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2004年北京市高考数学试卷（理科）

一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）
1．（5分）已知全集
UR< br>，
M{x|2剟x2}
，
N{x|x1}
，那么
M< br>A．
{x|x1}
B．
{x|2x1}
C．
{x|x2}

N(

)

D．
{x|2„x1}

2．（5分）满足条件
|zi|| 34i|
复数
z
在复平面上对应点的轨迹是
(

)

A．一条直线 B．两条直线 C．圆 D．椭圆
3．（5分）设m
、
n
是两条不同的直线，

、

、

是三个不同的平面．给出下列四个命题，
其中正确命题的序号是
(

)

①若
m

，
n

，则
mn

②若



，



，
m

，则
m


③若
m

，
n

，则
mn
④若



，



，则




A．①② B．②③ C．③④ D．①④
4．（5分）如图 ，在正方体
ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
中，
P
是侧面
BB
1
C
1
C
内一 动点，若
P
到直线
BC
与直线
C
1
D
1< br>的距离相等，则动点
P
的轨迹所在的曲线是
(

)


A．直线 B．圆 C．双曲线 D．抛物线
5．（5分）函数
f(x) x
2
2ax3
在区间
[1
，
2]
上存在反函 数的充分必要条件是
(

)

A．
a(
，
1]

C．

[1
，
2]

B．
a[2
，
)

D．
a(
，
1][2
，
)

6 ．（5分）如果
a
，
b
，
c
满足
cba
且
ac0
，那么下列选项中不一定成立的是
(

)

A．
abac
B．
c(ba)0
C．
cb
2
ab
2
D．
ac(ac)0

7．（5分）从长度分别为1、2、3、4的四条线段中，任取三条的不同取法共有
n
种．在这
第1页（共16页）

些取法中，以取出的三条线段为边可组成的三角形的个数为
m
，则
A．0 B．
1

4
m
等于
(

)

n
C．
1

2
D．
3

4
xP

x
8．（5分）函数
f(x)

其中
P
、
M
为实数集
R
的两个非空子集，又规定

x xM
f(P){y|yf(x)
，
xP}
，
f(M){y |yf(x)
，
xM}
．给出下列四个判断，其中
正确判断有
(

)

①若
P
②若
P
③若
P< br>④若
P
M
，则
f(P)
M
，则
f( P)
MR
，则
f(P)
MR
，则
f(P)
f( M)
；
f(M)
；
f(M)R
；
f(M)R
．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）
9．（5分）函数
f(x)cos2x23sinxcosx
的最小正周期是 ．
10．（5分）学校篮球队五名队员的年龄分别为15，13，15，14，13，其方差为0.8 ，则三年
后这五名队员年龄的方差为 ．
11．（5分）某地球仪上北纬
30
纬线的长度为
12

cm
，该地球仪的半径是
cm
，表面积
是
cm
2
．

xcos

(

为参数）的普通方程是 ，如果曲 线
C
与直线12．（5分）曲线
C:

y1sin


xya0
有公共点，那么实数
a
的取值范围是 ． < br>13．（5分）在函数
f(x)ax
2
bxc
中，若
a
，
b
，
c
成等比数列且
f(0)4
，则
f(x)
有
最 值（填“大”或“小”
)
，且该值为 ． 14．（5分）定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常
数， 那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和．已知数列
{a
n
}
是等和数
列，且
a
1
2
，公和为5，那么
a
18
的值为 ，这个数列的前
n
项和
S
n
的计算公式
为 ．
第2页（共16页）

三、解答题（共6小题，满分80分）
15．（13分）在
ABC
中，
sinAcosA
面积． < br>16．（14分）如图，在正三棱柱
ABCA
1
B
1
C1
中，
AB3
，
AA
1
4
，
M< br>为
AA
1
的中点，
P
是
BC
上一点，且由< br>P
沿棱柱侧面经过棱
CC
1
到
M
的最短路线长为29
，设这条最短路线
2
，
AC2
，
AB3
，求
tanA
的值和
ABC
的
2
与
CC
1
的交点为
N
，求：
(I)
该三棱柱的侧面展开图的对角线长
(II)PC
和
NC
的长
(III)
平面
NMP
与平面
ABC
所成二面角（锐角）的大小（用反三角函数表示）

17．（14分）如图，过抛物线
y
2
2px(p0)
上一定点
P(x
0
，
y
0
)(y
0
0)
，作两条 直线分别
交抛物线于
A(x
1
，
y
1
)
，
B(x
2
，
y
2
)

(I)
求该抛物线上纵坐标为
p
的点到其焦点
F
的距离 < br>2
yy
2
的值，并证明直线
AB
的斜率是非
(II )
当
PA
与
PB
的斜率存在且倾斜角互补时，求
1
y
0
零常数．

x
18．（14分）函数
f(x)
是定义在
[0
，
1]
上的增函数，满足
f(x)2f()
且
f
（1）
1
，在每
2
个区间
(
11
,](i1,2)
上，
yf(x)
的图象都是斜率为同一常数
k
的直线的一部分．
2
i
2
i1
第3页（共16页）

11
1
（1）求
f(0)
及< br>f()
，
f()
的值，并归纳出
f(
i
)(i1, 2,)
的表达式
2
24
（2）设直线
x
11
，，
x
轴及
yf(x)
的图象围成的矩形的面积为
a
i< br>(i1,2)
，记
x
2
i
2
i1
S (k)lim(a
1
a
2
a
n
)
，求< br>S(k)
的表达式，并写出其定义域和最小值．
n
19．（12分）某段 城铁线路上依次有
A
、
B
、
C
三站，
AB5km
，
BC3km
，在列车运行
时刻表上，规定列车8时整从
A
站发车，8时07分到达
B
站并停车1分钟，8时12分到
达
C
站 ，在实际运行中，假设列车从
A
站正点发车，在
B
站停留1分钟，并在行驶时 以
同一速度
vkmh
匀速行驶，列车从
A
站到达某站的时间与时刻表 上相应时间之差的绝对
值称为列车在该站的运行误差．
(I)
分别写出列车在
B
、
C
两站的运行误差
( II)
若要求列车在
B
，
C
两站的运行误差之和不超过2分钟，求< br>v
的取值范围．
20．（13分）给定有限个正数满足条件
T
：每个 数都不大于50且总和
L1275
．现将这些数
按下列要求进行分组，每组数之和不 大于150且分组的步骤是：首先，从这些数中选择
这样一些数构成第一组，使得150与这组数之和的 差
r
1
与所有可能的其他选择相比是最
小的，
r
1
称为第一组余差；然后，在去掉已选入第一组的数后，对余下的数按第一组的
选择方式构成第二组，这时 的余差为
r
2
；如此继续构成第三组（余差为
r
3
)
、第四组（余
差为
r
4
)
、

，直至第
N
组（余差为
r
N
)
把这些数全部分完为止．
（Ⅰ）判断
r
1
，
r
2
，

，
r
N
的大小关系，并指出除第
N
组外的每组至少含有几个数；
（Ⅱ）当构成第< br>n(nN)
组后，指出余下的每个数与
r
n
的大小关系，并证明r
n1

（Ⅲ）对任何满足条件
T
的有限个正数，证明：N„11
．

150nL
；
n1
第4页（共16页）

2004年北京市高考数学试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）
1．（5分）已知全集
UR< br>，
M{x|2剟x2}
，
N{x|x1}
，那么
M< br>A．
{x|x1}
B．
{x|2x1}
C．
{x|x2}

N(

)

D．
{x|2„x1}

【解答】解；
M{x|2剟x2}
，
N{x|x1}

MN{x|2„x1}

故选：
D
．
2．（5分 ）满足条件
|zi||34i|
复数
z
在复平面上对应点的轨迹是(

)

A．一条直线
【解答】解：
|34i|5

满足条件
|zi||34i |5
的复数
z
在复平面上对应点的轨迹是
圆心为
(0,1)
，半径为5的圆．
故选：
C
．
3．（5分）设
m
、
n
是两条不同的直线，

、

、

是三个不同的平面．给出下列四个命题，
其中正确命题的序号是
(

)

①若
m

，
n

，则
mn

②若



，



，
m

，则
m


③若
m

，
n

，则
mn
④若



，



，则




A．①② B．②③ C．③④ D．①④
B．两条直线 C．圆 D．椭圆
【解答】解：①若
m

，
n

，则
mn
，是直线和平面垂直的判定，正确；
②若



，



，
m

，则
m
，推出



，满足直线和平面垂直的判定，正确；
③若
m

，
n

，则
mn
，两条直线可能 相交，也可能异面，不正确．
④若



，



，则



中
m
与
n
可 能相交或异面．④考虑长方体的顶点，

与

可
以相交．不正确．
故选：
A
．
4．（5分）如图，在正方体
ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
中，
P
是侧面BB
1
C
1
C
内一动点，若
P
到直线
BC
第5页（共16页）

与直线
C
1
D
1
的距离相等，则动点
P
的轨迹所在的曲线是
(

)


A．直线 B．圆 C．双曲线 D．抛物线
【解答】解： 由题意知，直线
C
1
D
1

平面
BB
1< br>C
1
C
，则
C
1
D
1
PC
1
，即
|PC
1
|
就是点
P
到直
线C
1
D
1
的距离，
那么点
P
到直线
BC
的距离等于它到点
C
1
的距离，所以点
P
的轨迹是抛物 线．
故选：
D
．
5．（5分）函数
f(x)x
22ax3
在区间
[1
，
2]
上存在反函数的充分必要条件是
(

)

A．
a(
，
1]

C．

[1
，
2]

【解答】解：
B．
a[2
，
)

D．
a(
，
1][2
，
)

f(x)x
2
2ax3
的对称轴为
xa
，
yf(x)
在
[1
，
2]
上存在反函数的充要条件为
[1
，
2](
，
a]
或
[1
，
2] [a
，
)
，
即
a…2
或
a„1
．
故选：
D
．
6．（5分）如果
a
，
b
，
c
满足
cba
且
ac0
，那么下列选项中不一定成立 的是
(

)

A．
abac
B．
c(ba)0
C．
cb
2
ab
2
D．
ac(ac)0

【解答】解：对于
A
，
cba
且
ac0
，

则
a0
，
c0
，
必有
abac
，
故
A
一定成立
对于
B
，
cba

ba0
，
第6页（共16页）

又由
c0
，则 有
c(ba)0
，故
B
一定成立，
对于
C
， 当
b0
时，
cb
2
ab
2
不成立，
当
b0
时，
cb
2
ab
2
成立，
故
C
不一定成立，
对于
D
，
cba
且
ac0

ac0

ac(ac)0
，故
D
一定成立
故选：
C
．
7．（5分）从长度分别为1、2、3、4的四条线段中，任取 三条的不同取法共有
n
种．在这
些取法中，以取出的三条线段为边可组成的三角形的个 数为
m
，则
A．0 B．
1

4
m
等于
(

)

n
C．
1

2
D．
3

4
【解答】解：由题意知本题是一个等可能事件的概率，
3
4
种结果， 试验发生包含的事件有
nC
4
满足条件 的事件是在“1、2、3、4”这四条线段中，
由三角形的性质“两边之和大于第三边，
两边之差小于第三边”知可组成三角形的有“2、3、4”，
m1
．

m1

．
n4
故选：
B
．
xP

x
8．（5分）函数
f(x)

其中
P
、
M
为实数集
R
的两个非空子集，又规定
xxM

f(P){y|yf(x)
，
xP}
，
f(M){y| yf(x)
，
xM}
．给出下列四个判断，其中
正确判断有
(< br>
)

①若
P
②若
P
③若
P④若
P
M
，则
f(P)
M
，则
f(P )
MR
，则
f(P)
MR
，则
f(P)
f(M )
；
f(M)
；
f(M)R
；
f(M)R
．
A．1个

B．2个 C．3个
第7页（共16页）
D．4个

【解答】解：由题意知函数
f(P)
、
f(M)
的图象如图所示．
设
P[x
2
，
)
，
M(
，< br>x
1
]
，
|x
2
||x
1
|< br>，
f(P)[f(x
2
)
，
)
，
f (M)[f(x
1
)
，
)
，则
PM
．
而
f(P)f(M)[f(x
1
)
，
)
，故①错误．
同理可知②正确．
设
P[x
1
，
)
，
M(
，
x
2
]
，
|x
2
||x
1
|
，则
PMR
． < br>f(P)[f(x
1
)
，
)
，
f(M)[f (x
2
)
，
)
，
f(P)f(M)[f(x
1
)
，
)R
，
故③错误．
④由③的判断知，当
P
故④对
故选：
B
．
MR
，则
f(P)f(M)R
是正确的．

二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）
9．（5分）函数
f(x)cos2x23sinxcosx
的最小正周期是

．
【解答】解：由题意知，
f(x)cos2x23sinxco sxcos2x3sin2x

2cos(2x)
，
3

函数的最小正周期是

．

故答案为

．
10．（5分）学校篮球队五名队员的年龄分别为 15，13，15，14，13，其方差为0.8，则三年
后这五名队员年龄的方差为 0.8 ．
第8页（共16页）

【解答】解：根据方差的意义：方 差是用来衡量一组数据波动大小的量，只要数据没有倍数
关系的变化，其方差就不会变；
由题 意知，新数据是在原来每个数上加上3得到，原来的平均数为
x
，新数据是在原来每个
数上加上3得到，则新平均数变为
x3
，则每个数都加了3，原来的方差
1
s
1
2
[(x
1
x)
2
(x
2< br>x)
2
(x
n
x)
2
]0.8
n
，现在的方差
2
11
2222
s
2
[(x3
1
x3)(x3x[(xx)
2
(x
1
x)(x
n
x
2
3)(x
n
3x3) ]
2
)]0.8
nn
，方差不变．
故三年后这五名队员年龄的方差不变，仍是0.8．
故答案为：0.8．
11．（ 5分）某地球仪上北纬
30
纬线的长度为
12

cm
，该 地球仪的半径是
43

cm
，表
面积是
cm
2
．
【解答】解：地球仪上北纬
30
纬线的长度为
12

cm
，则纬圆半径
r
，
2

r12


r6
，地球仪的半径
R
r
43

cos30 
地球仪的表面积：
4

R
2
192


故答案为：
43
；
192



xco s

(

为参数）12．（5分）曲线
C:

的普 通方程是
x
2
(y1)
2
1
，如果曲线
C
y1sin


与直线
xya0
有公共点， 那么实数
a
的取值范围是 ．

xcos

(

为参数） 【解答】解：
< br>y1sin


消参可得
x
2
(y1)< br>2
1

利用圆心到直线的距离
d„r
得
|1a |
2
„
1

a12
解得：
12剟
a12
． 故答案为：
x
2
(y1)
2
1
；
12剟
13．（5分）在函数
f(x)ax< br>2
bxc
中，若
a
，
b
，
c
成 等比数列且
f(0)4
，则
f(x)
有
最 大 值（填“大”或“小”
)
，且该值为 ．
第9页（共16页）

【解答】解：
a
，
b
，
c
成等比数列且
f(0)4
，
b
2
ac
，
c4
．
a0
，
f(x)
有最大值，
4acb
2
4acac3c
最大值为：
3
．
4a4a4
故答案为：大；
3
．
14．（5分）定义“等和数列 ”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常
数，那么这个数列叫做等和数列，这个常 数叫做该数列的公和．已知数列
{a
n
}
是等和数
列，且
a
1
2
，公和为5，那么
a
18
的值为 3 ，这个数列的前
n
项和
S
n
的计算公式
为 ． 【解答】解：由题意知，
a
n
a
n1
5
，且a
1
2
，所以，
a
1
a
2
5< br>，得
a
2
3
，
a
3
2
，
a
4
3
，
a
17
2
，
a
18
3
，
当
n
为偶数时
s
n(
2 3)(23)(23)(23)5
当
n
为奇数时
s< br>n
(23)(23)(23)25
故答案为：3；当
n< br>为偶数时
S
n

n5n


22
n15n1
2

222
5n5n 1
，当
n
为奇数时
S
n


22
三、解答题（共6小题，满分80分）
15．（13分）在
ABC
中，
sinAcosA
面积． < br>【解答】解：（1）
sinAcosA2sin(A45)
sin(A4 5)
1
．
2
2
，
AC2
，
AB 3
，求
tanA
的值和
ABC
的
2
2
，
2
又
0A180
，
A45150
，
A105
．
tanAtan( 4560)
13
13
23
．
（2）由（1）得：
sinAsin105sin(4560)

第10页（共16页）

sin45cos60 cos45sin60
S
ABC

11
ACABsinA 23
22
26
．
4
263
(26)
．
44
16．（14分）如图，在正三棱柱
ABCA
1
B
1
C
1
中，
AB3
，
AA
1
4
，
M
为
AA
1
的中点，
P
是
BC
上一点，且由
P
沿棱柱侧面经过棱
CC
1
到
M
的最 短路线长为
29
，设这条最短路线
与
CC
1
的交点为
N
，求：
(I)
该三棱柱的侧面展开图的对角线长
(II)PC
和
NC
的长
(III)
平面
NMP
与平面
ABC
所成二面角（锐角）的大小（用反三角函数表示）

【解答】解：
(I)
正三棱柱
ABCA
1
B
1
C
1
的侧面展开图是一个长为9，宽为4的矩形，其对
角线长为
9
2< br>4
2
97

(II)
如图1，将侧面
BB
1
C
1
C
绕棱
CC
1
旋转
120使其与侧面
AA
1
C
1
C
在同一平面上，点
P
运动
到点
P
1
的位置，连接
MP
1
，则< br>MP
1
就是由点
P
沿棱柱侧面经过棱
CC
1
到点
M
的最短路线

设
PCx
，则
PCx< br>，在
RtMAP
1
中，由勾股定理得
(3x)
2
2
2
29

1
求得
x2

PCPC2

1
NC
PC
2

1


MAP5
1
A
第11页（共16页）


NC
4

5
连接
PP
则
PP
作
NHPP
又
CC
1

(III)
如图 2，
1
，
1
就是平面
NMP
与平面
ABC
的交线，
1
于
H
，
平面
ABC
，连接
CH
，由三垂线定理得，
CHPP
1


NHC
就是平面
NMP
与平面
ABC
所成二面角的平面角（锐角）
在RtPHC
中，
1PC
，

CHPCHPCP1< br>
1
60
22
4
NC
5
4
在< br>RtNCH
中，
tanNHC

CH15
故平面< br>NMP
与平面
ABC
所成二面角（锐角）的大小为
arctan
4

5
17．（14分）如图，过抛物线
y
2
2px( p0)
上一定点
P(x
0
，
y
0
)(y
0
0)
，作两条直线分别
交抛物线于
A(x
1
，
y
1
)
，
B(x
2
，
y
2
)
(I)
求该抛物线上纵坐标为
p
的点到其焦点
F
的距离 < br>2
yy
2
的值，并证明直线
AB
的斜率是非
(II )
当
PA
与
PB
的斜率存在且倾斜角互补时，求
1
y
0
零常数．

【解答】解：
(I)
当
yp
p
时，
x

8
2
p

2
又抛物线
y
2
2px
的准线方程为
x
由抛物 线定义得，所求距离为
pp5p

()
828
第12页（共16页）

(II)
设直线
PA
的斜率为
k
PA
， 直线
PB
的斜率为
k
PB

2
2px
0
由
y
1
2
2px
1
，
y
0
相减得
(y
1
y
0
)(y
1
y
0
)2p(x
1
x
0
)

故
k
PA

y
1
y
0
2p
(x
1
x
0
)

x
1
x
0
y
1
y
0
2p
(x
2
 x
0
)

y
2
y
0
同理可得
k
PB

由
PA
，
PB
倾斜角互补知
kPA
k
PB

即
2p2p


y
1
y
0
y
2
y
0
所以
y< br>1
y
2
2y
0

故
y
1
y
2
2

y
0
设直线
AB
的斜率为
k
AB

2
2px
2
，
y
1
2
2px
1 由
y
2
相减得
(y
2
y
1
)(y
2
y
1
)2p(x
2
x
1
)

所以
k
AB

y
2
y
1
2 p
(x
1
x
2
)

x
2
x
1
y
1
y
2
2pp
，所以
k
A B
是非零常数

y
1
y
2
y
0将
y
1
y
2
2y
0
(y
00)
代入得
k
AB


x
18．（14分） 函数
f(x)
是定义在
[0
，
1]
上的增函数，满足
f(x)2f()
且
f
（1）
1
，在每
2
个 区间
(
11
,](i1,2)
上，
yf(x)
的图象 都是斜率为同一常数
k
的直线的一部分．
2
i
2
i1< br>11
1
（1）求
f(0)
及
f()
，
f()
的值，并归纳出
f(
i
)(i1,2,)
的表达式
2
24
（2）设直线
x

11
，，
x< br>轴及
yf(x)
的图象围成的矩形的面积为
a
i
(i1, 2)
，记
x
2
i
2
i1
第13页（共16页 ）

S(k)lim(a
1
a
2
 a
n
)
，求
S(k)
的表达式，并写出其定义域和最小值． n
【解答】解：（1）由
f(0)2f(0)
，得
f(0)0< br>，
1111
由
f(1)2f()
及
f
（1）1
，得
f()f(1)
，
2222
1111
同理，
f()f()
，
4224< br>11
归纳得
f(
i
)
i
(i1,2,)
，
22
（
f(x)
2）当
11
x„
i1 i
22
时
111111111k1
k(x)a[k()]( )(1)(i1,2,)
i
2
i1
2
i1
2 2
i1
2
i1
2
i
2
i1
2
i1
2
i
42
2i1
，
1k1
所以
{a
n
}
是首项为
(1)
，公比为的等比数列，
24 4
1k
(1)
4

2
(1
k
)S(k )
的定义域为
0k„1
，所以
S(k)lim(a
1
 a
2
a
n
)
2
当
k1
时取得< br>n
1
34
1
4
最小值
1
．
2
19．（12分）某段城铁线路上依次有
A
、
B
、
C三站，
AB5km
，
BC3km
，在列车运行
时刻表上，规 定列车8时整从
A
站发车，8时07分到达
B
站并停车1分钟，8时12分到
达
C
站，在实际运行中，假设列车从
A
站正点发车，在
B< br>站停留1分钟，并在行驶时以
同一速度
vkmh
匀速行驶，列车从
A< br>站到达某站的时间与时刻表上相应时间之差的绝对
值称为列车在该站的运行误差．
(I)
分别写出列车在
B
、
C
两站的运行误差
( II)
若要求列车在
B
，
C
两站的运行误差之和不超过2分钟，求< br>v
的取值范围．
【解答】解：
(I)
由题意可知：列车在
B
，
C
两站的运行误差（单位：分钟）分别是
|
和
|
480
11|

v
300
7|
v
(II)由于列车在
B
，
C
两站的运行误差之和不超过2分钟，所以
|< br>300480
7||11|„2(*)

vv
当
0v „
300
300480
时，
(*)
式变形为
711„ 2

7
vv
300

7
第14页（共16页）
解得
39剟v

当
3
时，
(*)
式变形为
7v„11„2

711vv
300480

v„
711
48030048 0
时，
(*)
式变形为
711„2

11vv
解得
当
v
解得
480195

v„
114
195
]

4
综上所述，
v
的取值范围是
[39
，
20．（13分）给定有限个正数满足条件
T
：每个数都不大于50且总和
L1275
．现将这些数
按下列要求进行分组 ，每组数之和不大于150且分组的步骤是：首先，从这些数中选择
这样一些数构成第一组，使得150 与这组数之和的差
r
1
与所有可能的其他选择相比是最
小的，
r1
称为第一组余差；然后，在去掉已选入第一组的数后，对余下的数按第一组的
选择方式构 成第二组，这时的余差为
r
2
；如此继续构成第三组（余差为
r
3< br>)
、第四组（余
差为
r
4
)
、

， 直至第
N
组（余差为
r
N
)
把这些数全部分完为止． （Ⅰ）判断
r
1
，
r
2
，

，
r
N
的大小关系，并指出除第
N
组外的每组至少含有几个数；
（ Ⅱ）当构成第
n(nN)
组后，指出余下的每个数与
r
n
的大小关 系，并证明
r
n1

（Ⅲ）对任何满足条件
T
的有限个正 数，证明：
N„11
．
【解答】解：
(I)r
1
剟r2
?r
N
．除第
N
组外的每组至少含有
150
3
个数
50
150nL
；
n1
(II)
当第
n
组形成后，因为
nN
，所以还有数没分完，这时余下的每个数必大于 余差
r
n
，
余下数之和也大于第
n
组的余差
rn
，即
L[(150r
1
)(150r
2
) (150r
n
)]r
n

由此可得
r
1r
2
r
n1
150nL

因为
( n1)r
n1
…r
1
r
2
r
n1，所以
r
n1

150nL

n1
(I II)
用反证法证明结论，假设
N11
，即第11组形成后，还有数没分完，由(I)
和
(II)
可
知，余下的每个数都大于第11组的余差
r
11
，且
r
11
…r
10

故余下的每个 数
r
11
…r
10

150111275
 37.5(*)

10
因为第11组数中至少含有3个数，所以第11组数之和大于< br>37.53112.5

第15页（共16页）

此时第11组的余差
r
11
150
第 11组数之和
150112.537.5

这与
(*)
式中< br>r
11
37.5
矛盾，所以
N„11
．


第16页（共16页）