小荷网-闽南科技学院

2017
年河南省平顶山市高考数学一模试卷（理科）



一．选择题：本大题共
12
小题，每小题
5
分，在每小题 给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的．

1
．若集合
A=
{
x
||
x
|＜
1
}，
B=
{
x
|≥
1
}，则
A
∪
B=
（ ）

A
．（﹣
1
，
1
]
B
．[﹣
1
，
1
]
C
．（
0
，
1
）
D
．（﹣∞，
1
]

2
．若复数（
1
+< br>2i
）（
1
+
ai
）是纯虚数（
i
为虚数单 位），则实数
a
的值是（ ）

A
．﹣
2 B
．
C
．﹣
D
．
2

3
．某几何体的三视图如图所示，它的表面积为（ ）


A
．
66π B
．
51π C
．
48π D
．
33π

4
．下列说法正确的是（ ）

A
．
“
∀
x
∈
R
，
e
x
＞
0”
的否定是
“
∃
x
∈
R
，使
e
x
＞
0”

B
．若
x
+
y
≠
3
（
x
，
y
∈
R
），则
x< br>≠
2
或
y
≠
1

C
．
“x
2
+
2x
≥
ax
（
1
≤
x
≤
2
）恒成立
”
等价于
“
（
x
2
+
2x
）
min
≥（
ax
）
max
（< br>1
≤
x
≤
2
）
”

D
．< br>“
若
a=
﹣
1
，则函数
f
（
x）
=ax
2
+
2x
﹣
1
只有一个零点
”
的逆命题为真命题


5
．已知向量
=
（
1
，﹣
2
），
=
（
1
，
1
），
mab
，
=
+
λ
，如果
mn
，那么实数
λ=
（ ）

A
．
4 B
．
3 C
．
2 D
．
1

≤
a
恒成立，则实数
a
的取值范围为（ ）

D
．
a
≤

6
．若对于任意的
x
＞
0
，不等式
A
．
a
≥
B
．
a
＞
C
．
a
＜

7
．甲袋中装有
3
个白球和
5
个黑球，乙袋中装有
4
个白球 和
6
个黑球，现从甲袋中随机取出一
个球放入乙袋中，充分混合后，再从乙袋中随机取 出一个球放回甲袋中，则甲袋中白球没有减少
的概率为（ ）

1

A
．
B
．
C
．
D
．

8
．若执行如图所示程序框图，则输出的
s
值为（ ）


A
．﹣
2016 B
．
2016 C
．﹣
2017 D
．
2017

的正三棱柱形容器（下有底）内，可放置最大球的半径是（ ）

D
．

9
．高为
5
，底面边长为
4
A
．
B
．
2 C
．

10
．已知点
p
（
x
，
y
）满足
点
A
和点
B
，则当∠APB
最大时，
A
．
2 B
．
3 C
．
D
．

﹣
过点
p
（
x，
y
）向圆
x
2
+
y
2
=1
做两条切线，切点分别是
的值是（ ）

11
．过双曲线
=1（
a
＞
0
，
b
＞
0
）的右焦点
D
作直线
y=
﹣
x
的垂线，垂足为
A
，交双曲< br>=2
，则该双曲线的离心率为（ ）


线左支于
B
点，若
A
．
B
．
2 C
．
D
．
12
．
fx
）
x
2< br>，已知（是定义在（
0
，+∞）的函数．对任意两个不相等的正数
x
1
，都有
＞
0
，记
a=
，
b=
，
c =
，则（ ）

A
．
a
＜
b
＜
c B
．
b
＜
a
＜
c C
．
c
＜
a
＜
b D
．
c
＜
b
＜
a



二、填空题（共
4
小题，每小题
5
分，满分
20
分）

13
．设随机变量
ξ
～
N
（
2
，4
），若
P
（
ξ
＞
a
+
2
）
=P
（
ξ
＜
2a
﹣
3
），则实数
a
的值为 ．

14
．若的展开式中第
3
项的二项式系数 是
15
，则展开式中所有项的系数之和为 ．

，∠
B=2
∠
A
，则
c=
．

15
．在△
ABC
中，
a=3
，
b=2
2

16
．已知函数
f
（
x
）
=


．若
a
＞
0
，则函数
y=f
（
f
（
x
））﹣
1
有 个零点．

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17
．（
12
分）已知
S
n
为数列{
a
n
}的前
n
项和，且
2S
n
=3a
n
﹣
2
（
n
∈
N
*
）．

（
Ⅰ
）求
a
n
和
S
n
；

（
Ⅱ
）若
b
n
=log
3
（
S< br>n
+
1
），求数列{
b
2n
}的前
n
项和
T
n
．

18
．（
12
分）某校高 一共录取新生
1000
名，为了解学生视力情况，校医随机抽取了
100
名学 生
进行视力测试，并得到如下频率分布直方图．

（
Ⅰ
）若视力在< br>4.6
～
4.8
的学生有
24
人，试估计高一新生视力在4.8
以上的人数；


1
～
50
名

951
～
1000
名

近视

不近视

41

9

32

18

（
Ⅱ
）校医发现学习成绩较高的学生近视率较高，又在抽取的
100
名学生中，对成绩在前
50
名
的学生和其他学生分别进行统计 ，得到如右数据，根据这些数据，校医能否有超过
95%
的把握认
为近视与学习成绩有 关？

（
Ⅲ
）用分层抽样的方法从（
Ⅱ
）中
27< br>名不近视的学生中抽出
6
人，再从这
6
人中任抽
2
人 ，
其中抽到成绩在前
50
名的学生人数为
ξ
，求
ξ
的分布列和数学期望．

附
K
2
=
P
（
K
2
≥
k
）

k

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

：

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005



19
．
CB
⊥平面
PAB
，
AD
∥
BC
，（
12
分）如图，在四棱锥
P
﹣
ABC D
中，且
PA=PB=AB=BC=2AD=2
．
（
Ⅰ
）求 证：平面
DPC
⊥平面
BPC
；

（
Ⅱ
） 求二面角
C
﹣
PD
﹣
B
的余弦值．

3

20
．（
12
分）如图，点
P
为圆
E
：（
x
﹣
1
）
2
+
y
2
=r
2
（
r
＞
1
）与< br>x
轴的左交点，过点
P
作弦
PQ
，
使
PQ< br>与
y
轴交于
PQ
的中点
D
．

（< br>Ⅰ
）当
r
在（
1
，+∞）内变化时，求点
Q
的轨迹方程；

（
Ⅱ
）已知点
A
（﹣
1
，
1
），设直线
AQ
，
EQ
分别与（
Ⅰ
）中 的轨迹交于另一点
Q
1
，
Q
2
，求证：
当
Q
在（
Ⅰ
）中的轨迹上移动时，只要
Q
1
，
Q2
都存在，且
Q
1
，
Q
2
不重合，则直线Q
1
Q
2
恒过定
点，并求该定点坐标．

< br>21
．（
12
分）设函数
f
（
x
）
=e
mx
+
x
2
﹣
mx
．

（< br>1
）证明：
f
（
x
）在（﹣∞，
0
）单调递 减，在（
0
，+∞）单调递增；

（
2
）若对于任意
x
1
，
x
2
∈[﹣
1
，
1
]， 都有|
f
（
x
1
）﹣
f
（
x
2< br>）|≤
e
﹣
1
，求
m
的取值范围．



请考生从（
22
）、（
23
）两题中任选一题 作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按
所做的第一个题目计分，作答时请用
2B< br>铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．（本小题满
分
10
分）[选修
4-4
：坐标系与参数方程]

22
．（
10
分）在直角 坐标系
xOy
中，以坐标原点为极点，以
x
轴的正半轴为极轴建立极坐标系，
曲线
C
的极坐标方程为
ρ=2sinθ
．

（
Ⅰ
）将曲线
C
的极坐标方程化为参数方程：

（
Ⅱ
）如果过曲线
C
上一点
M
且斜率为﹣
么当|MQ
|取得最小值时，求
M
点的坐标．



[选修
4-5
：不等式选讲]

23
．已知函数
f
（
x
）
=
|
x
﹣
2
|+|
x
+
1
|．

（
Ⅰ
）解不等式
f
（
x
）＞
5
；

（
Ⅱ
）若
f< br>（
x
）≥﹣对任意实数
x
恒成立，求
a
的取值范围．

4

的直线与直线
l
：
y=
﹣
x
+
6
交于点
Q
，那

5

2017
年河南省平顶山市高考数学一模试卷（理科）

参考答案与试题解析



一．选择题：本大题共
12小题，每小题
5
分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的．< br>
1
．若集合
A=
{
x
||
x
|＜
1
}，
B=
{
x
|≥
1
}，则
A
∪
B=
（ ）

A
．（﹣
1
，
1
]
B
．[﹣
1
，
1
]

【考点】并集及其运算．

【分析】分别求出集合
A
、
B
的范围，取并集即可．

【解答】解：集合
A=
{
x
||
x
|＜
1
}
=
（﹣
1
，
1
），

B={
x
|≥
1
}
=
（
0
，
1< br>]，

则
A
∪
B=
（﹣
1
，
1
]，

故选：
A
．

【点评】本题考查了集合的并集的运算，考查不等式问题，是一道基础题．



2
．若复数（
1
+
2i
）（
1
+
ai
）是纯虚数（
i
为虚数单位），则实数
a
的值是（ ）

A
．﹣
2 B
．
C
．﹣
D
．
2

【考点】复数代数形式的乘除运算．

【分析】利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出．


【解答】解：复 数（
1
+
2i
）（
1
+
ai
）
= 1
﹣
2a
+（
2
+
a
）
i
是纯虚 数，则
1
﹣
2a=0
，
2
+
a
≠
0
，解得
a=
．
C
．（
0
，
1
）
D
．（﹣∞，
1
]

故选：
B
．


【点评】本题考查了复数的运算法则、纯虚 数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．


3
．某几何体的三视图如图所示，它的表面积为（ ）

6

A
．
66π B
．
51π C
．
48π D
．
33π

【考点】由三视图求面积、体积．

【分析】由几何体的三视图可知，该几何体是一组 合体，上部为半球体，直径为
6
．下部为母线
长为
5
的圆锥，分别求 面积，再相加即可．

【解答】解：由几何体的三视图可知，该几何体是一组合体，上部为半球 体，直径为
6
．下部为
母线长为
5
的圆锥．

半球表面积为
2π
×
3
2
=18π

圆锥的侧面积为
π
×
3
×
5=15π

所以所求的表面积为
π
+
15π=33π

故选
D
．


【点评】本题考查由三视图考查由三视图还原几何体直观图，求几何体的表面积，属于基础题．


4
．下列说法正确的是（ ）

A
．
“
∀
x
∈
R
，
e
x
＞
0”
的否定 是
“
∃
x
∈
R
，使
e
x
＞
0”

B
．若
x
+
y
≠
3
（< br>x
，
y
∈
R
），则
x
≠
2
或
y
≠
1

C
．
“x
2
+
2x
≥
ax
（
1
≤
x
≤
2
）恒 成立
”
等价于
“
（
x
2
+
2x
）
min
≥（
ax
）
max
（
1
≤
x
≤
2
）
”

D
．
“
若
a=
﹣
1
，则函数
f
（
x
）
=ax
2
+
2x
﹣
1
只有一个零点
”
的逆命题为真命题

【考点】命题的真假判断与应用．

【分析】
A
，
“
∀
x
∈
R
，
e
x
＞
0”的否定是
“
∃
x
∈
R
，使
e
x
≤
0”
；

B
，命题
“
若
x
+
y
≠
3
（
x
，
y
∈
R
） ，则
x
≠
2
或
y
≠
1”
的逆否命题是：< br>“
若
x=2
且
y=1
，则
x
+
y= 3“
为
真命题，故原命题为真命题；

C
，例
a=2
时，
x
2
+
2x
≥
2x
在
x
∈ [
1
，
2
]上恒成立，而（
x
2
+
2x< br>）
min
=3
＜
2x
max
=4
；

D
，
a=0
时，函数
f
（
x
）
= ax
2
+
2x
﹣
1
只有一个零点；

【解 答】解：对于
A
，
“
∀
x
∈
R
，
e
x
＞
0”
的否定是
“
∃
x
∈
R
，使
e
x
≤
0”
，故错；

y
∈
R
）
“
若
x=2
且
y=1
，对于
B
，命题
“
若
x
+
y
≠
3
（x
，，则
x
≠
2
或
y
≠
1”
的逆否命题是：则
x
+
y=3“
为
7

真命题，故原命题为真命题，故正确；

对于
C< br>，例
a=2
时，
x
2
+
2x
≥
2x
在
x
∈[
1
，
2
]上恒成立，而（
x2
+
2x
）
min
=3
＜
2x
max
=4
，故错；

对于
D
，原命题的逆命题为：若函数
f
（
x
）
=ax
2
+
2x
﹣
1
只有一个零点，则
a=
﹣
1“
，∵
a=0
时，函< br>数
f
（
x
）
=ax
2
+
2x
﹣
1
只有一个零点，故错；

故选：
B

【点评】本题考查了命题真假的判定，属于基础题．




5
．已知向量
=
（
1
，﹣
2
），
=（
1
，
1
），
mab
，
=
+
λ
，如果
mn
，那么实数
λ=
（ ）

A
．
4 B
．
3 C
．
2 D
．
1

【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系．

【分析】先利用平面向量坐标运算法则求出，，再由⊥，利用向量垂直的条件能求出实数
λ
．< br>
【解答】解：∵向量
=
（
1
，﹣
2
），< br>=
（
1
，
1
），
mab
，
=
+
λ
，

∴
m
=
（
0
，﹣
3
），
=
（
1
+
λ
，﹣
2< br>+
λ
），

∵
mn
，

∴
=0
﹣
3
（﹣
2
+
λ
）
=0
，




解得
λ=2
．

故选：
C
．

【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要 认真审题，注意向量垂直的性质的合理运
用．



6
．若 对于任意的
x
＞
0
，不等式
A
．
a
≥ B
．
a
＞
C
．
a
＜

≤
a
恒成立，则实数
a
的取值范围为（ ）

D
．
a
≤

【考点】基本不等式．

【分析】由
x
＞
0
，不等式
的范围．

【解答】解：由
x
＞
0
，
=
，

=
，运用基本不等式可得最大值，由恒成立思想可得
a
8

令
t=x
+，则
t
≥
2=2

当且仅当
x=1
时，
t
取得最小值
2
．

取得最大值，

所以对于任意的
x
＞
0
，不等式< br>则
a
≥，

故选：
A
．

【点评】 本题考查函数的恒成立问题的解法，注意运用基本不等式求得最值，考查运算能力，属
于中档题．



7
．甲袋中装有
3
个白球和
5
个 黑球，乙袋中装有
4
个白球和
6
个黑球，现从甲袋中随机取出一
个球 放入乙袋中，充分混合后，再从乙袋中随机取出一个球放回甲袋中，则甲袋中白球没有减少
的概率为（ ）

A
．
B
．
C
．
D
．

≤
a
恒成立，

【考点】古典概型及其概率计算公式．

【分析】白球没有减少的情况有：①抓出黑球 ，抓入任意球，概率是：．抓出白球，抓入白球，
概率是，再把这
2
个概率相加，即得 所求．

【解答】解：白球没有减少的情况有：①抓出黑球，抓入任意球，概率是：．

抓出白球，抓入白球，概率是
故所求事件的概率为
故选
C
．

【点评】本题考查古典概型及其概率计算公式的应用，属于基础题．



8
．若执行如图所示程序框图，则输出的
s
值为（ ）

=
，

=
，

9

A
．﹣
2016 B
．
2016
【考点】程序框图．

C
．﹣
2017 D
．
2017

【分析】由程序 框图求出前几次运行结果，观察规律可知，得到的
S
的结果与
n
的值的关系， 由
程序框图可得当
n=2017
时，退出循环，由此能求出结果．

【解答】解：模拟程序的运行，可得

n=1
，
s=0
< br>满足条件
n
＜
2017
，执行循环体，
s=
﹣
1
，
n=2

满足条件
n
＜
2017
， 执行循环体，
s=
﹣
1
+
3=2
，
n=3

满足条件
n
＜
2017
，执行循环体，
s=
﹣1
+
3
﹣
5=
﹣
3
，
n=4

满足条件
n
＜
2017
，执行循环体，
s=
﹣1
+
3
﹣
5
+
7=4
，
n=5

满足条件
n
＜
2017
，执行循环体，
s=
﹣
5
，
n=6

满足条件
n
＜
2017，执行循环体，
s=6
，
n=7

…

满足条 件
n
＜
2017
，执行循环体，
s=
﹣
2015< br>，
n=2016

满足条件
n
＜
2017
， 执行循环体，
s=2016
，
n=2017

不满足条件
n
＜
2017
，退出循环，输出
s
的值为
2016
．

故选：
B
．

【点评】本题考查了程序框图的应用问题， 解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的
结论，属于基础题．



9
．高为
5
，底面边长为
4
A
．
B
．
2 C
．

的正三棱柱形容器（下有底）内，可放置最大球的半径是（ ）

D
．

【考点】棱柱的结构特征．

【分析】由题中条件知 高为
5
，底面边长为
4
的正三棱柱形容器（下有底）内，可放置最大球
的半径，即为底面正三角形的内切圆的半径，然后解答即可．

10

【解答】解：由题意知，

正三棱柱形容器内有一个球，其最大半径为
r

r
即为底面正三角形的内切圆半径，

∵底面边长为
4
r=2

故选
B
．
【点评】本题考查棱柱的结构特征、球的性质，考查学生空间想象能力，解答的关键是构造球的
大圆 沟通条件之间的联系．



10
．已知点
p
（< br>x
，
y
）满足
点
A
和点
B
，则当∠
APB
最大时，
A
．
2 B
．
3 C
．
D
．

过点
p
（
x
，y
）向圆
x
2
+
y
2
=1
做两条切线 ，切点分别是
的值是（ ）

的

【考点】简单线性规划．

【分析】作出不等式组对应的平面区域，根据数形结合求确 定当
α
最小时，
P
的位置，利用向量
的数量积公式，求解即可．
【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图，要使∠
APB
最大，

则
P
到圆心的距离最小即可，

由图象可知当
OP
垂直直线
x
+
y
﹣
2
设∠
APB=α
，则
sin
此时
cosα=
，
故选：
D
．

•
=
，
=•
=

=0
时
P< br>到圆心的距离最小，此时|
OP
|
=

=2
，|
OA
|
=1
，
•=
．


11

【点评】本题主要考查线性规划的应用 ，考查学生分析解决问题的能力，利用数形结合是解决本
题的关键．


< br>11
．过双曲线﹣
=1
（
a
＞
0
，
b
＞
0
）的右焦点
D
作直线
y=
﹣
x的垂线，垂足为
A
，交双曲
=2
，则该双曲线的离心率为（ ）


线左支于
B
点，若
A
．
B
．
2 C
．
D
．
【考点】双曲线的简单性质．

【分析】根据题意直线
AB
的方程为
y=
（
x
﹣< br>c
）代入双曲线渐近线方程，求出
A
的坐标，进
而求得
B的表达式，代入双曲线方程整理求得
a
和
c
的关系式，进而求得离心率．

【解答】解：设
F
（
c
，
0
），则直线
AB
的方程为
y=
（
x
﹣
c
）代入双曲线 渐近线方程
y=
﹣
x
得
A
（
由
=2
，﹣），

，﹣
﹣
），

=1
，
，可得
B
（﹣
把
B
点坐标代入双曲线方程
即
即 离心率
e==
故选：
C
．

=1
，整理可得
c=
．

a
，

【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质．解题的关键是通过分析题设中的信息，找到双曲线
方程中< br>a
和
c
的关系．



12
．fx
）
x
2
，已知（是定义在（
0
，+∞）的函数．对 任意两个不相等的正数
x
1
，都有
＞
0
，记
a=< br>，
b=
，
c=
，则（ ）

A
．
a
＜
b
＜
c B
．
b
＜
a
＜
c C
．
c
＜
a
＜
b D
．
c
＜
b
＜
a

【考点】函数单调性的性质．

【分析】由题意可得函数
得答案．

12

是（
0
，+∞）上的增函数，比较大小可得
0.3
2
＜
3
0.2
＜
log
2
5
，故 可

【解答】解：∵
f
（
x
）是定义在（< br>0
，+∞）上的函数，对任意两个不相等的正数
x
1
，
x2
，都有
＞
0
，

∴函数是（
0
，+∞）上的增函数，

∵
1
＜3
0.2
＜
3
，
0
＜
0.3
2
＜
1
，
log
2
5
＞
2
，
< br>∴
0.3
2
＜
3
0.2
＜
log
2
5
，

∴
c
＜
a
＜
b
．

故选：
C
．

【点评】本题主要考查利用函数的单调性比较大小，考 查学生对指数函数、对数函数性质的运用
能力，属于中档题．



二、填空题（共
4
小题，每小题
5
分，满分
20
分）

13
．设随机变量
ξ
～
N
（
2
，4
），若
P
（
ξ
＞
a
+
2
）
=P
（
ξ
＜
2a
﹣
3
），则实数
a
的值为
【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．

【分析】直接利用正态分布的对称性，列出方程求解即可．

【解答】解：由题意可知 随机变量
ξ
～
N
（
2
，
4
），满足正态分 布，对称轴为
μ=2
，

P
（
ξ
＞
a+
2
）
=P
（
ξ
＜
2a
﹣
3
），

则：
a
+
2
+
2a
﹣3=4
，解得
a=
．

故答案为．

【点评】本题考查正态分布的基本性质的应用，考查计算能力．



14
．若的展开式中第
3
项的二项式系数是
15
，则展开式中所有 项的系数之和为

．
．

【考点】二项式系数的性质．

【分析】求出展开式的通项，令
r=2
求出展开式第
3
项的二项式系数，列出方程求出
n
；令二项
式中的
x=1
求出展开式的所有项的系数和．

【解答】解：展开式的通项为

当
r=2
时是展开式中第
3
项的二项式系数为
C
n
2
=15

解得
n=6

令二项式中的
x=1
得

13

展开式中所有项的系数之和为
故答案为：．

．

【点评】 本题考查了二项式这部分的两个重要的题型：求展开式的特定项、求展开式的系数和问
题．



15
．在△
ABC
中，
a=3
，b=2
【考点】余弦定理．

【分析】由∠
B=2
∠
A
，得到
sinB=sin2A=2sinAcosA
，利用正弦定理化简将
a
与
b
的值代入求出
cosA
的值，利用余弦定理列出关系式，将a
，
b
，
cosA
的值代入即可求出
c
的值．

【解答】解：∵∠
B=2
∠
A
，

∴
sinB=sin2A=2sinAcosA
，

利用正弦定理化简得：
b=2acosA
，

把
a=3，
b=2
代入得：
2=6cosA
，即
cosA=
，< br>
，∠
B=2
∠
A
，则
c=

5
．

由余弦定理得：
a
2
=b
2+
c
2
﹣
2bccosA
，即
9=24
+c
2
﹣
8c
，

解得：
c=5
或
c=3
，

当
c=3时，
a=c
，即∠
A=
∠
C
，∠
B=2
∠
A=2
∠
C
，

∴∠
A
+∠
C=
∠
B
，即∠
B=90°
，

而
32
+
3
2
≠（
2
则
c=5
．

故答案为：
5

【点评】此题考查了正弦、余弦定理，以及二倍角的正弦函数 公式，熟练掌握定理是解本题的关
键．



16
．已知函 数
f
（
x
）
=
．若
a
＞
0
，则函数
y=f
（
f
（
x
））﹣
1
有
3
个零点．

）
2
，矛盾，舍去；

【考点】根的存在性及根的个数判断．

【分析】函数
y=f
（f
（
x
））﹣
1=0
，求出
f
（
x< br>）的值，然后利用分段函数的表达式求解
x
的值，
推出结果．

【解答】解：函数
y=f
（
f
（
x
））﹣
1，令
f
（
f
（
x
））﹣
1=0
，
当
f
（
x
）＞
0
时，可得
log< br>2
f
（
x
）
=1
，解得
f
（
x
）
=2
，

14

则
log
2
x=2
，解得
x=4
，
ax
+
1=2
，解得
x=
（舍去）．

当
f
（
x
）＜
0
，可得
af
（
x
）+
1 =1
，解得
f
（
x
）
=0
，

则
log
2
x=0
，解得
x=1
，
ax
+< br>1=0
，解得
x=
﹣．

所以函数的零点
3
个．

故答案为：
3
．

【点评】本题考查分段函数的应用，函数的零点个数的求法，考查转化思想以及计算能力．



三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

1 7
．（
12
分）（
2017•
平顶山一模）已知
S
n
为数列{
a
n
}的前
n
项和，且
2S
n
=3a
n
﹣
2
（
n
∈
N
*
）．

（
Ⅰ
）求
a
n
和
S
n
；

（
Ⅱ
）若
b
n
=log
3
（
S< br>n
+
1
），求数列{
b
2n
}的前
n
项和
T
n
．

【考点】数列的求和．

【分析】 （
Ⅰ
）由
2S
n
=3a
n
﹣
2
可 求得
a
1
=2
；当
n
≥
2
时，
a
n
=3a
n
﹣
1
，从而可知数列{
a
n< br>}是首项为
2
，
公比为
3
的等比数列，继而可得
a< br>n
和
S
n
；

b
2n
=2n
，（
Ⅱ
）由（
Ⅰ
）知
S
n
=3
n
﹣
1
，从而可得
b
n
=n
，利用等差数列的求和公式即可 求得数列{
b
2n
}
的前
n
项和
T
n．

【解答】解：（
Ⅰ
）∵
2S
n
=3an
﹣
2
，

∴
n=1
时，
2S
1
=3a
1
﹣
2
，解得
a
1
=2
；

当
n
≥
2
时，
2S
n
﹣< br>1
=3a
n
﹣
1
﹣
2
，

∴
2S
n
﹣
2S
n
﹣
1
=3a
n
﹣
3a
n
﹣
1
，

∴
2a
n
=3a
n
﹣
3a
n
﹣
1
，

∴
a
n
=3a
n
﹣
1
，

∴数列{
a
n
}是首项为
2
，公比为
3
的等比数 列，

∴
a
n
=2•3
n
﹣
1
，

S
n
==3
n
﹣
1
，

（
Ⅱ
）∵
a
n
=2•3
n
﹣
1
，
S
n
=3
n
﹣
1
，

∴
b
n
=log
3
（
S
n
+
1
）
= log
3
3
n
=n
，

∴
b
2n
=2n
，

∴
T
n=2
+
4
+
6
+
…
+
2n==n2
+
n
．

【点评】本题考查数列的求和，着重考查等比数列的 判定与通项公式、求和公式的应用，突出考
15

查等差数列的求和，属于中档题．



18
．（
12
分）（
2017•
平顶山一模）某校高一共录取新生
1000
名 ，为了解学生视力情况，校医随
机抽取了
100
名学生进行视力测试，并得到如下频率 分布直方图．

（
Ⅰ
）若视力在
4.6
～
4.8< br>的学生有
24
人，试估计高一新生视力在
4.8
以上的人数；


1
～
50
名

951
～
1000
名

近视

不近视

41

9

32

18

（
Ⅱ
）校医发现学习成绩较高的学生近视率较高，又在抽取的
100
名学生中，对成绩在前
50
名
的学生和其他学生分别进行统计 ，得到如右数据，根据这些数据，校医能否有超过
95%
的把握认
为近视与学习成绩有 关？

（
Ⅲ
）用分层抽样的方法从（
Ⅱ
）中
27< br>名不近视的学生中抽出
6
人，再从这
6
人中任抽
2
人 ，
其中抽到成绩在前
50
名的学生人数为
ξ
，求
ξ
的分布列和数学期望．

附
K
2
=
P
（
K
2
≥
k
）

k

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

：

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005


【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．

【分析】（< br>Ⅰ
）利用频率分布表，求出前四组学生的视力在
4.8
以下的人数，然后求解视 力在
4.8
以上的人数．

（
Ⅱ
）求出
k
2
，即可说明校医有超过
95%
的把握认为近视与成绩有关．

（< br>Ⅲ
）依题意，
6
人中年级名次在
1
～
50
名 和
951
～
1000
名的分别有
2
人和
4
人，所以
ξ
可取
0
，
1
，
2
．求出概率， 顶点分布列，然后求解期望即可．

【解答】解：（
Ⅰ
）由图可知，前四组学 生的视力在
4.8
以下，第一组有
0.15
×
0.2
×100=3
人，
第二组有
0.35
×
0.2
×
100=7
人，第三组
1.35
×
0.2
×
100=27< br>人，第四组有
24
人．
…
（
2
分）

16

所以视力在
4.8
以上的人数为
人．
…

（
Ⅱ
）


，因此校医有超过
95%
的把 握认为近视与成绩有关．
…
（
8
分）

（
Ⅲ
）依题意，
6
人中年级名次在
1
～
50
名和
95 1
～
1000
名的分别有
2
人和
4
人，所以
ξ
可取
0
，
1
，
2.
ξ
的分布列为
ξ

P

…
（
10
分）

ξ
的数学期望．
…
（
12
分）

0


，，，

1


2


【点评】本题考查频率分布直方图以及概率的求法，分布列以及期望的 求法，考查转化思想以及
计算能力．



19
．（
12
分）（
2017•
平顶山一模）如图，在四棱锥
P
﹣
ABCD
中，
CB
⊥平面
PAB
，
AD
∥
BC
，
且
PA=PB=AB=BC=2AD=2
．

（
Ⅰ
）求证：平面
DPC
⊥平面
BPC
；

（
Ⅱ
）求二面角
C
﹣
PD
﹣
B
的 余弦值．


【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定．
< br>【分析】（
Ⅰ
）分别取
PC
，
PB
的中点
E
，
F
，连结
DE
，
EF
，
AF
， 证明
AF
⊥
EF
，
AF
⊥
PB
．推
出
AF
⊥平面
BPC
，然后证明
DE
⊥平面
BP C
，即可证明平面
DPC
⊥平面
BPC
．
…
．
（
Ⅱ
）解法
1
：连结
BE
，说明
B E
⊥
CP
，推出
BE
⊥平面
DPC
，过
E
作
EM
⊥
PD
，垂足为
M
，连
结
MB
，说明∠
BME
为二面角
C
﹣
PD
﹣
B
的平面角．在△
PDE
中，求解即可．

解法
2
：以
A
为坐标原点，建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，求出平面
PDC
和面
PBC
17

的法向量，由空间向量的数 量积求解二面角
C
﹣
PD
﹣
B
的余弦值即可．

【解答】（本小题满分
12
分）

解：（
Ⅰ
）证明 ：如图，分别取
PC
，
PB
的中点
E
，
F
，

连结
DE
，
EF
，
AF
，由题意知， 四边形
ADEF
为矩形，∴
AF
⊥
EF
．
…
（
2
分）

又∵△
PAB
为等边三角形，
∴
AF
⊥
PB
．又∵
EF
∩
PB=F
，

∴
AF
⊥平面
BPC
．
…

又
DE
∥
AF
．

∴
DE
⊥平面
BPC
，又
DE
⊂平面
DPC
，

∴平面
DPC
⊥平面
BPC
．
…

（Ⅱ
）解法
1
：连结
BE
，则
BE
⊥
C P
，由（
Ⅰ
）知，

BE
⊥平面
DPC
， 过
E
作
EM
⊥
PD
，垂足为
M
，连结MB
，则∠
BME
为二面角
C
﹣
PD
﹣
B
的平面
角．
…
（
7
分）

由题意知，
DP=DC=
∴在△
PDE
中，
又
∴
，

，∴
，
PC=
，∴，∴，

．
…
（
10
分）

．
…
（
12
分）

（
Ⅱ
）解法< br>2
：如图，以
A
为坐标原点，建立空间直角坐标系，则，
A
（
0
，
0
，
0
），
B
（
0
，
2
，
0
），，
C
（
0
，
2，
2
），
D
（
0
，
0
，
1< br>）．

，，
，
；

．
…
（
10
分）

．
…
（
8
分）

，

设平面PDC
和面
PBC
的法向量分别为
由，得，令
y=
﹣< br>1
得
，令
a=1
得由，得
18

∴二面角
C
﹣
PD
﹣
B
的余弦值为．
…
（
12
分）


【点评】本题考查 平面与平面垂直的判定定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能
力以及计算能力．



20
．（
12
分）（
2017•
平顶 山一模）如图，点
P
为圆
E
：（
x
﹣
1
）
2
+
y
2
=r
2
（
r
＞
1
）与
x
轴的左交
点，过点
P
作弦
PQ
， 使
PQ
与
y
轴交于
PQ
的中点
D
．

（
Ⅰ
）当
r
在（
1
，+∞）内变化时，求点< br>Q
的轨迹方程；

（
Ⅱ
）已知点
A
（﹣1
，
1
），设直线
AQ
，
EQ
分别与（
Ⅰ
）中的轨迹交于另一点
Q
1
，
Q
2
，求证：< br>当
Q
在（
Ⅰ
）中的轨迹上移动时，只要
Q
1
，
Q
2
都存在，且
Q
1
，
Q
2
不 重合，则直线
Q
1
Q
2
恒过定
点，并求该定点坐标．


【考点】直线与抛物线的位置关系；抛物线的标准方程．

【分析】（
Ⅰ
）设
Q
（
x
，
y
），则
PQ< br>的中点
标得答案；

（
Ⅱ
）分别设出
Q
、< br>Q
1
、
Q
2
的坐标，结合
A
，
Q< br>，
Q
1
共线，
E
，
Q
，
Q
2
共线可把
Q
1
、
Q
2
的坐标
用
Q
的坐标表示，得到线
Q
1
Q
2
的方程，再由直线系方程可 得直线
Q
1
Q
2
恒过定点，并求该定点
坐标．
< br>【解答】（
Ⅰ
）解：设
Q
（
x
，
y
），则
PQ
的中点
∵
E
（
1
，
0
），∴
在圆
E
中，∵
DE
⊥
DQ
，∴
，< br>，则
．

．

，

，由题意
DE< br>⊥
DQ
，得，代入坐
∴点
Q
的轨迹方程
y
2
=4x
（
x
≠
0
）；

19

（
Ⅱ
）证明：设
Q
（
t
2
，
2t
），，，

则直线
Q
1
Q
2
的方程为（
t
1
+
t
2
）
y
﹣
2x
﹣
2t
1
t
2
=0
．
< br>由
A
，
Q
，
Q
1
共线，得，从而（，否则< br>Q
1
不存在），

由
E
，
Q
，Q
2
共线，得，从而（
t
≠
0
，否则
Q
2
不存在），

∴，，

∴直线
Q
1
Q
2
的方程化为
t
2
（
y
﹣
4x
） +
2t
（
x
+
1
）+（
y
+
4< br>）
=0
，

令，得
x=
﹣
1
，y=
﹣
4
．

∴直线
Q
1
Q
2
恒过定点（﹣
1
，﹣
4
）．

【点评】本题考查 直线与抛物线位置关系的应用，训练了平面向量在求解圆锥曲线问题中的应用，
考查计算能力，属中档题 ．



21
．（
12
分）（
2015•
新课标
Ⅱ
）设函数
f
（
x
）
=e
mx
+
x
2
﹣
mx
．

（
1）证明：
f
（
x
）在（﹣∞，
0
）单调递减，在（0
，+∞）单调递增；

（
2
）若对于任意
x
1
，
x
2
∈[﹣
1
，
1
]，都有|
f
（
x
1
）﹣
f
（
x
2
）|≤
e
﹣
1
，求
m
的取值范围．

【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．

【分析】（
1
）利用
f′
（
x
）≥
0
说明函数为增函 数，利用
f′
（
x
）≤
0
说明函数为减函数．注意参
数
m
的讨论；

（
2
）由（
1
）知，对 任意的
m
，
f
（
x
）在[﹣
1
，
0
]单调递减，在[
0
，
1
]单调递增，则恒成立问题
转化 为最大值和最小值问题．从而求得
m
的取值范围．

【解答】解：（
1
）证明：
f′
（
x
）
=m
（
e
mx
﹣
1
）+
2x
．

若
m
≥< br>0
，则当
x
∈（﹣∞，
0
）时，
e
mx﹣
1
≤
0
，
f′
（
x
）＜
0
；当
x
∈（
0
，+∞）时，
e
mx
﹣1
≥
0
，
f′
（
x
）＞
0
．

若
m
＜
0
，则当
x
∈（﹣∞，
0
）时，
e
mx
﹣
1
＞
0
，
f′
（
x
）＜
0
；当
x
∈（
0
，+∞ ）时，
e
mx
﹣
1
＜
0
，
f′
（
x
）＞
0
．

所以，
f
（
x）在（﹣∞，
0
）时单调递减，在（
0
，+∞）单调递增．
< br>（
2
）由（
1
）知，对任意的
m
，
f
（
x
）在[﹣
1
，
0
]单调递减，在[
0
，
1
]单调递增，故
f
（
x
）在
x=0
处取得最小值．

20

所以对于任意
x
1
，
x
2
∈[﹣
1
，
1
]，|
f
（
x
1
）﹣
f
（
x
2
）|≤
e
﹣
1
的充要条件是
即


设函数
g
（
t
）
=e
t
﹣
t
﹣
e
+
1
，则
g′
（
t
）
=e
t< br>﹣
1
．

当
t
＜
0
时，
g ′
（
t
）＜
0
；当
t
＞
0
时，< br>g′
（
t
）＞
0
．故
g
（
t
）在（﹣∞，
0
）单调递减，在（
0
，+
∞）单调递增．

又
g
（
1
）
=0
，
g
（﹣
1
）
=e
﹣
1
+
2
﹣
e
＜0
，故当
t
∈[﹣
1
，
1
]时，
g< br>（
t
）≤
0
．

当
m
∈[﹣
1
，
1
]时，
g
（
m
）≤
0
，
g
（﹣
m
）≤
0
，即合式成立；

当m
＞
1
时，由
g
（
t
）的单调性，
g
（
m
）＞
0
，即
e
m
﹣
m
＞
e
﹣
1
．

当
m
＜﹣
1时，
g
（﹣
m
）＞
0
，即
e
﹣
m
+
m
＞
e
﹣
1
．

综上，
m
的取值范围是[﹣
1
，
1
]
< br>【点评】本题主要考查导数在求单调函数中的应用和恒成立在求参数中的应用．属于难题，高考
压 轴题．



请考生从（
22
）、（
23
）两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按
所做的第一个题目计分，作答时请 用
2B
铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．（本小题满
分
10
分）[选修
4-4
：坐标系与参数方程]

22
．（
10< br>分）（
2017•
平顶山一模）在直角坐标系
xOy
中，以坐标原点为 极点，以
x
轴的正半轴
为极轴建立极坐标系，曲线
C
的极坐标方程为
ρ=2
（
Ⅰ
）将曲线
C
的极坐标方程化为参数方程：

（
Ⅱ
）如果过曲线
C
上一点
M
且斜率为﹣么当|
MQ
|取得最小值时，求
M
点的坐标．

【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．

【分析】（
Ⅰ< br>）根据
ρcosθ=x
，
ρsinθ=y
，
ρ
2=x
2
+
y
2
化为普通方程，再转化为参数方程即可．

（
Ⅱ
）设斜率为的直线与
l
的夹角为
γ
（定值），
M
到
l
的距离为
d
，令
，则
即可．

【解答】解：（
Ⅰ
）∵
∵
ρcosθ=x
，
ρ sinθ=y
，
ρ
2
=x
2
+
y
2
，

∴曲线
C
的普通方程为，

21

sinθ
．

的直线与直线
l
：
y=
﹣< br>x
+
6
交于点
Q
，那

，利用三角函数的有界限求解最小值
，∴，

∴曲 线
C
的参数方程为
（
Ⅱ
）方法一：设斜率为
则
令< br>当时，
d
最小．

．

（
α
为参数）．

的直线与
l
的夹角为
γ
（定值），
M
到
l
的距离为
d
，

，所以
d
取最小值时，|
MQ
|最小．

，则，

∴点
M
的坐标为
（
Ⅱ
）方法二： 设斜率为
则，

的直线与
l
的夹角为
γ
（定值），
M
到
l
的距离为
d
，

∴
d
取最小值时，|
MQ
|最小．

∴，
M
是过圆心垂直于
l
的直线
由
∴点
M
的坐标为，得
．

或
与圆（靠近直线
l
端）的交点．

（舍去）．

【点评】本题考查参数方程、极坐标方程、普通方程的互化，以及应用， 直线参数方程的几何意
义的运用．属于中档题．



[选修
4-5
：不等式选讲]

23
．（
2017 •
平顶山一模）已知函数
f
（
x
）
=
|
x
﹣
2
|+|
x
+
1
|．

（Ⅰ
）解不等式
f
（
x
）＞
5
；
（
Ⅱ
）若
f
（
x
）≥﹣对任意实数
x
恒成立，求
a
的取值范围．

【考点】函数恒成立问题；绝对值不等式的解法．

【分析】（
Ⅰ
） 去掉绝对值符号，然后求解不等式即可解不等式
f
（
x
）＞
5
；

（
Ⅱ
）利用绝对值的几何意义，求出
f
（
x
）的最小值，利用恒成立，转化不等式求解即可．

【解答】（本小题满分
10
分）

解：（
Ⅰ
）原不 等式可化为：
解得：
x
＜﹣
2
或
x
＞
3< br>，

所以解集为：（﹣∞，﹣
2
）∪（
3
，+∞）．
…

（
Ⅱ
）因为|
x
﹣
2
|+|
x
+
1
|≥|
x
﹣
2
﹣（
x
+< br>1
）|
=3
，
…
（
7
分）

22

或或
…
（
3
分）

所以
f
（
x
）≥
3
， 当
x
≤﹣
1
时等号成立．

所以
f
（
x
）
min
=3
．

又
故．
…
（
10
分）

，
< br>【点评】本题考查函数的恒成立，函数的最值的求法，绝对值不等式的几何意义的应用，考查转
化 思想以及计算能力．

23