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2001年普通高等学校招生全国统一考试(02)

（1） 若< br>sin

cos

0
，则

在
( )

（A）第一、二象限 （B）第一、三象限 （C）第一、四象限 （D）第二、四象限
（2）过点
A

1,1

、B
1,1

且圆心在直线
xy20
上的圆的方程是( )

（A）

x3

2
< br>
y1

2
4
（B）

x 3

2


y1

2
4

（C）

x1

2


y1

2
4
（D）

x1

2

y1

2
4

（3）设
< br>a
n

是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是
( )
（A）1 （B）2 （C）4 （D）6
（ 4）若定义在区间

1，0

内的函数
f

x< br>
log
2a

x1

满足
f(x) 0
，则
a
的取值范围是
( )
（A）（0，
11
2
） （B）（0，
2
]
（C）（
1
2
，+

） （D）（0，+

）
(5)极坐标方程

2sin(



4
)
的图形是
( )

（A） （B） （C） （D）
（6）函数
ycosx1(

x0)
的反函数是
( )

（A）
yarccos(x1)(0x2)
（B）
y

arccos(x1)(0x2)

（C）
yarccos(x1)(0x2)
（D）
y

arccos(x1)(0x2)

（7）若 椭圆经过原点，且焦点为
F
1
(1,0),F
2
(3,0)
，则其离心率为
( )

（A）
3
（B）
2
（C）
1

1
432
（D）
4

（8）若
0




4
，
sin

cos
a
，
sin

cos

b
， 则
( )

（A）
ab
（B）
ab
（C）
ab1
（D）
ab2
（9）在正三棱柱
ABCA
1
B
1
C
1
中， 若
AB2BB
1
，则
AB
1
与
C
1B
所成的角的大小为
( )
（A）60° （B）90° （C）105° （D）75°
（10）设
f(x)、g(x)
都是单调函数，有如下四个命题：
若f(x)
单调递增，
g(x)
单调递增，则
f(x)g(x)
单调递增；
若
f(x)
单调递增，
g(x)
单调递减，则
f(x)g(x)
单调递增；

若
f(x)
单调递减，
g(x)
单调递增，则
f(x)g(x )
单调递减；
4若
f(x)
单调递减，
g(x)
单调递减 ，则
f(x)g(x)
单调递减；
○
其中，正确的命题是
（A）
○
1
○
3 （B）
○
1
○
4 （C）
○
2
○
3 （D）
○
2
○
4
（11）一间民房的屋顶有如图三种不同的盖法：
○
1单向倾斜；
○
2双向倾斜；
○
3四向倾斜.记三
种盖法屋顶面积分别为
P
1
、P
2
、P
3
.
若屋顶斜面与水平面所成的角都是

，则
( )

（A）
P
3
P
2
P
1
（B）
P3
P
2
P
1
（C）
P
3
P2
P
1
（D）
P
3
P
2
P1

（12）如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相联。连线标 注的数
字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量。现从结点
A
向结点
B
传递信息，信息可
以分开沿不同的路线同时传递。则单位时间内传递的最大信息量为
( )

（A）26 （B）24
（C）20 （D）19
（13）若一个椭圆的轴截面是等边三角形，其面积为
3
，则这个椭圆的侧面积是
x
2
y
2
1
的两个焦点为
F
1
、F
2
，点
P
在双曲线上.若
PF
1
⊥
P F
2
，则点
P
到x轴（14）双曲线

916
的距 离为 .
（15）设

a
n

是公比为
q
的等比数列，
S
n
是它的前n项和.若

S
n< br>
是等差数列，则
q
.
（16）圆周上有2 n个等分点（
n1
），以其中三个点为顶点的直角三角形的个数为 .
(17) 如图，在底面是直角梯形的四棱锥
SABCD
中，
∠
ABC90
°，
SA
⊥面
ABCD
，
SAABBC 1
，
AD
1
.
2
(Ⅰ)求四棱锥
SABCD
的体积；
(Ⅱ)求面
SCD
与面
SBA
所成的二面角的正切值.
(18) (本小题满分12分)
已知复数
z
1
i(1i)
3
.
(Ⅰ)求
argz
1
及
z
1
；
(Ⅱ)当 复数
z
满足
z1
，求
zz
1
的最大值.
（19）(本小题满分12分)

设抛物线
y
2< br>2px(p0)
的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于
A、B
两点. 点
C
在抛物线的
准线上，且
BC
∥x轴. 证明直线
AC
经过原点
O
.
（20）(本小题满分12分)
已知
i,m,n
是正整数，且
1imn
.
i
m
i
P
n
i
； (Ⅰ)证明
n
i
P
m
(Ⅱ)证明
(1m)
n
(1n)
m
.
(21) (本小题满分12分)
从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游 产业.根据规
划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少. 本年度当地旅游业收入估计为 400
万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加.
(Ⅰ)设n年内（本年度为第一年）总投入为
a
n
万元，旅游业总收入为
b
n
万元. 写出
a
n
,b
n
的表
达式；
(Ⅱ)至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入?
(22) (本小题满分14分) < br>设
f(x)
是定义在
R
上的偶函数，其图象关于直线
x1< br>对称，对任意
x
1
,x
2
[0,]
，都有
f(x
1
x
2
)f(x
1
)•f(x
2
)
，且
f(1)a0
.
1
2
1
4
1
5
(Ⅰ)求
f()
及
f()
;
(Ⅱ)证明
f(x)
是周期函数；
(Ⅲ)记
a
n
f(2n
1
)
，求
lim(lna
n
)
. < br>n
2n
1
2
1
4
2001年普通高等学校招生全 国统一考试
数学试题（理工农医类）参考解答及评分标准
说明：
一. 本解答指 出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如
果考生物解法与本解答不同，可 根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．
二. 对计算题，当考生的解答在某一步 出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的
内容和难度，可视影响的程度决定部分的给分，但不得超 过该部分正确解答得分数的一半；
如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

三. 解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
四. 只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．
一.选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分60分．
（1）B （2）C （3）B （4）A （5）C
（6）A （7）C （8）A （9）B （10）C
（11）D （12）D
二.填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分16分．
（13）2
π
（14）
三.解答题：
（17）本 小题考查线面关系和棱锥体积计算，以及空间想象能力和逻辑推理能力．满分
12分．
解：（Ⅰ）直角梯形
ABCD
的面积是
16
（15）1 （16）2
n
(
n
－1) 5
M
底面

1

BCAD

AB 
10.5
1
3
， ……
2分
224
∴ 四棱锥
S
—
ABCD
的体积是






1
VSA
M
底面
3



1
．
……
4分
4
（Ⅱ）延长
BA
、
CD
相交 于点
E
，连结
SE
则
SE
是所求二面角的棱．
……
6分
∵
AD
∥
BC
，
BC
= 2
AD
，
∴
EA
=
AB
=
SA
，∴
SE
⊥
SB
，
∵
SA⊥面
ABCD
，得
SEB
⊥面
EBC
，
EB< br>是交
又
BC
⊥
EB
，∴
BC
⊥面
SEB
，
故
SB
是
CS
在面
SEB
上的射影，
∴
CS
⊥
SE
，
所以∠
BSC
是所求二面角的平面角．
……
10分
∵
SBSA
2
AB
2
2
，
BC
=1，
BC
⊥
SB
，
∴ tan∠
BSC

BC2

．
SB2
线，

即所求二面角的正切值为
2
．
……
12分
2
（18）本小题考查复数基本性质和基本运算，以及分析问题 和解决问题的能力．满分12
分．
解：（Ⅰ）
z
1
=
i
(1－
i
) = 2－2
i
，
将
z
1
化为三角形式，得
7

7


z
1
22

cosisin

，
44

3
∴
argz
1

7

，
z
1
22
．
……
6分
4
（Ⅱ）设
z

= cos
α
＋
i
sin
α
，则
z
－
z
1
= ( cos
α
－2)＋(sin
α
＋2)
i
，

942sin
(



4
)，
……
9分
2
当sin(



4
) = 1时，
zz
1
取得最大值
942
．
从而得到
zz
1
的最大值为
221
．
……
12分
（19）本小题考查抛物线的概念和性质，直线的方程和性质，运算能力 和逻辑推理能力．满
分12分．
证明一：因为抛物线
y
2
=2
px
(
p
＞0)的焦点为
F
(
设为
xmy
p
；
……
4分
2
p
，0)，所以经过点
F
的直线的方 程可
2
代入抛物线方程得
y
2
－2
pmy
－
p
2
= 0，
若记
A< br>(
x
1
，
y
1
)，
B
(
x
2
，
y
2
)，则
y
1
，
y
2
是该方程的两个根，所以
y
1
y
2
= －
p
2
．
……
8分
因为
BC
∥
x
轴，且点
c在准线
x

= －
率为
k
y
2
2p
y
1

．
p< br>y
1
x
1

2
pp
上，所以点
c< br>的坐标为（－，
y
2
），故直线
CO
的斜
22

即
k
也是直线
OA
的斜率，所以直线
A C
经过原点
O
．

……1
2分
证明二：如图，记
x
轴与抛物线准线
l
的交点为
E
，过
A
作
AD
⊥
l
，
D
是垂足．则
AD
∥
FE
∥
BC
．
……
2分
连结
AC
，与
EF
相交于点
N
，则
EN
AD

CN
AC

BF
AB
，
NF
BC

AF
AB
，

……
6分
根据抛物线的几何性质，
AFAD
，
BFBC
，
……
8分
∴
EN
ADBF
AB

AFBC
AB
NF
，
即点
N
是
EF
的中点，与抛物线的顶点
O
重合，所以直线
AC
经过原点
O
．
……
12分
（20）本小题考查排列、组合、二项式定理、不等式的基本知识和 逻辑推理能力．满分
12分．
（Ⅰ）证明： 对于1＜
i
≤
m
有
i

p
m
=
m
·…·(
m
－
i
＋1)，

i
p
m
mm1
mi1

…，

m
i
mm
m
i
p
n
nn1
n i1

…

同理
i

，
……
4分
nn
n
n
nkmk
由于
m
＜
n
，对整数
k
= 1，2…，
i
－1，有，

nm
ii
p
n
p
m
ii
n
i
p
m
所以
i

i
，即
m
i
p
n
．
……
6分
nm
（Ⅱ）证明由二项式定理有

1m
n
i


m
i
C
n
，
i0
n

i


1n



n
i
C
m
，
……
8分
m
i0
m
i
i
由 (Ⅰ)知
m
i
p
n
＞
n
i
p
m
(1＜
i
≤< br>m
＜
n
＝，
ii
p
m
p
n
i
而
C
，
C
n

，
……
10分
i!i!
i
m
ii
n
i< br>C
m
所以，
m
i
C
n
(1＜
i< br>≤
m
＜
n
＝．
i
因此，

mC

n
i
C
m
．
ii
n
i2i 2
011i
1
，
mC
n
nC
m
m n
，
m
i
C
n
0

min

． 又
m
0
C
n
0
n
0
C
m
mm
i
∴

mC

n
i
C
m
．
ii
n
i0i0
nm
即 (1＋
m
)
n
＞(1＋
n
)
m
．
……
12分
（21）本小题主要考查建立函数关系式、数列求和、不等式等基础知识 ；考查综合运用
数学知识解决实际问题的能力．满分12分．

解：（Ⅰ）第1年投 入为800万元，第2年投入为800×（1－）万元，……，第
n
年投
1
5
1
5
入为800×（1－）
n
－1
万元．
所以，
n
年内的总投入为
a
n
= 800＋800×（1－）＋…＋800×（1－）
n
－1

1
5
1
5
= 4000×[1－()
n
]；
……
3分
1
4
4
5
第1年旅游业收入为400万 元，第2年旅游业收入为400×（1＋）万元，
……
，第
n
年旅游业收入为 400×（1＋）
n
－1
万元．
所以，
n
年内的旅游业总收入为
1
4
b
n
= 400＋400×（1＋）＋…＋400×（1＋）
n
－1

1
4
1
4
= 1600×[ ()
n
－1]．
……
6分
4
5
（Ⅱ）设至少经过
n
年旅游业的总收入才能超过总投入，由此
b
n
－
a
n
＞0，
即 1600×[（）
n
－1]－4000×[1－（）
n
]＞0．
5
4
4
5

化简得 5×（）＋2×（）－7＞0，
……
9分
设
x
（），代入上式得
5
x
2
－7
x
＋2＞0，
解此不等式，得
x
2
，
x
＞1(舍去)．
5
4
52
5
4
5
n
4
5
n
4
5n
即 （）
n
＜，
由此得
n
≥5．
答：至少经过5年旅游业的总收入才能超过总投入．
……
12分
（22）本小题主要考查函数的概念、图像，函数的奇偶性和周期性以及 数列极限等基础
知识；考查运算能力和逻辑思维能力．满分14分．
（Ⅰ）解：因为对
x
1
，
x
2
∈[0，]，都有
f
(
x
1
＋
x
2
) =
f
(
x
1
) ·
f
(
x
2
)，所以

f(x)
f
() ·
f
()≥0，
x
∈[0，1]．
∵
f(1)
f
(

) =
f
() ·
f
() = [
f
()]
2
，

3分
f(1)a0
，
1
2
x
2
x
21
2
1
2
1
2
1
2
1
2
f
()

f
(

) =
f
() ·
f
() = [
f
()]
2
．
……
1
2
1
4
1
4
1
4
1
4
1
4
11
∴
f
()
a
2
，
f
()
a
4
．
……
6分
24
11
（Ⅱ）证明：依题设
y
=
f
(
x
)关于直线
x
= 1对称，
故
f
(
x
) =
f
(1＋1－
x
)，
即
f
(
x
) =
f
(2－
x
)，
x
∈R．
……
8分
又由
f
(
x
)是偶函数知
f
(－
x
) =
f
(
x
) ，
x
∈R，
∴
f
(－
x
) =
f
(2－
x
) ，
x
∈R，
将上式中－
x
以
x
代换，得
f
(
x
) =
f
(
x
＋2)，
x
∈R．
这表明
f
(
x
)是R上的周期函数，且2是它的一个周期．
……
10分

（Ⅲ）解：由（Ⅰ）知
f
(
x
)≥0，
x
∈[0，1]．
∵
f
(
1
)=
f
(
n
·
1
2n
) =
f
(
1
2n
＋（
n
－1）·
1
22n
)
=
f
(
1
2n
) ·
f
(（
n
－1）·
1
2n
)
=
f
(
1
2n
) ·
f
(
1
2n
) · … ·
f
(
1
2n
)
= [
f
(
1
)]
n
2n
，
1

f
(
1
) =
a
2
2
，
1
∴
f
(
1
) =
a
2n
2n
．
∵
f
(
x
)的一个周期是2，
1
∴
f
(2
n
＋
1
) =
f
(
1
)，因此
a
n
=
a
2n
2n2n
，
分
∴
lim
1
n

lna
n
lim
n
(
2n
lna
) = 0．

……12
14分 ……