夏末秋初-中秋节礼品方案

2017年江苏省高考数学预测卷（1）


一、填空题（本大题共 14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答
题卡相应位置上）．

1．已 知全集为R，集合M={﹣1，1，2，3，4}，N={|
2
+2＞3}，则M∩N= ．

2．已知复数满足i•=3﹣4i（其中i为虚数单位），则||= ．
3．某校为了解800名高一新生的身体生长状况，用系统抽样法（按等距的规则）
抽取50名同学 进行检查，将学生从1～800进行编号，现已知第17组抽取的号
码为263，则第一组用简单随机抽 样抽取的号码为 ．

4．函数f（）=ln（+1）+的定义域是 ．

5．袋中有2个黄球3个白球，甲乙两人分别从中任取一球，取得黄球得1分，
取得白球得2分，两人 总分和为，则=3的概率是 ．

6．已知某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的结果为 ．


7． 将函数的图象向右平移m（m＞0）个单位长度，所得函数图象
关于y轴对称，则m的最小值为 ．

8．已知双曲线
2
+ny
2
=1（n∈R）与椭圆渐近线方程为 ．

9．公差不为零的等差数列{a
n
}的前n项和为 S
n
，若a
4
是a
2
与a
7
的等比中项， S
5
=50，
有相同的焦点，则该双曲线的

则S
8< br>等于 ．

10．若，y满足不等式则的最大值是 ．

11．已 知椭圆的左、右焦点分别为F
1
，F
2
，过F
1
且与轴垂直
=0，的直线交椭圆于A、B两点，直线AF
2
与椭圆的另一个交点为C，若
则椭圆的离心率为 ．

12．已知f（）是定义在R上的函数，其导函数为f'（），若2 f（）﹣f'（）＜
2，f（0）=2018，则不等式f（）＞2017e
2
+1（ 其中e为自然对数的底数）的解
集为 ．

13．在平面内，
的最大值是 ．

14．已知函数，关于的方程f（）=m（m∈R）有四个不
，动点P，M满足， ，则
同的实数解
1
，
2
，
3
，
4
则
1234
的取值范围为 ．



二、解答题（本大题 共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答
时应写出文字说明，证明过程或演算步骤）．

15．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，△ABC的面积为S，．

（1）求角A的大小；

（2）若，，求b+c的值．
< br>16．在正三棱柱ABC﹣A
1
B
1
C
1
中，AA< br>1
=2AB，点D是BC的中点，点M在CC
1
上，且
．

（1）求证：A
1
C∥平面AB
1
D；

（2）求证：平面AB
1
D⊥平面ABM．

17．由于渤海海域水污染严重，为了获得第一手的水文资料，潜水员需要潜入
水深为60米的水底 进行作业，根据经验，潜水员下潜的平均速度为v（米单位
时间），每单位时间消耗氧气（升），在水底 作业10个单位时间，每单
位时间消耗氧气0.9（升），返回水面的平均速度为（米单位时间），每单 位
时间消耗氧气1.5（升），记该潜水员完成此次任务的消耗氧气总量为y（升）．

（1）求y关于v的函数关系式；


（2）若c≤v≤15（c＞0），求 当下潜速度v取什么值时，消耗氧气的总量最少．
18．已知过点且离心率为的椭圆C的中心在原点，焦 点在轴上．

（1）求椭圆C的方程；

（2）设点P是椭圆的左准线与轴的 交点，过点P的直线l与椭圆C相交于M，N
两点，记椭圆C的左，右焦点分别为F
1
，F
2
，上下两个顶点分别为B
2
，B
1
．当线

段MN的中点落在四边形F
1
B
1
F
2
B
2
内（包括边界）时，求直线l斜率的取值范围．
19．已知数列{a
n
}的 前n项和为S
n
，∀n∈N
*
满足
列{b
n
}满足 b
n+1
2
﹣b
n+1
=b
n
2
+bn
（n∈N
*
），其前7项和为42．

（1）求数列{a
n
}和{b
n
}的通项公式；

（2）令c
n
=
，且a
1
=1，正项数
，数列{c
n
}的前n项和为T
n
，若对任意正整数n，都有T
n
≥2n+a，
求实数a的取值范围；

（3）将数列{a
n
}，{b
n< br>}的项按照“当n为奇数时，a
n
放在前面；当n为偶数时，
b
n放在前面”的要求进行排列，得到一个新的数列：a
1
，b
1
，b
2
，a
2
，a
3
，b
3
，b
4
，

a
4
，a
5
，b
5
，b
6
，…，求这个新数列的前n项和P
n
．

20．已知函数f（）=．

（1）求曲线y=f（）与直线2+y=0垂直的切线方程；

（2）求f（）的单调递减区间；

（3）若存在
0
∈[e，+∞） ，使函数g（）=aeln+
求实数a的取值范围．



数学Ⅱ（ 理科加试）[选做题]本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两小题，
并在相应的答题区域内作答 ，若多做，则按作答的前两小题评分，解答时应写
出文字说明、证明过程或演算步骤．A．[选修4-1 ：几何证明选讲]（本小题满
分0分）

21．如图，A，B，E是⊙O上的点，过E 点的⊙O的切线与直线AB交于点P，∠
APE的平分线和AE，BE分别交于点C，D．求证：

（1）DE=CE；

（2）．

•ln•f（）≤a成立，



B．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分0分）

22．已知二阶矩阵M有特征 值λ=8及对应的一个特征向量
将点（﹣1，3）变换为（4，16），求矩阵M．



C．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分0分）

23．以直 角坐标系的原点O为极点，轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等
=，并且矩阵M

的单位长度．已知直线l的参数方程是（t为参数），曲线C的极坐
标方程是ρcos
2< br>θ=4sinθ．

（1）写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；

（2）设直线l与曲线C相交于A，B两点，点M为AB的中点，点P的极坐标为
，求|PM| 的值．



D．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）

24．若实数，y，满足4+3y+12=1，求
2
+y
2
+
2
的最小值．



[必做题]第22题、第23题，每题10分 ，共计20分．请在答题卡指定区域内
作答，解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤．
< br>25．底面是正方形的四棱锥中P﹣ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，且△PAD是等
腰 直角三角形，其中PA=PD，E，F分别为线段PC，DB的中点，问在线段AB上
是否存在点G，使 得二面角C﹣PD﹣G的余弦值为
置；若不存在，请说明理由．

，若存在，请求出点G的位

26．设i为虚数单位，n为正整数，θ∈[0，2π）．

（1）用数学归纳法证明 ：（cosθ+isinθ）
n
=cosnθ+isinnθ；

（2）已知


，试利用（1）的结论计算
10
．

2017年江苏省高考数学预测卷（1）

参考答案与试题解析



一、填空题（本大题共14小题，每小题 5分，共计70分．请把答案填写在答
题卡相应位置上）．

1．已知全集为R，集合 M={﹣1，1，2，3，4}，N={|
2
+2＞3}，则M∩N= {2，3，
4} ．

【考点】1E：交集及其运算．

【分析】根据题意，分化简集合B，进而求其交集可得答案．

【解答】解：全集为R ，集合M={﹣1，1，2，3，4}，N={|
2
+2＞3}=（﹣∞，﹣3）
∪（ 1，+∞），

则M∩N={2，3，4}，

故答案为：{2，3，4}．



2．已知复数满足i•=3﹣4i（其中i为虚数单位），则||= 5 ．

【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．

【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．

【解答】解：复数满足i•=3﹣4i（其中i为虚数单位），

∴﹣i•i•=﹣i（3﹣4i），

∴=﹣3i﹣4．

则||=
故答案为：5．



3．某校为了解800名高 一新生的身体生长状况，用系统抽样法（按等距的规则）
抽取50名同学进行检查，将学生从1～800 进行编号，现已知第17组抽取的号
码为263，则第一组用简单随机抽样抽取的号码为 7 ．

=5．

【考点】B2：简单随机抽样．
【分析】根据系统抽样的特征，从800名学生从中抽取一个容量为50的样本，
抽样的分段间隔为 16，结合从第17组抽取的号码为263，可得第一组用简单随
机抽样抽取的号码．

【解答】解：∵从800名学生从中抽取一个容量为50的样本，

∴系统抽样的分段间隔为16，

设第一部分随机抽取一个号码为，

则抽取的第17编号为+16×16=263，∴=7．

故答案为：7．



4．函数f（）=ln（+1）+的定义域是 （﹣1，） ．

【考点】33：函数的定义域及其求法．

【分析】根据对数的真数大于0，二次根式 被开方数大于或等于0，分母不为0，
列出不等式组求解集即可．

【解答】解：函数f（）=ln（+1）+，

∴，

解得
即﹣1＜＜；

，

∴f（）的定义域为（﹣1，
故答案为：（﹣1，


）．

）．

5．袋中有2个黄球3个白球，甲乙两人分别从中任取一球，取得黄球得1分，
取得白球得2分，两人总分和为，则=3的概率是
【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差．

．

【分析】利用相互独立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式求解．

【解答】解：当=3时，甲取到黄球，乙取到白球或甲取到白球，乙取到黄球，

故P（=3）=
故答案为：．



6．已知某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的结果为 0.6 ．

=．


【考点】E8：设计程序框图解决实际问题．

【 分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：
该程序的作用是利用循环计 算并输出A值．模拟程序的运行过程，用表格对程
序运行过程中各变量的值进行分析，不难得到最终的输 出结果．

【解答】解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：

是否继续循环 A n

循环前0.2 1

第一圈 是 0.4 2


第二圈 是 0.8 3

第三圈 是 0.6 4

第四圈 是 0.2 5

第五圈 是 0.4 6

…

第4n圈 是 0.2

第4n+1圈 是 0.4

第4n+2圈 是 0.8

第4n+3圈 是 0.6


…

第2007圈 是 0.6 2008

第2008圈 是 0.2 2009

第2009圈 否

故最终的输出结果为：0.6

故答案为：0.6



7．将函数的图象向右平移m（m＞0）个单位长度，所得函数图象
．

关于y轴对称，则m的最小值为
【考点】HJ：函数y=Asin（ω+φ）的图象变换．

【分析】本题主要考查函 数y=Asin（ω+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象
的对称性，属于基础题．

【解答】解：将函数的图象向右平移m（m＞0）个单位长度，

），
=π+，∈，即m=+，则m
所得图象对应的函数为y=sin（2﹣2m﹣
再根据所得图 象关于y轴对称，可得2m+
的最小值为
故答案为：


，

．

8．已知双曲线
2
+ny
2
= 1（n∈R）与椭圆
渐近线方程为 y=± ．

有相同的焦点，则该双曲线的
【考点】C：双曲线的简单性质．

【分析】根 据题意，由椭圆的方程可得其椭圆的焦点坐标，再由双曲线的几何
性质可得n＜0，且1+（﹣）=4， 解可得n的值，即可得双曲线的方程，由双
曲线的几何性质，即可得答案．

【解答】解：根据题意，椭圆的方程为
且c==2，即焦点在坐标为（±2，0），

，其焦点在轴上，

若双曲线
2
+ny
2
=1的焦点在坐标为（±2，0），

则有n＜0，且1+（﹣）=4，

则n=﹣，

则双曲线的标准方 程为：
2
﹣
则其渐近线方程为：y=±
故答案为：y=±


9．公差不为零的等差数列{a
n
}的前n项和为S
n
，若a
4
是a
2
与a
7
的等比中项，S
5
=50，则S
8
等于 104 ．

【考点】85：等差数列的前n项和．

【分析】利用等差数列通项公式、前n项和公 式和等比中项定义，列出方程组，
求出a
1
=6，d=2，由此能求出S
8< br>．

【解答】解：∵公差不为零的等差数列{a
n
}的前n项和为S< br>n
，

a
4
是a
2
与a
7
的等比中项，S
5
=50，

．

=1，

；

∴，

解得a
1
=6，d=2，

∴S
8
=
故答案为：104．



10．若，y满足不等式
【考点】7C：简单线性规划．

【分析】画出满足 条件的平面区域，求出A的坐标，结合的几何意义，求出其
最大值即可．

【解答】解：画出，y满足不等式的平面区域，如图示：

则的最大值是 2 ．

=104．

由，解得A（2，4），

而的几何意义表示过平面区域内的点与原点的直线的斜率，

由图象得直线过OA时斜率最大，

∴（）
ma
==2．

故答案为：2．

11．已知椭圆的 左、右焦点分别为F
1
，F
2
，过F
1
且与轴垂直
=0，的直线交椭圆于A、B两点，直线AF
2
与椭圆的另一个交点为C，若
则椭圆的 离心率为 ．

【考点】4：椭圆的简单性质．

【分析】由题意画出图形 ，求出A的坐标，结合向量加法的坐标运算，求得C
的坐标，代入椭圆方程可解e的值．

【解答】解：如图，


由题意，A（﹣c，﹣
∵
∴y=< br>+2=0，（2c，
），F
2
（c，0），C（，y），

）+2（﹣+c，﹣y）=0，

，=2c．

∴C（2c，），代入椭圆， +=1，由b
2
=a
2
﹣c
2
，

整理得：5c
2
=a
2
，解得e==．

椭圆的离心率
故答案为：


．

．
< br>12．已知f（）是定义在R上的函数，其导函数为f'（），若2f（）﹣f'（）＜
2，f（ 0）=2018，则不等式f（）＞2017e
2
+1（其中e为自然对数的底数）的解
集为 ．

【考点】6A：函数的单调性与导数的关系．

【分析】构造 函数g（）=e
﹣2
f（）﹣e
﹣2
，则g′（）＞0，g（）单调递增，不
等式f（）＞2017e
2
+1两边同乘e
﹣2
得出g（）＞201 7，从而得出的范围．

【解答】解：设g（）=e
﹣2
f（）﹣e
﹣2
，

则g′（）=﹣2e
﹣2
f（）+e
﹣2
f′（）+2e
﹣2=﹣e
﹣2
[2f（）﹣f′（）﹣2]，

∵2f（）﹣f'（）＜2，

∴g′（）＞0，∴g（）在R上单调递增．

∵f（）＞2017e
2
+1，∴e
﹣2
f（）＞2017+e﹣2
，即g（）＞2017，

∵g（0）=f（0）﹣1=2017，

∴＞2017．

故答案为．



13．在平面内，
的最大值是 ．

，动点P，M满足，，则
【考点】9R：平面向量数量积的运算．

【分析】 由可知△ABC是边长为2的等边三角形，P
的坐标，根据模长在以A为圆心的圆上，建立坐标系，设出 P点坐标，求出
公式即可得出||
2
关于θ的函数，利用三角恒等变换求出此函数的最 大值即

可．

【解答】解：∵
∴=0， =0，
，

=0，

∴△ABC是等边三角形，设△ABC的边长为a，

∴
∵|
∵
=a
2
cos60°==6，∴a=2．

|=2，∴P在以A为圆心，以2为半径的圆上，

，∴M是PC的中点，

以BC为轴，以BC的中垂线为y轴建立坐标系，

则B（﹣，0），C（，0），A（0，3），

， +sinθ），
设P（cosθ，3+sinθ），则M（
∴
∴|
+
=（
|2
=（
，

）=1时，||
2
取得最大值
+cosθ， +sinθ），
22
+cosθ）+（+sinθ）=cosθ+sinθ+=3sin（θ+）
∴当si n（θ+
故答案为．

．

14．已知函数，关于的方程f（）=m（m∈R）有四个不
同的实数解
1
，
2
，
3
，
4
则
1234
的取值范围为 （0，1） ．

【考点】54：根的存在性及根的个数判断．

【分析】作函数
可求解结果．

【解答】解：作函数
结合图象可知， ﹣log
23
=log
24
，

故
34
=1，

令﹣
2
﹣2=0得，=0或=﹣2，

令﹣
2
﹣2=1得，=﹣1；

故
12
∈（0，1），

故
1234
∈（0，1）．

故答案为：（0，1）．

的图象如下，

的图象，从而可得
34
=1，推出
12
的范围即



二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答
时应 写出文字说明，证明过程或演算步骤）．

15．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为 a，b，c，△ABC的面积为S，

．

（1）求角A的大小；

（2）若，，求b+c的值．

【考点】HT：三角形中的几何计算．


【分析】（1）利用正弦定理化简 已知条件，通过三角形内角求解A的大小即可．
（2）由三角形的面积公式求出ab=2，再根据余弦定 理即可求出b+c的值．

【解答】解：（1）asinB=bcosA，由正弦定理可得si nAsinB=sinBcosA，

∵B是三角形内角，∴sinB≠0，

∴tanA=
∴A=
，A是三角形内角，

．

，

（2）∵S=bcsinA=
∴bc=2，


由余弦定理a
2
=b
2
+c
2
﹣2bccosA，可得3 =b
2
+c
2
﹣bc=（b+c）
2
﹣3bc=（b+c）
2
﹣6，
∴b+c=3．



16．在正三棱柱 ABC﹣A
1
B
1
C
1
中，AA
1
=2A B，点D是BC的中点，点M在CC
1
上，且
．

（1）求证：A
1
C∥平面AB
1
D；

（2）求证：平面AB
1
D⊥平面ABM．

【考点】LY：平面与平面垂直的判定；LS：直线与平面平行的判定．
【分析】如图以A为原点，以AC，AA
1
为y、轴建立空间直角坐标系．设AB=4，< br>则AA
1
=8，CM=1．则A（0，0，0），B（2
A
1
（0，0，8），B
1
（2
利用向量法求解．

【解答】解：如图以 A为原点，以AC，AA
1
为y、轴建立空间直角坐标系．

设AB=4，则 AA
1
=8，CM=1．则A（0，0，0），B（2
A
1
（0，0 ，8），B
1
（2
，2，0），C（0，4，0）．


，3，0），M（0，4，1）
，2，0），C（0，4，0）．

，3，0 ），M（0，4，1），，2，8），C
1
（0，4，8），D（
，2，8），C1
（0，4，8），D（


（1）设面AB
1
D的法向量为
由

可取


，，则

∵A
1
C⊄面AB
1
D，∴A
1
C∥平面AB
1
D



（2）设面ABNM的法向量为
，

由，可取

由（1）得面AB
1
D的法向量为
=
∴


+（﹣1）×（﹣3）+12×
，∴平面AB
1
D⊥平面ABM

，

=0

17．由于渤海海域水污染严重，为了获得第一手的水文 资料，潜水员需要潜入
水深为60米的水底进行作业，根据经验，潜水员下潜的平均速度为v（米单位< br>时间），每单位时间消耗氧气（升），在水底作业10个单位时间，每单
位时间消耗氧气0.9（ 升），返回水面的平均速度为（米单位时间），每单位
时间消耗氧气1.5（升），记该潜水员完成此次 任务的消耗氧气总量为y（升）．

（1）求y关于v的函数关系式；

< br>（2）若c≤v≤15（c＞0），求当下潜速度v取什么值时，消耗氧气的总量最少．
【考点】 36：函数解析式的求解及常用方法．

【分析】（1）分别计算潜入水底用时用氧量，水底作 业时用氧量和返回水面用
时用氧量，即可得到总用氧量的函数y；

（2）求导数y′ ，判断函数y的单调性，讨论c的取值，求出下潜速度v取什
么值时消耗氧气的总量最少．

【解答】解：（1）由题意，下潜用时
用氧量为[+1]×=
单位时间，

+（升），

水底作业时的用氧量为10×0.9=9（升），

返回水面用时=单位时间，

用氧量为×1.5=（升），

∴总用氧量为y=++9（v＞0）；

（2）求导数y′=﹣=，

令y'=0，解得v=10，

在0＜v＜10时，y'＜0，函数y单调递减，

在v＞10时，y'＞0，函数y单调递增；

∴当c＜10时，函数y在（0，10）上递减，在（10， 15）上递增，

此时v=10时用氧量最少；

当c≥10时，函数y在[c，15]上递增，

此时v=c时，总用氧量最少．



18．已知过点且离心率为的椭圆C的中心在原点，焦点在轴上．

（1）求椭圆C的方程；

（2）设点P是椭圆的左准线与轴的交点，过点P的直线l 与椭圆C相交于M，N
两点，记椭圆C的左，右焦点分别为F
1
，F
2
，上下两个顶点分别为B
2
，B
1
．当线

段MN的中点 落在四边形F
1
B
1
F
2
B
2
内（包括边 界）时，求直线l斜率的取值范围．
【考点】L：直线与椭圆的位置关系．

【分析】 （1）由过点且离心率为的椭圆C的中心在原点，焦点在轴上，列出方
程组，求出a=2，b=4，由此 能求出椭圆C的方程．

（2）设出直线的方程，将直线的方程与椭圆方程联立，利用二次方程 的韦达定
理得到弦中点的坐标，根据中点在正方形的内部，得到中点的坐标满足的不等
关系，求 出的范围．

【解答】解：（1）∵过点且离心率为的椭圆C的中心在原点，焦点在轴上．

∴设椭圆方程为=1（a＞b＞0），

则，解得a=2，b=4，

∴椭圆C的方程为=1．

（2）椭圆C的左准线方程为=﹣4，所以点P的坐标为（﹣4，0），

由题意知直线l的斜率存在，所以设直线l的方程为y=（+4）

如图，设点M，N 的坐标分别为（
1
，y
1
），（
2
，y
2
），线段MN的中点为G（
0
，y
0
）

由，得（1+2< br>2
）
2
+16
2
+32
2
﹣8=0．①

由△=（16
2
）
2
﹣4（1+2
2
）（32
2
﹣8）＞0，解得﹣＜＜．②

因为
1
，
2
是方程①的两根，

所以
1< br>+
2
=﹣，于是
0
==﹣，y
0
=（
0+4）=．

因为
0
=﹣≤0，所以点G不可能在y轴的右边，

又直线F
1
B
2
，F
1
B
1
方程 分别为y=+2，y=﹣﹣2

所以点G在正方形Q内（包括边界）的充要条件为，

即，即，

解得≤≤，

由②得：≤≤．

故直线l斜率的取值范围是[，]．




19．已知数 列{a
n
}的前n项和为S
n
，∀n∈N
*
满足
列 {b
n
}满足b
n+1
2
﹣b
n+1
=b
n
2
+b
n
（n∈N
*
），其前7项和为42．

（1）求数列{a
n
}和{b
n
}的通项公式；

（2）令c
n
=，数列{c
n
}的前n项和为T
n
，若对任 意正整数n，都有T
n
≥2n+a，
，且a
1
=1，正项数
求实数a的取值范围；

（3）将数列{a
n
}，{b
n
} 的项按照“当n为奇数时，a
n
放在前面；当n为偶数时，
b
n
放在 前面”的要求进行排列，得到一个新的数列：a
1
，b
1
，b
2，a
2
，a
3
，b
3
，b
4
，
a
4
，a
5
，b
5
，b
6
，…，求这个 新数列的前n项和P
n
．

【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．

【分析】（1）数列{a
n
}的前n项和为S
n
，∀n∈N
*
满足
得数列
， 且a
1
=1，可
是等差数列，首项为1，公差为．利用通项公式可得S
n．利用递
推关系即可得出a
n
．正项数列{b
n
}满足b
n+1
2
﹣b
n+1
=b
n
2
+b
n< br>（n∈N
*
），化为：（b
n+1
+b
n
）
（b
n+1
﹣b
n
）=b
n+1
+b
n
， 可得b
n+1
﹣b
n
=1．再利用等差数列的求和公式即可得出．

（2）c
n
==2+2

，利用裂项求和方法、数列 的单调性即可得出．
（3）n=2时，P
n
=P
2
=（a
1
+a
2
+…+a）+（b
1
+b
2
+…+b）．n =2﹣1时，2被2整除而不
能被4整除时，P
n
=P
2
﹣b．2被 4整除时，P
n
=P
2
﹣a．

【解答】解：（1）数列{ a
n
}的前n项和为S
n
，∀n∈N
*
满足
∴数列
∴
是等差数列，首项为1，公差为．

．

﹣=n，n=1时也成立．


，且a
1
=1，
= 1+（n﹣1），解得S
n
=
∴n≥2时，a
n
=S
n﹣S
n﹣1
=
∴a
n
=n．


正项 数列{b
n
}满足b
n+1
2
﹣b
n+1
=bn
2
+b
n
（n∈N
*
），化为：（b
n+1
+b
n
）（b
n+1
﹣b
n
）=b
n+1
+b
n
，
∴b
n+1
﹣b
n
=1．

∴数列{b
n
}是等差数列，公差为1．

∵其前7项和为42 ，∴7b
1
+
∴b
n
=3+n﹣1=n+2．

（ 2）c
n
=
∴
T
n
=2n+2
=2n+2
T
n
≥2n+a，化为：2
∴实数a的取值范围是．

=2n+2
数
=2+2
列
，

{c
n
}
+…+
的前
+
，

≥a，∴a≤．

n

×1=42，解得b
1
=3．

项和
（3）n=2时，P< br>n
=P
2
=（a
1
+a
2
+…+a）+（b
1
+b
2
+…+b）

=+=
2
+3=+3×=．

﹣（+2）=
2
+2n=2﹣1时，2被2整除而不能被4整除时，P
n
=P
2
﹣ b=
﹣2．

2被4整除时，P
n
=P
2
﹣a=


20．已知函数f（）=．

﹣=
2
+2．

（1）求曲线y=f（）与直线2+y=0垂直的切线方程；

（2）求f（）的单调递减区间；

（3）若存在
0
∈[e，+∞） ，使函数g（）=aeln+
求实数a的取值范围．

【考点】6B：利用导数研究函 数的单调性；6E：利用导数求闭区间上函数的最
值；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．

【分析】（1）设出切点坐标，求出切线方程即可；

（2）求出函数的导数，由 f′（）＜0得0＜＜1或1＜＜e，即可求出单调递减
区间；

（3）由已知，若存 在
0
∈[e，+∞），使函数g（）≤a成立，则只需满足当∈[e，
+∞），g（）
min
≤a即可．

【解答】解：（1）f（）=
设出切点坐标（a，），

，f′（）=，

•ln•f（）≤a成立，
而曲线y=f（）与直线2+y=0垂直的切线的斜率=，

故=，解得：a=e
2
，

故切点坐标是：（e
2
，e
2
），

故切线方程是：y﹣e
2
=（﹣e
2
），

即﹣y+e
2
=0；

（2）f′（）=，

由f′（）＜0，得0＜＜1或1＜＜e，

所以函数f（）的单调递减区间为（0，1）和（1，e）；

（3）因为g（）=aeln+
2
﹣（a+e），

2
由已 知，若存在
0
∈[e，+∞），使函数g（）=aeln+
立，

则只需满足当∈[e，+∞），g（）
min
≤a即可，

又g（） =aeln+
则g′（）=
2
﹣•ln•f（）≤a成
﹣（a+e），

，

a≤e，则g′（）≥0在∈[e，+∞）上恒成立，

∴g（）在[e，+∞）上单调递增，

∴g（）
min
=g（e）=﹣
∴a≥﹣
∵a≤e，

∴﹣≤a≤e，

，

，

a＞e，则g（）在[e，a）上单调递减，在[a，+∞）上单调递增，

∴g（）在[e，+∞）上的最小值是g（a），

∵g（a）＜g（e），a＞e，∴满足题意，

综上所述，a≥﹣．

数学Ⅱ（理科加试）[选做题]本题包括A、B、C、D四小题， 请选定其中两小题，
并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两小题评分，解答时应写
出文字说明、证明过程或演算步骤．A．[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满
分0分）

21．如图，A，B，E是⊙O上的点，过E点的⊙O的切线与直线AB交于点P，∠
APE的 平分线和AE，BE分别交于点C，D．求证：

（1）DE=CE；

（2）．


【考点】NC：与圆有关的比例线段．

【分 析】（1）证明∠PEB=∠PAC，∠EPC=∠CPA，可得∠ECD=∠EDC，即可证明结
论；

（2）证明△EPB∽△APE，得
明结论．

【解答】证明：（1）∵PE是⊙O的切线，

∴∠PEB=∠PAC，

∵PC是∠APE的平分线，

∴∠EPC=∠CPA，

∴∠PEB+∠EPC=∠PAC+∠CPA，

∴∠ECD=∠EDC，

∴DE=CE；

（2）∵∠PEB=∠PAC，∠EPB=∠APE，

∴△EPB∽△APE，

=，PC是∠APE的平分线，得=，即可证

∴=，

∵PC是∠APE的平分线，

∴
∴
=，

．




B．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分0分）

22．已知二阶矩阵M有特征 值λ=8及对应的一个特征向量
将点（﹣1，3）变换为（4，16），求矩阵M．

【考点】OV：特征值与特征向量的计算．

【分析】设出矩阵，利用特征向量的定义 ，即二阶变换矩阵的概念，建立方程
组，即可得到结论．

【解答】解：设，

=，矩阵M将点（﹣1，3）变换为（4，
=，并且矩阵M
∵特征值λ=8及对应的一 个特征向量
16），

∴，解得，∴M=…



C．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分0分）

23．以直角坐标系的 原点O为极点，轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等

的单位长度．已知直线l的参数 方程是（t为参数），曲线C的极坐
标方程是ρcos
2
θ=4sinθ．

（1）写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；

（2）设直线l与曲线C相 交于A，B两点，点M为AB的中点，点P的极坐标为
，求|PM|的值．

【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．

【分析】（1）消去参数t得直线l的普通 方程，利用极坐标与直角坐标互化方
法求曲线C的直角坐标方程；

（2）求出M，P的直角坐标，即可求|PM|的值．

【解答】解：（1）已知直线l的参数方程是（t为参数），普通方程
为y=+3，

曲线C的极坐标方程是ρcos
2
θ=4sinθ，化为ρ
2
cos
2
θ=4ρsinθ，

∴
2
=4y．…

（2）由直线与抛物线方程，消去y得
2
﹣4
设A（
1
，y
1
），B（
2
，y
2
），则AB的中点M（2
又点P的直 角坐标为（2
所以|PM|=3…



D．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）

24．若实数，y，满足4+ 3y+12=1，求
2
+y
2
+
2
的最小值．

【考点】RA：二维形式的柯西不等式．

2
【分析】利用条件+2y+3= 1，构造柯西不等式（4+3y+12）≤（
2
+y
2
+
2
）（4
2
+3
2
+12
2
），
﹣12=0…

，9）…

，6），…

变形即可得答案．

【解答】解：根据题意，实数，y，满足4+3y+12=1，

则有 （4+3y+12）
2
≤（
2
+y
2
+
2
）（4
2
+3
2
+12
2
），

即1≤169（
2
+y
2
+
2
），

即有
2
+y
2
+
2
≥；

；

即
2
+y
2
+
2
的最小值为
故答案为：


．

[必做题]第22题、第23题，每题 10分，共计20分．请在答题卡指定区域内
作答，解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤．

25．底面是正方形的四棱锥中P﹣ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，且△PAD是等腰直角三角形，其中PA=PD，E，F分别为线段PC，DB的中点，问在线段AB上
是否存在点 G，使得二面角C﹣PD﹣G的余弦值为
置；若不存在，请说明理由．

，若存在，请求出点G的位

【考点】MT：二面角的平面角及求法．
【分析】取AD中点O，连结PO，以O为原点，OA为轴，在平面ABCD中过O作
AD的垂线为 y轴，以OP为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求出在线段
AB上存在点G，使得二面角C﹣PD ﹣G的余弦值为，且AG=．


．【解答】解：假设在线段AB上存在点G，使得二 面角C﹣PD﹣G的余弦值为
取AD中点O，连结PO，

∵底面是正方形的四棱锥中 P﹣ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，且△PAD是等腰
直角三角形，其中PA=PD，

∴PO⊥平面ABCD，

以O为原点，OA为轴，在平面ABCD中过O作AD的垂线为y轴，以OP为轴，

建立空间直角坐标系，设PA=PD=，


），D（﹣1，0，0），则G （1，t，0）（0≤t≤2），C（﹣1，2，0），P（0，0，
=（﹣1，0，﹣），=（﹣1， 2，﹣），=（1，t，﹣），

设平面PCD的法向量=（，y，），

则，取=，得=（，0，﹣1），

设平面PDG的法向量=（a，b，c），

则，取a=，得=（，﹣，﹣1），

∵二面角C﹣PD﹣G的余弦值为，

∴==，解得t=，

∴在线段AB上存在点G，使得二面角C﹣PD﹣G的余弦值为，且AG=．




26．设i为虚数单位，n为正整数，θ∈[0，2π）．

（ 1）用数学归纳法证明：（cosθ+isinθ）
n
=cosnθ+isinnθ；

（2）已知，试利用（1）的结论计算
10
．

【考点】RG：数学归纳法．

【分析】（1）利用数学归纳法即可证明，注意和差公式的应用．

（2）利用（1）的结论即可得出．

【解答】证明：（1）证明：1°当n=1时， 左边=右边=cosθ+isinθ，所以命题
成立；

2°假设当n=时，命题成立，即（cosθ+isinθ）=cosθ+isinθ，
则当n=+1时，（cos+isinθ）
+1
=（cosθ+isinθ）•（cosθ +isinθ）

=（cosθ+isinθ）（cosθ+isinθ）

=（cosθcosθ﹣sinθsinθ）+i（sinθcosθ+cosθsinθ）

=cos（+1）θ+isin（+1）θ

∴当n=+1时，命题成立；

综上，由1°和2°可得，（cosθ+isinθ）
n
=cosnθ+isinnθ ．

（2）
∴
10
=2
10
（cos


=2（﹣）=2（cos
π）=2
10
（cos
+isi n
+isin
），

）=2
10
（+i）=512+512i

π+isin

2017年5月24日