划线可使五边形
ABCEF
的面积最大．



1．函数
f
(
x
)的定义域为R，导函数
f
′(
x
)的图象如图所示，则函数
f
(
x
)(

A．无极大值点、有四个极小值点
B．有三个极大值点、两个极小值点
C．有两个极大值点、两个极小值点
D．有四个极大值点、无极小值点
[答案] C
[解析] 设
f
′(
x
)与
x
轴的4个交点 ，从左至右依次为
x
1
、
x
2
、
x
3、
x
4
，
当
x
<
x
1
时，
f
′(
x
)>0，
f
(
x
)为增函数，
当
x
1
<
x
<
x
2
时，
f
′(
x
)<0，
f
(
x
)为减函数，
则
x
＝
x
1
为极大值点，
同理，
x＝
x
3
为极大值点，
x
＝
x
2
，x
＝
x
4
为极小值点．
2．函数
f
(
x
)＝
e
x
cos
x
的图象在点(0，
f
(0))处的切线的倾斜角的余弦值为(
A．－
5
5
B.
5
5

C.
2
2
D．1
[答案] C
[解析]
f
′(
x
)＝
ex
cos
x
－
e
x
sin
x
，∴f
′(0)＝1.

)
)
- 14 -

设
f
(
x
)在点(0，
f
(0)) 处切线的倾斜角为
α
，则tan
α
＝1，
π2
∵
α
∈(0，π)，∴
α
＝，∴cos
α
＝.
42
sin
θ
3
3cos
θ
2

5π

3．设函数
f
(
x
)＝
x
＋
x
＋tan
θ
，其中
θ
∈

0，

，则导数
f
′(1)的取
12

32

值范围为( )
A．[－2,2]
C．[3，2]
[答案] D
[解析] ∵
f
′(
x
)＝sin
θ
·
x
＋3co s
θ
·
x
，
π

∴
f
′( 1)＝sin
θ
＋3cos
θ
＝2sin

θ
＋< br>
.
3

π

π3π

5π

∵
θ
∈

0，

，∴
θ
＋∈

，

.
12

4

3

3

π


2


∴ sin

θ
＋

∈

，1

，∴
f
′(1)∈[2，2]，故选D.
3


2


4．某工厂要围建一个面积为128m的矩形堆料场，一边可以用原有的墙壁，其他三边要
砌新的墙壁，要使砌墙所用的材料最省，堆料场的长、宽应分别为________．
[答案] 16m 8m
128
[解析] 设场地宽为
x
m，则长为m，
2
2
B．[2，3]
D．[2，2]
x
128
因此新墙总长度为
y
＝2
x
＋(
x
＞0)，
x
y
′＝2－
128
2
，令
y
′＝0，∵
x
>0，∴
x
＝8. x
因为当0＜
x
＜8时，
y
′＜0；当
x
＞8 时，
y
′＞0，
所以当
x
＝8时，
y
取最小值，此时宽为8m，长为16m.
即当堆料场的长为16m，宽为8m时，可使砌墙所用材料最省．
5．(2011·陕西文) 设
f
(
x
)＝ln
x
，
g
(
x< br>)＝
f
(
x
)＋
f
′(
x
)．
(1)求
g
(
x
)的单调区间和最小值；
1
(2 )讨论
g
(
x
)与
g
()的大小关系；
x
1
(3)求
a
的取值范围，使得
g
(
a
)－g
(
x
)<对任意
x
>0成立．
a
11
[解析] ∵
f
(
x
)＝ln
x
，∴
f
′(
x
)＝，
g
(
x
)＝ln
x
＋.
xx
- 15 -

∴
g
′(
x
)＝
x
－1
，令
g
′(
x
)＝0得
x＝1，
x
2
当
x
∈(0,1)时，
g
′(< br>x
)<0，∴(0,1)是
g
(
x
)的单调减区间；
当
x
∈(1，＋∞)时，
g
′(
x
)>0.∴(1，＋∞ )是
g
(
x
)的单调增区间，
因此当
x
＝1时< br>g
(
x
)取极小值，且
x
＝1是唯一极值点，从而是最小值点 ．
所以
g
(
x
)最小值为
g
(1)＝1.
1
(2)
g
()＝－ln
x
＋
x

x
11
令
h
(
x
)＝
g
(
x< br>)－
g
()＝2ln
x
－
x
＋，
xxx
－1
则
h
′(
x
)＝－
x
2
2
，
1
当
x
＝1时，
h
(1)＝0，即
g
(
x
)＝
g
()，
x
当
x
∈(0,1)∪(1，＋∞)时
h
′(
x
)<0，
h
′(1 )＝0，所以
h
(
x
)在(0，＋∞)单调递减，
1
当< br>x
∈(0,1)时，
h
(
x
)>
h
(1)＝ 0，即
g
(
x
)>
g
()，
x
1
当
x
∈(1，＋∞)时，
h
(
x
)<
h
(1)＝0，即
g
(
x
)<
g
()，
x
1
综上知，当
x
∈(0,1)时，
g
(
x
)>g
()；
x
1
当
x
＝1时，
g
(< br>x
)＝
g
()；
x
1
当
x
∈(1 ，＋∞)时，
g
(
x
)<
g
()．
x
(3)由(1)可知
g
(
x
)最小值为1，
1 1
所以
g
(
a
)－
g
(
x
)<对 任意
x
>0成立等价于
g
(
a
)－1<，即ln
a
<1，解得0<
a
<
e
.
aa
所以
a
的取值范围是(0，
e
)．
6．学习 曲线是1936年美国康乃尔大学博士在飞机制造过程中，通过对大量
有关资料、案例的观察、分析、研 究，首次发现并提出来的．已知某类学习任务的学习曲线
为：
f
(
t
)＝
3
－
t
·100%(其中
f
(
t
)为 该任务的程度，
t
为学习时间)，且这类学习任务中
4＋
a
·2的某项任务满足
f
(2)＝60%.
(1)求
f
(
t
)的表达式，计算
f
(0)并说明
f
(0)的含义；
(2 )已知2>
x
ln2对任意
x
>0恒成立，现定义
x
ft< br>为该类学习任务在
t
时刻的学习效率
t
指数，研究表明，当学习时间< br>t
∈(1,2)时，学习效率最佳，当学习效率最佳时，求学习效率
- 16 -

指数相应的取值范围．
3
[解析] (1)∵
f
(
t
)＝
－
t
·100%(
t
为学习时间)，且f
(2)＝60%，
4＋
a
·2
则
3
－2< br>·100%＝60%，解得
a
＝4.
4＋
a
·2
3
·100%(
t
≥0)，
－
t
1＋2
3
∴
f
(
t
)＝
－< br>t
·100%＝
4＋
a
·24
∴
f
(0)＝
4
3
·100%＝37.5%，
－0
1＋2
f
( 0)表示某项学习任务在开始学习时已掌握的程度为37.5%.
(2)令学习效率指数
则
y
＝
ft
＝
y
，
t
3
4
ft
3
＝＝
－
t
t
4
t
1＋2
t
t
＋
t
t
(
t< br>>0)，
2
现研究函数
g
(
t
)＝
t＋
t
的单调性，
2
2－
t
·2ln22－
t
ln2＋1
由于
g
′(
t
)＝1＋＝(
t
>0)，
t
2
t
22
又已知2>
x
ln2对任意
x
>0恒成立，即2－
t
ln2>0，则
g
′(
t
)>0恒成立，
∴
g
(
t
)在(0，＋∞)上为增函数， 且
g
(
t
)为正数．
∴
y
＝
xt
ttt
ft
＝
t
f
1
1
3
4
t
＋
t
t
(
t
>0)在(0，＋∞)上为减函数，
2
而
y
|
t
＝1
＝
即
y
＝
1
f
23
＝，
y
|
t
＝2
＝＝，
2210
ft
31
∈(，)，
t
102
31
故所求学习效率指数的取值范围是(，)．
102< br>7．(2012·延边州质检)已知函数
f
(
x
)＝
x
＋
ax
－ln
x
，
a
∈R.
(1)当
a
＝1时，求
f
(
x
)的单调区间； < br>(2)若函数
f
(
x
)在[1,2]上是减函数，求实数
a< br>的取值范围；
(3)令
g
(
x
)＝
f
(< br>x
)－
x
，是否存在实数
a
，当
x
∈(0，
e
](
e
是自然对数的底数)时，函数
2
2
g(
x
)的最小值是3，若存在，求出
a
的值；若不存在，说明理由．
2
2
12
x
＋
x
－1
[解析] (1)当
a
＝1时，由
f
′(
x
)＝2
x
＋1－＝＝
x
－
1
2
x
＋1
x
， xx
∵函数
f
(
x
)＝
x
＋
x
－ln
x
的定义域为(0，＋∞)，
- 17 -
2

11
∴当
x
∈(0，]时，
f
′(
x
)≤0，当
x
∈[，＋∞)时，
f
′(
x
)≥0，
22
11
2
所以函数
f
(
x
)＝
x
＋
x
－ln
x
的单调递减区间 为(0，]单调递增区间为[，＋∞)．
22
12
x
＋
ax
－1
(2)
f
′(
x
)＝2
x
＋
a
－＝≤0在[1,2]上恒成立， < br>2
xx


h
2
令
h
(
x
)＝2
x
＋
ax
－1，有


h

1≤0
2≤0

a
≤－1


得

7
a
≤－

2


7
，得
a
≤－.
2
1
ax
－1
(3)假设存在实数
a
，使
g
(
x
)＝
ax
－ln
x
(
x
∈(0，
e
])有最小值3，
g< br>′(
x
)＝
a
－＝.
xx
4
①当
a
≤0时，
g
(
x
)在(0，
e
]上单调递减，< br>g
(
x
)
min
＝
g
(
e
)＝
ae
－1＝3，
a
＝(舍去)，∴
g
(
x)
e
无最小值．
111
②当0<<
e
时，
g
(
x
)在(0，)上单调递减，在(，
e
]上单调递增，
aaa
1
2
∴
g
(
x
)
min
＝
g
()＝1＋ln
a
＝3，
a
＝
e
，满足 条件．
a
14
③当≥
e
时，
g
(
x)在(0，
e
]上单调递减，
g
(
x
)
min
＝
g
(
e
)＝
ae
－1＝3，
a
＝(舍去)，∴
f
(
x
)
ae
无最小值．
综上， 存在实数
a
＝
e
，使得当
x
∈(0，
e
] 时，
f
(
x
)有最小值3.
8．(2012·山东苍山县模拟)某 食品厂进行蘑菇的深加工，每公斤蘑菇的成本20元，并
且每公斤蘑菇的加工费为
t
元 (
t
为常数，且2≤
t
≤5)，设该食品厂每公斤蘑菇的出厂价为
x
元(25≤
x
≤40)，根据市场调查，日销售量
q
与
e< br>成反比，当每公斤蘑菇的出厂价为30元时，
销售量为100kg.(每日利润＝日销售量×(每 公斤出厂价－成本价－加工费))．
(1)求该工厂的每日利润
y
元与每公斤蘑菇的 出厂价
x
元的函数关系式；
(2)若
t
＝5，当每公斤蘑菇的出厂 价
x
为多少元时，该工厂的利润
y
最大，并求最大值．
[解析] (1)设日销售量
q
＝
x
，则
100
e
∴日销售量
q
＝
x
，
30
2
x
k
e
k
30
30
＝100，∴
k
＝100
e
， e
e
100
e
∴
y
＝
30
x
－20－
t
(25≤
x
≤40)．
e
x
30100
e
(2)当
t
＝5时，
y
＝
100e
y
′＝
30
x
－25
，
e
x
26－
x
e
x
.
- 18 -

由
y
′≥0得
x
≤26，由
y
′≤ 0得
x
≥26，
∴
y
在[26,25]上单调递增，在[26,40]上单调递减，
∴当
x
＝26时，
y
max
＝100
e
.
当每公斤蘑菇的出厂价为26元时，该工厂的利润最大，最大值为100
e
元．


4
4
- 19 -