艾佛森语录-会理县政府

2020高考数学（文）复习配套练习题：第八章+3+第3讲 新题培优练+Word版含解析
[基础题组练]
1．已知异面直线a，b分别在平面α，
β
内，且α∩β＝c，那么直线c一定( )
A．与a，b都相交
B．只能与a，b中的一条相交
C．至少与a，b中的一条相交
D．与a，b都平行
解析：选C.若c与a，b都 不相交，则c与a，b都平行，根据公理4，知a∥b，与a，b
异面矛盾．
2．已知空间四边形的两条对角线相互垂直，顺次连接四边中点的四边形一定是( )
A．空间四边形
C．菱形
解析：选B.
如图所示，易证四边形EFGH为平行四边形．
因为E，F分别为AB，BC的中点，
所以EF∥AC.
又FG∥BD，
所以∠EFG或其补角为AC与BD所成的角．
而AC与BD所成的角为90°，
所以∠EFG＝90°，故四边形EFGH为矩形． 3．已知直线a，b分别在两个不同的平面α，
β
内，则“直线a和直线b相交”是“平面
α和平面β相交”的( )
A．充分不必要条件
C．充要条件
B．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
B．矩形
D．正方形
解析：选A.若直线a，b相交，设交点为P，则P∈a，P∈b.又a⊂
α
，b⊂< br>β
，所以P∈α，
P∈
β
，故α，
β
相交．反之，若
α
，
β
相交，则a，b可能相交，也可能异面或平行．故“直线
a和 直线b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件．
4．(2019·广州市高中综合测试( 一))在四面体ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点，AB
＝CD，AB⊥CD，则异面直线E F与AB所成角的大小为( )
π
A.
6
π
C.
3
π
B.
4
π
D.
2
解析：选B.取 BD的中点O，连接OE，OF，因为E，F分别为AD，BC的中点，AB＝
- 1 - 5

2020高考数学（文）复习配套练习题：第八章+3+第3讲 新题培优练+Word版含解析
1
CD，所以EO∥AB，OF∥CD，且EO＝OF＝CD ，又AB⊥CD，所以EO⊥OF，∠OEF为异
2
π
面直线EF与AB所成的角，由 △EOF为等腰直角三角形，可得∠OEF＝，故选B.
4
5．已知棱长为a的正方体ABC D-A′B′C′D′中，M，N分别为CD，AD的中点，则MN与A′C′
的位置关系是_____ __________________________________________________ _．
解析：如图，由题意可知MN∥AC.又因为AC∥A′C′，
所以MN∥A′C′.

答案：平行
6．给出下列四个命题：
①平面外的一条直线与这个平面最多有一个公共点；
②若平面
α
内的一条直线a与平面β内的一条直线b相交，则α与β相交；
③若一条直线和两条平行线都相交，则这三条直线共面；
④若三条直线两两相交，则这三条直线共面．
其中真命题的序号是________． 解析：①正确，因为直线在平面外即直线与平面相交或直线平行于平面，所以最多有一
个公共点．② 正确，a，b有交点，则两平面有公共点，则两平面相交．③正确，两平行直线
可确定一个平面，又直线 与两平行直线的两交点在这两平行直线上，所以过这两交点的直线
也在平面内，即三线共面．④错误，这 三条直线可以交于同一点，但不在同一平面内．
答案：①②③
7.如图，在正方体ABCD -A
1
B
1
C
1
D
1
中，O为正方形AB CD的中心，H为
直线B
1
D与平面ACD
1
的交点．求证：D1
、H、O三点共线．
证明：如图，连接BD，B
1
D
1
，
则BD∩AC＝O，
因为BB
1
綊DD
1
，
所以四边形BB
1
D
1
D为平行四边形，
又H∈B
1
D，
B
1
D⊂平面BB
1
D
1
D，
则H∈平面BB
1
D
1
D，
因为平面ACD
1< br>∩平面BB
1
D
1
D＝OD
1
，
- 2 - 5

2020高考数学（文）复习配套练习题：第八章+3+第3讲 新题培优练+Word版含解析
所以H∈OD
1
.
即D
1
、H、O三点共线．
8．在正方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中，
(1)求AC与A
1
D所成角的大小；
(2)若E，F分别为AB，AD的 中点，求A
1
C
1
与EF所成角的大小．
解：(1)如图，连接B
1
C，AB
1
，由ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
是正方体，易知A
1
D
∥B
1C，从而B
1
C与AC所成的角就是AC与A
1
D所成的角．
因为AB
1
＝AC＝B
1
C，
所以∠B
1
CA＝60°.
即A
1
D与AC所成的角为60°.
(2)连接BD，在正方体ABCD- A
1
B
1
C
1
D
1
中，AC⊥BD，AC ∥A
1
C
1
.
因为E，F分别为AB，AD的中点，
所以EF∥BD，所以EF⊥AC.
所以EF⊥A
1
C
1
.
即A
1
C
1
与EF所成的角为90°.
[综合题组练]
1．如图所示，平面α∩平面β＝l，A∈
α
，B∈
α
，AB∩l＝ D，C∈
β
，C∉l，则平面ABC
与平面β的交线是( )
A．直线AC
C．直线CD
解析：选C.由题意知，D∈l，l⊂
β
，所以D∈β，
又因为D∈AB，所以D∈平面ABC，
所以点D在平面ABC与平面β的交线上．
又因为C∈平面ABC，C∈
β
，
所以点C在平面β与平面ABC的交线上，
所以平面ABC∩平面β＝CD.

B．直线AB
D．直线BC
2．在正三棱柱ABC-A
1
B1
C
1
中，|AB|＝2|BB
1
|，则AB
1
与BC
1
所成角的大小为( )
π
A.
6
5π
C.
12
- 3 - 5
π
B.
3
π
D.
2

2020高考数学（文）复习配套练习题：第八章+3+第3讲 新题培优练+Word版含解析
解析：选D.将正三棱柱ABC-A
1
B
1
C
1
补为四棱柱ABCD­A
1
B
1
C
1
D
1
，连接C
1
D，BD，则C
1
D
∥B
1
A，∠BC
1
D为所求角或其补角．设|BB
1
|＝2， 则|BC|＝|CD|＝2，
∠BCD＝120°，|BD|＝23，
π
又因为| BC
1
|＝|C
1
D|＝6，所以∠BC
1
D＝.
2
3.(2019·长沙模拟)如图，在三棱柱ABC-A′B′C′中，点E，F，H，K分
别为AC′，CB′，A′B′，B′C′的中点，G为△ABC的重心．从K，H，
G，B′四点中 取一点作为P，使得该棱柱恰有2条棱与平面PEF平行，则
P为________．
1< br>解析：取A′C′的中点M，连接EM，MK，KF，EF，则EM綊CC′綊
2
KF， 得四边形EFKM为平行四边形，若取点K为P，则AA′∥BB′∥CC′∥PF，故与平面PEF
平 行的棱超过2条；因为HB′∥MK，MK∥EF，所以HB′∥EF，若取点H或B′为P，则平面
P EF与平面EFB′A′为同一平面，与平面EFB′A′平行的棱只有AB，不符合题意；连接BC′，则EF∥A′B′∥AB，若取点G为P，则AB，A′B′与平面PEF平行．
答案：G
4．如图，已知圆柱的轴截面ABB
1
A
1
是正方形，C是圆柱下底面弧A B的中点，C
1
是圆柱
上底面弧A
1
B
1
的中点， 那么异面直线AC
1
与BC所成角的正切值为________．

解析：取圆柱下底面弧AB的另一中点D，连接C
1
D，AD，
因为C是圆柱下底面弧AB的中点，
所以AD∥BC，
所以直线AC
1< br>与AD所成角等于异面直线AC
1
与BC所成角，因为
C
1
是 圆柱上底面弧A
1
B
1
的中点，
所以C
1
D⊥圆柱下底面，所以C
1
D⊥AD，
因为圆柱的轴截面ABB
1
A
1
是正方形，
所以C
1
D＝2AD，
所以直线AC
1
与AD所成角的正切值为2，
所以异面直线AC
1
与BC所成角的正切值为2.
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2020高考数学（文）复习配套练习题：第八章+3+第3讲 新题培优练+Word版含解析
答案：2
5.如图所示，A是△BCD所在平面外的一点，E，F分别是BC，AD的
中点．
(1)求证：直线EF与BD是异面直线；
(2)若AC⊥BD，AC＝BD，求EF与BD所成的角．
解：(1)证明：假设EF与B D不是异面直线，则EF与BD共面，从而
DF与BE共面，即AD与BC共面，所以A，B，C，D在 同一平面内，这与A是△BCD所在
平面外的一点相矛盾．故直线EF与BD是异面直线．
( 2)取CD的中点G，连接EG，FG，则AC∥FG，EG∥BD，所以相交
直线EF与EG所成的角 ，即为异面直线EF与BD所成的角．
又因为AC⊥BD，则FG⊥EG.
1
在R t△EGF中，由EG＝FG＝
AC，求得∠FEG＝45°，即异面直线EF
2
与B D所成的角为45°.
6.(综合型)如图，E，F，G，H分别是空间四边形ABCD各边上
的点，且AE∶EB＝AH∶HD＝m，CF∶FB＝CG∶GD＝n.
(1)证明：E，F，G，H四点共面；
(2)m，n满足什么条件时，四边形EFGH是平行四边形？
(3)在(2)的条件下，若AC⊥BD，试证明：EG＝FH.
解：(1)证明：因为AE∶EB＝AH∶HD，所以EH∥BD.
又CF∶FB＝CG∶GD，所以FG∥BD.所以EH∥FG.
所以E，F，G，H四点共面．
(2)当EH∥FG，且EH＝FG时，四边形EFGH为平行四边形．
EHAEmm
因为＝＝，所以EH＝
BD.
BD
AE＋EBm＋1 m＋1
n
同理可得FG＝
BD，由EH＝FG，得m＝n.
n＋1
故当m＝n时，四边形EFGH为平行四边形．
(3)证明：当m＝n时，A E∶EB＝CF∶FB，所以EF∥AC，又EH∥BD，所以∠FEH是AC
与BD所成的角(或其补 角)，因为AC⊥BD，所以∠FEH＝90°，从而平行四边形EFGH为矩形，
所以EG＝FH.
- 5 - 5