广西医科大学网站-哲学与人生教案

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牛吃草问题
“一堆草 可供10头牛吃3天，这堆草可供6头牛吃几天？”这道题太简单了，同学们一
下就可求出：3×10÷ 6＝5（天）。如果我们把“一堆草”换成“一片正在生长的草地”，问题就
不那么简单了，因为草每天 都在生长，草的数量在不断变化。这类工作总量不固定（均匀变
化）的问题就是牛吃草问题。
例1 牧场上一片青草，每天牧草都匀速生长。这片牧草可供10头牛吃20天，或者可
供15头牛吃1 0天。问：可供25头牛吃几天？
分析与解：这类题难就难在牧场上草的数量每天都在发生变化， 我们要想办法从变化当
中找到不变的量。总草量可以分为牧场上原有的草和新生长出来的草两部分。牧场 上原有的
草是不变的，新长出的草虽然在变化，因为是匀速生长，所以这片草地每天新长出的草的数量相同，即每天新长出的草是不变的。下面，就要设法计算出原有的草量和每天新长出的草
量这两个 不变量。
设1头牛一天吃的草为1份。那么，10头牛20天吃200份，草被吃完；15头牛1 0
天吃150份，草也被吃完。前者的总草量是200份，后者的总草量是150份，前者是原有
的草加 20天新长出的草，后者是原有的草加10天新长出的草。
200－150＝50（份），20—10＝10（天），
说明牧场10天长草50份，1天长草 5份。也就是说，5头牛专吃新长出来的草刚好吃
完，5头牛以外的牛吃的草就是牧场上原有的草。由此 得出，牧场上原有草
（l0—5）× 20＝100（份）或（15—5）×10＝100（份）。
现在已经知道原有草100份，每天 新长出草5份。当有25头牛时，其中的5头专吃新
长出来的草，剩下的20头吃原有的草，吃完需10 0÷20＝5（天）。
所以，这片草地可供25头牛吃5天。
在例1的解法中要注意三点：
（1）每天新长出的草量是通过已知的两种不同情况吃掉的总草量的差及吃的天数的差
计算出来的。
（2）在已知的两种情况中，任选一种，假定其中几头牛专吃新长出的草，由剩下的牛
吃原 有的草，根据吃的天数可以计算出原有的草量。
（3）在所求的问题中，让几头牛专吃新长出的草 ，其余的牛吃原有的草，根据原有的
草量可以计算出能吃几天。
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例2 一个水池装一个 进水管和三个同样的出水管。先打开进水管，等水池存了一些水
后，再打开出水管。如果同时打开2个出 水管，那么8分钟后水池空；如果同时打开3个
出水管，那么5分钟后水池空。那么出水管比进水管晚开 多少分钟？
分析：虽然表面上没有“牛吃草”，但因为总的水量在均匀变化，“水”相当于“草” ，进水管
进的水相当于新长出的草，出水管排的水相当于牛在吃草，所以也是牛吃草问题，解法自然也与例1相似。
出水管所排出的水可以分为两部分：一部分是出水管打开之前原有的水量，另 一部分是
开始排水至排空这段时间内进水管放进的水。因为原有的水量是不变的，所以可以从比较两次排水所用的时间及排水量入手解决问题。
设出水管每分钟排出水池的水为1份，则2个出水 管8分钟所排的水是2×8＝16（份），
3个出水管5分钟所排的水是3×5＝15（份），这两次排 出的水量都包括原有水量和从开始
排水至排空这段时间内的进水量。两者相减就是在8-5=3（分）内 所放进的水量，所以每分
钟的进水量是

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有的水，可以求出原有水的水量为


解：设出水管每分钟排出的水为1份。每分钟进水量
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答：出水管比进水管晚开40分钟。
例3 由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长大，反而以 固定的速度在减少。已知
某块草地上的草可供20头牛吃5天，或可供15头牛吃6天。照此计算，可供 多少头牛吃
10天？
分析与解：与例1不同的是，不仅没有新长出的草，而且原有的草还 在减少。但是，
我们同样可以利用例1的方法，求出每天减少的草量和原有的草量。
设1 头牛1天吃的草为1份。20头牛5天吃100份，15头牛6天吃90份，100-90=10
（份） ，说明寒冷使牧场1天减少青草10份，也就是说，寒冷相当于10头牛在吃草。由“草
地上的草可供2 0头牛吃5天”，再加上“寒冷”代表的10头牛同时在吃草，所以牧场原有草
（20＋10）×5＝150（份）。
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由 150÷10＝15知，牧场原有草可供15头牛吃 10天，寒冷占去10头牛，所以，可
供5头牛吃10天。
例4 自动扶梯以均匀速度由 下往上行驶着，两位性急的孩子要从扶梯上楼。已知男孩
每分钟走20级梯级，女孩每分钟走15级梯级 ，结果男孩用了5分钟到达楼上，女孩用了6
分钟到达楼上。问：该扶梯共有多少级？
分 析：与例3比较，“总的草量”变成了“扶梯的梯级总数”，“草”变成了“梯级”，“牛”变成
了“速 度”，也可以看成牛吃草问题。
上楼的速度可以分为两部分：一部分是男、女孩自己的速度，另一 部分是自动扶梯的速
度。男孩5分钟走了20×5＝ 100（级），女孩6分钟走了15×6＝90（ 级），女孩比男孩
少走了100－90＝10（级），多用了6－5＝1（分），说明电梯1分钟走10 级。由男孩5
分钟到达楼上，他上楼的速度是自己的速度与扶梯的速度之和，所以扶梯共有
（20＋10）×5＝150（级）。
解：自动扶梯每分钟走
（20×5－15×6）÷（6—5）＝10（级），
自动扶梯共有（20＋10）×5＝150（级）。
答：扶梯共有150级。
例5 某车站在检票前若干分钟就开始排队，每分钟来的旅客人数一样多。从开始检票
到等候检票的队伍消失， 同时开4个检票口需30分钟，同时开5个检票口需20分钟。如
果同时打开7个检票口，那么需多少分 钟？
分析与解：等候检票的旅客人数在变化，“旅客”相当于“草”，“检票口”相当于“牛”， 可以
用牛吃草问题的解法求解。
旅客总数由两部分组成：一部分是开始检票前已经在排队 的原有旅客，另一部分是开始
检票后新来的旅客。
设1个检票口1分钟检票的人数为1份 。因为4个检票口30分钟通过（4×30）份，5
个检票口20分钟通过（5×20）份，说明在（3 0-20）分钟内新来旅客（4×30-5×20）份，
所以每分钟新来旅客
（4×30-5×20）÷（30-20）=2（份）。
假设让2个检票口专门通过新来的旅客，两相抵消，其余的检票口通过原来的旅客，
可以求出原有旅客为
（4-2）×30=60（份）或（5-2）×20=60（份）。
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同时打开7个检票口时，让2个检票口专门通过新来的旅客，其余的检票口通过原来
的旅客，需要
60÷（7-2）=12（分）。
例6 有三块草地，面积分别为5，6和8公顷。 草地上的草一样厚，而且长得一样快。
第一块草地可供11头牛吃10天，第二块草地可供12头牛吃1 4天。问：第三块草地可供
19头牛吃多少天？
分析与解：例1是在同一块草地上，现在 是三块面积不同的草地。为了解决这个问题，
只需将三块草地的面积统一起来。
［5，6，8］＝120。
因为 5公顷草地可供11头牛吃10天， 120÷5＝24，所以120公顷草地可供11×24
＝264（头）牛吃10天。
因 为6公顷草地可供12头牛吃14天，120÷6＝20，所以120公顷草地可供12×20＝
240 （头）牛吃14天。
120÷8＝15，问题变为： 120公顷草地可供19×15＝285（头）牛吃几天？
因为草地面积相同，可忽略具体公顷数，所以原题可变为：
“一块匀速生长的草地，可供264头 牛吃10天，或供240头牛吃14天，那么可供285
头牛吃几天？”
这与例1完全一样。设1头牛1天吃的草为1份。每天新长出的草有
（240×14－264×1 0）÷（14－10）＝180（份）。草地原有草（264—180）×10＝840
（份）。可供2 85头牛吃
840÷（285—180）＝8（天）。
所以，第三块草地可供19头牛吃8天。



练习
1. 一牧场上的青草每天都匀速生长。这片青草可供27头牛吃6周或供23头牛吃9周。
那么，可供21头 牛吃几周？
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2.一牧场上的青草每天都匀速生长。这片青草可供17头牛吃30天，或供19头牛吃 24
天。现有 一群牛，吃了6天后卖掉4头，余下的牛又吃了2天将草吃完，这群牛原来有多
少头？
3 .经测算，地球上的资源可供100亿人生活100年，或可供80亿人生活300年。假设
地球新生成 的资源增长速度是一定的，为使人类有不断发展的潜力，地球最多能养活多少亿
人？
4. 有一水池，池底有泉水不断涌出。用10部抽水机20时可以把水抽干；用15部同样
的抽水机，10时 可以把水抽干。那么，用25部这样的抽水机多少小时可以把水抽干？
5.某车站在检票前若干分 钟就开始排队，每分钟来的旅客人数一样多。如果同时开放3
个检票口，那么40分钟检票口前的队伍恰 好消失；如果同时开放4个检票口，那么25分
钟队伍恰好消失。如果同时开放8个检票口，那么队伍多 少分钟恰好消失？
6.两只蜗牛由于耐不住阳光的照射，从井顶逃向井底。白天往下爬，两只蜗牛 白天爬行
的速度是不同的，一只每个白天爬20分米，另一只爬15分米。黑夜里往下滑，两只蜗牛滑行的速度却是相同的。结果一只蜗牛恰好用5个昼夜到达井底，另一只蜗牛恰好用6个
昼夜到达井 底。那么，井深多少米？
7.两位顽皮的孩子逆着自动扶梯的方向行走。在20秒钟里，男孩可走 27级梯级，女
孩可走24级梯级，结果男孩走了2分钟到达另一端，女孩走了3分钟到达另一端。问： 该
扶梯共多少级？
答案与提示
1.12周。
解：设1头牛1周吃的草为1份。牧场每周新长草
（23×9-27×6）÷（9-6）=15（份）。
草地原有草（27-15）×6=72（份），可供21头牛吃72÷（21-15）=12（周）。
2.40头。
解：设1头牛1天吃的草为1份。牧场每天新长草（17×30－19×24）÷（ 30-24）=9
（份）。
草地原有草（17－9）×30=240（份）。
这群牛8天应吃掉草240＋9×8＋4×2＝320（份），
所以这群牛有320÷8=40（头）。
3.70亿。
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解：设1亿人生活1年的资源为1份。地球每年新生成资源
（80×300-100×100）÷（300-100）=70（份）。
当新生成的资源不少于每年消耗掉的资源时，地球上的资源才不致减少。所以地球最多
能养活70亿人。
4.5时。
解：设1部抽水机1时抽出的水为1份。水池中每小时涌出泉水（10× 20－15×10）÷
（20-10）＝5（份）。
水池中原有水（10-5）×20=100（份）。25部抽水机抽干需100÷（25-5）＝5（时）。
5.10分。
解：设1个检票口1分钟通过的旅客人数为1份。每分钟新来旅客

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6.15米。
解：每夜下滑（20×5-15×5）÷（6-5）=10（分米），井深（20＋ 10）×5=150（分米）
＝15米。
7.54级。
解：自动扶梯每分钟走
[24×（180÷20）-27×（120÷20）]÷（3-2）=5 4（级）。自动扶梯共有27×（120÷20）
-54×2=54（级）。

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