湛江幼儿师范专科学校-左耳经典语录

西城区高三统一测试
数学（理科）
2018.4

第Ⅰ卷
（选择题 共40分）
一、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出
符合题目要求的一项．
1．若集合
A
（A）
{
（C）{
{xR|3x20}
，
B{xR|x
2
2x 30}
，则
AB
2
3

xR|x1}
2
3


（B）
{
（D）
{
xR|1x}

xR|x3}
xR|x3}

2．执行如图所示的程序框图，输出的
k
值为
（A）
2

（B）
3

（C）
4

（D）
5

22
3．已知圆的方程为
xy2y0
．以原点为极点，
x轴正半轴为极轴建立极坐标系，该圆
的极坐标方程为
（A）

（C）< br>
2sin

2cos



（B ）

（D）

2sin

2cos



4．正三棱柱的三视图如图所示，该正三棱柱的表面积是
（A）
3
（C）
6
3

（B）
3
9
2
3


，则


（D）
6

23
5．已知
O
是正方形
ABC D
的中心．若
DO
1
2



AB

AC
，其中

，

R


（A）



（B）
2

（C）
2
（D）
2

第 1 页 共 11 页

6．设函数
f(x)xbxc
2
．则 “
f(x)
有两个不同的零点”是“
x
0
R
，使
（B）必要而不充分条件
（D）既不充分也不必要条件
f(x
0
)0
”的
（A）充分而不必要条件
（C）充分必要条件
7．函数


2x4x1,x0,f(x)

则
yf(x)
x
23,x
≤
0.


2
的图象上关于原点
O
对称的点共有
（A）0对
（C）2对
（B）1对
（D）3对

8．某计算机系统在同一时间只能执行一项任务，且该任务完成后才能执行下一项任务．现有
三项任务U，V，W，计算机系统执行这三项任务的时间（单位：s）依次为
a
，
b< br>，
c
，
其中
abc
．一项任务的“相对等待时间”定义为 从开始执行第一项任务到完成该任务
的时间与计算机系统执行该任务的时间之比．下列四种执行顺序中， 使三项任务“相对等
待时间”之和最小的是
（A）U

V

W















（B）V

W

U （C）W

U

V （D）U

W

V
第 2 页 共 11 页

第Ⅱ卷
（非选择题 共110分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．
9．若复数
(a

10．设等差数列
{a
n
}的前
n
项和为
S
n
．若
a
1

11．已知抛物线
y8x
的焦点与双曲线
双曲线的渐近线方程是____．

2
12．设

0
，若函数
ycos

x
的最小正周期为
i)(34i)
的实部与虚部相等，则实数
a

____．
2
，
S
4
20
， 则
a
3

____；
S
n

____．
2
x
a
2
2
y
2
1(a0)
的一个焦点重合，则
a

____；
π
2
，则


____．

13．安排甲、乙、丙、丁4人参加3个运动项目，每人只参加一个项目，每个项目都有人参
加．若甲、乙2人不能参加同一个项目，则不同的安排方案的种数为____．（用数字作答）

14．如图，在长方体
ABCDA
1
B
1
C< br>1
D
1
中，
AA
1
AB2
，
B C1
，
点
P
在侧面
A
1
ABB
1上．若点
P
到直线
AA
1
和
CD
的距离相等，
则
A
1
P
的最小值是____．

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分13分）
在△
ABC
中，已知
（Ⅰ）求

（Ⅱ）若
a




A
3asinCcsin2A
．
的大小；
7
，
b23
，求△
ABC
的面积．
第 3 页 共 11 页

16．（本小题满分13分）
某企业2 017年招聘员工，其中A、B、C、D、E五种岗位的应聘人数、录用人数和录用比
例（精确到1%） 如下：
岗位 男性应聘人数 男性录用人数 男性录用比例 女性应聘人数 女性录用人数 女性录用比例
A
B
C
D
E
总计
269
40
177
44
3
533
167
12
57
26
2
264
62%
30%
32%
59%
67%
50%
40
202
184
38
3
467
24
62
59
22
2
169
60%
31%
32%
58%
67%
36%
（Ⅰ）从表中所有应聘人员中随机选择1人，试估计此人被录用的概率；
（Ⅱ）从应聘E岗位 的6人中随机选择2人．记
X
为这2人中被录用的人数，求
X
的分布列和数学期望；
（Ⅲ）表中A、B、C、D、E各岗位的男性、女性录用比例都接近（二者之差的绝 对值不大于
5%），但男性的总录用比例却明显高于女性的总录用比例．研究发现，若只考虑其中某四< br>种岗位，则男性、女性的总录用比例也接近，请写出这四种岗位．（只需写出结论）


17．（本小题满分14分）
如图1，在△
ABC
中，
D
，
E
分别为
AB
，
AC
的中点，
O
为DE
的中点，
ABAC25
，
BC4
．将△
AD E
沿
DE
折起到△
A
1
DE
的位置，使得平面A
1
DE
BD

平面
BCED
，如图2．
（Ⅰ）求证：
A
1
O
；
（Ⅱ）求直线
A
1
C
和平面
A
1
BD
所成角的正弦值；
（Ⅲ）线 段
A
1
C
上是否存在点
F
，使得直线
DF
和
BC
所成角的余弦值为
的值；若不存在，说明理由．





图1 图2

第 4 页 共 11 页
5
3
？若存在，求出
A
1
F
A
1
C

18．（本小题满分13分）
x
已知函数
f(x)e(a
1
x
lnx)
，其中aR
．
x
e
（Ⅰ）若曲线
yf(x)
在
x1
处的切线与直线
y
垂直，求
a
的值；
（Ⅱ）当
a(0,ln2)
时，证明：

19．（本小题满分14分）
已知圆
O:xy
22
f(x)
存在极小值．
4
和椭圆
C:x2y
22
4
，
F
是椭圆
C
的左 焦点．
（Ⅰ）求椭圆
C
的离心率和点
F
的坐标；
（Ⅱ） 点
P
在椭圆
C
上，过
P
作
x
轴的垂线，交 圆
O
于点
Q
（
P,Q
不重合），
l
是过点
Q
的圆
O
的
切线．圆
F
的圆心为点
F，半径长为
|PF|
．试判断直线
l
与圆
F
的位置关系 ，并证明你
的结论．

20．（本小题满分13分）
数列
An
：
a
1
,
S
0
0
a
2< br>,,a
n
(n≥2)
满足：
a
k
n|
Sk
S
j
1(k1,2,,n)
．记
A
n
的前
k
,k1}
项和为
S
k
，并规定
*
．定义集合
E
n
{kN
，
k
≤
，
j 0,1,
．
（Ⅰ）对数列
A
5
：
0.3
，0.7
，

（Ⅱ）若集合
E
n
{k
1
,k
2
,
0.1
，
0.9
，
0.1
，求 集合
E
5
；
k
m
),k
m
}(m1
，
k
1
C
k
2

，证明：
S
k
i1
S
k
1(i1,2,
i
,m1)
；
（Ⅲ）给定正整数
C
．对所有满足
S
n







的数列
A
n
，求集合
E
n
的元素个数的最小值．
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西城区高三统一测试
数学（理科）参考答案及评分标准


2018.4

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.
1．D 2．C 3．B 4．D
5．B 6．C 7．C 8．A

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.

12．
2



13．
30


14．
3

注：第10，11题第一空3分，第二空2分.

三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分.
15．（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）因为
所以
3asinCcsin2A
3
a
c
9．
7
10．
6
，
n
2
n
11．
3
，
x3y0


，
． [ 1分]
sinA
sinC
sinC2sinAcosA
sinC 2sinAcosA
在△
ABC
中，由正弦定理得
所以
cos
因为
0
所以
A
3
2
3
． [ 3分]
A
． [ 4分]
Aπ
， [ 5分]
π
6
． [ 6分]
a
2
（Ⅱ）在△
ABC
中，由余弦定理得
所以
(7)
2
b
2
c
3
2
2
2bccosA
，
(23)c
22
2(23)c
， [ 8分]
整理得
c
2
解得
c
当
c
当
c
6c50
， [ 9分]
1
，或
c5
，均适合题意． [11分]

1
2
bcsinA
3
2
1时，△
ABC
的面积为
S
． [12分]
． [13分]
5
时，△
ABC
的面积为
S
1
2
bcsinA
5 3
2
第 6 页 共 11 页

16．（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）因为 表中所有应聘人员总数为
被该企业录用的人数为
5334671000
，
264169433
，
433
1000
所以 从表中所有应聘人员中随机选择1人，此人被录用的概率约为
P
．[ 3分]
（Ⅱ）X可能的取值为
0,1,2
． [ 4分]
因为应聘E岗位的6人中，被录用的有4人，未被录用的有2人， [ 5分]
21
所以
P(X0)
C
2

1
C
1
4
C
2
6
15
；
P(X1)
C
2
C
2

8
6
15
；
2
P(X2)
C
4
C
2
< br>2
．
6
5
所以 X 的分布列为：
X 0 1 2
P
12
15

8
15

5

E(X )0
1
1
8
2
2

4
151 5


53
．
（Ⅲ）这四种岗位是：B、C、D、E． [

17．（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）因为 在△
ABC
中 ，
D
，
E
分别为
AB
，
AC
的中点，
所以
DEBC
，
ADAE
．
所以
A
1
DA
1
E
，又
O
为
DE< br>的中点，
所以
A
1
ODE
．
因为 平面
A
1
DE
平面
BCED< br>，且
A
1
O
平面
A
1
DE
，
所以
A
1
O
平面
BCED
， [
所以
A
1
OBD
．
（Ⅱ）取
BC
的中点
G
，连接
OG
，所以
OEOG
．
由（Ⅰ）得
A
1
OOE
，
A
1
OOG
．
如图建立空间直角坐标系
O-xyz
．
由题意得，
A
1
(0,0,2)
，
B(2,2,0)，
C(2,2,0)
，
D(0,1,0)
．

所以
A
1
B(2,2,2)
，
A
1
D(0,1,2)
，
A
1
C(2,2 ,2)
．
第 7 页 共 11 页
[ 8分]
10分]
13分]
[ 1分]
3分]
[ 4分]
[ 5分]

[

设平面
A
1
BD
的法向量为
n(x,y,z)
，


则

nA
1
B0,

即

2x2y 2z0,



2z0.


nA
1
D0,

y

令
x1
，则
y2
，
z1
，所以
n(1,2,1)
． [ 7分]
设直线
A
1
C和平面
A
1
BD
所成的角为

，

则

sin

|cosn,A
| nA
1
C|
2
1
C|
．


2
|n||AC|
3
1
所以 直线
A
22
1
C
和平面
A
1
BD
所成角的正 弦值为．
3
（Ⅲ）线段
A
1
C
上 存在点
F
适合题意．

设
A
1
F 

A
1
C
，其中

[0,1]
．
设
F(x
1
,y
1
,z
1
)
， 则有
(x
1
,y
1
,z
1
2)(2

,2

,2

)
，
所以
x
1
2

,y
1
2

,z
1
 22

，从而
F(2

,2

,22

)
，

所以
DF(2

,2

1,2 2

)
，又
BC(0,4,0)
，

所以

|cosDF,BC|
|D FBC|4|2

1|
．


2
F||BC|
4(2

)
2
(2

1)
2
|D
(22

)
令
|2

1|

5
，
(2

)
2
(2

1)
2
(22

)2
3
整理得
3

2
7

20
．
解得


1
3
，舍去

2
．
所以 线段
A
A
1
F
1
C
上存在点
F
适合题意，且

1
A
．
1
C3

18．（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）
f(x )
的导函数为
f

(x)e
x
(a
1
lnx)e
x
(
1

1
)
xxx
2



e
x
(a
2

1
xx
2
lnx)
．
依题意，有
f

(1)e(a1)e
，
解得
a0
．

第 8 页 共 11 页

9分]
10分]
12分]
13分]
14分]
[ 2分]
[ 4分]
5分]
[
[
[
[
[



[

（Ⅱ）由
令
f

(x)e(a
x
2
x

1
x
2
lnx)
及
e
x
0
知，
f

(x)
与
a
2
x

1
x
2
lnx
同号．
g(x)a
x2
2
x

1
x
3
2
lnx
， [ 6分]
2
则
g

(x)
2x2
x
(x1)1
x
3
． [ 8分]
，故
g(x)
在
(0,)
单调递增． [ 9分]
，
g(
1
2
)aln
1
2
0
所以 对任意
x(0,)
，有
g

(x)
因为
a(0,ln2)
1
2
0
，所以
，使得
1
2
,1)
g(1)a10
，
故 存在
x
0
f(x)
(,1)
g(x
0
)0
． [11分]
与
f

(x)
在区间
(
(
1
2
上的情况如下：
x
0

(x
0
,1)
x



,x
0
)


f

(x)


0

+

f(x)
↘
1
2
,x
0
)
极小值 ↗
所以
所以

f(x)
在区间
(
上单调递减，在 区间
(x
0
,1)
上单调递增．
． [13分]
f(x)
存在极小值
f(x
0
)
19．（本小 题满分14分）
解：（Ⅰ）由题意，椭圆
C
的标准方程为
所以
因此
a
2
x
2
4
< br>y
2
2
2
1
．
2
[ 1分]
．
4
，
b
2

2
2
，从而
．
c
2
ab2
a2
，
c
故椭圆
C
的离心率
e
c
a

2
2
． [ 3分]
2,0)
椭圆
C
的左焦点
F
的坐标为
(
． [ 4分]
（Ⅱ）直线
l
与圆
F
相切．证明如下： [ 5分]
设
P(x
0
,y
0
)
，其中
2x
0
2
，则
x
0
2
2y
04
2
， [ 6分]
22
依题意可设
Q(x
0
,y
1
)
，则
x
0
y
1
4
． [ 7分]
直线
l
的方程为
yy
1

x< br>0
y
1
(xx
0
)
，
第 9 页 共 11 页

整理为
x
0
xy
1
y40
． [

9分]
d
|2x
0
4|
2
x
0
所以圆
F
的圆心
F
到直线
l
的距离
|
2
2

2
y
1

x
0
2|
． [11分]
因为
|P F|(x
0

2
2)y
0
(x
0

22
2)
2
1
(4x
0
)
2
1
x
0
2
2
2x
0
4
． [13分]
22
所以
|PF|
2
d
2
，
即
|PF|d
，
所以 直线
l
与圆
F
相切．

20．（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）因为
S
0
 0
，
S
1
0.3
，
S
2
0.4，
S
3
0.3
，
S
4
1.2
，< br>S
5
1.3
，
所以
E
5
{2,4,5}
．
（Ⅱ）由集合
E
n
的定义知
S
k
S
i 1
k
i
，且
k
i1
是使得
S
k
S
k
i
成立的最小的k，
所以
S
k1
≤
S

i1
k
.
i
又因为
a
k
1
i1
，
所以
S
k
i1
S
k
i1
1
a
k
i1


S
k
1.
i

所以
S
k
S
i1
k
1
i
．
（Ⅲ）因为
S
n
S
0
，所以
E
n
非空．
设集合
E
n
{k
1
,k< br>2
,,k
m
}
，不妨设
k
1
k
2
k
m
，
则由（Ⅱ）可知
S
k
S1(i 1,2,,m1)
i1
k

i
，
同理
S
k
S
0
1
，且
S
n
≤
S
1
k
m
．
所以 < br>S
n
(S
n
S
k
)(S
k
 S)(S
mm
k
m1
k
S
2
k
) (S
1
k
S
1
0
)

01111m
．
m个1
因为
S
n
C
，所以
E
n
的元素个数
m≥C1
．
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6分]

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11分]






[

取常数数列
A
n
：
a
i
则
且
S
n

(C1)
C2
2

2
C1
C 2
2C1
C2
(i1,2,,C1)
，并令
nC1
，

C
C
，适合题意，
E
n
{1,2,,C1}
，其元素个数恰为
C1
．
综上，
E
n
的元素个数的最小值为
C



1
． [13分]

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