孔雀石产地-北京体育大学录取分数线

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2018年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）
数学Ⅰ
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上． ．．．．．．．．
1．已知集合
A

0,1,2,8

，
B

1,1,6,8

，那么
AB
．

2．若复数
z
满足
iz12i
，其中i是虚数 单位，则
z
的实部为 ．

3．已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的分数的平均数为 ．

4．一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的
S
的值为 ．

5．函数
f

x

log
2x1
的定义域为 ．

6．某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为
．

7．已知函数
ysin

2 x









x

的图象关于直线
x
对称，则

的值是 ．
2

3

2
x
2
y
2
8．在平面直角坐标系
xOy
中，若双曲线
2

2
1< br>
a0,b0

的右焦点
F

c,0

到一条渐近线的距离为
ab
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3
c
，则其离心率的值是 ．
2


x
cos,0x2

2

9．函数
f

x

满足
f

x4

f

x

xR

，且在区间
(2,2]
上，f

x



， 则
f

f

15


x
1
,2x0
< br>2

的值为 ．

10．如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为 ．

11．若函数
f

x

2xax1

aR

在

0,

内有且只有一个零点 ，则
f

x

在

1,1

上 的最大值与最小
32
值的和为 ．

12．在 平面直角坐标系
xOy
中，
A
为直线
l:y2x
上在第一 象限内的点，
B

5,0

，以
AB
为直径的圆< br>C
与
直线
l
交于另一点
D
．若
ABCD 0
，则点
A
的横坐标为 ．

ABC1 20
，13．在
ABC
中，角
A、B、C
所对的边分别为
a、b、c
，
ABC
的平分线交
AC
于点
D
，< br>且
BD1
，则
4ac
的最小值为 ．

14．已知集合
Ax|x2n1,nN


< br>
，
B

x|x2,nN

．将
A B
的所有元素从小到大依次排
n
列构成一个数列

a
n< br>
，记
S
n
为数列

a
n

的前
n
项和，则使得
S
n
12a
n1
成立的
n
的最小值
为 ．
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二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡 指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程
．．．．．．．
或演算步骤．
15．（本小题满分14分）
在平行六面体
ABCDA
1
B1
C
1
D
1
中，
AA
1
AB,AB
1
B
1
C
1
．
求证：（1）
AB∥< br>平面
A
1
B
1
C
；
（2）
平面< br>ABB
1
A
1

平面
A
1
BC．






16．（本小题满分14分）
已知

,

为锐角，
tan


（1）求
cos2

的值；
（2）求
tan(



)
的值．









17．（本小题满分14分）
某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O的一段圆弧5
4
，
cos(



)
．
5
3
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和线段MN构成．已知圆 O的半径为40米，点P到MN的距离为50米．现
MPN
（P为此圆弧的中点）
规划 在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD，大棚Ⅱ内的地块形状为
△CDP< br>，要求
A,B
均在线段
MN
上，
C,D
均在圆弧上． 设OC与MN所成的角为

．
（1）用

分别表示矩形
A BCD
和
△CDP
的面积，并确定
sin

的取值范围；
（2）若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为< br>4:3
．求当

为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．






18．（本小题满分16分）
1如图，在平面直角坐标系
xOy
中，椭圆C过点
(3,)
，焦点
2
F
1
(3,0),F
2
(3,0)
，圆O的直径为F
1
F
2
．
（1）求椭圆C及圆O的方程；
（2）设直线l与圆O相切于第一象限内的点P．
①若直线l与椭圆C有且只有一个公共点，求点P的坐标；
②直线l与椭圆C交于
A ,B
两点．若
△OAB
的面积为
求直线l的方程．





19．（本小题满分16分）
记
f
(x),g

(x)
分别为函数
f(x),g(x)
的导函数． 若存在
x
0
R
，满足
f(x
0
)g(x
0
)
且
f

(x
0
)g

( x
0
)
，则
称
x
0
为函数
f(x)
与
g(x)
的一个“S点”．
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26
，
7

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（1）证明：函数
f( x)x
与
g(x)x
2
2x2
不存在“S点”；
（2）若函数
f(x)ax
2
1
与
g(x)lnx
存 在“S点”，求实数a的值；
be
x
（3）已知函数
f(x)xa< br>，
g(x)
．对任意
a0
，判断是否存在
b0
，使函数
f(x)
与
g(x)
在
x
2
区间
(0,)
内存在“S点”，并说明理由．










20．（本小题满分16分）
设{a
n
}
是首项为
a
1
，公差为d的等差数列，
{b
n
}
是首项为
b
1
，公比为q的等比数列．
（1）设
a
1
0,b
1
1,q2
，若
|a
n
b
n
|b
1
对
n1,2,3,4
均成立，求d的取值范围；
（2）若
a
1
b
1
0,m N
*
,q(1,
m
2]
，证明：存在
dR
， 使得
|a
n
b
n
|b
1
对
n2,3 ,L,m1
均成立，
并求
d
的取值范围（用
b
1
,m,q
表示）．

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数学Ⅱ(附加题)
21．【选做题】本题包括 A、B、C、D 四小题，请选定其中两小题 ，并在相应的答题区域内作答．若多做，
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．
则按作 答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A．[选修4—1：几何证明选讲](本小题满分10分)
如图，圆O的半径为2，AB为圆 O的直径，P为AB延长线上一点，
过P作圆O的切线，切点为C．若
PC23
，求 BC 的长．
B．[选修4—2：矩阵与变换](本小题满分10分)

23

已知矩阵
A

．
12

（1）求
A
的逆矩阵
A
1
；
（2）若点P在矩阵
A
对应的变换作用下得到点
P

(3, 1)
，求点P的坐标．
C．[选修4—4：坐标系与参数方程](本小题满分10分) π
在极坐标系中，直线l的方程为

sin(

)2
，曲线C的方程为

4cos

，求直线l被曲线C截得
6的弦长．
D．[选修4—5：不等式选讲](本小题满分10分)
若x，y，z为实数 ，且x+2y+2z=6，求
x
2
y
2
z
2
的 最小值．












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【必做题】第 22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字
．．．． ．．．
说明、证明过程或演算步骤．学科#网
22．（本小题满分10分）
如图， 在正三棱柱ABC-A
1
B
1
C
1
中，AB=AA
1
=2，点P，Q分别为A
1
B
1
，
BC的中点．
（1）求异面直线BP与AC
1
所成角的余弦值；
（2）求直线CC
1
与平面AQC
1
所成角的正弦值．























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23．(本小题满分10分)
设
nN
*
，对1，2，···，n 的一个排列
i
1
i
2
Li
n
，如果当si
s
i
t
，则称
(i
s
,i
t
)
是排列
i
1
i
2
Li
n
的一< br>个逆序，排列
i
1
i
2
Li
n
的所有逆序的 总个数称为其逆序数．例如：对1，2，3的一个排列231，只有两个
逆序(2，1)，(3，1)， 则排列231的逆序数为2．记
f
n
(k)
为1，2，···，n的所有排列 中逆序数为k的全
部排列的个数．
（1）求
f
3
(2),f
4
(2)
的值；
（2）求
f
n
(2)(n5)
的表达式(用n表示)．

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数学Ⅰ试题参考答案
一、填空题：本题考查基础知识、基本运算和基本思想方法．每小题5分，共计70分．
1．{1，8}







2．2
6．









3．90








4．8
8．2
12．3
5．[2，+∞）
9．
2

2
3

10
4

3
π
7．


6
11．–3

10．
13．9 14．27
二、解答题
15．本小题主要考查直线与 直线、直线与平面以及平面与平面的位置关系，考查空间想象能力和推理论证
能力．满分14分． 证明：（1）在平行六面体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中，AB∥A
1
B
1
．
因为AB
< br>平面A
1
B
1
C，A
1
B
1
平面A
1
B
1
C，
所以AB∥平面A
1
B
1
C．
（2）在平行六面体ABC D-A
1
B
1
C
1
D
1
中，四边形ABB
1
A
1
为平行四边形．
又因为AA
1
=AB，所 以四边形ABB
1
A
1
为菱形，
因此AB
1
⊥A
1
B．
又因为AB
1
⊥ B
1
C
1
，BC∥B
1
C
1
，
所以AB
1
⊥BC．
又因为A
1
B∩BC=B，A
1
B

平面A
1
BC，BC

平面A
1
BC，
所以AB
1
⊥平面A
1
BC．
因为AB
1

平面ABB
1
A
1
，
所以平面ABB
1
A
1
⊥平面A
1
BC．
16．本小题主要考查同角三角函数关系、两角和（差）及二倍角的三角函数，考查运算求解能力．满分14< br>分．
解：（1）因为
tan


4sin

4
，
tan


，所以
sin

co s

．
3cos

3
9
，
25
因为
sin
2

cos
2

1
，所 以
cos
2


因此，
cos2

2c os
2

1
7
．
25
（2）因为

,

为锐角，所以



(0,π)
．
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525
，所以
sin(< br>


)1cos
2
(



)
，
55
又因为
cos(


)
因此
tan(



)2
．
42tan

24
，所以
tan2


，

31tan
2

7
tan2

t an(



)2
因此，
tan(

< br>
)tan[2

(



)]
．
1+tan2

tan(



)1 1
因为
tan


17．本小题主要考查三角函数的应用、用导数求 最值等基础知识，考查直观想象和数学建模及运用数学知
识分析和解决实际问题的能力．满分14分．
解：（1）连结PO并延长交MN于H，则PH⊥MN，所以OH=10．
过O作OE⊥BC于E，则OE∥MN，所以∠COE=θ，
故OE=40cosθ，EC=40sinθ，
则矩形ABCD的面积为2×40cosθ（ 40sinθ+10）=800（4sinθcosθ+cosθ），
△CDP的面积为
1< br>×2×40cosθ（40–40sinθ）=1600（cosθ–sinθcosθ）．
2
过N作GN⊥MN，分别交圆弧和OE的延长线于G和K，则GK=KN=10．
令∠GOK=θ
0
，则sinθ
0
=
当θ∈[θ
0
，
1
π
，θ
0
∈（0，）．
46
π
）时，才能作出满足条件的矩形ABCD，
2
1
，1）．
4
所以sinθ的取值范围是[
答：矩形A BCD的面积为800（4sinθcosθ+cosθ）平方米，△CDP的面积为
1600（cosθ–sinθcosθ），sinθ的取值范围是[
1
，1）．
4
（2）因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3，
设甲的单位面积的年产值为4k，乙的单位面积的年产值为3k（k>0），
则年总产值为4 k×800（4sinθcosθ+cosθ）+3k×1600（cosθ–sinθcosθ）
= 8000k（sinθcosθ+cosθ），θ∈[θ
0
，
π
）．
2
π
），
2
设f（θ）= sinθcosθ+cosθ，θ∈[ θ
0
，
(

)cos
2

sin2

sin

(2sin
2

sin

1)(2sin

1)(sin

1)
． 则
f′
(

)=0
，得θ=令
f′
π
，
6
当θ∈（θ
0
，
π
(

)>0
，所以f（θ）为增函数； ）时，
f′
6
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当θ∈（
ππ
，）时，
f′(

)<0
，所以f（θ）为减函数，
62
π
时，f（θ）取到最大值．
6
因此，当θ=
答：当 θ=
π
时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．
6
18．本小题主要考查 直线方程、圆的方程、圆的几何性质、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆
的位置关系等知识， 考查分析问题能力和运算求解能力．满分16分．
解：（1）因为椭圆C的焦点为
F
1
( 3,0),F
2
(3,0)
，
x
2
y
2
1
可设椭圆C的方程为
2

2
1(ab0)
．又点< br>(3,)
在椭圆C上，
ab
2
1

3
< br>a
2
4,
1,


22
所以

a
，解得

2

4b
b1,



a
2
b
2
3,

x
2
因此，椭圆C的方程为
y
2
1
．
4
因为圆O 的直径为
F
1
F
2
，所以其方程为
x
2
 y
2
3
．
（2）①设直线l与圆O相切于
P(x
0,y
0
)(x
0
0,y
0
0)
，则
x
0
2
y
0
2
3
，
所以直线l的 方程为
y
x
0
x
3
(xx
0
)y
0
，即
y
0
x
．
y
0
y
0
y
0

x
2
2

y1,< br>
4
由

，消去y，得
x
3

y 
0
x,

y
0
y
0

(4 x
0
2
y
0
2
)x
2
24x
0
x364y
0
2
0
．（*）
因为直线l与椭圆C有且只有一个公共点，
(24x
0
)
24(4x
0
2
y
0
2
)(364y
0< br>2
)48y
0
2
(x
0
2
2)0． 所以

因为
x
0
,y
0
0
，所以
x
0
2,y
0
1
．
因此，点P的坐标为
(2,1)
．
②因为三角形OAB的面积为
设
A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2)
，
2612642
，所以

，从而
AB
．
ABOP
7277
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由（*）得
x
1,2

24x< br>0
48y
0
2
(x
0
2
2)
2 (4x
0
y
0
)
22
，
所以
AB2
(x
1
x
2
)
2
(y
1y
2
)
2

x
0
2
48y
0
2
(x
0
2
2)
(1
2
)．
y
0
(4x
0
2
y
0
2
)
2
因为
x
0
2
y
0
2
3
，
16(x
0
2
2)
32

所以AB
，即
2x
0
4
45x
0
2
 1000
，
22
(x
0
1)49
2
102< br>51
解得
x
0
2
(x
0
2
20
舍去），则
y
0
2

，因此P的坐标为
(,)．
22
22
综上，直线l的方程为
y5x32
．

19．本小题主要考查利用导数研究初等函数的性质，考查综合运用数学思想方法分析与解决 问题以及逻辑
推理能力．满分16分．
解：（1）函数f（x）=x，g（x）=x
2
+2x-2，则f′（x）=1，g′（x）=2x+2．
由f（x）=g（x）且f′（x）= g′（x），得

xx
2
2x2
，此方程组无解，

12x2

因此，f（x）与g（x）不存在“S”点．
fx）ax
2
1
，
g(x)lnx
， （2）函数
（
则
f（x）2ax，g（x）
1
．
x
设x
0
为f（x）与g（x）的“S”点，由f（x
0
）与g（x
0
）且f′（x
0
）与g′（x
0
），得
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2

ax
0
1lnx
0
2



ax
0
1l nx
0
，即

，（*）
1

2
2ax


0
x

2ax
0
1
0
1

1
得
lnx
0

，即
x
0
e
2
，则
a
2
1
2(e)1

2
2

e
．
2
1
< br>e
当
a
时，
x
0
e
2
满足方程 组（*），即
x
0
为f（x）与g（x）的“S”点．
2
e
因此，a的值为．
2
（3）对任意a>0，设
h(x )x
3
3x
2
axa
．
因为
h(0) a0，h(1)13aa20
，且h（x）的图象是不间断的，
3
2x
0
所以存在
x
0
∈（0，1），使得
h(x
0
)0
，令
b
x
0
，则b>0．
e(1x< br>0
)
be
x
函数
f(x)xa，g(x)
，
x
2
be
x
(x1)
则
f′
．
(x)2x，g′(x)
2
x
由f（x）与g（x）且f′（x）与g′（x ），得
3

2
2x
0
e
x

2
be
x


xa
x
0
xa< br>
x
e(1x)


x
0
，即（**）


x
3
x
2x
0
e(x1)

2x
be(x1)

2x


x< br>2

x
2
e
x
0
(1x
0
)

此时，
x
0
满足方程组（**），即
x
0< br>是函数f（x）与g（x）在区间（0，1）内的一个“S点”．
因此，对任意a>0，存在b>0，使函数f（x）与g（x）在区间（0，+∞）内存在“S点”．
20．本小题主要考查等差和等比数列的定义、通项公式、性质等基础知识，考查代数推理、转化与化归 及
综合运用数学知识探究与解决问题的能力．满分16分．
解：（1）由条件知：
a
n
(n1)d,b
n
2
n1
．
因为|a
n
b
n
|b
1
对n=1，2，3，4均成立，
即
|(n 1)d2
n1
|1
对n=1，2，3，4均成立，
即1
< br>1，1

d

3，3

2d

5， 7

3d

9，得
75
d
．
32
75
因此，d的取值范围为
[,]
．
32
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（2）由条件知：
an
b
1
(n1)d,b
n
b
1
qn1
．
若存在d，使得
|a
n
b
n
| b
1
（n=2，3，···，m+1）成立，
|b
1
(n1) db
1
q
n1
|b
1
(n2,3,L,m1)< br>， 即

q
n1
2q
n1
即当
n2 ,3,L,m1
时，d满足
b
1
db
1
．
n1n1
因为
q(1,
m
2]
，则
1q
n 1
q
m
2
，
q
n1
2q
n 1
从而
b
1
0
，
b
1
0
，对
n2,3,L,m1
均成立．
n1n1
因此，取d=0时，
|a
n
b
n
|b
1
对
n2,3,L,m 1
均成立．
q
n1
2q
n1
下面讨论数列
{
．
}
的最大值和数列
{}
的最小值（
n2,3,L,m1
）n1n1
q
n
2q
n1
2nq
n
q
n
nq
n1
2n(q
n
q
n1)q
n
2
①当
2nm
时，，

nn1n(n1)n(n1)
当
1q2
时，有
q
n
q
m
2
，从而
n(q
n
q
n1
)q
n
 20
．
1
m
q
n1
 2
因此，当
2nm1
时，数列
{}
单调递增，
n 1
q
n1
2q
m
2
故数列
{
． < br>}
的最大值为
n1m
②设
f(x)2
x
(1x )
，当x>0时，
f

(x)(ln21xln2)2
x0
，
所以
f(x)
单调递减，从而
f(x)
q
n
1
q(n1)11
n
2
n
(1)f( )1
， 当
2nm
时，
n1

q
nnn< br>n1
q
n1
因此，当
2nm1
时，数列
{ }
单调递减，
n1
q
n1
q
m
故数列
{
．
}
的最小值为
n1
m
b
1
(q
m
2 )b
1
q
m
因此，d的取值范围为
[,]
．
mm

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数学Ⅱ(附加题)参考答案
21．【选做题】
A．[选修4—1：几何证明选讲]
本小题主要考查圆与三角形等基础知识，考查推理论证能力．满分10分．
证明：连结OC．因为PC与圆O相切，所以OC⊥PC．
又因为PC=
23
，OC=2，
所以OP=
PC
2
OC
2
=4．
又因为OB=2，从而B为Rt△OCP斜边的中点，所以BC=2．
B．[选修4—2：矩阵与变换]
本小题主要考查矩阵的运算、线性变换等基础知识，考查运算求解能力．满分10分．
23

解：（1）因为
A

，
det(A)2 21310
，所以A可逆，
12


23

从而
A
1


．
12


23

x

3

x

3

1

3

A
（2）设P(x，y) ，则

，所以

y

1

y

1

1

，
12

因此，点P的坐标为(3，–1)．
C．[选修4—4：坐标系与参数方程]
本小题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力．满分10分．
解：因为曲线C的极坐标方程为

=4cos

，
所以曲线C的圆心为（2，0），直径为4的圆．
π
因为直线l的极坐标方程为
sin(

)2
，
6
则直线l过A（4，0），倾斜角为
π
，
6
所以A为直线l与圆C的一个交点．
设另一个交点为B，则∠OAB=
π
．
6
π
，
2
连结OB，因为OA为直径，从而∠OBA=
所以
AB4cos
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π
23
．
6

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因此，直线l被曲线C截得的弦长为
23
．
D．[选修4—5：不等式选讲]
本小题主要考查柯西不等式等基础知识，考查推理论证能力．满分10分．
证明：由柯西不等 式，得
(x
2
y
2
z
2
)(1
22
2
2
2
)(x2y2z)
2
．
因为
x2y2z=6
，所以
x
2
y
2
z< br>2
4
，
当且仅当
xyz244

时，不等式取 等号，此时
x，y，z
，
122333
所以
x
2< br>y
2
z
2
的最小值为4．
22．【必做题】本小题主要 考查空间向量、异面直线所成角和线面角等基础知识，考查运用空间向量解决问
题的能力．满分10分． 学科%网
解：如图，在正三棱柱ABC−A
1
B
1
C
1< br>中，设AC，A
1
C
1
的中点分别为O，O
1
，则O B⊥OC，OO
1
⊥OC，
uuuruuuruuuur
OO
1⊥OB，以
{OB,OC,OO
1
}
为基底，建立空间直角坐标系O−x yz．
因为AB=AA
1
=2，
所以
A(0,1,0),B( 3,0,0),C(0,1,0),A
1
(0,1,2),B
1
(3,0, 2),C
1
(0,1,2)
．

（1）因为P为A
1B
1
的中点，所以
P(
31
,,2)
，
2 2
uuuruuuur
31
从而
BP(,,2),AC
1(0,2,2)
，
22
uuuruuuur
uuuruuuur|BPAC
1
|
|14|310
ruuuur

故
|cosBP,AC
1
|
uuu
．
20
| BP||AC
1
|
522
因此，异面直线BP与AC
1
所成角的余弦值为
310
．
20
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31
,,0)
，
22
uuuu ruuuur
uuur
33
因此
AQ(,,0)
，
AC< br>1
(0,2,2),CC
1
(0,0,2)
．
22（2）因为Q为BC的中点，所以
Q(
设n=（x，y，z）为平面AQC
1的一个法向量，
uuur

33

AQn0,
x y0,


则

uuuu
即

2
r
2


AC
1
n0,

2y2z0.
不妨取
n(3,1,1)
，
设直线CC
1
与平面AQC
1
所成角为

， uuuur
uuuur
|CC
1
n|
25
r

则
sin

|cosCC
1
,n|
uuu u
，
5
|CC
1
||n|
52

所以直线CC
1
与平面AQC
1
所成角的正弦值为

23．【必做题】本小题主要考查计数原理、排列等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力．满分10< br>分．

解：（1）记

(abc)
为排列abc的逆序数， 对1，2，3的所有排列，有

5
．
5

(123)= 0，

(132)=1，

(213)=1，

(231) =2，

(312)=2，

(321)=3
，

所以
f
3
(0)1，f
3
(1)f
3
(2) 2
．

对1，2，3，4的排列，利用已有的1，2，3的排列，将数字4添加进去 ，4在新排列中的位置只能是
最后三个位置．

因此，
f
4
(2)f
3
(2)f
3
(1)f
3
(0)5．
（2）对一般的n（n≥4）的情形，逆序数为0的排列只有一个：12…n，所以
f
n
(0)1
．

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逆序数为1的排列只能是将排列12…n中的任意相邻两个数字调换位置得到的排列，所以
f< br>n
(1)n1
．

为计算
f
n1
( 2)
，当1，2，…，n的排列及其逆序数确定后，将n+1添加进原排列，n+1在新排列中的位置只能是最后三个位置．
因此，
f
n1
(2)f
n
(2)f
n
(1)f
n
(0)f
n
(2)n．
当n≥5时，
f
n
(2)[f
n
(2)f< br>n1
(2)][f
n1
(2)f
n2
(2)]… [f
5
(2)f
4
(2)]f
4
(2)

n
2
n2
，
(n1)(n2)4f
4
(2)
2

n
2
n2
因此，n≥5时，
f
n
(2)
．
2



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