创业项目计划书-新员工年终总结

建立空间直角坐标系的几种常见思路
坐标法是利用空间向量的坐标运算解答立体几何问题的重 要方法，运用坐标法解题往往需要建立空
间直角坐标系．依据空间几何图形的结构特征，充分利用图形中 的垂直关系或构造垂直关系来建立
空间直角坐标系，是运用坐标法解题的关键．下面举例说明几种常见的 空间直角坐标系的构建策略．
一、利用共顶点的互相垂直的三条棱构建直角坐标系
例1 已知直四棱柱ABCD－A
1
B
1
C
1
D
1
中，AA
1
＝2，底面ABCD是直角梯形，∠A为直角，AB∥CD，
AB ＝4，AD＝2，DC＝1，求异面直线BC
1
与DC所成角的余弦值．
解析： 如图1，以D为坐标原点，分别以DA、DC、DD
1
所在直线为x、y、z轴建立空间直角< br>坐标系，则C
1
（０，1，2）、B（2，4，０），
uuuur
uuur
1，0)
． ∴
BC
1
(2，3，2)
，
CD(0，
r
uuuur
uuu
设
BC
1
与
CD
所成的角为

，
uuuuruuur
BC
1
g
CD
317
则
cos


uuu
．
uruuur

17
BC
1
CD
二、利用线面垂直关系构建直角坐标系
例2 如图2，在三棱柱ABC－A
1
B
1
C
1
中，AB⊥侧面B B
1
C
1
C，E为棱CC
1
上异于C、C
1
的一
点，EA⊥EB
1
．已知
AB

2
，BB
1
＝2，BC＝1，∠BCC
1
＝．求二面角A－EB
1
－ A
1
的平面角的
3
正切值．
解析：如图2，以B为原点，分别 以BB
1
、BA所在直线为y轴、z轴，过B点垂直于平面AB
1
的直线为x 轴建立空间直角坐标系．
由于BC＝1，BB
1
＝2，AB＝
2
，∠BCC
1
＝

，
3

31

∴在三棱柱ABC－A
1
B
1
C
1
中，有B（０，０，０）、A（０，０，
2
）、B（０，2 ，０）、
c

，0

1

2
，

、
2


33

．
C
1< br>
，0


2
，

2


3

13
且，
，a，0
a


2

22

uuuruuur
由EA⊥EB
1
，得
EA
g
EB
1
0
，
设
E

即






33

，< br>a
，
2

g

，
2a
，
0


2

2


1

3

33

a
a(a2)a< br>2
2a0
，∴

a

g

0
，
22
44


31

1 3
或
a
（舍去）．故
E

．
，，0


22

22

uuuruuuruuuuruuuru uuur
uuur
由已知有
EAEB
1
，故二面角A－EB< br>1
－A
1
的平面角

的大小为向量
B
1AB
1
A
1
EB
1
，
1
与
EA
即
a
的夹角．
uuuuruuur
uuur

31
因
B
1
A
，2

，0，2)
，
EA

1BA(0


2
，


2
< br>uuuruuuur
EA
g
B
1
A
1
22
故
cos


uu
，即
tan
< br>

uruuuur

2
3
EAB
1
A
1

三、利用面面垂直关系构建直角坐标系
例3 如图3，在四棱 锥V－ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，平面VAD⊥
底面ABCD．
（1）证明AB⊥平面VAD；
（2）求面VAD与面VDB所成的二面角的余弦值．
解析：（1）取AD的中点O为原点，建立如图3所示的空间直角坐标系．
设AD＝2，则A（1，０，０）、D（－1，０，０）、B（1，2，０）、
uur
uuu r
V（０，０，
3
），∴
AB
＝（０，2，０），
VA＝（1，０，－
3
）．
uuuruur
VA(0
，
2
，
0)
g
(1
，
0
，
3)0
，得
由
AB
g
AB⊥VA．
又AB⊥AD，从而AB与平面VAD内两条相交直线VA、AD都垂直，∴ AB⊥平面VAD；

13

（2）设E为DV的中点，则
E

 ，

2
0，
2




uuu r

3
r

33

uuu
3
< br>uuur
0，3)
． ∴
EA

，
，
EB

，
，
DV(1，
2，


2
0，

2

2

2
uuur uuur

33

∴
EB
g
DV

，
0
，
3)0
，


2
2
，

g
(1
，
2

∴EB⊥DV．
又EA⊥DV，因此∠AEB是所求二面角的平面角．

uuuruuur
uuuruuur
EA
g
EB21
，
EB
uuu
∴
cosEA
．
ruuur

7
EAEB< br>故所求二面角的余弦值为
21
．
7
四、利用正棱锥的中心与高所在直线构建直角坐标系
例4 已知正四棱锥V－ABCD中，E为VC中点，正四棱锥底面边长为2a，高为h．
（1）求∠DEB的余弦值；
（2）若BE⊥VC，求∠DEB的余弦值．
解析： （1）如图4，以V在平面AC的射影O为坐标原点建立空间直角坐标系，其中Ox∥BC，
Oy∥AB ，则由AB＝2a，OV＝h，有B（a，a，０）、C（-a，a，０）、D（-a，-a，０）、V（0，0 ，
h）、
E

，，



aah


222

uuur

3
r

a3h

ah

uuu
，

，
DE

，a，

． ∴
BE

a，
2 22


222

uuuruuur
uuuruuur< br>BE
g
DE6a
2
h
2
DE
uuu< br> ∴
cosBE
，
，
ruuur

22
BEDE
10ah
6a
2
h
2
即
cos∠DEB
；
22
10ah
（2）因为E是VC的中点，又BE⊥VC，
uuuruu ur
ah

3
VC0
，即

a
，< br>
，

g
(a
，
a
，
h)0
，
所以
BE
g
22

2
3
2
a
2
h
2
0
，∴
h2a
． ∴a
222
uuuruuur
6a
2
h
2
1
1
DE
这时
cosBE，
，即．
cos∠DEB 
10a
2
h
2
3
3
引入空间向量坐标运算， 使解立体几何问题避免了传统方法进行繁琐的空间分析，只需建立空
间直角坐标系进行向量运算，而如何 建立恰当的坐标系，成为用向量解题的关键步骤之一．下面以
高考考题为例，剖析建立空间直角坐标系的 三条途径．
五、利用图形中的对称关系建立坐标系
图形中虽没有明显交于一点的三条直线， 但有一定对称关系（如正三棱柱、正四棱柱等），利用自
身对称性可建立空间直角坐标系．

例5已知两个正四棱锥P－ABCD与
Q－ABCD的高都为2，AB＝4．
（1）证明：PQ⊥平面ABCD；
（2）求异面直线AQ与PB所成的角；
（3）求点P到平面QAD的距离．

简解：（1）略；
（2）由题设知，ABCD是正方形，且AC⊥BD．由（1），PQ⊥平 面ABCD，故可分别以直线
CA，DB，QP
为x，y，z轴建立空间直角坐标系（如图1） ，易得
uuuruuur
uuuruuur
uuuruuur
AQ
g
PB1
AQ(22，0，2)，PB(0，22，2)
，
cos AQ
，
PB
uuuruuur

．
AQPB
3
1
．
3
uuuruuur
22，， 0)AD(22，22，，0)PQ(0，0，4)
． （3）由（2）知，点
D(0，
所求异面直线所成的角是
arccos
u uur


n
g
AQ0，


2xz 0，
设n=（x，y，z）是平面QAD的一个法向量，则

uuu
得
取x＝1，得
r


xy0，

ng
AD0，

uuur
PQ
gn
22
．
n=(1，1，2)
．点P到平面QAD的距离
d
n
点评 ：利用图形所具备的对称性，建立空间直角坐标系后，相关点与向量的坐标应容易得出．第
（3）问也可 用“等体积法”求距离．