高考数学中的内切球和外接球问题(附习题)
大学英语4级成绩查询-入党志愿书范文
高考数学中的内切球和外接球问题
一、 有关外接球的问题
如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，
那么称这个多面体
是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球 .
有关多面体外接球的
问题，是立体几何的一个重点， 也是高考考查的一个热点 .
考查学生的
空间想象能力以及化归能力 .研究多面体的外接球问题，既要运用多面体
的知识，
又要运用球的知识， 并且还要特别注意多面体的有关几何元
素与球的半径之间的关系，
而多面体外接球半径的求法在解题中往往会
起到至关重要的作用 .
一、直接法 (公式法 )
1、求正方体的外接球的有关问题
例 1 若棱长为 3
的正方体的顶点都在同一球面上， 则该球的表面
积为
______________ .
27
.
例 2
一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该正方体的
表面积为
24
，则该球的体积为 ______________.
4
3
.
2、求长方体的外接球的有关问题
例 3
一个长方体的各顶点均在同一球面上，
且一个顶点上的三条
棱长分别为
1,2,3
，则此球的表面积为
.
14
.
4，
例 4
、已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为
体积为
16，则这个球的表面积为（
）. C
A.
16
B.
20
C.
24
D.
32
3.求多面体的外接球的有关问题
例 5.
一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知
该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为
9
8
，底面周
长为
3
，则这个球的体积为
.
x h
，高为
，则有
解 设正六棱柱的底面边长为
6x
9
6
8
3,
3
x h,
4
2
x
h
1
,
2
．
3
∴正六棱柱的底面圆的半径
r
1
，球心到底面的距离
d
3
3
.∴外
2
2
接球的半径
R
r
2
d
.
体积：
V
2
4
R
.
3
2
小结 本题是运用公式
R
2
r
d
2
求球的半径的，该公式是求球
的半径的常用公式 .
二、构造法 (补形法 )
1、构造正方体
例 5 若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为 ，则其外接
3
球的表面积是 _______________. .
9
3
例 3 若三棱锥的三个侧面两两垂直， 且侧棱长均为 ，则其外
接球的表面积是
.
故其外接球的表面积
S4R
2
9
.
小结：一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分
别为
a
、
b
、
c
，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，
于是长方体的
.设其外接球的半径为
R
，
体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径
则有
2R
a
b
22
c
.
2
出现“墙角”结构利用补形知识，联系长方体。
【原理】：长方体中从一个顶点出发的三条棱长分别为
，则
体对角线长为
l
a
2
a
c
2
b
2
c
，几何体的外接球直径为
2R
体对角线长
l
2
b
2
2
即
R
2
练习：在四面体
别为
1,
中，共顶点的三条棱两两垂直，其长度分
6,3
，若该四面体的四个顶点在一个球面上，求这个球的表面
积。球的表面积为
S 4 R
2
16
例 6 一个四面体的所有棱长都为
2
，四个顶点
在同一球面上，则此球的表面积为（
）
A.
3
B.
4
C.
33
D.
6
A.
(如图 2)
例 7 在等腰梯形
ABCD
中，
AB=2DC=2
，
DAB=60
，
E
为
AB
的中
0
点，将
ADE
与
BEC
分布沿
ED
、
EC
向上折起，使
A、B
重合于点
P
，
则三棱锥
P-DCE
的外接球的体积为（
）.
6
6
6
4
3
A.
27
B.
2
C.
8
D.
24
解析：（如图 3） 因为
AE=EB=DC=1
，
DAB=
所以
AD
CBE= DEA=60
，
0
AE=EB=BC=DC=DE=CE=1
，即三棱锥
P-DCE
为正四面体，至此，
这与例 6
就完全相同了，故选 C.
D
C
P
A
E
B
D
C
E
例 8 （2
已知球
O
的面上四点 A、B、C、D，
DA
平面
ABC
，
AB
BC
，
DA=AB=BC= 3
，则球
O
的体积等于
.
解析：本题同样用一般方法时，需要找出球心，求出球的半径
而利用长方体模型很快便可找到球的直径，由于
.
DA
平面
ABC
，
ABBC
，联想长方体中的相应线段关系，
构造如图 4
所示的长方体，
3
，则此长方体为正方体，所以
又因为
DA=AB=BC=
CD
长即为外接球
9
的直径，利用直角三角形解出
CD=3
.故球 的体积等于 .（如图 4）
D
O
2
O
A
B
图
4
C
2、例 9（2008 年安徽高考题）已知点
A 、B、C、D 在同一个球面上，
AB 平面 BCD
，
BC
DC
，若
AB
6,
AC=2
13,AD=8
，则球的体积是
解析：首先可联想到例
8，构造下面的长方体，于是
AD
为球的
直径， O 为球心，
OB=OC=4
为半径，要求 B、C 两点间的球面距离，
0
只要求出
BOC
即可，在
Rt ABC
中，求出
BC
=4
，所以
BOC=60
，故
B、C
两点间的球面距离是
3
4
.（如图
5）
A
O
B
C
D
图 5
本文章在给出图形的情况下解决球心位置、半径大小的问题。
三 .多面体几何性质法
例 2 已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为
4，体积
为
16，则这个球的表面积是
A.
16
B.
20
C.
24
D.
32
.选 C.
小结
本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直
径”这一性质来求解的 .
四.寻求轴截面圆半径法
例 4
正四棱锥
S
、
A
、
B
、
C
、
D
.
S
ABCD
2
的底面边长和各侧棱长都为
，点
都在同一球面上，则此球的体积为
S
解
设正四棱锥的底面中心为
1
，外接球的球心
A
O
D
C
O
1
图 3
B
为 ，如图 1 所示 .∴由球的截面的性质，可得
OO
1
平面 ABCD
O
.
又
SO
平面 ABCD
1
1
∴
ASC
的外接圆就是外接球的一个轴截面圆，外接圆的半径
就是外接球的半径 .
在
ASC
中，由
SA SC
∴
ASC是以 AC为斜边的 Rt
.
AC
1
2， AC
2
，得
SA
2
SC
2
AC
2
.
2
∴
是外接圆的半径，也是外接球的半径
V
球
4
3
.故
.
小结
根据题意，我们可以选择最佳角度找出含有正棱锥特征元素
的外接球的一个轴截面圆，
于是该圆的半径就是所求的外接球的半
径 .本题提供的这种思路是探
求正棱锥外接球半径的通解通法，该方法
的实质就是通过寻找外接球的一个轴截面圆，
从而把立体几何问题转
化为平面几何问题来研究 .这种等价转化的数学思想方法值得我们学习 .
五 .确定球心位置法
例 5
在矩形
ABCD
中，
AB4, BC
3
，沿
AC
将矩形
ABCD
折成一
个直二面角
125
BAC D
，则四面体
ABCD
的外接球的体积为
125
D
125
12
A.
B.
9
C.
6
C
AO
图 4
B
125
D.
解 设矩形对角线的交点为
，则由矩形对角线互相平分，可知
3
O
OA OB OC OD
O
.∴点 到四面体的四个顶点
OA
、
B
、
C
、
D
的距离相
等，即点 为四面体的外接球的球心，如图 2 所示 .∴外接球的半径
R OA
5
V
球
4
R
3
125
2
.
故
3
6
.选 C.
出现两个垂直关系，利用直角三角形结论。
【原理】：直角三角形斜边中线等于斜边一半。球心为直角三角
形斜边中点。
【例题】：已知三棱锥的四个顶点都在球
的球面上，
且
，
，
且
，
，
所以知
,求球
，
的体积。
解：
，
,
因为
所以
所以可得图形为：
中斜边为
中斜边为
在
在
取斜边的中点 ，
在
中
中
，即为该四面体的外接球的球心
在
所以在几何体中
所以该外接球的体积为
【总结】斜边一般为四面体中除了直角顶点以外的两个点连线。
1. （陕西理?6）一个正三棱锥的四个顶点都在半径为
1
的球面上，其
中底面的三个顶点在该球的一个大圆上， 则该正三棱锥的体积
是（
A．
）
3 3
4
B．
B
3
C
．
3
3
4
D
．
12
3
答案
2. 直三棱柱
ABC A
1
B
1
C
1
的各顶点都在同一球面上，若
AB AC
AA
1
2
,
BAC 120
，则此球的表面积等于
。
解 :在
ABC
中
AB
AC 2
,
BAC 120
,可得
BC
2 3
,由正弦定理
,可
得
ABC
外接圆半径
r=2,设此圆圆心为
O
，球心为
O
，在
RT OBO
中，易得球
半径
R 5
，故此球的表面积为
4 R 20
.
2
3．正三棱柱
ABC
A
1
B
1
C
1
内接于半径为
2
的球，若
A, B
两点的球面距离
为
，则正三棱
柱的体积为
．
答案
8
4. 表面积为
2 3
的正八面体的各个顶点都在同一个球面上， 则此球的
体积为
A．
2
B ．
1
2
C．
3
D．
22
3
3
3
答案
3a
4
2
A
【解析】 此正八面体是每个面的边长均为
a
的正三角形，所以由
8
2
3
知，
a 1
，则此球的直径为
2
，故选
A。
5. 已知正方体外接球的体积是
32
，那么正方体的棱长等于（
）
3
A.2
2
B.
2
3
3
C.
42
3
D.
4
3
3
答案
D
6. （2006 山东卷）
正方体的内切球与其外接球的体积之比为
A. 1∶
(
)
3
3
B. 1∶3
C. 1∶3
D. 1∶9
答案
C
7. （2008
海南、宁夏理科）一个六棱柱的底面是正六边
形，其侧棱垂直底面．已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且
该六棱柱的体积为 ，底面周长为
8
9
3，则这个球的体积为
．
答案
4
3
8. （2007
天津理?12）一个长方体的各顶点均在同一球的球面上， 且
一个顶点上的三条棱
的长分别为 1，2，3，则此球的表面积为
．
答案
14π
9.（2007
全国Ⅱ理?15）一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为
的球面上。如果正四
2 cm
棱柱的底面边长为 1
cm，那么该棱柱的表面积为
cm.
2
答案
2
4
2
10.（ 2006 辽宁） 如图，半径为
2 的半球内有一内接正六棱锥
P
ABCDEF
，则此正六棱
锥的侧面积是 ________．
P
C
B
D
E
答案
6 7
A
F
11. （辽宁省抚顺一中 2009
届高三数学上学期第一次月考 ）棱
长为 2 的正四面体的四个顶点都在同一个
球面上，若过该球球心的一个截面如图，则图中
三角形 ( 正四面体的截面 ) 的面积是
.
答案
2
12.（2009 枣庄一模）
一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体
外接球的表面积为
（
）
A．
3
C．
B．
2
16
3
D．以上都不对
答案 C
13.设正方体的棱长为
2
3
8
A．
B．2π
3
，则它的外接球的表面积为（
C．4π D．
）
4
3
3
答案 C
20 、人因为心里不快乐，才浪费，是一种补偿作用。
21 、我要你知道，在这个世界上总有一个人是等着你的，不管在什么时候，不管在什么地方，反正你
知道，总有这么个人。
22
、回忆这东西若是有气味的话，那就是樟脑的香，甜而稳妥，像记得分明的块乐，甜而怅惘，像忘却了的忧愁。
23
、对于三十岁以后的人来说，十年八年不过是指缝间的事，而对于年轻人而言，三年五年就可以是一生一世。
24 、一般的说来，活过半辈子的人，大都有一点真切的生活经验，一点独到的见解。他们从来没想到
把它写下来，事过境迁，就此湮没了。
25
、男人做错事，但是女人远兜远转地计划怎样做错事。女人不大想到未来——
同时也努力忘记她们的过去
——所以天晓得她们到底有什么可想的！
26 、男人憧
憬着一个女人的身体的时候，就关心到她的灵魂，自己骗自己说是爱上了她的灵魂。惟有占领了她的身体之后，他
才能够忘记她的灵魂。
27 、要是真的自杀，死了倒也就完了，生命却是比死更可怕的，生命可以无
限制地发展下去，变的更坏，更坏，比当初想象中最不堪的境界还要不堪。
28 、太大的衣服另有一种
特殊的诱惑性，走起路来，一波未平，一波又起，有人的地方是人在颤抖，无人的地方是衣服在颤抖，虚虚实实，
极其神秘。
29 、因为懂得，所以慈悲。
30 、这世上没有一样感情不是千疮百孔的
想
要忘记一段感情，方法永远只有一个：时间和新欢。要是时间和新欢也不能让你忘记一段感情，原因只有一个：时
间不够长，新欢不够好。
——张小娴《面包树上的女人》
假如没有遇上你，我会不会有另一种人生？不管有没有结果，我还是宁愿与你相逢。
——张小娴
只是希望能有个人，在我说没事的时候，知道我不是真的没事；能有个人
，在我强颜欢笑的时候，知道我不是真的开心。
——张小娴
有一些人，这辈子都不会在一起，但是有一种感觉却可以藏在心里，守一辈子
——张小娴
爱情是一百年的孤独，直到遇上那个矢志不渝的守护你的人，那一刻，所
有苦涩的孤独，都有了归途。
——张小娴《我终究是爱你的》
当你想念一
个人的时候，尽情去想念吧，也许有一天，你再也不会如此想念他了。到了那一天，你会想念曾经那么想念一个人
的滋味。当你爱一个人的时候，尽情去爱吧，也让他知道你
是如此爱他。也许有一天，当你长
大了，受过太多的伤，失望太多，思虑也多了，你再也不会那么炽烈地爱一个人。
——张小娴
我没有很刻意的去想念你，因为我知道，遇到了就应该感恩，路过了就需
要释怀。我只是在很多很多的小瞬间，想起你。比如一部电影，一首歌，一句歌词，一条马路和无数个闭上眼睛<
br>
的瞬间。
——张小娴《思念往昔》
最难过的，莫过于当
你遇上一个特别的人，却明白永远不可能在一起，或迟或早，你不得不放弃。
——张小娴《永不，永不说再见》
男人对女人的伤害，不一定是他爱上了别人，而是他在她有所期待的时候让她失望，在她脆弱
的时候没有扶她一把。