苗立杰-南昌理工学院分数线

2018年江苏省高考数学试卷



一、填空题 ：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题
卡相应位置上.

1．（5.00分）已知集合A={0，1，2，8}，B={﹣1，1，6，8}，那么A∩B= ．

2．（5.00分）若复数z满足i•z=1+2i，其中i是虚数单位，则z的实部为 ．

3．（5.00分）已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的分数的平均数为 ．


4．（5.00分）一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S的值
为 ．


5．（5.00分）函数f（x）=的定义域为 ．

6．（5.00分）某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活
动，则恰好选中 2名女生的概率为 ．

7．（5.00分）已知函数y=sin（2x+φ）（﹣
称，则φ的值为 ．

8．（5.00分）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线
右焦点F（c，0）到 一条渐近线的距离为
﹣=1（a＞0，b＞0）的
φ＜）的图象关于直线x=对
c，则 其离心率的值为 ．

9．（5.00分）函数f（x）满足f（x+4）=f（x） （x∈R），且在区间（﹣2，2]上，
第1页（共28页）

f（x）=，则f（f（15））的值为 ．

10．（5.00分）如图所 示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面
体的体积为 ．


11．（5.00分）若函数f（x）=2x
3
﹣ax
2
+1（a∈ R）在（0，+∞）内有且只有一个
零点，则f（x）在[﹣1，1]上的最大值与最小值的和为 ．

12．（5.00分）在平面直角坐标系xOy中，A为直线l：y=2x上在第一象限内 的点，
B（5，0），以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D．若
横坐标为 ．

13．（5.00分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC =120°，
∠ABC的平分线交AC于点D，且BD=1，则4a+c的最小值为 ．

14．（5.00分）已知集合A={x|x=2n﹣1，n∈N*}，B={x|x=2
n
，n∈N*}．将A∪B
的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{a
n
}，记S
n
为数列{a
n
}的前n项和，
则使得S
n
＞12a
n
+
1
成立的n的最小值为 ．



二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时
应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15．（14.00分）在平行六面体AB CD﹣A
1
B
1
C
1
D
1
中，AA
1
=AB，AB
1
⊥B
1
C
1
．

求证：（1）AB∥平面A
1
B
1
C；

（2）平 面ABB
1
A
1
⊥平面A
1
BC．

=0，则点A的
第2页（共28页）

16．（14.00分）已知α，β为锐角，tanα=，cos（α+β）=﹣
（1）求cos2α 的值；

（2）求tan（α﹣β）的值．

．

17．（ 14.00分）某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O的一段圆弧
（P为此圆弧的中点）和线段 MN构成．已知圆O的半径为40米，点P到MN
的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚 ，大棚Ⅰ内的地块形状为
矩形ABCD，大棚Ⅱ内的地块形状为△CDP，要求A，B均在线段MN上， C，D
均在圆弧上．设OC与MN所成的角为θ．

（1）用θ分别表示矩形ABCD和△CDP的面积，并确定sinθ的取值范围；

（2）若大棚I内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的
单位面积年产值之比为4 ：3．求当θ为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产
值最大．


18．（ 16.00分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C过点（
F
1
（﹣，0），F
2
（，0），圆O的直径为F
1
F
2
．

），焦点
（1）求椭圆C及圆O的方程；

（2）设直线l与圆O相切于第一象限内的点P．

①若直线l与椭圆C有且只有一个公共点，求点P的坐标；

②直线l与椭圆C交于A，B两点．若△OAB的面积为，求直线l的方程．

第3页（共28页）

19．（16.00分 ）记f′（x），g′（x）分别为函数f（x），g（x）的导函数．若存在
x
0
∈ R，满足f（x
0
）=g（x
0
）且f′（x
0
）=g′（ x
0
），则称x
0
为函数f（x）与g（x）
的一个“S点”．
（1）证明：函数f（x）=x与g（x）=x
2
+2x﹣2不存在“S点”；

（2）若函数f（x）=ax
2
﹣1与g（x）=lnx存在“S点”，求 实数a的值；

（3）已知函数f（x）=﹣x
2
+a，g（x）=．对任意 a＞0，判断是否存在b＞0，
使函数f（x）与g（x）在区间（0，+∞）内存在“S点”，并说明 理由．

20．（16.00分）设{a
n
}是首项为a
1
，公差为d的等差数列，{b
n
}是首项为b
1
，公
比为q的等比数 列．

（1）设a
1
=0，b
1
=1，q=2，若|an
﹣b
n
|≤b
1
对n=1，2，3，4均成立，求d的取值范围；

（2）若a
1
=b
1
＞0，m∈N*，q∈ （1，]，证明：存在d∈R，使得|a
n
﹣b
n
|≤
b
1
对n=2，3，…，m+1均成立，并求d的取值范围（用b
1
，m，q表示）．


数学Ⅱ（附加题）【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中 两小题，
并在相应的答题区域内作答.若多做，则按作答的前两小题评分.解答时应写出文
字说 明、证明过程或演算步骤.A.[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）

21． （10.00分）如图，圆O的半径为2，AB为圆O的直径，P为AB延长线上一
点，过P作圆O的切 线，切点为C．若PC=2，求BC的长．

第4页（共28页）

B.[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）

22．（10.00分）已 知矩阵A=
（1）求A的逆矩阵A
﹣
1
；

（2）若点P在矩阵A对应的变换作用下得到点P′（3，1），求点P的坐标．



C.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分0分）

23．在极坐标系中，直线l的方程为ρsin（
求直线l被曲线C截得的弦长．



D.[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）

24． 若x，y，z为实数，且x+2y+2z=6，求x
2
+y
2
+z
2
的最小值．



【必做题】第25题、第26题，每题10分，共 计20分.请在答题卡指定区域内
作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
25．如图，在正三棱柱ABC﹣A
1
B
1
C
1
中，A B=AA
1
=2，点P，Q分别为A
1
B
1
，BC的
中点．

（1）求异面直线BP与AC
1
所成角的余弦值；

（2）求直线CC
1
与平面AQC
1
所成角的正弦值．

﹣θ）=2，曲线C的方程为ρ=4cosθ，
．

第5页（共28页）

26．设n∈N
*
，对1，2，…… ，n的一个排列i
1
i
2
……i
n
，如果当s＜t时，有i
s
＞i
t
，
则称（i
s
，i
t
） 是排列i
1
i
2
……i
n
的一个逆序，排列i
1< br>i
2
……i
n
的所有逆序的总个数称为
其逆序数．例如：对1 ，2，3的一个排列231，只有两个逆序（2，1），（3，1），
则排列231的逆序数为2．记f
n
（k）为1，2，…，n的所有排列中逆序数为k的
全部排列的个数．

（1）求f
3
（2），f
4
（2）的值；

（2）求f
n
（2）（n≥5）的表达式（用n表示）．



第6页（共28页）

2018年江苏省高考数学试卷

参考答案与试题解析



一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题
卡相应位置上 .

1．（5.00分）已知集合A={0，1，2，8}，B={﹣1，1，6，8}，那么A∩B= {1，
8} ．

【分析】直接利用交集运算得答案．

【解答】解：∵A={0，1，2，8}，B={﹣1，1，6，8}，

∴A∩B={0，1，2，8}∩{﹣1，1，6，8}={1，8}，

故答案为：{1，8}．

【点评】本题考查交集及其运算，是基础的计算题．



2．（5.00分）若复数z满足i•z=1+2i，其中i是虚数单位，则z的实部为 2 ．

【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．

【解答】解：由i•z=1+2i，

得z=
∴z的实部为2．

故答案为：2．

【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．



3．（5.00分）已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5
位裁判打出的分数的平均数为 90 ．

，


【分析】根据茎叶图中的数据计算它们的平均数即可．

【解答】解：根据茎叶图中的数据知，

这5位裁判打出的分数为89、89、90、91、91，

第7页（共28页）

它们的平均数为×（89+89+90+91+91）=90．

故答案为：90．

【点评】本题考查了利用茎叶图计算平均数的问题，是基础题．



4．（5.00分）一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S的值为
8 ．


【分析】模拟程序的运行过程，即可得出程序运行后输出的S值．

【解答】解：模拟程序的运行过程如下；

I=1，S=1，

I=3，S=2，

I=5，S=4，

I=7，S=8，

此时不满足循环条件，则输出S=8．

故答案为：8．

【点评】本题考查了程序语言的应用问题，模拟程序的运行过程是解题的常用方
法．



5．（5.00分）函数f（x）=的定义域为 [2，+∞） ．

【分析】解关于对数函数的不等式，求出x的范围即可．

【解答】解：由题意得：
解得：x≥2，

∴函数f（x）的定义域是[2，+∞）．

第8页（共28页）

≥1，

故答案为：[2，+∞）．

【点评】本题考查了对数函数的性质，考查求函数的定义域问题，是一道基础题．



6．（5.00分）某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活
动，则恰好选中2名女生的概率为 0.3 ．

【分析】（适合理科生）从2名男同学和3 名女同学中任选2人参加社区服务，
共有C
5
2
=10种，其中全是女生的有 C
3
2
=3种，根据概率公式计算即可，

（适合文科生），设2名 男生为a，b，3名女生为A，B，C，则任选2人的种数
为ab，aA，aB，aC，bA，bB，B c，AB，AC，BC共10种，其中全是女生为AB，
AC，BC共3种，根据概率公式计算即可
【解答】解：（适合理科生）从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服
务，

共有C
5
2
=10种，其中全是女生的有C
3
2
= 3种，

故选中的2人都是女同学的概率P==0.3，

（适合文科生），设2名男生为a，b，3名女生为A，B，C，

则任选2人的种数 为ab，aA，aB，aC，bA，bB，Bc，AB，AC，BC共10种，

其中全是女生为AB，AC，BC共3种，

故选中的2人都是女同学的概率P=
故答案为：0.3

【点评】本题考查了古典概率的问题，采用排列组合或一一列举法，属于基础题．



7．（5.00分）已知函数y=sin（2x+φ）（﹣
称，则φ的值为 ．

φ＜）的图象关于直线x=对
=0.3，

【分析】根据正弦函数的对称性建立方程关系进行求解即可．

【解答】解：∵y=sin（2x+φ）（﹣
∴2×+φ=kπ+
，

第9页（共28页）

φ＜）的图象关于直线x=对称，

，k∈Z，

即φ=kπ﹣

∵﹣φ＜，

，

∴当k=0时，φ=﹣
故答案为：﹣．

【点评】本题 主要考查三角函数的图象和性质，利用正弦函数的对称性建立方程
关系是解决本题的关键．



8．（5.00分）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线
右焦点F（c ，0）到一条渐近线的距离为
﹣=1（a＞0，b＞0）的
c，则其离心率的值为 2 ．

【分析】利用双曲线的简单性质，以及点到直线的距离列出方程，转化求解即可．

【解答】解：双曲线
y=x的距离为c，

=1（a＞0，b＞0）的右焦点F（c，0）到一条渐近线
可得：=b=，

可得，即c=2a，

．

所以双曲线的离心率为：e=
故答案为：2．

【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．



9．（5.00分）函数f（x）满足f（x+4）=f（x）（x∈R），且在区间（﹣2 ，2]上，
f（x）=，则f（f（15））的值为 ．

【分析】根据函数的周期性，进行转化求解即可．

【解答】解：由f（x+4）=f（x）得函数是周期为4的周期函数，

第10页（共28页）

则f（15）=f（16﹣1）=f（﹣1）=|﹣1+|=，

f（）=cos（
即f（f（15））=
故答案为：

）=cos
，

=，

【点评】本题主要考查函数值的计算 ，根据函数的周期性结合分段函数的表达式
利用转化法是解决本题的关键．



10．（5.00分）如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面
体的体积为 ．


【分析】求出多面体中的四边形的面积，然后利用体积公式求解即可．

【解答】解： 正方体的棱长为2，中间四边形的边长为：
八面体看做两个正四棱锥，棱锥的高为1，

多面体的中心为顶点的多面体的体积为：2×
故答案为：．

=．

，


【点评】本题考查几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．



11．（5.00分）若函数f（x）=2x
3
﹣ax
2
+1（a∈R）在（0，+∞）内有且只有一个
零点，则f（x）在[﹣1，1]上的最大值与最小值的 和为 ﹣3 ．

第11页（共28页）

【分 析】推导出f′（x）=2x（3x﹣a），x∈（0，+∞），当a≤0时，f′（x）=2x（3x
﹣a）＞0，f（0）=1，f（x）在（0，+∞）上没有零点；当a＞0时，f′（x）=2x
（3 x﹣a）＞0的解为x＞，f（x）在（0，）上递减，在（，+∞）递增，由
f（x）只有一个零点， 解得a=3，从而f（x）=2x
3
﹣3x
2
+1，f′（x）=6x（x﹣ 1），x
∈[﹣1，1]，利用导数性质能求出f（x）在[﹣1，1]上的最大值与最小值的和．
【解答】解：∵函数f（x）=2x
3
﹣ax
2
+1（a∈R ）在（0，+∞）内有且只有一个零
点，

∴f′（x）=2x（3x﹣a），x∈（0，+∞），

①当a≤0时，f′（x）=2x（3x﹣a）＞0，

函数f（x）在（0，+∞） 上单调递增，f（0）=1，f（x）在（0，+∞）上没有零
点，舍去；

②当a＞0时，f′（x）=2x（3x﹣a）＞0的解为x＞，

∴f（x）在（0，）上递减，在（，+∞）递增，

又f（x）只有一个零点，

∴f（）=﹣+1=0，解得a=3，

f（x）=2x
3
﹣3x
2
+1，f′（x）=6x（x﹣1），x∈[﹣ 1，1]，

f′（x）＞0的解集为（﹣1，0），

f（x）在（﹣1，0）上递增，在（0，1）上递减，

f（﹣1）=﹣4，f（0）=1，f（1）=0，

∴f（x）
min=f（﹣1）=﹣4，f（x）
max
=f（0）=1，

∴f（x）在[﹣1，1]上的最大值与最小值的和为：

f（x）
max
+f（x）
min
=﹣4+1=﹣3．
< br>【点评】本题考查函数的单调性、最值，导数的运算及其应用，同时考查逻辑思
维能力和综合应用 能力，是中档题．



12．（5.00分）在平面直角坐标系xOy中， A为直线l：y=2x上在第一象限内的点，
B（5，0），以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D ．若
横坐标为 3 ．

第12页（共28页）

=0，则点A的

【分析】设A（a，2a），a＞0，求出C的坐标 ，得到圆C的方程，联立直线方程
与圆的方程，求得D的坐标，结合
【解答】解：设A（a，2 a），a＞0，

∵B（5，0），∴C（，a），

=0求得a值得答案．

则圆C的方程为（x﹣5）（x﹣a）+y（y﹣2a）=0．

联立
∴
解得：a=3或a=﹣1．

又a＞0，∴a=3．

即A的横坐标为3．

故答案为：3．

【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查圆的方程的求法，是中档题．



13．（5.00分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC= 120°，
∠ABC的平分线交AC于点D，且BD=1，则4a+c的最小值为 9 ．

【分析】根据面积关系建立方程关系，结合基本不等式1的代换进行求解即可．

【解答】解：由题意得acsin120°=asin60°+csin60°，

即ac=a+c，

得+=1，

得4a+c=（4a+c）（+） =+
当且仅当=
+5≥2+5=4+5=9，

，解得D（1，2）．

=．

，即c=2a时，取等号，

故答案为：9．

【点评】本题主要考查基本不等式的应用，利用1的代换结合基本不 等式是解决
本题的关键．



14．（5.00分）已知集合A= {x|x=2n﹣1，n∈N*}，B={x|x=2
n
，n∈N*}．将A∪B
的所 有元素从小到大依次排列构成一个数列{a
n
}，记S
n
为数列{a
n
}的前n项和，
第13页（共28页）

则使得S
n
＞12a
n
+
1
成立的n的最小值为 27 ．

【分析】采用列举法，验证n=26，n=27即可．

【解答】 解：利用列举法可得：当n=26时，A∪B中的所有元素从小到大依次排
列，构成一个数列{a
n
}，

所以数列{a
n
}的前26项分别1，3，5，7，9， 11，13，15，17，19，21，23.25，…41，
2，4，8，16，32．
< br>S
26
=，a
27
=43，⇒12a
27
=516， 不符合题意．

当n=27时，A∪B中的所有元素从小到大依次排列，构成一个数列{an
}，

所以数列{a
n
}的前26项分别1，3，5，7，9 ，11，13，15，17，19，21，23.25，…41，
43，2，4，8，16，32．
S
27
=
故答案为：27．

【点评】本题考查了集合、数列的求和，属于中档题．



二、解 答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时
应写出文字说明、证明过程或 演算步骤.

15．（14.00分）在平行六面体ABCD﹣A
1
B
1
C
1
D
1
中，AA
1
=AB，AB
1
⊥B
1
C
1
．

求证：（1）AB∥平面A
1
B
1
C；

（2）平 面ABB
1
A
1
⊥平面A
1
BC．

=5 46，a
28
=45⇒12a
28
=540，符合题意，


【分析】（1）由 ⇒AB∥平面A
1
B
1
C；
（2）可得四边形ABB
1
A
1
是菱形，AB
1
⊥A< br>1
B，

由AB
1
⊥B
1
C
1⇒AB
1
⊥BC⇒AB
1
⊥面A
1
BC，⇒平面ABB
1
A
1
⊥平面A
1
BC．

第14页（共28页）

【解答】证明：（1）平行六面 体ABCD﹣A
1
B
1
C
1
D
1
中，AB ∥A
1
B
1
，

AB∥A
1
B
1
，AB⊄平面A
1
B
1
C，A
1
B< br>1
⊂∥平面A
1
B
1
C⇒AB∥平面A
1
B
1
C；

（2）在平行六面体ABCD﹣A
1
B
1
C
1
D
1
中，AA
1
=AB，⇒四边形ABB1
A
1
是菱形，⊥
AB
1
⊥A
1
B．

在平行六面体ABCD﹣A
1
B
1
C
1
D
1
中，AA
1
=AB，AB
1
⊥B
1
C
1
⇒AB
1
⊥BC．

∴

⇒AB
1
⊥面A
1
BC，且AB
1
⊂平面ABB
1
A< br>1
⇒平面ABB
1
A
1
⊥平面A
1
BC．< br>
【点评】本题考查了平行六面体的性质，及空间线面平行、面面垂直的判定，属
于中档 题．



16．（14.00分）已知α，β为锐角，tanα=，cos （α+β）=﹣
（1）求cos2α的值；

（2）求tan（α﹣β）的值．

【分析】（1）由已知结合平方关系求得sinα ，cosα的值，再由倍角公式得cos2α
的值；

（2）由（1）求得tan2α ，再由cos（α+β）=﹣求得tan（α+β），利用tan（α
．

﹣β）=tan[2α﹣（α+β）]，展开两角差的正切求解．

【解答】解：（1）由，解得，

∴cos2α=
（2）由（1）得，sin 2
∵α，β∈（0，
∴sin（α+β）=
则tan（α+β）=
；

，则tan2α=．

），∴α+β∈（0，π），

=
．

第15页（共28页）
．

∴tan（α﹣β）=tan[2α﹣（α+β）]==．

【点评】本题考查三角函数的恒等变换及化简求值，考查同角三角函数基本关系
式的应用，是中档题．



17．（14.00分）某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆 O的一段圆弧
（P为此圆弧的中点）和线段MN构成．已知圆O的半径为40米，点P到MN
的 距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为
矩形ABCD，大棚Ⅱ内的 地块形状为△CDP，要求A，B均在线段MN上，C，D
均在圆弧上．设OC与MN所成的角为θ．< br>
（1）用θ分别表示矩形ABCD和△CDP的面积，并确定sinθ的取值范围；

（2）若大棚I内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的
单位面积年产值 之比为4：3．求当θ为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产
值最大．


【分析】（1）根据图形计算矩形ABCD和△CDP的面积，求出sinθ的取值范围；

（2）根据题意求出年总产值y的解析式，构造函数f（θ），

利用导数求f（θ）的最大值，即可得出θ为何值时年总产值最大．

【解答】解：（ 1）S
矩形
ABCD
=（40sinθ+10）•80cosθ

=800（4sinθcosθ+cosθ），

S
△
CDP
=•80cosθ（40﹣40sinθ）

=1600（cosθ﹣cosθsinθ），

当B、N重合时，θ最小，此时sinθ=；

当C、P重合时，θ最大，此时sinθ=1，

∴sinθ的取值范围是[，1）；

（2）设年总产值为y，甲种蔬菜单位面积年产 值为4t，乙种蔬菜单位面积年产
第16页（共28页）

值为3t，

则y=3200t（4sinθcosθ+cosθ）+4800t（c osθ﹣cosθsinθ）

=8000t（sinθcosθ+cosθ），其中sinθ∈[，1）；

设f（θ）=sinθcosθ+cosθ，

则f′（θ）=cos
2
θ﹣sin
2
θ﹣sinθ

=﹣2sin
2
θ﹣sinθ+1；

令f′（θ）=0，解得sinθ=，此时θ=，cosθ=；

当sinθ∈[，）时，f′（θ）＞0，f（θ）单调递增；

当sinθ∈[，1）时，f′（θ）＜0，f（θ）单调递减；

∴θ=时，f（θ）取得最大值，即总产值y最大．

答：（1）S
矩形ABCD
=800（4sinθcosθ+cosθ），

S
△
CDP
=1600（cosθ﹣cosθsinθ），

sinθ∈[，1）；

θ=时总产值y最大．

【点评】本题考查 了解三角形的应用问题，也考查了构造函数以及利用导数求函
数的最值问题，是中档题．



18．（16.00分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C过点（
F
1
（﹣，0），F
2
（，0），圆O的直径为F
1
F< br>2
．

），焦点
（1）求椭圆C及圆O的方程；

（2）设直线l与圆O相切于第一象限内的点P．

①若直线l与椭圆C有且只有一个公共点，求点P的坐标；

②直线l与椭圆C交于A，B两点．若△OAB的面积为，求直线l的方程．

第17页（共28页）

【分析】（1）由题意可得
即可．

．，又a
2
﹣b
2
=c
2
=3，解得a=2，b=1
（2）①可设直线l的方程为y=kx+m，（k＜0，m＞0）．可得．

由，可得（4k< br>2
+1）x
2
+8kmx+4m
2
﹣4=0，△=（8km）
2
﹣4（4k
2
+1）
，m=3．即可

（4m< br>2
﹣4）=0，解得k=﹣
②设A（x
1
，y
1
）， B（x
2
，y
2
），联立直线与椭圆方程得（4k
2
+1） x
2
+8kmx+4m
2
﹣
4=0，

O到直线 l的距离d=
△
S=
解得k=﹣，（正值舍去），m=3
OAB
，| AB|=
的
=
．即可

，

．

|x
2
﹣x
1
|=
面积
=，

，

为
【解答】解：（1）由题意可设椭圆方程为
∵焦点F
1
（﹣
∵∴
，0），F
2
（，0），∴
，又a
2< br>﹣b
2
=c
2
=3，

解得a=2，b=1．

∴椭圆C的方程为：，圆O的方程为：x
2
+y
2
=3．

（2）①可知直线l与圆O相切，也与椭圆C，且切点在第一象限，

第18页（共28页）

∴可设直线l的方程为y=kx+m，（k＜0，m＞0）．

由圆心（0，0）到直线l的距离等于圆半径，可得．

由，可得（4k
2< br>+1）x
2
+8kmx+4m
2
﹣4=0，

△=（ 8km）
2
﹣4（4k
2
+1）（4m
2
﹣4）=0，
可得m
2
=4k
2
+1，∴3k
2
+3=4 k
2
+1，结合k＜0，m＞0，解得k=﹣
将k=﹣
解得x=
，m =3代入可得
．

，

，m=3．

，y=1，故 点P的坐标为（
②设A（x
1
，y
1
），B（x
2
，y
2
），

由⇒k＜﹣．

联立直线与椭圆方程得（4k
2
+1）x
2
+8kmx+4m
2
﹣4=0，

|x
2
﹣x
1
|==，

O到直线l的距离d=，

|AB|=
△
S=
解得k=﹣< br>∴y=﹣
|x
2
﹣x
1
|=
OAB的
=，（正值舍去），m=3
为所求．

．

，

面积
=，

为
【点评】本题考查了椭圆的方程，直线与圆、椭圆的位置关系，属于中档题．



19．（16.00分）记f′（x），g′（x）分别为函数f（x），g（x ）的导函数．若存在
第19页（共28页）

x
0
∈R，满足f（x
0
）=g（x
0
）且f′（x
0
）=g′（x
0
），则称x
0
为函数f（x）与g（x）
的一个“ S点”．

（1）证明：函数f（x）=x与g（x）=x
2
+2x﹣2不存 在“S点”；

（2）若函数f（x）=ax
2
﹣1与g（x）=lnx存在 “S点”，求实数a的值；

（3）已知函数f（x）=﹣x
2
+a，g（x ）=．对任意a＞0，判断是否存在b＞0，
使函数f（x）与g（x）在区间（0，+∞）内存在“S 点”，并说明理由．

【分析】（1）根据“S点”的定义解两个方程，判断方程是否有解即可；

（2）根据“S点”的定义解两个方程即可；

（3）分别求出两个函数的导数，结合两个方程之间的关系进行求解判断即可．

【解答】解：（1）证明：f′（x）=1，g′（x）=2x+2，

则由定义得
点”；

（2）f′（x）=2ax，g′（x）=，x＞0，

由f′（x）=g′（x）得=2ax，得x=
f（）=﹣=g（
，

，得方程无解，则f（x）=x与g（x）=x
2
+2x﹣2不存在“S
）=﹣ln a2，得a=；

，（x≠0），

（3）f′（x）=﹣2x，g′（x） =
由f′（x
0
）=g′（x
0
），假设b＞0，得b=﹣＞0，得 0＜x
0
＜1，

由f（x
0
）=g（x
0
），得﹣x
0
2
+a=
令h（x）=x
2
﹣﹣a=
=﹣，得a=x
0
2
﹣
，（a＞0，0＜x＜1），

，

设m（x）=﹣x
3
+3x
2
+ax﹣a，（ a＞0，0＜x＜1），

则m（0）=﹣a＜0，m（1）=2＞0，得m（0）m（1）＜0，

又m（x）的图象在（0，1）上连续不断，

则m（x）在（0，1）上有零点，

则h（x）在（0，1）上有零点，

第20页（共28页）

则存在b＞0，使f（x）与g（x）在区间（0，+∞）内存在“S”点．

【点评 】本题主要考查导数的应用，根据条件建立两个方程组，判断方程组是否
有解是解决本题的关键．



20．（16.00分）设{a
n
}是首项为a
1
，公差为d的等差数列，{b
n
}是首项为b
1
，公
比为q 的等比数列．

（1）设a
1
=0，b
1
=1，q=2，若 |a
n
﹣b
n
|≤b
1
对n=1，2，3，4均成立，求d 的取
值范围；

（2）若a
1
=b
1
＞0，m∈N *，q∈（1，]，证明：存在d∈R，使得|a
n
﹣b
n
|≤
b< br>1
对n=2，3，…，m+1均成立，并求d的取值范围（用b
1
，m，q表示 ）．

【分析】（1）根据等比数列和等差数列的通项公式，解不等式组即可；
（2）根据数列和不等式的关系，利用不等式的关系构造新数列和函数，判断数
列和函数的单调性和 性质进行求解即可．

【解答】解：（1）由题意可知|a
n
﹣b
n
|≤1对任意n=1，2，3，4均成立，

∵a
1
=0，q=2，

∴，解得．即≤d≤．

证明：（2）∵a
n
=a
1
+（n﹣1）d，b
n
=b1
•q
n
﹣
1
，

若存在d∈R，使得|a< br>n
﹣b
n
|≤b
1
对n=2，3，…，m+1均成立，

则|b
1
+（n﹣1）d﹣b
1
•q
n
﹣1
|≤b
1
，（n=2，3，…，m+1），

即b
1
≤d≤，（n=2，3，…，m+1），

∵q∈（1，]， ∴则1＜q
n
﹣
1
≤q
m
≤2，（n=2，3，…，m+1 ），

∴b
1
≤0，＞0，

因此取d=0时，|a
n
﹣b
n
|≤b
1
对n=2，3，…，m+1均成立，

下面讨论数列{

}的最大值和数列{}的最小值，

第21页（共28页）

①当2≤n≤m时，﹣==，

当1＜q≤时，有q
n
≤q
m
≤2，

从而n（q
n
﹣q
n
﹣
1
）﹣q
n
+2＞0，

因此当2≤n≤m+1时，数列{}单调递增，

故数列{}的最大值为．

②设f（x）=2
x
（1﹣x），当x＞ 0时，f′（x）=（ln2﹣1﹣xln2）2
x
＜0，

∴f（x）单调递减，从而f（x）＜f（0）=1，

当2≤n≤m时，=≤（1﹣）=f（）＜1，

因此当2≤n≤m+1时，数列{}单调递递减，

故数列{}的最小值为，

∴d的取值范围是d∈[，]．

【点评】本题主要考查等比数列和等差数列以及不等 式的综合应用，考查学生的
运算能力，综合性较强，难度较大．



数学Ⅱ（附加题）【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两小题，
并在相应的答题区 域内作答.若多做，则按作答的前两小题评分.解答时应写出文
字说明、证明过程或演算步骤.A.[选 修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）

21．（10.00分）如图，圆O的半径 为2，AB为圆O的直径，P为AB延长线上一
点，过P作圆O的切线，切点为C．若PC=2，求BC 的长．

第22页（共28页）

【 分析】连接OC，由题意，CP为圆O的切线，得到垂直关系，由线段长度及勾
股定理，可以得到PO的 长，即可判断△COB是等边三角形，BC的长．

【解答】解：连接OC，

因为PC为切线且切点为C，

所以OC⊥CP．

因为圆O的半径为2，
所以BO=OC=2，
所以，

，

，

所以∠COP=60°，

所以△COB为等边三角形，

所以BC=BO=2．

【点评】本 题主要考查圆与直线的位置关系，切线的应用，考查发现问题解决问
题的能力．



B.[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）

22．（10. 00分）已知矩阵A=
（1）求A的逆矩阵A
﹣
1
；

（2）若点P在矩阵A对应的变换作用下得到点P′（3，1），求点P的坐标．

【分析】（1）矩阵A=
阵A
﹣
1
．

（2）设P （x，y），通过
【解答】解：（1）矩阵A=
•=，求出=，即可得到点P的坐标．

，求出det（A）=1≠0，A可逆，然后求解A的逆矩
．

，det（A）=2×2﹣1×3=1≠0，所以A可逆，

第23页（共28页）

从而：A的逆矩阵A
1
=
（2）设P（ x，y），则•
﹣
．

=，所以=A
﹣
1
=，

因此点P的坐标为（3，﹣1）．

【点评】本题矩阵与逆矩阵的关系，逆矩阵的求法 ，考查转化思想的应用，是基
本知识的考查．



C.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分0分）

23．在极坐标系中，直线l的方程为ρsin（
求直线l被曲线C截得的弦长．
< br>【分析】将直线l、曲线C的极坐标方程利用互化公式可得直角坐标方程，利用
直线与圆的相交弦 长公式即可求解．

【解答】解：∵曲线C的方程为ρ=4cosθ，∴ρ
2
=4ρcosθ，⇒x
2
+y
2
=4x，

∴曲线C是圆心为C（2，0），半径为r=2得圆．

∵直线l的方程为ρsin（﹣θ）=2，∴
y=4．

，

．

﹣=2，

﹣θ）=2，曲线C的方程为ρ=4cosθ，∴直线l的普通方程为：x﹣
圆心C到直线l的距离为d=
∴直线l被曲线C截得的弦长为 2
【点评】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、直线与圆的相交弦长关系、
点到直线的距 离公式，属于中档题．



D.[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）

24．若x，y，z为实数， 且x+2y+2z=6，求x
2
+y
2
+z
2
的最小值．< br>
【分析】根据柯西不等式进行证明即可．

【解答】解：由柯西不等式得（x
2
+y
2
+z
2
）（1
2
+2
2
+2
2
）≥（x+2y+2z）
2
，

∵x+2y +2z=6，∴x
2
+y
2
+z
2
≥4

是当且仅当时，不等式取等号，此时x=，y=，z=，

∴x
2
+y
2
+z
2
的最小值为4

第24页（共28页）

【点评】本题主要考查不等式的证明，利用柯西不等式是解决本题的关键．，



【必做题】第25题、第26题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内
作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

25．如图，在正三棱柱ABC﹣A< br>1
B
1
C
1
中，AB=AA
1
=2，点P， Q分别为A
1
B
1
，BC的
中点．

（1）求异面直线BP与AC
1
所成角的余弦值；

（2）求直线CC
1
与平面AQC
1
所成角的正弦值．


【分析】设AC，A
1
C
1
的中点分别为O，O
1
，以{
间直角坐标系O﹣xyz，

（1）由|cos
值；

|=
}为基底，建立空
可得异面直 线BP与AC
1
所成角的余弦
（2）求得平面AQC
1
的一个法向量 为，设直线CC
1
与平面AQC
1
所成角的正弦值
为θ，

可得sinθ=|cos
的正弦值．

【解答】解：如图，在正三棱柱ABC ﹣A
1
B
1
C
1
中，

设AC，A
1
C
1
的中点分别为O，O
1
，

则，OB⊥OC，OO
1
⊥OC，OO
1
⊥OB，

第25页（共28页）

|=，即可得直线CC
1
与平面AQC< br>1
所成角

故以{}为基底，

建立空间直角坐标系O﹣xyz，

∵AB=AA
1
=2，A（0， ﹣1，0），B（
C（0，1，0），

A
1
（0，﹣1，2），B
1
（，0，2），C
1
（0，1，2）．

，

．

==
；

）

，

．

，0，0），

（1）点P为A
1
B
1
的中点．∴
∴
|cos|=
，
∴异面直线BP与AC
1< br>所成角的余弦值为：
（2）∵Q为BC的中点．∴Q（
∴，
设平面AQC
1
的一个法向量为=（x，y，z），

由，可取=（，﹣1，1），

设直线CC
1
与平面AQC
1
所成角的正弦值为θ，

sinθ=|cos|==
．

，

∴直线CC
1
与平面AQC
1
所成角的正弦值为
第26页（共28页）

【点评】本题考查了向量法求空间角，属于中档题．



26．设n∈N
*
，对1，2，……，n的一个排列i
1
i
2
……i
n
，如果当s＜t时，有i
s
＞i< br>t
，
则称（i
s
，i
t
）是排列i
1
i
2
……i
n
的一个逆序，排列i
1
i
2
……i
n
的所有逆序的总个数称为
其逆序数．例如：对1，2，3的一个排列231 ，只有两个逆序（2，1），（3，1），
则排列231的逆序数为2．记f
n
（k） 为1，2，…，n的所有排列中逆序数为k的
全部排列的个数．

（1）求f
3
（2），f
4
（2）的值；

（2）求f
n
（2）（n≥5）的表达式（用n表示）．

【分析】 （1）由题意直接求得f
3
（2）的值，对1，2，3，4的排列，利用已有的
1，2 ，3的排列，将数字4添加进去，4在新排列中的位置只能是最后三个位置，
由此可得f
4（2）的值；

（2）对一般的n（n≥4）的情形，可知逆序数为0的排列只有一个，逆 序数为1
的排列只能是将排列12…n中的任意相邻两个数字调换位置得到的排列，f
n
（1）
=n﹣1．

为计算f
n
+
1
（2），当 1，2，…，n的排列及其逆序数确定后，将n+1添加进原排
列，n+1在新排列中的位置只能是最后 三个位置，可得f
n
+
1
（2）=f
n
（2）+f
n
（1）
+f
n
（0）=f
n
（2）+n，则当n≥5时， f
n
（2）=[f
n
（2）﹣f
n
﹣
1
（ 2）]+[f
n
﹣
1
（2）﹣
f
n
﹣
2< br>（2）]+…+[f
5
（2）﹣f
4
（2）]+f
4
（2），则f
n
（2）（n≥5）的表达式可求．

【解答】解：（1）记μ （abc）为排列abc得逆序数，对1，2，3的所有排列，
第27页（共28页）

有

μ（123）=0，μ（132）=1，μ（231）=2，μ（321）=3，

∴ f
3
（0）=1，f
3
（1）=f
3
（2）=2，

对1，2，3，4的排列，利用已有的1，2，3的排列，将数字4添加进去，4在
新排列中的 位置只能是最后三个位置．

因此，f
4
（2）=f
3
（2 ）+f
3
（1）+f
3
（0）=5；

（2）对一般的n（ n≥4）的情形，逆序数为0的排列只有一个：12…n，∴f
n
（0）
=1．

逆序数为1的排列只能是将排列12…n中的任意相邻两个数字调换位置得到的排
列，f< br>n
（1）=n﹣1．

为计算f
n
+
1
（2 ），当1，2，…，n的排列及其逆序数确定后，将n+1添加进原排
列，n+1在新排列中的位置只能 是最后三个位置．

因此，f
n
+
1
（2）=f
n
（2）+f
n
（1）+f
n
（0）=f
n
（2）+ n．

当n≥5时，f
n
（2）=[f
n
（2）﹣f
n
﹣
1
（2）]+[f
n
﹣
1
（2）﹣f
n
﹣
2
（2）]+…+[f
5
（2）
﹣f
4（2）]+f
4
（2）

=（n﹣1）+（n﹣2）+…+4+f
4
（2）=
因此，当n≥5时，f
n
（2）=．

．

【点评】本题主要考查计数原理、排列等基础知识，考查运算求解能力和推理论< br>证能力，是中档题．



第28页（共28页）