安徽高考分数线2019-中秋对联

江苏省南京师大附中2020届高三数学5月最后一卷试题
(满分160分，考试时间120分钟)
2020．5
一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．
1. 已知集合A＝{x||x|≤1，x∈Z}，B＝{x|0≤x≤2}，则A∩B＝________．
2. 已知复数z＝(1＋2i)(a＋i)，其中i是虚数单位．若z的实部与虚部相等，则实数a< br>的值为________．
3. 某班有学生52人，现将所有学生随机编号，用系统抽样方法 ，抽取一个容量为4的
样本．已知5号、31号、44号学生在样本中，则样本中还有一个学生的编号是 ________．
4. 3张奖券分别标有特等奖、一等奖和二等奖．甲、乙两人同时各抽取1张奖 券，两人
都未抽得特等奖的概率是________．
5. 函数f(x)＝x＋log
2
(1－x)的定义域为________．
6. 如图是一个算法流程图，则输出k的值为________．
(第6题)
(第7题)

7. 若正三棱柱ABCA
1
B
1< br>C
1
的所有棱长均为2，点P为侧棱AA
1
上任意一点，则四棱锥PB CC
1
B
1
的体积为________．
3
8. 在平面 直角坐标系xOy中，点P在曲线C：y＝x－10x＋3上，且在第四象限内．已
知曲线C在点P处的 切线方程为y＝2x＋b，则实数b的值为________．
9. 已知函数f(x)＝3sin( 2x＋φ)－cos(2x＋φ)(0<φ<π)是定义在R上的奇函数，
π
则f(－)的值为 ________．
8
1
2
10. 如果函数f(x)＝(m－2)x＋2 (n－8)x＋1(m，n∈R且m≥2，n≥0)在区间[，2]上
2
单调递减，那么mn的 最大值为________．
xxy
2
11. 已知椭圆＋y＝1与双曲线
2
－
2
＝1(a>0，b>0)有相同的焦点，其左、右焦点分别
2ab为F
1
，F
2
.若椭圆与双曲线在第一象限内的交点为P，且F
1
P＝F
1
F
2
，则双曲线的离心率为
________．
1
12. 在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(0，5)，点B是直线l：y＝x上位 于第一
2
象限内的一点．已知以AB为直径的圆被直线l所截得的弦长为25，则点B的坐标为
________．


a
n
＋2，n＝2k－1，k∈N，
13. 已知数列 {a
n
}的前n项和为S
n
，a
1
＝1，a
2＝2，a
n＋2
＝

则
*

2a，n＝2k， k∈N，
n

*
222
满足2 019≤S
m
≤3 000的正整数m的所有取值为________．
→→
14. 已知等边三角形ABC的边 长为2，AM＝2MB，点N，T分别为线段BC，CA上的动点，
→→→→→→
则AB·NT ＋BC·TM＋CA·MN取值的集合为________．
二、 解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或
演算步骤．
15. (本小题满分14分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，以x轴正半轴为始边的锐 角α的终边与单位圆O交于
点A，且点A的纵坐标是
10
.
10
3π
(1) 求cos(α－)的值；
4
(2) 若以x轴正 半轴为始边的钝角β的终边与单位圆O交于点B，且点B的横坐标为－
5
，求α＋β的值．
5

16. (本小题满分14分)
如图，已知 正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝2，AF＝1，M是线段
EF的中点．求证 ：
(1) AM∥平面BDE；
(2) AM⊥平面BDF.









17. (本小题满分14分)
某广告商租用了一块如图所示的半圆形封闭区域用于产品展示，该封闭区域由以 O为圆
心的半圆及直径AB围成．在此区域内原有一个以OA为直径、C为圆心的半圆形展示区，该广告商欲在此基础上，将其改建成一个凸四边形的展示区COPQ，其中P，Q分别在半圆O与
半圆 C的圆弧上，且PQ与半圆C相切于点Q.已知AB长为40米，设∠BOP为2θ.(上述图形
均视作 在同一平面内)
(1) 记四边形COPQ的周长为f(θ)，求f(θ)的表达式；
(2) 要使改建成的展示区COPQ的面积最大，求sin θ的值．

18. (本小题满分16分)
xy
在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：
2
＋
2
＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F
1
，F
2
，< br>ab
且点F
1
，F
2
与椭圆C的上顶点构成边长为2的等边三 角形．
(1) 求椭圆C的方程；
(2) 已知直线l与椭圆C相切于点P，且分别与直线 x＝－4和直线x＝－1相交于点M，
NF
1
N.试判断是否为定值，并说明理由．
MF
1
22

19. (本小题满分16分)
n（n＋1）
n（b1
＋b
n
）
*
已知数列{a
n
}满足a
1
·a
2
·…·a
n
＝2(n∈N)，数列{b
n
}的前n项和S
n
＝
2
2
(n∈N)，且b
1
＝ 1，b
2
＝2.
(1) 求数列{a
n
}的通项公式；
(2) 求数列{b
n
}的通项公式；
11
*
(3) 设 c
n
＝－，记T
n
是数列{c
n
}的前n项和，求正整数m ，使得对于任意的n∈N
a
n
b
n
·b
n＋1
均有 T
m
≥T
n
.








*

20. (本小题满分16分)
x
设a为实数，已知函数f(x)＝axe，g(x)＝x＋ln x.
(1) 当a<0时，求函数f(x)的单调区间；
2
(2) 设b为实数，若不等式f(x)≥2x＋bx对任意的a≥1及任意的x>0恒成立，求b的
取值范围；
(3) 若函数h(x)＝f(x)＋g(x)(x>0，x∈R)有两个相异的零点，求a的取值范围．

2020届高三模拟考试试卷
数学附加题
(满分40分，考试时间30分钟)
21. 【选做题】 在A，B，C三小题中只能选做两 题，每小题10分，共20分．若多做，
则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过 程或演算步骤．
A. (选修42：矩阵与变换)

1 1

10

已知矩阵
A
＝

，二阶矩阵
B
满 足
AB
＝

.

0－1

01

(1) 求矩阵
B
；
(2) 求矩阵
B
的特征值．






B. (选修44：坐标系与参数方程)
π
设a为实数，在极坐标系中，已知圆ρ＝2asin θ(a>0)与直线ρcos(θ＋)＝1相切，
4
求a的值．







C. (选修45：不等式选讲)
求函数y＝1－x＋3x＋2的最大值．

【必做题】 第22，23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证
明过程或演算步骤．
22. 如图，在四棱锥PABCD中，PA⊥平面ABCD，∠ABC＝∠BAD＝90°，AD＝A P＝4，AB
＝BC＝2，点M为PC的中点．
(1) 求异面直线AP与BM所成角的余弦值；
4
(2) 点N在线段AD上，且AN＝λ，若直线MN与平面PBC所成角的正弦值为，求λ的
5
值．










23. 在平面直角坐标系xOy中，有一个微型智能机器人(大小不计)只能沿着坐标轴的正
方向或负方向行进，且每一步只能行进1个单位长度，例如：该机器人在点(1，0)处时，下
一步可行 进到(2，0)、(0，0)、(1，1)、(1，－1)这四个点中的任一位置．记该机器人从坐
标原 点O出发、行进n步后落在y轴上的不同走法的种数为L(n)．
(1) 求L(1)，L(2)，L(3)的值；
(2) 求L(n)的表达式．

2020届高三模拟考试试卷(南师附中)
数学参考答案及评分标准

143
1. {0，1} 2. －3 3. 18 4. 5. [0，1) 6. 3 7. 8. －13 9. －2 10.
33
2＋2
18 11. 12. (6，3) 13. 20，21 14. {－6}
2
15. 解：因为锐角α的终边与单位圆O交于点A，且点A的纵坐标是
所以由任意角的三角函数的定义可知sin α＝
310
2
从而cos α＝1－sinα＝.(3分)
10
3π3π3π3102102
(1) cos(α－)＝cos αcos ＋sin αsin ＝×(－)＋×＝－
444102102
5
.(6分)
5
(2) 因为钝角β的终边与单位圆O交于点B，且点B的横坐标是－
所以cos β＝－
525
2
，从而sin β＝1－cosβ＝.(8分)
55
10531025
×(－)＋×＝
105105
5
，
5
10
.
10
10
，
10
于是sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝
2
.(10分)
2
π3π
因为α为锐角，β为钝角，所以α＋β∈(，)，(12分)
22
3π
从而α＋β＝.(14分)
4

16. 证明：(1) 设AC∩BD＝O，连结OE，
∵四边形ACEF是矩形，∴ EF∥AC，EF＝AC.
∵ O是正方形ABCD对角线的交点，
∴ O是AC的中点．
又点M是EF的中点，∴ EM∥AO，EM＝AO.
∴四边形AOEM是平行四边形，
∴ AM∥OE.(4分)
∵ OE平面BDE，AM平面BDE，
∴ AM∥平面BDE.(7分)
(2) ∵ 正方形ABCD，∴ BD⊥AC.
∵平面ABCD∩平面ACEF＝AC，平面ABCD⊥平面ACEF，BD
∴ BD⊥平面ACEF.(9分)
∵ AM平面ACEF，∴ BD⊥AM.(10分)
平面ABCD，
∵正方形ABCD，AD＝2，∴ OA＝1.
由(1)可知点M，O分别是EF，AC的中点，且四边形ACEF是矩形．
∵ AF＝1，∴四边形AOMF是正方形，(11分)
∴ AM⊥OF.(12分)
又AM⊥BD，且OF∩BD＝O，OF
∴ AM⊥平面BDF.(14分)
π
17. 解：(1) 连结PC.由条件得θ∈(0，)．
2
在△POC中，OC＝10，OP＝20，∠POC＝π－2θ，由余弦定理，得
222
PC＝OC＋OP－2OC·OPcos(π－2θ)＝100(5＋4cos 2θ)．(2分)
因为PQ与半圆C相切于点Q，所以CQ⊥PQ，
所以PQ＝PC－CQ＝400(1＋cos 2θ)，所以PQ＝202cos θ.(4分)
所以四边形COPQ的周长为f(θ)＝CO＋OP＋PQ＋QC＝40＋202cos θ，
π
即f(θ)＝40＋202cos θ，θ∈(0，)．(7分)
2
(没写定义域，扣2分)
(2) 设四边形COPQ的面积为S(θ)，则
π
S(θ)＝S
△OCP
＋S
△QCP
＝100(2cos θ＋2sin θcos θ)，θ∈(0，)．(10分)
2
所以S′(θ)＝100(－2sin θ＋2cosθ－2sinθ)＝100(－4sinθ－2sin θ＋
π
2)，θ∈(0，)．(12分)
2
令S′(t)＝0，得sin θ＝
列表：

34－2
.
8
222
222
平面BDF，BD平面BDF，

sin θ
S′(θ)
S(θ)
(0，
34－2
)
8
＋
增
34－2

8
0
最大值
(
34－2
，1)
8
－
减
答：要使改建成的展示区COPQ的面积最大，sin θ的值为
18. 解：(1) 依题意，2c＝a＝2，所以c＝1，b＝3，
22
xy
所以椭圆C的标准方程为＋＝1.(4分)
43
34－2
.(14分)
8
(2) ① 因为直线l分别与直线x＝－4和直线x＝－1相交，
所以直线l一定存在斜率．(6分)
②设直线l：y＝kx＋m，


y＝kx＋m，
222
由

2
得(4k＋3)x＋8kmx＋4(m－3)＝0.
2
< br>3x＋4y＝12，

由Δ＝(8km)－4×(4k＋3)×4(m－3)＝0，
22
得4k＋3－m＝0 ①.(8分)
把x＝－4代入y＝kx＋m，得M(－4，－4k＋m)，
把x＝－1代入y＝kx＋m，得N(－1，－k＋m)，(10分)
所以NF
1
＝|－k＋m|，
MF
1
＝（－4＋1）＋（－4k＋m）＝9＋（－4k＋m） ②，(12分)
22
由①式，得3＝m－4k ③，
把③式代入②式，得MF
1
＝4（k－m）＝2|－k＋m|，
NF
1
|k－m|1NF
1
1
∴＝＝，即为定值.(16分)
MF
1
2|k－m|2MF
1
2
1×2
19. 解：(1) ① a
1
＝2
2
＝2；(2分)
n（n＋1）
2
a
1
a
2
·…·a
n－1
a
n
2
n
②当n≥2时，a
n
＝＝＝2.
a
1
a< br>2
·…·a
n－1
（n－1）n
2
2
所以数列{a< br>n
}的通项公式为a
n
＝2(n∈N)．(4分)
n（b
1
＋b
n
）
(2) 由S
n
＝，得2S
n
＝n(b
1
＋b
n
) ①，
2
所以2S
n－1
＝(n－1)(b
1
＋b
n－1
)(n≥2) ②.
由②－①，得2b
n
＝b
1
＋ nb
n
－(n－1)b
n－1
，n≥2，
即b
1
＋(n－2)b
n
－(n－1)b
n－1
＝0(n≥2) ③，
所 以b
1
＋(n－3)b
n
－(n－2)b
n－1
＝0(n≥ 3) ④.
由④－③，得(n－2)b
n
－2(n－2)b
n－1
＋(n－2)b
n－2
＝0，n≥3，(6分)
因为n≥3，所以n－2>0，上式同除以(n－2)，得
b
n
－2b
n－1
＋b
n－2
＝0，n≥3， < br>即b
n＋1
－b
n
＝b
n
－b
n－1
＝…＝b
2
－b
1
＝1，
所以数列{b
n
}是首项为1，公差为1的等差数列，
*
故b
n
＝n，n∈N.(8分)
n*
2
222
222

11111n（n＋1）
(3) 因为c
n
＝－＝
n
－＝[－1]，(10分)
n
a
n
b
n
·b
n＋1
2n（n＋1）n（n＋1）2
所以c
1
＝0，c
2
>0，c
3
>0，c
4
>0 ，c
5
<0.
n（n＋1）
记f(n)＝，
n
2
（n＋1）（n＋2）n（n＋1）（n＋1）（n－2）
当n≥5时，f(n＋1)－f(n)＝－ ＝－<0，
n＋1nn＋1
222
5×6
所以当n≥5时，数列{f(n) }为单调递减数列，当n≥5时，f(n)5
<1.
2
1n（ n＋1）
从而，当n≥5时，c
n
＝[－1]<0.(14分)
n
n（n＋1）2
因此T
1
2
3
4
，T
4
>T
5
>T
6
>…
*
所以对任意的n∈N，T
4
≥T
n
.
综上，m＝4.(16分)
(注：其他解法酌情给分)
x
20. 解：(1) 当a<0时，因为f′(x)＝a(x＋1)e，当x<－1时，f′(x)>0；
当x >－1时，f′(x)<0.所以函数f(x)单调减区间为(－∞，－1)，单调增区间为(－1，
＋ ∞)．(2分)
2x2
(2) 由f(x)≥2x＋bx，得axe≥2x＋bx，由于x>0，
x
所以ae≥2x＋b对任意的a≥1及任意的x>0恒成立．
xxxx
由于e>0，所以ae≥e，所以e－2x≥b对任意的x>0恒成立．(4分)
xx
设φ(x)＝e－2x，x>0，则φ′(x)＝e－2，
所以函数φ(x)在(0，ln 2)上单调递减，在(ln 2，＋∞)上单调递增，
所以φ(x)
min
＝φ(ln 2)＝2－2ln 2，
所以b≤2－2ln 2.(6分)
1（x＋1）（axe＋1）
(3) 由h(x)＝axe＋x＋ln x，得h′(x)＝a(x＋1)e＋1＋＝，其
xx
xx
x
中x>0. < br>①若a≥0时，则h′(x)>0，所以函数h(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以函数h(x)至< br>多有一个零零点，不合题意；(8分)
1
x
②若a<0时，令h′(x)＝0，得xe＝－>0.
a
由第(2)小题知，当x>0时，φ(x)＝e－2x≥2－2ln 2>0，所以e>2x ，所以xe>2x，
x
所以当x>0时，函数xe的值域为(0，＋∞)．
所以存在 x
0
>0，使得ax
0
ex
0
＋1＝0，即ax
0
ex
0
＝－1 ①，
且当x0
时，h′(x)>0， 所以函数h(x)在(0，x
0
)上单调递增，在(x
0
，＋∞)上单调递减 ．
因为函数有两个零点x
1
，x
2
，
所以h(x)max
＝h(x
0
)＝ax
0
ex
0
＋x0
＋ln x
0
＝－1＋x
0
＋ln x
0
>0 ②.
1
设φ(x)＝－1＋x＋ln x，x>0，则φ′(x)＝1＋>0，所以函数φ(x)在(0，＋∞)上单
x
调递增．
由于φ(1)＝0，所以当x>1时，φ(x)>0，所以②式中的x
0
>1.
1
又由①式，得x
0
ex
0
＝－.
a
x xx2

1
由第(1)小题可知，当a<0时，函数f(x)在(0，＋∞)上单 调递减，所以－>e，
a
1
即a∈(－，0)．(11分)
e
1
当a∈(－，0)时，
e
1
ae
e
111
(i) 由于h()＝＋(－1)<0，所以h()·h(x
0
)<0.
eeee
1
因为<10
，且函数h(x)在(0，x
0
)上单调递减，函数 h(x)的图象在(0，x
0
)上不间断，
e
所以函数h(x)在(0，x
0
)上恰有一个零点；(13分)
11111
(ii) 由于h(－)＝－e－－＋ln(－)，令t＝－>e，
aaaaa
设F(t)＝－e＋t＋ln t，t>e，
1
t
由于t>e时，ln t2t，所以设F(t)<0，即h(－)<0.
a
11
由①式，得当x
0
>1时，－＝x
0
ex
0
>x
0
，且h (－)·h(x
0
)<0，
aa
同理可得函数h(x)在(x
0
，＋∞)上也恰有一个零点．
1
综上，a∈(－，0)．(16分)
e
t

2020届高三模拟考试试卷(南师附中)
数学附加题参考答案及评分标准

21. A. 解：(1) 由题意，由矩阵的逆矩阵公式得
B
＝
A
＝

－1

1 1

0－1


.(5分)

(2) 矩阵
B
的特征多项式f(λ)＝(λ＋1)(λ－1)，(7分)
令f(λ)＝0，解得λ＝1或－1，(9分)
所以矩阵
B
的特征值为1或－1.(10分)
22222
B. 解：将圆ρ＝2asin θ化成普通方程为x＋y＝2ay，整理得x＋(y－a)＝a.(3分)
π
将直线ρcos(θ＋)＝1化成普通方程为x－y－2＝0.(6分)
4
|a＋2|
因为相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即＝a，(9分)
2
解得a＝2＋2.(10分)
C. 解：因为(1－x＋3x＋2)＝(3－3x ·
120
≤(3－3x＋3x＋2)(＋1)＝，(3分)
33
215
所以y＝1－x＋3x＋2≤.(5分)
3
3－3x3x＋272
当且仅当＝，即x＝∈[－，1]时等号成立．(8分)
11123
3
215
所以y的最大值为.(10分)
3
22. 解：(1) 因为PA⊥平面ABCD，且AB，AD平面ABCD，
所以PA⊥AB，PA⊥AD.
因为∠BAD＝90°，所以PA，AB，AD两两互相垂直．
分别以AB，AD，AP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则由AD＝2AB＝ 2BC＝4，PA＝4，可得A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，4，
0)，P(0，0，4)．
因为点M为PC的中点，所以M(1，1，2)．
→→
所以BM＝(－1，1，2)，AP＝(0，0，4)，(2分)
→→
AP·BM0×（－1）＋0×1＋4×26
→→
所以cos〈AP，BM〉＝＝＝，(4分)
→→3
4×6
|AP||BM|
所以异面直线AP，BM所成角的余弦值为< br>6
.(5分)
3
2
1
2
＋3x＋2·1)
3
→
(2) 因为AN＝λ，所以N(0，λ，0)(0≤λ≤4)，则MN＝(－1，λ－1，－2)，

→→
BC＝(0，2，0)，PB＝(2，0，－4)．
→


m
·BC＝0，


2y＝0，
设平面PBC 的法向量为
m
＝(x，y，z)，则

即


< br>→2x－4z＝0.



m
·PD＝0，
令x＝2 ，解得y＝0，z＝1，所以
m
＝(2，0，1)是平面PBC的一个法向量．(7分)
4
因为直线MN与平面PBC所成角的正弦值为，
5
→
|MN·< br>m
||－2－2|4
→
所以|cos〈MN，
m
〉|＝＝＝， 解得λ＝1∈[0，4]，
2
→5
5＋（λ－1）·5
|MN||
m
|
所以λ的值为1.(10分)
23. 解：(1) L(1)＝2，(1分)
L(2)＝6，(2分)
L(3)＝20.(3分)
(2) 设m为沿x轴正方向 走的步数(每一步长度为1)，则反方向也需要走m步才能回到y
nnn
轴上，所以m＝0，1 ，2，……，[](其中[]为不超过的最大整数)，
222
总共走n步，首先任选m步沿x 轴正方向走，再在剩下的n－m步中选m步沿x轴负方向
mmn－2m
走，最后剩下的每一步都 有两种选择(向上或向下)，即C
n
·C
n－m
·2，