武汉大学分数线-服务承诺书

努力的你，未来可期!
模块： 十一、立体几何
课题： 2、空间直线与直线
教学目标： 掌握空间直线与直线各种位置关系，会用反证法证明两条直线为异面 直线，能
把平行线的传递性、等角定理等由平面推广到空间，理解等角定理的证明方法，
理解异 面直线所成角的概念，会求简单情形下的异面直线所成角．
重难点： 求简单情形下的异面直线所成角 ．
一、 知识要点
1、异面直线定理：连结平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内 不经过此点的直线
是异面直线．
2、异面直线所成的角：已知两条异面直线
a,b< br>，经过空间任一点
O
作直线
a

a,b

b
，
a

,b

所成的角的大小与点
O
的选 择无关，把
a

,b

所成的锐角（或直角）叫异面直线
a ,b
所
成的角（或夹角）．为了简便，点
O
通常取在异面直线的一条上．异面 直线所成的角的范围：
(0,]
．
2
3、两条异面直线的公垂线、距离：和 两条异面直线都垂直相交的直线，我们称之为异面直
线的公垂线．两条异面直线的公垂线在这两条异面直 线间的线段（公垂线段）的长度，叫做
两条异面直线间的距离．

二、 例题精讲
作图：
例1、如图，已知直线AB∩

＝P，直线AC∩

＝Q，E∈AB，F∈AC，试作出直线BF、
直线CE与平面

的交点M、N．

例2、如图，已知

∩

＝EF，A∈

，B∈

，C∈

，画出过点A、B、C的平面．

















A
E •

• F
• Q
E
C •

B
P •



• B
A •
F
C
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例3、如 图，已知ABCD－A
1
B
1
C
1
D
1
为 正方体，M、N、P分别为棱上的点，试画出过M、
N、P 的截面．

例4、如图 ，已知ABCD－A
1
B
1
C
1
D
1
为正 方体，试作出截面BB
1
D
1
D与截面A
1
C
1< br>B的交
线，截面C
1
B
1
D与截面A
1
C< br>1
B的交线．

例5、如图，已知ABCD－A
1
B
1
C
1
D
1
为正方体，试作出直线A
1
C与平面 AB
1
D
1
的交点．




A
1


M




A






D
1
C
1
B
1
D
1
C
1
B
1
D
1
C
1
B
1
P
A
1
A
1
D
C
D
N
C
AB
D
C
B
AB
例6、正方体ABCD－A
1
B
1
C
1
D1
中，E、F分别是棱A
1
A、CD的中点．
求：（1）异面直线D< br>1
E、BF所成的角；（2）异面直线D
1
E、A
1
C所成的 角．












例7、已知
l
1
,l
2
是 互相垂直的异面直线，MN是它们的公垂线段，点A、B在
l
1
上，C在
l< br>2
上，
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AMMBMN
．
（1） 证明：
ACNB
；
（2） 若
ACB60
，求
NB
与平面
ABC
所成角的余弦值．









例 8、正三棱柱
ABCA
1
B
1
C
1
中，底面边长 为
2
，
（1） 设侧棱长为1，求证：
AB
1
BC
1
；
（2） 设AB
1
与
BC
1
成
60
角，求侧棱的长．









例 9、在四棱锥
PABCD
中，
PD
平面
ABCD
，PDDCBC1
，
AB2
，


ABCD，
BCD90

．
（1） 求证：
PCBC
；
（2） 求点A到平面PBC的距离．









三、 课堂练习
1、过直线外一点能作 条直线与已知直线平行．
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2、已知空间四边形的对角线相等且垂直，顺次连结它的各边中点所成的四边形一定
是 ．
3、正方体12条棱所在直线共能组成异面直线 对．
4、直线< br>a
∥平面

，直线
b

平面

，则
a
、
b
的位置关系是 ． < br>5、在空间四边形ABCD中，AD＝BC＝2，E、F分别是AB、CD的中点，若EF＝
3< br>，则
AD、BC所成角为 ．
6、E、F、G、H分别为空间四 边形ABCD各边的中点，若对角线BD＝2，AC＝4，则
EG
2
HF
2

．

四、 课后作业
一、填空题
1、已知两直线
a
、
b
平行，
c
与
a相交，则
c
与
b
的位置关系是 ．
2、如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角的关系是 ．
3、正方体ABCD－A
1
B
1
C
1
D
1
中，与AC异面且所成角为60的面对角线有： ．
4、空间四边形ABCD，AB＝AD，BC＝CD，则对角线AC、BD的位置关系是 ．
5、正方体ABCD－A
1
B
1
C
1
D
1
中，M、N分别是AA
1
和BB
1
的中点，则异面直线C
1
M与
DN所成角的大小为 ．
6 、正方体ABCD－A
1
B
1
C
1
D
1
中 ，（1）B
1
C和A
1
C
1
所成的角的大小为 ；
（2）BD和A
1
C
1
所成的角的大小为 ；
（3）BC和A
1
A所成的角的大小为 ；
（4）B
1
C和DD
1
所成的角的大小为 ．

二、选择题
11、空间四边形ABCD中，E、F分别是ΔABD和ΔBCD 的重心，则EF与AC的位置关系
是（ ）
A、平行 B、相交 C、不平行也不相交 D、都可能
12、设M、N是空间四边形ABCD的边AD、BC的中点，则下列答案中正确的是（ ）
o
1
(
AB＋CD
)

2
1
C、MN＞
(
AB＋CD
)

2
A、MN＝

B、MN＜

1
(
AB＋CD
)

2
1
D、MN与
(
AB＋CD
)
的大小关系不确定
2
13、
a
、
b
为异面直线，它们分别在平面
< br>、

内，若

∩

＝
l
，则直线< br>l
必定（ ）
A、分别与
a
、
b
相交
C、与
a
、
b
都不相交





B、至少与
a
、
b
中之一相交
D、至多与
a
、
b
中之一相交
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三、解答题
18．已知正方体ABCD－A
1
B
1
C1
D
1
的棱长为
a
，O
1
为上底面的中心，求 O
1
B和AD
1
所
成角的大小．








19．已知ABCD－A
1
B
1
C
1
D
1
为长方体，
（1）若AB＝5，B C＝4，CC
1
＝3，求B
1
C和A
1
C
1
所成角的大小；
（2）若AB＝5，BC＝4，CC
1
＝3，求AD
1< br>和A
1
C
1
所成角的大小；
（3）若∠BAB
1< br>＝∠BAC＝
30
，求B
1
A和A
1
C
1< br>所成角的大小．








20．空间四边形ABCD中，AB＝CD＝6，M、N分别是对角线AC、BD的中点，且MN＝5，求异面直线AB、CD所成角的大小．




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