财务会计知识-长寿花

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2019年北京市门头沟区高考数学一模试卷（理科）

一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只
有一 项是符合题目要求的．)
1．（5分）已知集合A＝{x|x﹣2x﹣3＜0}，B＝{x|y＝
A．（﹣1，3） B．[0，3）
2
}，则A∩B等于（ ）
D．（﹣1，2] C．（﹣1，0]
2．（5分）复数z满足z＝
A． B．2
，那么|z|是（ ）
C．2 D．
3．（5分）一个体积为12
（ ）
正三棱柱的三视图如图所示，则这个三棱柱的左视图的面积为

A．6 B．8 C．8 D．12
4．（5分）如图的程序框图，如果输入三个实数a，b，c要求输出这三个数中最 大的数，那
么在空白的判断框中，应该填入下面四个选项中的（ ）

第1页（共22页）

A．c＞x B．x＞c C．c＞b D．b＞c
|＞1”是“θ∈（]”5．（5分）已知向量，满足||＝| |＝1，且其夹角为θ，则“|
的（ ）
A．充分不必要条件
C．充分必要条件
B．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
6．（5分）如图，在下列四个 正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的
中点，则在这四个正方体中，直线AB与 平面MNQ不垂直的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（5分）某学需要 从3名男生和2名女生中选出4人，到甲、乙、丙三个社区参加活动，
其中甲社区需要选派2人，且至少 有1名是女生；乙社区和丙社区各需要选派1人．则
不同的选派方法的种数是（ ）
A．18 B．24 C．36 D．42
8．（5分）若函数f（x）图象上存在两个点A ，B关于原点对称，则点对（A，B）称为函数
f（x）的“友好点对”且点对（A，B）与（B，A） 可看作同一个“友好点对”．若函数f
（x）＝（其中e为自然对数的底数，e≈2.718）恰好有两 个“友
好点对”则实数m的取值范围为（ ）
A．m≤（e﹣1）
2
B．m＞（e﹣1）
6
2
C．m＜（e﹣1）
小题，每小题5
2
D．m≥（e﹣1）
分，满分30

2
二、填空题（本大题共
分．)

第2页（共22页）

9．（5分）若x，y满足条件，则z＝x+2y的最大值为 ．
10．（5分）双曲线C：2x﹣y＝1的渐近线方程是 ．
11．（5分）等比数 列{a
n
}中，S
3
＝21，2a
2
＝a
3
则数列{a
n
}的通项公式a
n
＝ ．
12．（5分） 已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半
2
22
轴为极 轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin
θ﹣4cosθ＝0（ρ≥0，0≤θ＜2π），若直线l与曲线C相交于两点A，B，则|AB|＝ ．
13．（5分）已知x，y∈R ，求z＝（x+2y）（
甲、乙两位同学分别给出了两种不同的解法：
甲：z＝（x+2y） （
乙：z＝（x+2y）（
）＝2+
）
++8≥18
＝16
+
）的最值．
①你认为甲、乙两人解法正确的是 ．
②请你给出一个类似的利用基本不等式求最值的问题，使甲、乙的解法都正确．
14．（5分 ）一半径为4m的水轮，水轮圆心O距离水面2m，已知水轮每分钟转动（按逆时
针方向）3圈，当水轮 上点P从水中浮现时开始计时，即从图中点P
0
开始计算时间．
（Ⅰ）当t＝5秒时点P离水面的高度 ；
（Ⅱ）将点P距离水面的高度h（单位： m）表示为时间t（单位：s）的函数，则此函数
表达式为 ．

三、解答题（本大题共6小题，满分80分)
15．（12分）在△ABC中，且满足已知（2a﹣c）cosB＝bcosC．
（1）求∠B的大小；
（l）若△ABC的面积为

，a+c＝6，求△ABC的周长．
第3页（共22页）

16．（12分）在某区“创文明城区”（简称“创城”）活动中，教委对本区A，B，C，D四所
高 中校按各校人数分层抽样调查，将调查情况进行整理后制成如表：
学校
抽查人数
“创城”活动中
参与的人数
（注：参与率是指：一所学校“创城”活动中参与的人数与被抽查人数的比值）
假设每名高中学生是否参与“创城”活动是相互独立的．
（Ⅰ）若该区共2000名高中学生，估计A学校参与“创城”活动的人数；
（Ⅱ）在随机抽 查的100名高中学生中，从A，C两学校抽出的高中学生中各随机抽取1
名学生，求恰有1人参与“创 城”活动的概率；
（Ⅲ）若将表中的参与率视为概率，从A学校高中学生中随机抽取3人，求这3人参 与
“创城”活动人数的分布列及数学期望．
17．（14分）在四棱锥P﹣ABCD中，底面 ABCD是边长为6的菱形，且∠ABC＝60°，PA
⊥平面ABCD，PA＝6，F是棱PA上的一 个动点，E为PD的中点．
（Ⅰ）求证：BD⊥CF．
（Ⅱ）若AF＝2．
（i）求PC与平面BDF所成角的正弦值；
（ii）侧面PAD内是否存在过点E的一条直 线，使得该直线上任一点M与C的连线，都
满足CM∥平而BDF，若存在，求出此直线被直线PA、P D所截线段的长度，若不存在，
请明理由．
A
50
40
B
15
10
C
10
9
D
25
15

18．（14分）如图，已知椭圆C：＝1（a＞b＞0），F
1< br>，F
2
分别为其左、右焦点，
第4页（共22页）

过F
1
的直线与此椭圆相交于D，E两点，且△F
2
DE的周长为8，椭圆C的离心率为
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
．
（Ⅱ） 在平面直角坐标系xOy中，已知点P（0，1）与点Q（0，2），过P的动直线l（不
与x轴平行） 与椭圆相交于A，B两点，点B
1
是点B关于y轴的对称点．
（i）Q，A，B
1
三点共线．
（ii）＝．

19．（14分）已知f（x）＝axe在点（0，0）处的切线与直线y＝x﹣2平行．
（Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）设g（x）＝f（x）﹣b（+x）
x
（i）若函数g（x）≥0在[0，+∞）上恒成立，求实数b的最大值；
（ii）当b≤0时，判断函数g（x）有几个零点，并给出证明．
20．（14分）给定数 列{a
n
}，若满足a
1
＝a（a＞0且a≠1），对于任意的n，m∈N， 都有a
n+m
＝a
n
•a
m
，则称数列{a
n}为“指数型数列”．
（Ⅰ）已知数列{a
n
}，{b
n
}的 通项公式分别为a
n
＝5×3
是不是“指数型数列”；
（Ⅱ）若数列{a< br>n
}满足：a
1
＝，a
n
＝2a
n
a
n+1
+3a
n+1
（n∈N*），判断数列{
“指数型数列”，若是给出 证明，若不是说明理由；
（Ⅲ）若数列{a
n
}是“指数型数列”，且a
1
＝
都不能构成等差数列．
（a∈N*），证明：数列{a
n
}中任 意三项
+1}是否为
n
﹣
1
*
，b
n
＝4 ，试判断{a
n
}，{b
n
}
n
第5页（共22页）

2019年北京市门头沟区高考数学一模试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只
有一 项是符合题目要求的．)
1．（5分）已知集合A＝{x|x﹣2x﹣3＜0}，B＝{x|y＝
A．（﹣1，3） B．[0，3）
2
2
}，则A∩B等于（ ）
D．（﹣1，2] C．（﹣1，0]
【解答】解：∵集合A＝{x|x﹣2x﹣3＜0}＝{x|﹣1＜x＜3}，
B＝{x|y＝}＝{x|x≥0}，
∴A∩B＝{x|0≤x＜3}＝[0，3）．
故选：B．
2．（5分）复数z满足z＝
A． B．2
＝
，那么|z|是（ ）
C．2
，
D．
【解答】解：∵z＝
∴|z|＝．
故选：A．
3．（5分）一个体积为12
（ ）
正三棱柱的三视图如图所示，则这个三棱柱的左视图的面积为

A．6 B．8 C．8 D．12
【解答】解：设棱柱的高为h，
由左视图知，底面正三角形的高是
故底面三角形的面积是
，由正三角形的性质知，其边长是4，
＝4
第6页（共22页）

由于其体积为 ，故有h×＝，得h＝3
由三视图的定义知，侧视图的宽即此三棱柱的高，故侧视图的宽是3，其面积为3×
＝
故选：A．
4．（5分）如图的程序框图，如果输入三个实数a，b，c要求输出这三个数中 最大的数，那
么在空白的判断框中，应该填入下面四个选项中的（ ）

A．c＞x B．x＞c C．c＞b D．b＞c
【解答】解：由流程图可知：
第一个选择框作用是比较x与b的大小，
故第二个选择框的作用应该是比较x与c的大小，
∵条件成立时，保存最大值的变量X＝C
故选：A．
5．（5分）已知向量，满足||＝||＝1，且其夹角为θ，则“|
的（ ）
A．充分不必要条件
C．充分必要条件
【解答】解：∵
∴①由得：
；
B．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
，且其夹角为θ；
|＞1”是“θ∈（]”
第7页（共22页）

∴；
又0≤θ≤π；
∴
即
∴
②由
；
∴1﹣2cosθ+1＞1；
∴
∴
∴
综上得，“|
故选：C．
6．（5分）如图，在下 列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的
中点，则在这四个正方体中，直线 AB与平面MNQ不垂直的是（ ）
；
是
|＞1”是“θ∈（
的必要条件；
]”的充分必要条件．
；
是
得：
；
；
的充分条件；
A． B．
C． D．
【解答】解：对于A，AB为体对角线，MN，MQ，NQ分别为棱的中点，由中 位线定理
可得它们平行于面对角线，
连接另一条面对角线，由三垂线定理可得AB垂直于MN ，MQ，NQ，可得AB垂直于平
面MNQ；
第8页（共22页）

对于B，AB为上底面的对角线，显然AB垂直于MN，与AB相对的下底面 的面对角线平
行，且与直线NQ
垂直，可得AB垂直于平面MNQ；
对于C，AB为前面的面对角线，显然AB垂直于MN，QN在下底面且与棱平行，
此棱垂直于AB所在的面，即有AB垂直于QN，可得AB垂直于平面MNQ；
对于D，AB 为上底面的对角线，MN平行于前面的一条对角线，此对角线与AB所成角
为60°，
则AB不垂直于平面MNQ．
故选：D．
7．（5分）某学需要从3名男生和2名 女生中选出4人，到甲、乙、丙三个社区参加活动，
其中甲社区需要选派2人，且至少有1名是女生；乙 社区和丙社区各需要选派1人．则
不同的选派方法的种数是（ ）
A．18 B．24 C．36 D．42
【解答】解：根据题意，甲地需要选派2人且至少有1名女生，
若甲地分派2名女生，有C
2
＝1种情况，
若甲地分配1名女生，有C
2
•C
3
＝6种情况，
则甲地的分派方法有1+6＝7种，
甲地安排好后，在剩余3人中，任选2人，安排在乙、丙 两地，有A
3
＝6种安排方法，
则不同的选派方法的种数是7×6＝42；
故选：D．
8．（5分）若函数f（x）图象上存在两个点A，B关于原点对称，则点对（A ，B）称为函数
f（x）的“友好点对”且点对（A，B）与（B，A）可看作同一个“友好点对”．若 函数f
2
11
2
（x）＝（其中e为自然对数的底数，e≈2.718）恰好 有两个“友
好点对”则实数m的取值范围为（ ）
A．m≤（e﹣1）
2
B．m＞（e﹣1）
2
2
C．m＜（e﹣1）
2
D．m≥（e﹣1）
2
2
【解答】解：当x≤0时，y＝x+2 ex+m﹣1关于原点对称的函数为﹣y＝x﹣2ex+m﹣1，
即y＝﹣x+2ex﹣m+1，x＞0，
设h（x）＝﹣x+2ex﹣m+1，x＞0，
条件等价为当x＞0时，h（x）与f（x）的图象恰好有两个不同的交点，
第9页（共22页）

2
2

则h（x）＝﹣x+2ex﹣m+1＝﹣（x﹣e）+e+1﹣m，x＞0，
当x＝e时，函数h（x）取得最大值h（e）＝e+1﹣m，
当x＞0时，f（x）＝x+，f′（x）＝1﹣＝．
2
222
由f′（x）＞0得x＞e，此时f（x）为增函数，
由f′（x）＜0得0＜x＜e，此时f（x）为减函数，
即当x＝e时，函数f（x）取得 极小值同时也是最小值f（e）＝e
作出当x＞0时，h（x）与f（x）的图象如图：
要使两个图象恰好有两个不同的交点，
则h（e）＞f（e），即e+1﹣m＞2e，
即e﹣2e+1＞m，
即m＜（e﹣1），
故选：C．
2
2
2
＝e+e＝2e，

二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，满分30分．)
9．（5分）若x，y满足条件，则z＝x+2y的最大值为 2 ．
【解答】解：由x，y满足条件作出可行域如图，
第10页（共22页）

由z＝x+2y，得y＝
由图可知，当直线y＝
联立
x+z，
x+z过可行域内点A时直线在y轴上的截距最大，z最大．
，解得A（0，1）．
∴目标函数z＝x+2y的最大值为0+2×1＝2．
故答案为：2．

10．（5分）双曲线C：2x﹣y＝1的渐近线方程是
【解答】解：∵双曲线2x﹣y＝1的标准方程为：
22
22
．

∴，b＝1，可得a＝
2
，b＝1
又∵双曲线
22
的渐近线方程是y＝±x
x ∴双曲线2x﹣y＝1的渐近线方程是y＝±
故答案为：y＝±x
11．（5分）等比数列{ a
n
}中，S
3
＝21，2a
2
＝a
3
则 数列{a
n
}的通项公式a
n
＝ 3×2
【解答】解：设等比数列{ a
n
}的公比为q，∵S
3
＝21，2a
2
＝a
3
，
∴a
1
（1+q+q）＝21，2＝q，
解得a
1
＝3．
数列{a
n
}的通项公式a
n< br>＝3×2
故答案为：3×2
n
﹣
1
n
﹣
1< br>2
n
﹣
1
．
．
．
（t为参数），以 坐标原点为极点，x轴的正半
2
12．（5分）已知直线l的参数方程为
轴为极轴建立 极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin
θ﹣4cosθ＝0（ρ≥0，0≤θ＜2π），
第 11页（共22页）

若直线l与曲线C相交于两点A，B，则|AB|＝ 8 ．
【解答】解：由消去t可得y＝x﹣1，其参数方程的标准形式为：（t
为参数），
由ρsin
θ﹣4cosθ＝0得ρ
sin
θ﹣4ρcosθ＝0，得y
＝4 x，
2222
联立得t﹣4
2
t﹣8＝0，
设A，B对应的参数为t
1
，t
2
，
则t
1+t
2
＝4，t
1
t
2
＝﹣8，
═8． < br>+
所以|AB|＝|t
1
﹣t
2
|＝
13．（5分） 已知x，y∈R，求z＝（x+2y）（）的最值．
甲、乙两位同学分别给出了两种不同的解法： < br>甲：z＝（x+2y）（
乙：z＝（x+2y）（
）＝2+
）
++8≥ 18
＝16
①你认为甲、乙两人解法正确的是 甲 ．
②请你给出一个类似的利用基本不等式求最值的问题，使甲、乙的解法都正确．
【解答】解：①甲正确，乙解法中两次不等式中取等的条件不相同；
②已知x，y∈R
，求z＝（a+b）（+）的最小值．
甲：z＝（a+b）（+）＝1+++1≥4，
乙：z＝（a+b）（+）≥2
故填甲．
14．（5分）一半径为4m的水轮，水轮 圆心O距离水面2m，已知水轮每分钟转动（按逆时
针方向）3圈，当水轮上点P从水中浮现时开始计时 ，即从图中点P
0
开始计算时间．
（Ⅰ）当t＝5秒时点P离水面的高度 2 ；
•2＝4．
+
（Ⅱ）将点P距离水面的高度h（单位：m）表示为时间t（单位：s ）的函数，则此函数
第12页（共22页）

表达式为 h（t）＝4sin（）+2 ．

【解答】解：（Ⅰ）t＝5秒时，水轮转过角度为
在Rt△MOP
0
中，MP
0
＝1，∴∠MOP
0
＝在，Rt△AON中，∠AON＝
；
＝2，
×5＝，
，∴AN＝4×sin
+2；
，
此时点A（P）离开水面的高度为2（Ⅱ）由题意可知，ω＝
设角φ（﹣
＝
＜φ＜0）是以Ox为始边，OP
0
为终边的角，
t+φ）+2，其中（﹣＜φ＜0）； 由条件得h（t）＝4sin（
将t＝0，h（0）＝0代入，得4sinφ+2＝0，
∴φ＝﹣；
t﹣）+2．
t﹣）+2．
∴所求函数的解析式为h（t） ＝4sin（
故答案为：（Ⅰ）2+2，（Ⅱ）h（t）＝4sin（

三、解答题（本大题共6小题，满分80分)
15．（12分）在△ABC中，且满足已知（2a﹣c）cosB＝bcosC．
第13页（共22页）

（1）求∠B的大小；
（l）若△ABC的面积为，a+c＝6，求△ABC的周长．
【解答】解：（1）△ABC中，（2a﹣c）cosB＝bcosC，
由正弦定理可得（2sinA﹣sinC）cosB＝sinBcosC，
整理可得2sinAcosB＝sinBcosC+cosBsinC＝sin（B+C）＝sinA，
又A为三角形内角，sinA＞0，
所以cosB＝，
由B为三角形内角，可得B＝60°；
（2）由△ABC的面积为
所以ac＝
又a+c＝6，
由余弦定理得b＝a+c﹣2accosB
＝（a+c）﹣2ac﹣2accos60°
＝36﹣3ac
＝36﹣3×4
＝24，
所以b＝2，
．
2
222
，即acsinB＝，
＝4，
∴△ABC的周长为a+ b+c＝6+2
16．（12分）在某区“创文明城区”（简称“创城”）活动中，教委对本区A，B， C，D四所
高中校按各校人数分层抽样调查，将调查情况进行整理后制成如表：
学校
抽查人数
“创城”活动中
参与的人数
（注：参与率是指：一所学校“创城”活动中参与的人数与被抽查人数的比值）
假设每名高中学生是否参与“创城”活动是相互独立的．
（Ⅰ）若该区共2000名高中学生，估计A学校参与“创城”活动的人数；
（Ⅱ）在随机抽 查的100名高中学生中，从A，C两学校抽出的高中学生中各随机抽取1
名学生，求恰有1人参与“创 城”活动的概率；
第14页（共22页）

A
50
40
B
15
10
C
10
9
D
25
15

（Ⅲ）若将表中的参与率视为概率，从A学校 高中学生中随机抽取3人，求这3人参与
“创城”活动人数的分布列及数学期望．
【解答】解：（Ⅰ）该区共2000名高中学生，
由分层抽样性质估计A学校参与“创城”活动的人数为：
2000×＝800．
（Ⅱ）设事件A表示“抽取A 校高中学生，且这名学生参与‘创城’活动”，
事件C表示“抽取C校高中学生，且这名学生参与‘创城’活动”，
则从A，C两学校抽出的高中学生中各随机抽取1名学生，
恰有1人参与“创城”活动的概率：
P＝P（A+
＝
）＝P（A）P（）+P（）P（C）
＝．
（Ⅲ）将表中的参与率视为概率，从A学校高中学生中随机抽取3人，
这3人参与“创城”活动人数X～B（3，），
P（X＝0）＝
P（X＝1）＝P（X＝2）＝
P（X＝3）＝
∴X的分布列为：
X
P

0

．
1

2

3

＝
＝，
＝
＝
，
，
，
∵X～B（3，），∴E（X）＝3×＝
17．（14分）在四棱锥P﹣ABCD 中，底面ABCD是边长为6的菱形，且∠ABC＝60°，PA
⊥平面ABCD，PA＝6，F是棱P A上的一个动点，E为PD的中点．
（Ⅰ）求证：BD⊥CF．
（Ⅱ）若AF＝2．
（i）求PC与平面BDF所成角的正弦值；
（ii）侧面PAD内是否存在过点E的一条直 线，使得该直线上任一点M与C的连线，都
第15页（共22页）

满足CM∥平而BDF，若存在，求出此直线被直线PA、PD所截线段的长度，若不存在，
请 明理由．

【解答】（I）证明：∵PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，
∴PA⊥BD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
又PA∩AC＝A，PA⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，
∴BD⊥平面PAC，
又CF⊂平面PAC，
∴BD⊥CF．
（II）解：（i）设AC，BD交于点O ，以O为坐标原点，以OB，OC，平面ABCD过点O
的垂线为坐标轴建立空间直角坐标系，
则B（3
6），
∴＝（0，﹣6，6），＝（6，0，0），＝（﹣3
，即
，﹣3，2），
，
，0，0），D（﹣3，0，0），F（0，﹣3，2），C（0，3，0），P（0，﹣ 3，
设平面BDF的法向量为＝（x，y，z），则
令y＝2可得z＝3，即＝（0，2，3） ，
∴cos＜，＞＝＝＝．
∴PC与平面BDF所成角的正弦值为|cos＜，
（ ii）取PF的中点G，连接FG，CG，
∵E，G分别是PD，PF的中点，
＞|＝．
第16页（共22页）

∴EG∥DF，又EG⊄平面BDF，DF⊂平面BDF，
∴EG∥平面BDF，
∵F，O分别是AG，AC的中点，
∴OF∥CG，又OF⊂平面BDF，CG⊄平面BDF，
∴CG∥平面BDF，
又EG⊂平面CEG，CG⊂平面CEG，EG∩CG＝G，
∴平面CEG∥平面BDF，
∴侧面PAD内存在过点E的一条直线EG，使得该直线上任一点M与C的连线，都满足
CM∥ 平而BDF，
此直线被直线PA、PD所截线段为EG＝DF＝＝＝．

18．（ 14分）如图，已知椭圆C：＝1（a＞b＞0），F
1
，F
2
分别为其左、 右焦点，
过F
1
的直线与此椭圆相交于D，E两点，且△F
2
DE的 周长为8，椭圆C的离心率为
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
．
（Ⅱ）在平面直角坐标系 xOy中，已知点P（0，1）与点Q（0，2），过P的动直线l（不
与x轴平行）与椭圆相交于A， B两点，点B
1
是点B关于y轴的对称点．
（i）Q，A，B
1
三点共线．
（ii）＝．
第17页（共22页）

【解答】解：（Ⅰ）∵△F
2
DE的周长为8，
∴4a＝8，即a＝2，
∵e＝＝
∴c＝
22
，
，
2
∴b＝a﹣c＝2，
故椭圆C的方程为+＝1
（Ⅱ）（i）证明：当直 线l的斜率不存在时，A、B分别为椭圆短轴两端点，满足Q，A，
B
1
三点共线．
当直线l的斜率存在时，设直线方程为y＝kx+1，
联立，得（1+2k）x+4kx﹣2＝0．
22
设A（x
1
，y
1
），B（x
2
，y
2
），则B
1
（﹣x
2
，y
2
），
x
1
+x
2
＝﹣ ，x
1
x
2
＝﹣，
＝（x
1
，y
1﹣2），＝（﹣x
1
，y
2
﹣2），
∵x
1
（y
2
﹣2）+x
2
（y
1
﹣2）＝x
1
（kx
2
﹣1）+x
2
（kx
1
﹣1）＝2kx
1
x
2
﹣（x
1
+x
2
）
＝
∴与
+＝0．
共线，则Q，A，B
1
三点共线．
（ii）由（i）可知Q，A，B
1
三点共线，
∴＝＝＝
∴

＝
第18页（共22页）

19．（14分）已知f（x）＝axe在点（0，0）处的切线与直线y＝x﹣2平行．
（Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）设g（x）＝f（x）﹣b（+x）
x
（i）若函数g（x）≥0在[0，+∞）上恒成立，求实数b的最大值；
（ii）当b≤0时，判断函数g（x）有几个零点，并给出证明．
【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）＝axe，则f′（x）＝ae（x+1），
由题意知x＝0时，f′（0）＝a＝1，即a的值为1；
（Ⅱ）（i）g（x）＝f（x）﹣b（
所以g′（x）＝（x+1）（e﹣b），
当x∈[0，+∞）时，若b≤1，则e﹣b≥0，g′（x）≥0，g（x）单调递增，所以g（x）
≥g（0）≥0；
当x∈[0，+∞）时，若b＞1，令g′（x）＝0，解得x
1
＝﹣1（舍去），x
2
＝lnb＞0，
所以g（x）在（0，lnb）内单调递减，g（lnb）＜g（0），所以g（x）≥0不恒成立，
所以b的最大值为1；
（ii）g（x）＝xeb（
x
x
x
x
xx
+x）＝xe﹣b（
x
+x），
+x）＝x[e﹣b（+1）]，显然g（x）有一个零点为0，
x
x
设h（x）＝e﹣b（+1），则h′（x）＝e﹣；
当b＝0时，h（x）无零点，所以g（x）只有一个零点0；
当b＜0时，h′（x）＞0，所以h（x）在R上单调递增，
又h（0）＝1﹣b＞0，h（﹣2）＝﹣1＜0，
由零点存在性定理可知，h（x）在（﹣∞，0）上有唯一一个零点x
0
，
所以g（x）有2个零点；
综上所述，b＝0时，g（x）只有一个零点，b＜0时，g（x）有2个零点．
20．（1 4分）给定数列{a
n
}，若满足a
1
＝a（a＞0且a≠1），对于任意的 n，m∈N，都有a
n+m
＝a
n
•a
m
，则称数列{a< br>n
}为“指数型数列”．
（Ⅰ）已知数列{a
n
}，{b
n
}的通项公式分别为a
n
＝5×3
是不是“指数型数列”；
（Ⅱ） 若数列{a
n
}满足：a
1
＝，a
n
＝2a
na
n+1
+3a
n+1
（n∈N*），判断数列{
“指数型数列 ”，若是给出证明，若不是说明理由；
第19页（共22页）

n
﹣1
*
，b
n
＝4，试判断{a
n
}，{b
n< br>}
n
+1}是否为

（Ⅲ）若数列{a
n}是“指数型数列”，且a
1
＝
都不能构成等差数列．
（a∈N*）， 证明：数列{a
n
}中任意三项
【解答】（Ⅰ）解：对于数列{a
n
}，a
n+m
＝a
n
•a
m
＝×（5×3
指数型数 列．
对于数列{b
n
}，对任意n，m∈N，因为b
n+m
＝4< br>所以{b
n
}是指数型数列．
（Ⅱ）证明：由题意，{
a
n
＝2a
n
a
n+1
+3a
n+1
，⇒
所以 数列{+1}是等比数列，
＝3
m+n
*n+m
n+m
﹣
1
）≠a
n
，所以{a
n
}不是
＝4•4＝b
n•b
m
，
nm
+1}，是“指数型数列”，
⇒，
＝3，
＝（+1），数列{+1}是“指数型数列”．
*
n
（Ⅲ ）证明：因为数列{a
n
}是指数数列，故对于任意的n，m∈N，
有a
n +m
＝a
n
•a
m
，⇒a
n+1
＝a
n< br>•a
1
⇒a
n
＝a
1
＝
n
， 假设数列{a
n
}中存在三项a
u
，a
v
，a
w
构成等差数列，不妨设u＜v＜w，
则由2a
v
＝a
u
+a
w
，得2（
所以2（a+2）
w
﹣
v
）v＝（
v
﹣
u
）u+（
w
﹣
u
）w，
w
﹣
u
（a+1）＝（a+2）+（a+1），
w
﹣
u
当t为偶数时，2（a+2）
数，
故2（a+2）
w
﹣
v
w
﹣
v
（a+1）
v
﹣< br>u
是偶数，而（a+2）是偶数，（a+1）
w
﹣
u
是奇（a+1）
v
﹣
u
＝（a+2）
（a+1）
w
﹣
u
+（a+1）
w
﹣
u
不能成立；
w
﹣
u
当t为奇数时，2（a+2）
数，
故2（a+2）
w
﹣
v
w
﹣
vv
﹣
u
是偶数，而 （a+2）是奇数，（a+1）
w
﹣
u
是偶
（a+1）
*< br>v
﹣
u
＝（a+2）
w
﹣
v
w
﹣< br>u
+（a+1）
v
﹣
u
w
﹣
u
也不 能成立．
w
﹣
u
所以，对任意a∈N，2（a+2）（a+1）＝（a+2 ）+（a+1）
w
﹣
u
不能成立，
即数列{a
n
}的任意三项都不成构成等差数列．

中考数学应试 技巧和注意事项
、认真审题，不慌不忙，先易后难，不能忽略题目中的任何一个条件．
做题顺序 ：一般按照试题顺序做，实在做不出来，可先放一放，先做别的题目不要在一道题上花费太多的时间而影响其他题 目；做题慢的同学要掌握好时间力争一次的成功率；做题速度快的同学要注意做题的质量，要细心，不要马虎．< br>、考虑各种简便方法解题．选择题、填空题更是如此．
选择题
第20页（共22页）

注意选择题要看完所有选项，做选择题可运用各种解题的方法，常 见的方法如直接法，特殊值法，排除法，验证法，图解法，假设法（即反证法），动手操作法（比如折一折，量一 量等方法）．采用淘汰法和代入检验法可节省时间．
有些判断几个命题正确个数的题目，一定要慎重，你 认为错误的最好能找出反例，常见的方法如直接法，特殊值法，排除法，验证法，图解法，假设法（即反证法）， 动手操作法（比如折一折，量一量等方法）．采用淘汰法和代入检验法可节省时间．
填空题
．注 意一题多解的情况．
．注意题目的隐含条件，比如二次项系数不为0,实际问题中的整数等；
． 要注意是否带单位，表达格式一定是最终化简结果；
4.求角、线段的长，实在不会时，可以尝试猜测或 度量法．
解答题
（）注意规范答题，过程和结论都要书写规范．
（）计算题一定要细心 ，最后答案要最简，要保证绝对正确．
（）先化简后求值问题，要先化到最简，代入求值时要注意：分母 不为零；适当考虑技巧，如整体代入．
（）解分式方程一定要检验，应用题中也是如此．
（）解 直角三角形问题，注意交代辅助线的作法，解题步骤．关注直角、特殊角．取近似值时一定要按照题目要求．（）实际应用问题，题目长，多读题，根据题意，找准关系，列方程、不等式（组）或函数关系式．注意题目 当中的等量关系，是为了构造方程，不等量关系是为了求自变量的取值范围，求出方程的解后，要注意验根，是否 符合实际问题，要记着取舍．
（）概率题：要通过画树状图、列表或列举，列出所有等可能的结果，然后 再计算概率．
（）方案设计题：要看清楚题目的设计要求，设计时考虑满足要求的最简方案，不要考虑复 杂、追求美观的方案．
、解各类大题目时脑子里必须反映出该题与平时做的哪个题类似，应反映出似曾相 识的感觉．大题目先把会的一步或两步解好，解题时不会做的先放一放，最后再来解决此类提高问题．
（ ）求二次函数解析式，第一步要检验，方可解第二步（第一步不能错，一错前功尽弃）．
（）对于压轴题 ，基础好的学生应力争解出每一步，方可取得高分，基础稍差的应会一步解一步，不可留空白．例如：应用题的题 设，存在题的存在一定要回答
（）对于存在性问题，要注意可能有几种情况不要遗漏．
（）对于 动态问题，注意要通过多画草图的方法把运动过程搞清楚，也要考虑可能有几种情况．要注意点线的对应关系用局 部的变化来反映整体变化通常利用平行得相似注意临界状态临界状态往往是自变量取值的分界线
、考虑到 网上阅卷对答题的要求很高，所以在答题前应设计好答案的整个布局，字要大小适中，不要把答案写在规定的区域 以外的地方．否则扫描时不能扫到你所写的答案．
、调整好心理状态，解答习题时，不要浮躁，力争考出 最佳水平．
试题难易我不怕；
若试题难，遵循“你难我难，我不怕难”的原则；
若试题 易，遵循“你易我易，我不大意”的原则．
二、注意事项
、注意单位、设未知数、答题的完整．
、求字母系数时，注意检验判别式（否则要被扣分）．
、注意物理、化学及其它学科习题与数学 的联系，应反映出该题的公式，把此题公式与数学知识联系起来．此类习题不会太难，但容易错．
、实际 问题要多读题目，注意认真分析，到题目中寻找等量关系，获取信息，不放过任何一个条件（包括括号里的信息） ，且注意解答完整．尤其注意应用题中的圆弧型实物还是抛物线型的实物．如果是圆弧找圆心，求半径．如果是抛 物线建立直角坐标系，求解析式．
、注意如果第一步条件少，无从下手时，应认真审题，画草图寻找突破 口，才能完成下面几步．注意考虑上步结论或上一步推导过程中的结论．
、注意综合题、压轴题要解清楚 ，答题要完整，尽量不被扣分．
、因式分解时，首先考虑提取公因式，再考虑公式法．一定要注意最后结 果要分解到
不能再分为止．
、找规律的题目，要重在找出规律，切忌盲目乱填．若是函数关系， 解好一定要检验，包括自变量．若不是函数关系，应寻找指数或其它关系．
、注意双解或多解的情况．方 程解的两个答案，有时只有一个答案成立，而有些几何题，却要注意考虑两种情况．有两种答案的通常有：
（）点在线段还是直线上，若在直线上一般要进行分类讨论
（）等腰三角形注意，告诉一边要分为这一 边是底还是腰，告诉一角要分为这一角是顶角还是底角．
（）三角形的高（两种情况）：锐角三角形和钝 角三角形不一样．
（）注意四边形的分类；以A、、、D四个点为顶点的四边形要注意分类：AB为一边 ，AB为一对角线．
（）圆中①已知两圆半径，公共弦，求圆心距．
②已知弦，求弦所对的圆周 角．
③已知半径和两条平行弦，求平行弦间的距离．
④一条弧所对的圆周角的度数有一个，一条 弦所对的圆周角的度数有两个
⑤已知两圆半径，求相切时的圆心距（考虑内切、外切）．
⑥圆内 接三角形，注意圆心在三角形内部还是外部
（）动态问题中的等腰三角形问题，存在类问题中找相似三角 形的题型．
10、注意复杂题目中的隐含条件，尤其在圆中和平面直角坐标系中，考虑用勾股定理、射影 定理、解直角三角形、面积公式、斜边上的中线、直角三角形内切圆半径公式，直角三角形外接圆半径公式R=< br>11、在三角函数的计算中，应把角放到直角三角形中，可以作必要的辅助线．
解直角三角形的应 用中要熟悉仰角、俯角、坡角、坡度等概念
第21页（共22页）

12、三个视图之间的长、宽、高关系．即长对正，宽相等，高平齐．
13、熟悉圆中常见辅助 线的规律，圆中常见辅助线：
（）见切线连圆心和切点；
（）两圆相交连结公共弦和连心线（连 心线垂直平分公共弦）；
（）两圆相切，作连心线，连心线必过切点；
（）作直径，作弦心距， 构造直角三角形，应用勾股定理；
（）作直径所对的圆周角，把要求的角转化到直角三角形中．
14、圆柱、圆锥侧面展开图、扇形面积及弧长公式
做圆锥的问题时，常抓住两点：
（）圆锥母 线长等于侧面展开图扇形的半径．
（）圆锥底面周长等于侧面展开图扇形的弧长．
15、求解析 式：
（）正比例函数、反比例函数只要已知一个条件即可（）一次函数须知两个条件
（）二次函 数的三种形式：一般式、顶点式
（）抛物线的顶点坐标、对称轴
16、常用的定理
（） 射影定理（用相似）
（）勾股定理
（）等腰梯形的性质、判定，中位线定理
（）平行四 边形、矩形、菱形、正方形中的有关定理
17、反证法第一步应假设与结论相反的情况．
18、 （）是轴对称图形但不是中心对称的图形有：角、等腰三角形、等边三角形、等腰梯形、正边形（为奇数）
（）是中心对称图形但不是轴对称图形有：平行四边形
（）既是轴对称图形又是中心对称图形的有：线 段、矩形、菱形、正方形、圆、正边形（为偶数）
19、边形的内角和计算公式：，外角和为
2 0、平面图形的镶嵌要注意：一点处所有内角和为360
21、如果要求尺规作图，应清楚反映出尺规作 图的痕迹，否则会被扣分（一般作垂直平分线和角平分线较多）．
22、任意四边形的中点四边形都为平 行四边形；
顺次连接对角线相等的四边形的中点的四边形是菱形；
顺次连接对角线互相垂直的四 边形的中点的四边形是矩形
23、折叠问题：A 要注意折叠前后线段、角的变化；B 通常要设求知数 ，
24、注意特殊量的使用如等腰三等形中的三线合一正方形中的角，都是做题的关键．
25、 面积问题中考中的面积问题往往是不规则图形，不易直接求解，往往需要借助于面积和与面积差．
26、 统计初步和概率习题注意：
（）平均数、中位数、众数、方差、极差、标准差、加权平均数的计算要准确 ，
方差计算公式：
标准差计算公式：
（）认真思考样本、总体、个体、样本容量（不带 任何单位，只是一个数）
在选择题中的正确判断．（注意研究的对象决定了样本的说法）
（）概 率：
①摸球模型题注意放回和不放回．若是二步事件，或放回事件，或关注和或积的题，一般用列表法； 若是三步事件，或不放回事件，一般用树状图．
②注意在求概率的问题中寻找替代物，常见的替代物有： 球，扑克牌，骰子等．
27、乘法公式及常见变形：
28.综合题：
（）综合题一般分 为好几步，逐步递进，前几步往往比较容易，一定要做中考是按步骤给分的能多做一些就多做一些可以多得分数．
（）注意大前提和各小题的小前提，不要弄混．
（）注意前后问题的联系，前面得出的结论后面 往往要用到．
（）从条件入手可以多写一些结论看哪个结论对作题有帮助实在做不下去时再审题看看是否 还有条件没有用到需不需要做辅助线；从结论入手逆向思维正着答题．
（）往往利用相似（形或A字形图 ），设求知数，构造方程，解方程而求解，必要时需做辅助线函数图像上的点可借助函数解析式来设点通常设横坐 标利用解析式来表示纵坐标．

第22页（共22页）