节水标语-初中生入团申请书

2019
年安徽省安庆市高考数学二模试卷（文科）

副标题

题号
得分
一

二

三

总分


一、选择题（本大题共
12
小题，共
60.0
分）
2
1.

若集合
M={x|x
-3x+2≤0}
，
N={-2
，
-1
，
0
，
1
，
2 }
，则
M∩N=
（ ）
A.
{1}

B.
{-2
，
-1}

C.
{1
，
2}

D.
{0
，
1
，
2}

2.

设i
是虚数单位，则复数
z=
（
1+i
）（
3-4i）的模是（ ）

A.
10

B.
5

C.
2

D.
3.

已知
S
n
是等差数列
{a
n
}
的前
n
项和，
a< br>2
+a
4
+a
6
=12
，则
S
7< br>=
（ ）
A.
20

B.
28

C.
36

D.
4

=
4.

函数
f
（
x
）
=f
（
a-1
）， 则
f
（）
=
（ ） ，若实数
a
满足
f
（
a
）
A.
2

B.
4

C.
6

D.
8

5.

如图，正三棱柱
ABC-A
1
B
1
C
1
的侧棱长为
a
，底面边长
为
b< br>．一只蚂蚁从点
A
出发沿每个侧面爬到
A
，路线
为
A →M→N→A
1
，则蚂蚁爬行的最短路程是（ ）
A.
B.
C.
D.









6.

函数
f
（
x
）
=
的图象的大致形状是（ ）
A.

B.

C.

D.

7.

“勾股圆方图”是我国古代数学家赵爽设计的一幅用来证明勾
股定理的 图案，如图所示在“勾股圆方图”中，四个相同的直
角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形．若直 角三角形
第1页，共18页

中较小的锐角
α
满足
c osα=
，则从图中随机取一点，则此点落在阴影部分的概率是
（ ）
A.

8.

为了计算
S=1-
应填入（ ）

B.

C.

D.

，设计如图所示的程序框图，则在空白框中

A.
i=i+1

B.
i=i+2

C.
i=i+3

D.
i=i+4

9.

若函数
f
（
x
）
=4sinx-2cos2x+m
在
R
上的最大值是
3
，则实数
m=
（ ）
A.
-6

B.
-5

C.
-3

D.
-2

222
10.

直线
l
是抛物线
x
=2y
在点（
-2
，
2
）处的切线，点
P
是圆
x -4x+y=0
上的动点，则
点
P
到直线
l
的距离的最小值 等于（ ）
A.
0

B.

C.

D.

11.

如图是某个几何体的三视图，根据图中数据（单位：
cm
）求得该几何体的表面积是（ ）

A.
（
94π
）
cm
2

B.
（
94
C.
（
94
π
）
cm
2

π
）
cm
2

D.
（
94π
）
cm
2



第2页，共18页

12.

将函数
f
（< br>x
）
=sin
（
ωx+φ
）（
0
＜
ω
＜
8
，
|φ|
＜）的图象向左平移
函数
g
（
x
）的图象，且函数
f
（
x
）满足
f
（）
+f
（
是（ ）
个单位后得到
）
=2
，则下列命题中正确的
A.
函数
g
（
x
）图象的两条相邻对称轴之间距离为
B.
函数
g
（
x
）图象关于点（）对称
C.
函数
g
（
x
）图象关于直线
x=
对称
D.
函数
g
（
x
）在区间（
0
，）内为单调递减函数
二、填空题（本大题共
4
小题，共
20.0
分）
13.

向量
=
（
3
，
1
）与向 量
=
（
-1
，
2
）的夹角余弦值是
______< br>．
14.

若双曲线
=1
的一条渐近线方程是
x- 2y=0
，则此双曲线的离心率为
______
．
，则函数
z=2x+3y
的最大值为
______
．
，< br>CA=3
，
O
为△
ABC
的外心．若
=m
•
+n
•，其中
15.

已知实数
x
，
y
满足不等式
16.

在△
ABC
中，
AB=1
，
BC=
m
，
n∈
[0
，
1]
，则点
P
的轨迹所对应图形的面积是______
．
三、解答题（本大题共
7
小题，共
82.0
分）
17.

已知等比数列
{a
n
}
满足：
S
1
=1
，
S
2
=4
．
（Ⅰ）求
{a
n
}
的通项公式及前
n
项和
S
n
；
（Ⅱ）设
b
n
=
，求数列
{b
n
}
的前
n
项和
T
n
．







AA
1
⊥平面
ABC
，18.

如图，在三棱柱< br>ABC-A
1
B
1
C
1
中，∠
BAC=90 °
，
AB=AC
，
E
是线段
BB
1
上的动 点，
D
是线段
BC
的中点．
（Ⅰ）证明：
AD
⊥
C
1
E
；
（Ⅱ）若
AB=2
，
AA
1
=3
，且直线
AC
、< br>C
1
E
所成角的余弦
值为，试指出点
E
在线段
BB
1
上的位置，并求三棱锥
B
1
-A
1
DE< br>的体积．




第3页，共18页

19.

我们知道，地球上的水资源有限，爱护地球、节约用水是我们每个人的义务与 责
任．某市政府为了对自来水的使用进行科学管理，节约水资源，计划确定一个家庭
年用水量的 标准．为此，对全市家庭日常用水量的情况进行抽样调查，获得了
n
个
家庭某年的用水 量（单位：立方米），统计结果如表所示．
分组

[0
，
10
）

[10
，
20
）

[20
，
30
）

[30
，
40
）

[40
，
50
）

[50
，
60]

频数

25

频率


0.19

50

0.23

0.18



5

（Ⅰ）分别求出
n
，
a
，
b
的值；
（Ⅱ）若以各组区间中点值代表该组的取值，试估计全市家庭年均用水量；
（Ⅲ）从样本中年 用水量在
[50
，
60]
（单位：立方米）的
5
个家庭中任 选
3
个，作
进一步的跟踪研究，求年用水量最多的家庭被选中的概率（
5个家庭的年用水量都
不相等）．









20.

如图，椭圆
E
：
=1
（
a
＞
b
＞
0
）的左、右顶点分别为
A
、
B
，离心率
e=
，长
轴与短轴的长度之和为
1 0
．
（Ⅰ）求椭圆
E
的标准方程；
（Ⅱ）在椭圆
E上任取点
P
（与
A
、
B
两点不重合），直线
P A
交
y
轴于点
C
，直线
PB
交
y
轴于点
D
，证明：为定值．
第4页，共18页

x
2
21.

设函数
f
（
x
）< br>=x
+4x+2
，
g
（
x
）
=te
（
f
′（
x
）
-2
），其中
t
∈
R
，函数
f
（
x
）的图象
在点
A
（，f
（））处的切线与函数
g
（
x
）的图象在点
B
（
0
，
g
（
0
））处的
切线互相垂直．
（Ⅰ）求
t
的值；
（Ⅱ）若
kg
（
x
）
≥2f
（
x
）在
x
∈
[2
，
+∞
）上恒成立，求实数
k
的取值范围．







22.

在平面直角坐标系
xOy
中，直线
l
的参数方程为（
t
为参数）．以原
点
O
为极点，以
x
轴非负半轴为极轴建立极坐标系，两坐标系取相同的长度单位．圆
C的方程为
ρ=2sinθ
，
l
被圆
C
截得的弦长为．
（Ⅰ）求实数
m
的值；
B
，（Ⅱ）设圆
C
与直线
l
交于点
A
，若点
P
的坐标为（
m
，）， 且
m
＞
0
，求
|PA|+|PB|
的值．







23.

已知
f
（
x
）
=2|x+1|+|2x-1|
．
（Ⅰ）解不等式
f
（
x
）＞
f
（
1
）；
（Ⅱ）若不等式
f
（
x
）
≥+
（
m
＞
0
，
n
＞
0
）对任意的
x
∈
R
都成立，证明：
m+n≥
．
第5页，共18页

第6页，共18页

答案和解析

1.
【答案】
C
【解析】
2
解：
M={x|x-3x+2≤0}={x|1≤x≤2}
，

则
M∩N={1
，
2}
．

故
选
：
C
．

求出集合
M
的等价 条件，
结
合交集定
义进
行求解即可．

本
题
主要考
查
集合的基本运算，求出集合的等价条件，
结
合交集的定
义
是解
决本
题
的关
键
．

2.
【答案】
B
【解析】
解：
z=
（
1+i
）（
3-4i
）
=7-i
，
则
|z|=故
选
：
B
．

=5
，

根据复数的
计
算及模
长
意
义
即可求出．

本
题
主要考
查
复数的
计
算及模
长
意
义
，属于基
础题
．

3.
【答案】
B
【解析】
解：由等差数列的性
质
，
a
2
+a4
+a
6
=12
，可得：
3a
4
=12
，解得
a
4
=4
，

∴
S
7
=

故
选
：
B
．

由等差数列的性
质
，
a
2
+a
4
+a
6
=12
，可得：3a
4
=12
，解得
a
4
，再利用求和公式及
其性
质
即可得出．

本
题
考
查
了等差数列 的通
项
公式求和公式及其性
质
，考
查
了推理能力与
计
算
能力，属于中档
题
．

4.
【答案】
D
【解析】
=7a
4
=28
，

解：根据
题
意，f
（
x
）
=
，其定
义
域
为
（
-1
，
+∞
）

则
函数
f
（x
）在（
-1
，
0
）和区
间
[0
，< br>+∞
）上都是增函数，

第7页，共18页

若
实
数
a
满
足
f
（
a
）
=f（
a-1
），必有
a
＞
0
，且有
2a=
解可得
a=
，
则
f
（）
=f
（
4
）
=8
，

当
a≥1
时
，有
2a=2< br>（
a-1
），无解；

故
f
（）
=8
，

故
选
：
D
．

，

根据
题
意，由函数的解析式分析函数的定
义
域，分析可得函数
f
（
x
）在（
-1
，
0
）
和区
间
[0
，
+∞
）上都是增函数，
进
而分析可得若
实
数
a
满
足
f
（
a
）
=f
（
a-1），必有
a
＞
0
，且有
2a=
，解可得
a的
值
，
结
合解析式求出
f
（）的
值
即 可得答案．

本
题
考
查
分段函数的
应
用， 注意分段函数解析式的形式，要分段
进
行分析，
属于基
础题
．

5.
【答案】
A
【解析】
解：正三棱柱的
侧
面展开
图
如
图
所示的矩形，

矩形的
长为
3b
，
宽为
a
，
则
其
对
角
线< br>AA
1
的
长为
最
短路程．

因此
蚂蚁
爬行的最短路程
为
故
选
：
A
．
把正三棱柱
ABC-A
1
B
1
C
1
沿
侧
棱
AA
1
剪开再展开，求解直角三角形得答案．

本题
考
查
多面体表面上的最短距离
问题
，考
查
数 形
结
合的解
题
思想方法与数
学
转
化思想方法，是基
础题
．

6.
【答案】
A
【解析】
．

【分析】

求出函数的零点，利用零点个数
进
行排除，求函数的
导
数，研究函数的
单调
性，利用函数
单调
性
进
行排除．

本
题
主要考
查
函数
图
象的
识别
和判断，利用函数的零点个数以及函数的
单调
性与导
数的关系以及
结
合排除法是解决本
题
的关
键
．

第8页，共18页

【解答】

2
解： 函数的定
义
域
为
{x|x
＞
0}
，由
f< br>（
x
）
=0
得
lnx=0
得
2lnx=0< br>，即
x=1
，

即函数只有一零点
1
，排除
B
，
D
函数的
导
数
f′
（
x
）
=
（）
′=
，

2
当
f′
（
x
）＞
0
得
2-lnx
＞
0
，即
lnx
＜
2
，即
0
＜
x
＜
e
，函数
为
增函数，

当
f′
（
x
）＜
0
得
2-lnx
＜
0
，即
lnx
＞
2
，即
x
＞
e
， 函数
为
减函数，

排除
C.
故
选
A
．


7.
【答案】
D
【解析】
2
解：
设
大正方形
边长为
5
， 由
cosα=
知
α
对边
等于
3
，
邻边等于
4
，

∴
小正方形的
边长为
1
， 面
积
等于
S=1
，

则对应
的概率
P=
故
选
：
D
．

设
出大正方形的
边长
，
结
合
cosα=
， 分
别
求出小直角三角形的
边长
，得到小
正方形的面
积
，
结
合几何概型的概率公式
进
行求解即可．

本
题
主要考
查
几何概型与数学文化的考
查
，根据几何概型的概率公式求 出
对
应
区域的面
积
是解决本
题
的关
键．

8.
【答案】
B
【解析】
．

解：
S=1-
=N-S
，

即
N=1+++…+< br>=1+++…+-
（
++…+
）
，
S=++…+
，< br>
则
每次循
环
，
i
增加
2
个数，即
i=i+2
，

故
选
：
B
．
< br>利用
S=1-=1+++…+-
（
++…+
）
=N-S
，得到
N
，
S
相
邻
两个数的关系即可得到
结论< br>．

第9页，共18页

本
题
主要考
查
程序框
图
的
应
用，根据循
环
条件，
进< br>行分
类
是解决本
题
的关
键
．

9.
【答案】
C
【解析】
解：因
为
f
（
x
）
=4sinx-2cos2x+m
，

=4sin
2
x+4sinx+m-2
，

=
（
2sinx+1
）
2
+m-3
．

2
所以函数
f
（
x
）在
R
上的最大
值
是（
2+1
）
+m-3=3
，

解得：
m=-3
．

故
选
：
C
．

直接利用三角函数关系式的恒等变变换
和二次函数的性
质
的
应
用求出
结
果．< br>
本
题
考
查
的知
识
要点：三角函数关系式的
变换
，二次函数的性
质
的
应
用，主要
考
查
学生的运算能力和
转
化能力，属于基
础题
型．

10.
【答案】
C
【解析】
解析：本
题
主要考
查导
数的几何意
义
及直
线
与
圆
的位置关系 ．

y′=x|
x=2
=-2
，
∴
l
：< br>y=-2x-2
，所以
圆
心（
2
，
0
）到< br>l
的距离是
所以最小
值
是
故
选
：
C
．

利用
导
数的几何意
义
求得切
线
方程，利用距离公式即可求解．

本
题
主要考
查导
数的几 何意
义
及直
线
与
圆
的位置关系．属于中档
题
．

11.
【答案】
A
【解析】
=
．

．

解：由三
视图
可以看出，该
几何体是一个
长
方体以一个
顶
点挖去一个八分之
一的 球体，如
图
所示；

第10页，共18页

结
合
图
中数据，
计
算
该
几何体的表面
积 为

22
S=2×
（
12+15+20
）
+×4π ×3-3×π×3=94-π
．

故
选
：
A
．

由三
视图
知
该
几何体是一个
长
方体以一个
顶
点挖去一个八分之一的球体，结
合
图
中数据求出几何体的表面
积
．

本题
主要了考
查
利用三
视图
求
简单组
合体的表面
积应
用
问题
，是基
础题
．

12.
【答案】
D
【解析】
解：
对
于函数f
（
x
）
=sin
（
ωx+φ
）（
0
＜
ω
＜
8
，
|φ|
＜
因
为
函数
f
（
x
）的最大
值
是
1
，函数f
（
x
）
满
足
f
（
（
∴）
=1
，

-=k•
，
k
∈
Z
，

=
，∴
ω=4
，
∴
sin
（
4•
），
< br>）
+f
（）
=2
，所以
f
（）
=f
取
k=1
，可得
=sin
（
∴
φ=-
+φ
）
=sin
（
4•+φ
）
=1
，即
sin
（
+φ
）
+φ
）
=1
，

，
∴< br>函数
f
（
x
）
=sin
（
4x-
） ．

个
单
位后得到函数
g
（
x
）
=sin
（
4x+
把函数
f
（
x
）
=si n
（
4x-
）的
图
象向左平移
-
）
=si n
（
4x+
）的
图
象．

经过检验
，在四 个
选项
中
A
、
B
、
C
选项错误
，
D
正确．

故
选
：
D
．

由
题
意可得
f
（）
=f
（）
=1
，求得
ω=4
，再
结
合
sin
（
4•
第11页， 共18页
+φ
）
=sin
（
4•+φ
）

< br>=1
，求得
φ
，可得
f
（
x
）的解析式．再 利用函数
y=Asin
（
ωx+φ
）的
图
象
变换规
律
求得
g
（
x
）的解析式，再利用正弦函数的
图< br>象和性
质
，得出
结论
．

本
题
主要 考
查
函数
y=Asin
（
ωx+φ
）的
图
象
变换规
律，正弦函数的
图
象和性
质
，
属于中档< br>题
．

13.
【答案】
【解析】

解：< br>cos
＜
故答案
为
：
-
，＞
=
．< br>
=-
．

根据向量
夹
角公式
计
算可得．

本
题考
查
了数量
积
表示两个向量的
夹
角，属基
础题
．

14.
【答案】

【解析】
解：根据双曲< br>线
方程可知其
渐
近
线
方程
为
y=±
近
线
方程，

则
有
=
，

x．而已知
x-2y=0
是一条
渐
则
a=16
，

∴
c=
∴
e==
=2
=
．

x
．可得
a=16
，即可求出离心率．

，

，

故答案
为
：
根据双曲
线
方程可知其< br>渐
近
线
方程
为
y=±
本
题
主要考< br>查
双曲
线
的
渐
近
线
方程和离心
率， 属于基
础题
．

15.
【答案】
11
【解析】
解：作出
实
数
x
，
y
满
足不等式
对应
的平面区域（阴影部
第12页，共18页

分），

由
z=2x+3y
，得
y=-x+
，

平移直线
y=-x+
，由
图
象可知当直
线
y=-x+
经过
点
A
时
，

直
线
y=-x+
的截距最大，此
时
z
最大．

由，解得
A
（
1
，
3
）．

1+3×3=11
，

此
时
z
的最大
值为
z=2×
故答案
为
：
11
．

作出不等式
对应
的平面区域，利用
线
性
规
划的知
识
， 通
过
平移即可求
z
的最
大
值
．

本
题
主要考
查线
性
规
划的
应
用，利用z
的几何意
义
，通
过
数形
结
合是解决本
题
的关
键
．

16.
【答案】

【解析】
解：如
图
，


由余弦定理得，
∴
∴
∴
；

；

；

=
；

由
题
意知，点
P的
轨
迹
对应图
形是
边长为
OB
的菱形，
∴
这
个菱形的面
积
是：
=
；

．

第13页，共18页

故答案
为
：．

，再根据正弦可画出
图形，根据余弦定理即可求出
cosA=
，从而得出
A=
定理即可求出OB=
，而据
题
意可知，点
P
的
轨
迹
为
以
OB
，
OC
为邻边
的
平行四
边
形及内部，从而可求出
该轨
迹
图
形的面
积
．
< br>考
查
正弦定理及余弦定理，向量加法的平行四
边
形法
则
，以及向量数乘的几
何意
义
，三角形外心的定
义
．
17.
【答案】解：（Ⅰ）设等比数列
{a
n
}
的公比为
q
，∵
S
1
=1
，
S
2
=4
．
∴
a
1
=1
，
a
1
（
1+q）
=4
，
解得：
a
1
=1
，
q=3
．
n
-1
∴
a
n
=3
．
S
n
==
．
==
，
+
……
+=1-=
．
（Ⅱ）
b
n
=∴数列
{b
n
}
的前
n
项和
T
n=1-
【解析】

（Ⅰ）
设
等比数列
{a
n
}
的公比
为
q
，由
S
1
=1
，< br>S
2
=4
．可得
a
1
=1
，
a1
（
1+q
）
=4
，解得：
a
1
，< br>q
．利用通
项
公式与求和公式即可得出．

（Ⅱ）
b
n
===
，利用裂
项
求和方法即可得出．

本题
考
查
了等比数列的通
项
公式求和公式、裂
项
求和方法，考
查
了推理能力
与
计
算能力，属于中档
题
．

18.
【答案】（本小题满分
12
分）
证明：（Ⅰ ）因为
AA
1
⊥平面
ABC
，所以
CC
1
⊥平面
ABC
．
而
CC
1
⊂平面
BCC
1
B
1
，所以平面
ABC
⊥平面
BCC
1
B
1
．………（
2
分）
因为线段
BC
的中点为< br>D
，且△
ABC
是等腰三角形，所以
AD
⊥
BC，
而
AD
⊂平面
ABC
，平面
ABC∩
平面
CBB
1
C
1
=BC
，
所以
AD
⊥平面
CBB
1
C
1
．
又因为
C
1
E
⊂面
CBB
1
C
1
，所以
AD
⊥
C
1
E
．………（
5
分）
解：（Ⅱ）
AA
1
⊥平面
ABC
，则
AA
1
⊥
AC
．∠
BAC=90°
，即
AC
⊥
AB
．
又
AB∩AC=A
，所以
AC
⊥平面
AB B
1
A
1
，
故
A
1
C
1
⊥平面
ABB
1
A
1
，所以△
A
1
EC
1
是直角三角形．
在三棱柱
ABC-A
1
B
1< br>C
1
中，
AC
∥
A
1
C
1
，直线
AC
，
C
1
E
所成角的余弦为，
则在Rt
△
A
1
EC
1
中，
cos
∠A
1
C
1
E=
，
A
1
C
1< br>=AC=2
，所以
A
1
E=2
第14页，共18页
．………（
7
分）

在
Rt
△
A< br>1
B
1
E
中，
A
1
B
1
= 2
，所以
B
1
E=2
．
因为
AA=3
， 所以点
E
是线段
BB
1
的靠近点
B
的三等分点．… ……（
9
分）
因为
所以
【解析】
=
=
•
CA=
==
=
，
．………（
12
分）

（Ⅰ）推
导
出
C C
1
⊥
平面
ABC
，从而平面
ABC
⊥
平 面
BCC
1
B
1
，推
导
出
AD
⊥
BC
，
从而
AD
⊥
平面
CBB
1
C
1
．由此能
证
明
AD
⊥
C
1
E
．

（Ⅱ）推
导
出
AA
1
⊥
AC
，
AC
⊥
AB
，从而
AC
⊥
平面
ABB
1
A
1
，
进
而
A
1
C1
⊥
平面
ABB
1
A
1
，
△
A
1
EC
1
是直角三角形，由
求出三棱
锥
B
1
-A
1
DE
的体
积
．

本
题
考
查线线
垂直的
证
明，考
查
三棱
锥
B
1
-A
1
DE
的体
积
的求法，考
查< br>空
间
中
线线
、
线
面、面面
间
的位置 关系等基
础
知
识
，考
查
运算求解能力，是中档
题< br>．

19.
【答案】解：（Ⅰ）用水量在
[20
，
3 0
）内的频数是
50
，频率是
0.025×10=0.25
，
则
n==200
．……………（
2
分）
=0.125
，则
==0.0125
．
==
，由此能用水量在
[0
，
10
）内的频率是

用水量在
[50
，
60]
内的频率是
=0.025
，则
a==0.0 025
．
……………（
4
分）
（Ⅱ）估计全市家庭年均用水量为
5×0.125+15×0.19+25×0.25+35×0.23+45×0.18+55×0.0 25=27.25
……………（
7
分）
（Ⅲ）设
A
，B
，
C
，
D
，
E
代表年用水量从多到少的5
个家庭，从中任选
3
个，总的基
本事件为
ABC
，< br>ABD
，
ABE
，
ACD
，
ACE
，
ADE
，
BCD
，
BCE
，
BDE
，
C DE
共
10
个，
其中包含
A
的有
ABC
，
ABD
，
ABE
，
ACD
，
ACE
，ADE
共
6
个．…………（
10
分）
所以
P ==
．即年用水量最多的家庭被选中的概率是……………（
12
分）
【解析】

（Ⅰ）根据表格中的数据以及
频
率公式可得；

（Ⅱ）用各区
间
的中点
值
乘以
该
区
间的
频
率再相加可得；

（Ⅲ）根据古典概型公式
计
算可得．

本
题
考查
了分布可
频
率分布表，属中档
题
．

第15页，共18页

20.
【答案】解：（Ⅰ）由题可知
e ==
，
2a+2b=10
，解得
a=3
，
b=2
．
故椭圆
E
的标准方程为
E
：
+=1
证明（Ⅱ）： 设
P
（
x
0
，
y
0
），直线
PA
交
y
轴于点
C
（
0
，
y
1
），直线
PB
交
y
轴于点
D
（
0
，y
2
）．
则
+=1
，即
易知与
=4
．
=y
1
y
2
． 同向，故•
因为
A
（-3
，
0
），
B
（
3
，
0
） ，
所以得直线
PA
的方程为
直线
PB
的方程为为
所以故•
【解析】
=y
1
y
2
=
=
=< br>，令
x=0
，则
y
1
=
；
，令
x=0
，则
y
2
=

=4
，为定值．

（Ⅰ）由
e==
，
2a+2b =10
，解得
a=3
，
b=2
．，
进
而得到
椭圆
方程；

（Ⅱ）
设
P
（
x
0
，
y
0
），直
线
PA
交
y
轴
于 点
C
（
0
，
y
1
），直
线
PB< br>交
y
轴
于点
D
（
0
，
y
2
），求得直
线
PA
，
PB
的方程，分
别
求 出
y
1
，
y
2
，再根据向量的数量
积
即可
证
明

本
题
考
查椭圆
的方程的求法，注意 运用
联
立直
线
求交点，考
查
向量的数量
积
的坐
标
表示，考
查
化
简
整理的运算能力，属于中档
题
．

21.
【答案】解：（Ⅰ）由
f
（
x
）
=x
2
+4x+2
，得
f
′（
x
）< br>=2x+4x
．
于是
g
（
x
）
=te（
f
′（
x
）
-2
）
=2te
（x+1
），
x
∴
g
′（
x
）
=2t e
（
x+2
），
∵函数
f
（
x
）的图象 在点
A
（
g
（
0
））处的切线互相垂直，
∴f
′（
即
）•
g
′（
0
）
=-1，
，解得
t=1
；
，
f
（））处的切线与函数g
（
x
）的图象在点
B
（
0
，
xx< br>x
2
（Ⅱ）
f
（
x
）
=x+4x+2
，
g
（
x
）
=2te
（
x+1
）， < br>x
2
设函数
F
（
x
）
=kg
（x
）
-2f
（
x
）
=2ke
（
x+1
）
-2x-8x-4
，（
x≥-2
），
xxx
则
F
′（
x
）
=kg
′（
x
）
-2 f
′（
x
）
=2ke
（
x+1
）
+2ke -4x-8=2
（
x+2
）（
ke-2
）．
由题设可知< br>F
（
0
）
≥0
，即
k≥2
．
令< br>F
′（
x
）
=0
，得，
x
2
=-2
．
2
①若
-2
＜
x
1
≤0
，则
2≤k≤2e
，此时
x
∈（
-2
，
x
1< br>），
F
′（
x
）＜
0
，
x
∈（x
1
，
+∞
），
F
′（
x
）＞0
，即
F
（
x
）在（
-2
，
x
1
）单调递减，在（
x
1
，
+∞
）单调递增，
第16页，共18页

∴
F
（
x
）在
x=x
1
取最小值
F
（
x
1
）．
而
F
（
x
1
）
==≥0
，
∴当
x≥-2
时，
F
（
x
）
≥F
（
x
1
）
≥0
，即
kg
（
x
）
≥2f
（
x
）恒成立．
x
+22
②若
x
1=-2
，则
k=2e
，此时
F
′（
x
）
=2
（
x+2
）（
2e-2
）
≥0
，
∴
F
（
x
）在（
-2
，
+∞
）单调递增， 而
F
（
-2
）
=0
，∴当
x≥-2
时，< br>F
（
x
）
≥0
，
即
kg
（
x
）
≥2f
（
x
）恒成立．
2-2-22
③若
x
1
＜
-2
，则
k
＞
2e
，此时
F
（
-2
）
=-2ke+4=-2e
（
k-2e< br>）＜
0
．
∴当
x≥-2
时，
kg
（
x
）
≥2f
（
x
）不能恒成立．
2
综上所述，
k
的取值范围是
[2
，
2e]
．
【解析】

（Ⅰ）求出
f
（
x
）的
导
函数，代入< br>g
（
x
），
对
函数
g
（
x
）求
导
，
结
合函数
f
（
x
）的
图
象
在点
A
（，
f
（））
处
的切
线
与函数
g
（
x
）的
图
象在点
B
（
0
，
g
（
0
））
处
的切
线
互相垂直列式求得
t
值
；

x2
（Ⅱ）
设
函数
F
（
x
）
=kg
（
x
）
- 2f
（
x
）
=2ke
（
x+1
）
-2x- 8x-4
，（
x≥-2
），求其
导
函数，分
类
求得 函数最小
值
，可得
k
的取
值
范
围
．

本
题
考
查
利用
导
数研究函数的
单调< br>性，考
查
利用
导
数求函数的最
值
，体
现了
分
类讨论
的数学思想方法，属
难题
．

（Ⅰ）由
22.
【答案】解：
（
2
分）
直线的普 通方程为
x+y-m-
，被圆
C
截得的弦长为，所以圆心到的距离为，即22
得
x+y-2y=0
，即
x
2
+
（
y-
）
=5
．………………
2
=
，解得
m=3< br>或
m=-3
．………………（
5
分）
（Ⅱ）当
m= 3
时，将
l
的参数方程代入圆
C
的直角坐标方程得，
22 2
（
3-
）
+
（）
=5
，即
2t-3．
2
4=2
＞
0
，故可设
t
1
，< br>t
2
是上述方程的两实根，所以 由于△
=
（
3
）
-4×

又直线
l
过点
P
（
3
，），故由上式及
t
的几何意义，
得
|PA|+|PB|=2
（
|t
1
|+|t
2
|
）
=2
（
t
1
+t
2
）
=3．………………（
10
分）
【解析】

（Ⅰ）先将
圆
C
的方程化成直角坐
标
方程，直
线
l
化成普通方 程，再由
圆
心到直
线
的距离以及勾股定理列式可得；

第17页，共18页

（Ⅱ）
联
立直
线
l< br>与
圆
C
的方程，根据
韦
达定理以及参数的几何意
义< br>可得．

本
题
考
查
了参数方程化成普通方程根，属中 档
题
．

23.
【答案】解：（Ⅰ）
f
（
x
）＞
f
（
1
）就是
2|x+1|+|2x-1|
＞
5
．
（
1
）当
x
时，
2
（< br>x+1
）
+
（
2x-1
）＞
5
，得
x
＞
1
．
（
2
）当
-1≤x≤
时，2
（
x+1
）
-
（
2x-1
）＞
5< br>，得
3
＞
5
，不成立．………（
2
分）
（
3
）当
x
＜
-1
时，
-2
（
x+ 1
）
-
（
2x-1
）＞
5
，得
x
＜
-
．
综上可知，不等式
f
（
x
）＞
f
（
1
）的解集是（
-∞
，
-
）∪（
1，
+∞
）．………（
5
分）
（Ⅱ）因为
2|x+1| +|2x-1|=|2x+2|+|2x-1|≥|
（
2x+2
）
-
（
2x-1
）
|=3
，
所以
+≤3
．………（
7
分）
因为
m
＞
0
，
n
＞
0
时，
+≥2
所以
m+ n≥2
【解析】
，所以
2≤3
，得
≥
．
≥
．………（
10
分）

（Ⅰ）分
3
种 情况去
绝对值
，解不等式
组
可得；

（Ⅱ）先求出
f
（
x
）的最小
值
，再求出的取
值
范
围< br>，再由基本不等式可
证
．

本
题
考
查
了
绝对值
不等式的解法，属中档
题
．


第18页，共18页