恒星学院-单口相声词

2020年山东省青岛市中考数学模拟真题含答案



一、 选择题：本大题共8个小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题目 要求的.

1．（3分）观察下列四个图形，中心对称图形是（ ）

A． B． C． D．

2．（3分）斑叶兰被列为国家二级保护植物，它的一粒种子重约0.00 00005克．将
0.0000005用科学记数法表示为（ ）

A．5×10
7
B．5×10
﹣
7
C．0.5×10
﹣
6
D．5×10
﹣
6

3．（3分）如图，点A所表示的数的绝对值是（ ）


A．3 B．﹣3 C． D．

4．（3分）计算（a
2
）
3
﹣5 a
3
•a
3
的结果是（ ）

A．a
5
﹣5a
6
B．a
6
﹣5a
9
C．﹣4a
6
D．4a
6

的中点，则5．（3分）如图，点A、B、C、D在⊙O上，∠AOC= 140°，点B是
∠D的度数是（ ）


A．70° B．55° C．35.5° D．35°

6．（3分）如图，三角形纸片ABC，AB=AC，∠BAC =90°，点E为AB中点．沿过
点E的直线折叠，使点B与点A重合，折痕现交于点F．已知EF=， 则BC的长
是（ ）

A． B． C．3 D．

7．（3分）如图，将线段AB绕点P按顺时针方向旋转90°，得到线段A'B'，其 中
点A、B的对应点分别是点A'、B'，则点A'的坐标是（ ）


A．（﹣1，3） B．（4，0） C．（3，﹣3） D．（5，﹣1）

8．（ 3分）已知一次函数y=x+c的图象如图，则二次函数y=ax
2
+bx+c在平面直
角坐标系中的图象可能是（ ）


A．


B． C． D．

二、填空题（每题3分，满分18分，将答案填在答题纸上）

9．（3分）已知甲、乙两组数据的折线图如图，设甲、乙两组数据的方差分别为
S
甲
2
、S
乙
2
，则S
甲
2
S
乙
2
（填“＞”、“=”、“＜”）

10．（3分）计算：2
﹣
1
×+2cos30°= ．

11．（3分）5月份，甲、乙两个工厂用水量共为200吨．进入夏季用水高峰期后，
两工厂 积极响应国家号召，采取节水措施.6月份，甲工厂用水量比5月份减少了
15%，乙工厂用水量比5月 份减少了10%，两个工厂6月份用水量共为174吨，
求两个工厂5月份的用水量各是多少．设甲工厂 5月份用水量为x吨，乙工厂5
月份用水量为y吨，根据题意列关于x，y的方程组为 ．

12．（3分）如图，已知正方形ABCD的边长为5，点E、F分别在AD、DC上，< br>AE=DF=2，BE与AF相交于点G，点H为BF的中点，连接GH，则GH的长为 ．


13．（3分）如图，Rt△ABC，∠B=90°，∠C=30°，O为AC 上一点，OA=2，以O
为圆心，以

OA为半径的圆与CB相切于点E，与AB相交 于点F，连接OE、OF，则图中阴影
部分的面积是 ．


14． （3分）一个由16个完全相同的小立方块搭成的几何体，其最下面一层摆放
了9个小立方块，它的主视 图和左视图如图所示，那么这个几何体的搭法共有
种．

三、作图题：本大题满分4分.

15．（4分）已知：如图，∠ABC，射线BC上一点D．

求作：等腰△PBD， 使线段BD为等腰△PBD的底边，点P在∠ABC内部，且点P
到∠ABC两边的距离相等．




四、解答题（本大题共9小题，共74分.解答应写出文字说明、证明 过程或演算
步骤.）

16．（8分）（1）解不等式组：

（2）化简：（﹣2）•．

17．（6分）小明和小亮计划暑期结伴参加志愿者活动 ．小明想参加敬老服务活
动，小亮想参加文明礼仪宣传活动．他们想通过做游戏来决定参加哪个活动，于
是小明设计了一个游戏，游戏规则是：在三张完全相同的卡片上分别标记4、5、
6三个数字， 一人先从三张卡片中随机抽出一张，记下数字后放回，另一人再从
中随机抽出一张，记下数字，若抽出的 两张卡片标记的数字之和为偶数，则按照
小明的想法参加敬老服务活动，若抽出的两张卡片标记的数字之 和为奇数，则按
照小亮的想法参加文明礼仪宣传活动．你认为这个游戏公平吗？请说明理由．

18．（6分）八年级（1）班研究性学习小组为研究全校同学课外阅读情况，在全
校随机邀请 了部分同学参与问卷调查，统计同学们一个月阅读课外书的数量，并

绘制了以下统计图．


请根据图中信息解决下列问题：

（1）共有 名同学参与问卷调查；

（2）补全条形统计图和扇形统计图；

（3）全校 共有学生1500人，请估计该校学生一个月阅读2本课外书的人数约为
多少．

19 ．（6分）某区域平面示意图如图，点O在河的一侧，AC和BC表示两条互相
垂直的公路．甲勘测员在 A处测得点O位于北偏东45°，乙勘测员在B处测得点
O位于南偏西73.7°，测得AC=840m ，BC=500m．请求出点O到BC的距离．

参考数据：sin73.7°≈，cos73.7°≈，tan73.7°≈

20．（8分）已知反比例函数的图象经过三个点A（﹣4，﹣3），B（2m，y
1
）， C
（6m，y
2
），其中m＞0．

（1）当y
1
﹣y
2
=4时，求m的值；

（2） 如图，过点B、C分别作x轴、y轴的垂线，两垂线相交于点D，点P在x
轴上，若三角形PBD的面积 是8，请写出点P坐标（不需要写解答过程）．

21．（8分）已 知：如图，平行四边形ABCD，对角线AC与BD相交于点E，点G
为AD的中点，连接CG，CG的 延长线交BA的延长线于点F，连接FD．

（1）求证：AB=AF；

（2）若AG=AB，∠BCD=120°，判断四边形ACDF的形状，并证明你的结论．


22．（10分）某公司投入研发费用80万元（80万元只计入第一年成本），成功研发出一种产品．公司按订单生产（产量=销售量），第一年该产品正式投产后，生
产成本为6元件． 此产品年销售量y（万件）与售价x（元件）之间满足函数
关系式y=﹣x+26．

（1）求这种产品第一年的利润W
1
（万元）与售价x（元件）满足的函数关系式；

（2）该产品第一年的利润为20万元，那么该产品第一年的售价是多少？

（3）第 二年，该公司将第一年的利润20万元（20万元只计入第二年成本）再
次投入研发，使产品的生产成本 降为5元件．为保持市场占有率，公司规定第
二年产品售价不超过第一年的售价，另外受产能限制，销售 量无法超过12万
件．请计算该公司第二年的利润W
2
至少为多少万元．
< br>23．（10分）问题提出：用若干相同的一个单位长度的细直木棒，按照如图1方
式搭建一个长 方体框架，探究所用木棒条数的规律．

问题探究：

我们先从简单的问题开始探究，从中找出解决问题的方法．

探究一

用若干木棒来搭建横长是m，纵长是n的矩形框架（m、n是正整数），需要木
棒的条数．

如图①，当m=1，n=1时，横放木棒为1×（1+1）条，纵放木棒为（1+1）×1
条， 共需4条；

如图②，当m=2，n=1时，横放木棒为2×（1+1）条，纵放木棒为（2+ 1）×1
条，共需7条；

如图③，当m=2，n=2时，横放木棒为2×（2+1） ）条，纵放木棒为（2+1）×2
条，共需12条；如图④，当m=3，n=1时，横放木棒为3×（1 +1）条，纵放木
棒为（3+1）×1条，共需10条；

如图⑤，当m=3，n=2 时，横放木棒为3×（2+1）条，纵放木棒为（3+1）×2
条，共需17条．


问题（一）：当m=4，n=2时，共需木棒 条．

问题（二）：当矩形框架横长是m，纵长是n时，横放的木棒为 条，

纵放的木棒为 条．

探究二

用若干木棒来搭建横长是m ，纵长是n，高是s的长方体框架（m、n、s是正整
数），需要木棒的条数．

如图 ⑥，当m=3，n=2，s=1时，横放与纵放木棒之和为[3×（2+1）+（3+1）×

2]×（1+1）=34条，竖放木棒为（3+1）×（2+1）×1=12条，共需46条；
< br>如图⑦，当m=3，n=2，s=2时，横放与纵放木棒之和为[3×（2+1）+（3+1）×
2]×（2+1）=51条，竖放木棒为（3+1）×（2+1）×2=24条，共需75条；

如图⑧，当m=3，n=2，s=3时，横放与纵放木棒之和为[3×（2+1）+（3+1）×
2] ×（3+1）=68条，竖放木棒为（3+1）×（2+1）×3=36条，共需104条．


问题（三）：当长方体框架的横长是m，纵长是n，高是s时，横放与纵放木棒
条数之和为 条，竖放木棒条数为 条．

实际应用：现在按探究二的搭建方式搭建一个纵长是2、 高是4的长方体框架，
总共使用了170条木棒，则这个长方体框架的横长是 ．

拓展应用：若按照如图2方式搭建一个底面边长是10，高是5的正三棱柱框架，
需要木棒 条．

24．（12分）已知：如图，四边形ABCD，AB∥DC，CB⊥AB，AB=16 cm，BC=6cm，
CD=8cm，动点P从点D开始沿DA边匀速运动，动点Q从点A开始沿AB边 匀速
运动，它们的运动速度均为2cms．点P和点Q同时出发，以QA、QP为边作平
行四边 形AQPE，设运动的时间为t（s），0＜t＜5．


根据题意解答下列问题：

（1）用含t的代数式表示AP；

（2）设四边形CPQB的面积为S（cm
2
），求S与t的函数关系式；

（3）当QP⊥BD时，求t的值；

（4）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使 点E在∠ABD的平分线上？若存在，

求出t的值；若不存在，请说明理由．

山东省青岛市中考数学模拟试卷

参考答案与试题解析



一、选择题：本大题共8个小题，每小题 3分，共24分.在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题目要求的.

1．（3分）观察下列四个图形，中心对称图形是（ ）

A． B． C． D．

【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．

【解答】解：A、不是中心对称图形，故本选项错误；

B、不是中心对称图形，故本选项错误；

C、是中心对称图形，故本选项正确；

D、不是中心对称图形，故本选项错误．

故选：C．

【点评】本 题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋
转180度后两部分重合．



2．（3分）斑叶兰被列为国家二级保护植物，它的一粒种子重约0.00000 05克．将
0.0000005用科学记数法表示为（ ）

A．5×10
7
B．5×10
﹣
7
C．0.5×10
﹣
6
D．5×10
﹣
6

【分 析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10
﹣
n
，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一
个不为零的数字前面 的0的个数所决定．

【解答】解：将0.0000005用科学记数法表示为5×10
﹣
7
．

故选：B．

【点评】本题考查用科学记数法表 示较小的数，一般形式为a×10
﹣
n
，其中1≤
|a|＜10，n为由原数 左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．

3．（3分）如图，点A所表示的数的绝对值是（ ）


A．3 B．﹣3 C． D．

【分析】根据负数的绝对值是其相反数解答即可．

【解答】解：|﹣3|=3，

故选：A．

【点评】此题考查绝对值问题，关键是根据负数的绝对值是其相反数解答．



4．（3分）计算（a
2
）
3
﹣5a
3
•a
3
的结果是（ ）

A．a
5
﹣5a
6
B．a
6
﹣5a
9
C．﹣4a
6
D．4a
6

【分析】直接利用幂的乘方运算法则化简，再利用单项式乘以单项式、合 并同类
项法则计算得出答案．

【解答】解：（a
2
）
3< br>﹣5a
3
•a
3

=a
6
﹣5a
6

=﹣4a
6
．

故选：C．

【点评】此题主要考查了幂的乘方运算、单项式乘以单项式，正确掌握运 算法则
是解题关键．



5．（3分）如图，点A、B、C、D在⊙O上，∠AOC=140°，点B是
∠D的度数是（ ）

的中点，则

A．70° B．55° C．35.5° D．35°

【分析】根据圆心角、弧、弦的关系定理得到∠AOB=∠AOC，再根据圆周角 定
理解答．

【解答】解：连接OB，

∵点B是的中点，

∴∠AOB=∠AOC=70°，

由圆周角定理得，∠D=∠AOB=35°，

故选：D．

【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系定理、圆周角定理，掌握在同圆或
等圆中，同弧或等弧 所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解
题的关键．



6．（3分）如图，三角形纸片ABC，AB=AC，∠BAC=90°，点E为AB中点．沿过
点E的直线折叠，使点B与点A重合，折痕现交于点F．已知EF=，则BC的长
是（ ）


A． B． C．3 D．

【分析】由折叠的性质可知∠B=∠EAF= 45°，所以可求出∠AFB=90°，再直角三角
形的性质可知EF=AB，所以AB=AC的长可求 ，再利用勾股定理即可求出BC的
长．

【解答】解：

∵沿过点E的直线折叠，使点B与点A重合，

∴∠B=∠EAF=45°，

∴∠AFB=90°，

∵点E为AB中点，

∴EF=AB，EF=，

∴AB=AC=3，

∵∠BAC=90°，

∴BC=
故选：B．

【点评】本 题考查了折叠的性质、等腰直角三角形的判断和性质以及勾股定理的
运用，求出∠AFB=90°是解题 的关键．



7．（3分）如图，将线段AB绕点P按顺时针方向旋转90 °，得到线段A'B'，其中
点A、B的对应点分别是点A'、B'，则点A'的坐标是（ ）

=3，


A．（﹣1，3） B．（4，0） C．（3，﹣3） D．（5，﹣1）

【分析】画图可得结论．

【解答】解：画图如下：

则A'（5，﹣1），

故选：D．

【点评】本题考查了旋转的性质，熟练掌握顺时针或逆时针旋转某个点或 某直线
的位置关系．



8．（3分）已知一次函数y=x+c的 图象如图，则二次函数y=ax
2
+bx+c在平面直
角坐标系中的图象可能是（ ）


A． B． C． D．

【分析】根据反比例函数图象一次 函数图象经过的象限，即可得出＜0、c＞0，
由此即可得出：二次函数y=ax
2
+ bx+c的图象对称轴x=﹣
y轴负正半轴，再对照四个选项中的图象即可得出结论．

【解答】解：观察函数图象可知：＜0、c＞0，

∴二次函数y=ax
2
+bx+c的图象对称轴x=﹣
故选：A．

【点评】本题考查了一次函数的图象以及二次函数的图象，根据一次函数图象经
过的象限，找出 ＜0、c＞0是解题的关键．



二、填空题（每题3分，满分18分，将答案填在答题纸上）

9．（3分）已知甲、 乙两组数据的折线图如图，设甲、乙两组数据的方差分别为
S
甲
2
、S
乙
2
，则S
甲
2
＜ S
乙
2
（填“＞”、“=”、“＜”）

＞0，与y轴的交点在y轴负正半轴．

＞0，与y轴的交点在

【分析】结合图形，根据数据波动较大的方差较大即可求解．

【解答】解：从图看出 ：乙组数据的波动较小，故乙的方差较小，即S
甲
2
＜S
乙
2
．

故答案为：＜．

【点评】本题考查了方差的意义．方差是用来衡量一 组数据波动大小的量，方差
越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方 差
越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据
越稳定．


10．（3分）计算：2
﹣
1
×+2cos30°= 2 ．

【分析】根据特殊角的三角函数值和有理数的乘法和加法可以解答本题．

【解答】解：2
﹣
1
×
=
=
=2，

．



+2cos30°

故答案为：2
【点评】本题考查实数的运算、负整数指数幂、特殊角的三角函数值，解答本题
的关键是明确它们各自 的计算方法．



11．（3分）5月份，甲、乙两个工厂用水量共为20 0吨．进入夏季用水高峰期后，
两工厂积极响应国家号召，采取节水措施.6月份，甲工厂用水量比5月 份减少了
15%，乙工厂用水量比5月份减少了10%，两个工厂6月份用水量共为174吨，
求两个工厂5月份的用水量各是多少．设甲工厂5月份用水量为x吨，乙工厂5

月份用水 量为y吨，根据题意列关于x，y的方程组为
．

【分析】设甲工厂5月份用水量 为x吨，乙工厂5月份用水量为y吨，根据两厂
5月份的用水量及6月份的用水量，即可得出关于x、y 的二元一次方程组，此
题得解．

【解答】解：设甲工厂5月份用水量为x吨，乙工厂5月份用水量为y吨，

根据题意得：
故答案为：
．

．

【点评】本题考 查了二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组
是解题的关键．



12．（3分）如图，已知正方形ABCD的边长为5，点E、F分别在AD、DC上，AE=DF=2，BE与AF相交于点G，点H为BF的中点，连接GH，则GH的长为 ．


【分析】根据正方形的四条边都相等可得AB=AD，每一个角都是直角可得∠BAE=∠D=90°，然后利用“边角边”证明△ABE≌△DAF得∠ABE=∠DAF，进一步得∠
A GE=∠BGF=90°，从而知GH=BF，利用勾股定理求出BF的长即可得出答案．

【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，

∴∠BAE=∠D=90°，AB=AD，

在△ABE和△DAF中，

∵，

∴△ABE≌△DAF（SAS），

∴∠ABE=∠DAF，

∵∠ABE+∠BEA=90°，

∴∠DAF+∠BEA=90°，

∴∠AGE=∠BGF=90°，

∵点H为BF的中点，

∴GH=BF，

∵BC=5、CF=CD﹣DF=5﹣2=3，

∴BF=
∴GH=BF=
故答案为：
=
，

．

，

【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性 质，直角三角形两锐
角互余等知识，掌握三角形全等的判定方法与正方形的性质是解题的关键．



13．（3分）如图，Rt△ABC，∠B=90°，∠C=30°，O为AC上 一点，OA=2，以O
为圆心，以

OA为半径的圆与CB相切于点E，与AB相交于 点F，连接OE、OF，则图中阴影
部分的面积是 ﹣π ．


【分析】根据扇形面积公式以及三角形面积公式即可求出答案．

【解答】解：∵∠B=90°，∠C=30°，

∴∠A=60°，

∵OA=OF，

∴△AOF是等边三角形，

∴∠COF=120°，

∵OA=2，

∴扇形OGF的面积为：=

∵OA为半径的圆与CB相切于点E，

∴∠OEC=90°，

∴OC=2OE=4，

∴AC=OC+OA=6，

∴AB=AC=3，

∴由勾股定理可知：BC=3

∴△ABC的 面积为：×3×3
∵△OAF的面积为：×2×
∴阴影部分面积为：
故答案为：﹣π< br>
﹣
=
=，


﹣π=﹣π

< br>【点评】本题考查扇形面积公式，涉及含30度角的直角三角形的性质，勾股定
理，切线的性质， 扇形的面积公式等知识，综合程度较高．



14．（3分）一个由16个 完全相同的小立方块搭成的几何体，其最下面一层摆放
了9个小立方块，它的主视图和左视图如图所示， 那么这个几何体的搭法共有 4
种．


【分析】先根据主视图确定每一列 最大分别为4，2，3，再根据左视确定每一行
最大分别为4，3，2，总和要保证为16，还要保证俯 视图有9个位置．

【解答】解：这个几何体的搭法共有4种：如下图所示：



故答案为：4．

【点评】本题考查几何体的三视图．由几何体的主视图、左视图及小 立方块的个
数，可知俯视图的列数和行数中的最大数字．



三、作图题：本大题满分4分.

15．（4分）已知：如图，∠ABC，射线BC上一点D．

求作：等腰△PBD， 使线段BD为等腰△PBD的底边，点P在∠ABC内部，且点P
到∠ABC两边的距离相等．


【分析】根据角平分线的性质、线段的垂直平分线的性质即可解决问题．

【解答】解：∵点P在∠ABC的平分线上，

∴点P到∠ABC两边的距离相等（角平分线上的点到角的两边距离相等），

∵点P在线段BD的垂直平分线上，

∴PB=PD（线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等），

如图所示：

【点评】本题考查作图﹣复杂作图、角平分线的性质、线 段的垂直平分线的性质
等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于基础题，中考常考题型．



四、解答题（本大题共9小题，共74分.解答应写出文字说明、证明 过程或演算
步骤.）

16．（8分）（1）解不等式组：

（2）化简：（﹣2）•．

【分析】（1）先求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．

（2）根据分式的混合运算顺序和运算法则计算可得．

【解答】解：（1）解不等式＜1，得：x＜5，

解不等式2x+16＞14，得：x＞﹣1，

则不等式组的解集为﹣1＜x＜5；


（2）原式=（
=
=．

•
﹣

）•

【点评】本题主要考查分式的混合运算和解一元一次不等式组，解题的关键是掌
握解一元一次不等式组的步骤和分式混合运算顺序和运算法则．

17．（6分）小明和小亮计划暑期结伴参加志愿者活动．小明想参加敬老服务活
动， 小亮想参加文明礼仪宣传活动．他们想通过做游戏来决定参加哪个活动，于
是小明设计了一个游戏，游戏 规则是：在三张完全相同的卡片上分别标记4、5、
6三个数字，一人先从三张卡片中随机抽出一张，记 下数字后放回，另一人再从
中随机抽出一张，记下数字，若抽出的两张卡片标记的数字之和为偶数，则按 照
小明的想法参加敬老服务活动，若抽出的两张卡片标记的数字之和为奇数，则按
照小亮的想法 参加文明礼仪宣传活动．你认为这个游戏公平吗？请说明理由．

【分析】首先根据题意列表， 然后根据表求得所有等可能的结果与和为奇数、偶
数的情况，再利用概率公式求解即可．

【解答】解：不公平，

列表如下：


4

5

6

4

8

9

10

5

9

10

11

6

10

11

12

由表可知，共有9种等可能结果，其中和为偶数的有5种结果，和为奇数的有4
种结果，

所以按照小明的想法参加敬老服务活动的概率为，按照小亮的想法参加文明 礼
仪宣传活动的概率为，

由≠知这个游戏不公平；

【点评】此题 考查了列表法求概率．注意树状图与列表法可以不重不漏的表示出
所有等可能的情况．用到的知识点为： 概率=所求情况数与总情况数之比．



18．（6分）八年级（1）班研 究性学习小组为研究全校同学课外阅读情况，在全
校随机邀请了部分同学参与问卷调查，统计同学们一个 月阅读课外书的数量，并
绘制了以下统计图．

请根据图中信息解决下列问题：

（1）共有 100 名同学参与问卷调查；

（2）补全条形统计图和扇形统计图；

（3）全校 共有学生1500人，请估计该校学生一个月阅读2本课外书的人数约为
多少．

【分析】（1）由读书1本的人数及其所占百分比可得总人数；

（2）总人数乘以读 4本的百分比求得其人数，减去男生人数即可得出女生人数，
用读2本的人数除以总人数可得对应百分比 ；

（3）总人数乘以样本中读2本人数所占比例．

【解答】解：（1）参与问卷调查的学生人数为（8+2）÷10%=100人，

故答案为：100；


（2）读4本的女生人数为100×15%﹣10=5人，

读2本人数所占百分比为
补全图形如下：

×100%=38%，

（3）估计该校学生一个月阅读2本课外书的人数约为1500× 38%=570人．

【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图 ，从不
同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每
个项目的 数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．



19．（6分） 某区域平面示意图如图，点O在河的一侧，AC和BC表示两条互相
垂直的公路．甲勘测员在A处测得点 O位于北偏东45°，乙勘测员在B处测得点
O位于南偏西73.7°，测得AC=840m，BC=5 00m．请求出点O到BC的距离．

参考数据：sin73.7°≈，cos73.7°≈，tan73.7°≈

【分析】作OM⊥BC于M，ON⊥AC于N，设OM=x，根据矩形的性质用x表示
出OM、MC ，根据正切的定义用x表示出BM，根据题意列式计算即可．

【解答】解：作OM⊥BC于M，ON⊥AC于N，

则四边形ONCM为矩形，

∴ON=MC，OM=NC，

设OM=x，则NC=x，AN=840﹣x，

在Rt△ANO中，∠OAN=45°，

∴ON=AN=840﹣x，则MC=ON=840﹣x，

在Rt△BOM中，BM=
由题意得，840﹣x+
解得，x=480，

答：点O到BC的距离为480m．

x=500，

=x，

【点评】本题考查的是解直角三角形的应用，掌握 锐角三角函数的定义、正确标
注方向角是解题的关键．



20． （8分）已知反比例函数的图象经过三个点A（﹣4，﹣3），B（2m，y
1
），C
（6m，y
2
），其中m＞0．

（1）当y
1
﹣y
2
=4时，求m的值；

（2） 如图，过点B、C分别作x轴、y轴的垂线，两垂线相交于点D，点P在x
轴上，若三角形PBD的面积 是8，请写出点P坐标（不需要写解答过程）．


【分析】（1）先根据反比例函数 的图象经过点A（﹣4，﹣3），利用待定系数法
求出反比例函数的解析式为y=
y
1
==，y
2
=
，再由反比例函数图象上点的坐标特征得出
=，然后根 据y
1
﹣y
2
=4列出方程﹣=4，解方程即可求出m
的值；

（2）设BD与x轴交于点E．根据三角形PBD的面积是8列出方程••PE=8，
求出 PE=4m，再由E（2m，0），点P在x轴上，即可求出点P的坐标．

【解答】解：（1）设反比例函数的解析式为y=，

∵反比例函数的图象经过点A（﹣4，﹣3），

∴k=﹣4×（﹣3）=12，

∴反比例函数的解析式为y=，

∵反比例函数的图象经过点B（2m ，y
1
），C（6m，y
2
），

∴y
1
==，y
2
==，

∵y
1
﹣y
2
=4，

∴﹣=4，

∴m=1；


（2）设BD与x轴交于点E．

∵点B（ 2m，），C（6m，），过点B、C分别作x轴、y轴的垂线，两垂线相
交于点D，

∴D（2m，），BD=﹣=．

∵三角形PBD的面积是8，

∴BD•PE=8，

∴••PE=8，

∴PE=4m，

∵E（2m，0），点P在x轴上，

∴点P坐标为（﹣2m，0）或（6m，0）．


【点评】本题考查了待定 系数法求反比例函数的解析式，反比例函数图象上点的
坐标特征以及三角形的面积，正确求出双曲线的解 析式是解题的关键．



21．（8分）已知：如图，平行四边形ABCD ，对角线AC与BD相交于点E，点G
为AD的中点，连接CG，CG的延长线交BA的延长线于点F， 连接FD．

（1）求证：AB=AF；

（2）若AG=AB，∠BCD=120°，判断四边形ACDF的形状，并证明你的结论．


【分析】（1）只要证明AB=CD，AF=CD即可解决问题；

（2）结论：四边形ACDF是矩形．根据对角线相等的平行四边形是矩形判断即
可；

【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴BE∥CD，AB=CD，

∴∠AFC=∠DCG，

∵GA=GD，∠AGF=∠CGD，

∴△AGF≌△DGC，

∴AF=CD，

∴AB=CF．


（2）解：结论：四边形ACDF是矩形．

理由：∵AF=CD，AF∥CD，

∴四边形ACDF是平行四边形，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠BAD=∠BCD=120°，

∴∠FAG=60°，

∵AB=AG=AF，

∴△AFG是等边三角形，

∴AG=GF，

∵△AGF≌△DGC，

∴FG=CG，∵AG=GD，

∴AD=CF，

∴四边形ACDF是矩形．

【点 评】本题考查平行四边形的判定和性质、矩形的判定、全等三角形的判定和
性质等知识，解题的关键是正 确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．



22．（10分）某 公司投入研发费用80万元（80万元只计入第一年成本），成功研
发出一种产品．公司按订单生产（产 量=销售量），第一年该产品正式投产后，生
产成本为6元件．此产品年销售量y（万件）与售价x（元 件）之间满足函数
关系式y=﹣x+26．

（1）求这种产品第一年的利润W
1
（万元）与售价x（元件）满足的函数关系式；

（2）该产品第一年的利润为20万元，那么该产品第一年的售价是多少？

（3）第 二年，该公司将第一年的利润20万元（20万元只计入第二年成本）再
次投入研发，使产品的生产成本 降为5元件．为保持市场占有率，公司规定第
二年产品售价不超过第一年的售价，另外受产能限制，销售 量无法超过12万
件．请计算该公司第二年的利润W
2
至少为多少万元．

【分析】（1）根据总利润=每件利润×销售量﹣投资成本，列出式子即可；

（2）构建方程即可解决问题；

（3）根据题意求出自变量的取值范围，再根据二次 函数，利用而学会设的性质
即可解决问题；

【解答】解：（1）W
1
=（x﹣6）（﹣x+26）﹣80=﹣x
2
+32x﹣236．


（2）由题意：20=﹣x
2
+32x﹣236．

解得：x=16，

答：该产品第一年的售价是16元．


（3）由题意：7≤x≤16，

W
2
=（x﹣5）（﹣x+26） ﹣20=﹣x
2
+31x﹣150，

∵7≤x≤16，

∴x=7时，W
2
有最小值，最小值=18（万元），

答：该公司第二年的利润W
2
至少为18万元．

【 点评】本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用等知识，解题的关键是
理解题意，学会构建方程或 函数解决问题，属于中考常考题型．



23．（10分）问题提出：用若 干相同的一个单位长度的细直木棒，按照如图1方
式搭建一个长方体框架，探究所用木棒条数的规律．< br>

问题探究：

我们先从简单的问题开始探究，从中找出解决问题的方法．

探究一

用若干木棒来搭建横长是m，纵长是n的矩形框架（m、n是正整数），需要木
棒的条数．

如图①，当m=1，n=1时，横放木棒为1×（1+1）条，纵放木棒为（1+1）×1
条， 共需4条；

如图②，当m=2，n=1时，横放木棒为2×（1+1）条，纵放木棒为（2+ 1）×1
条，共需7条；

如图③，当m=2，n=2时，横放木棒为2×（2+1） ）条，纵放木棒为（2+1）×2
条，共需12条；如图④，当m=3，n=1时，横放木棒为3×（1 +1）条，纵放木
棒为（3+1）×1条，共需10条；

如图⑤，当m=3，n=2 时，横放木棒为3×（2+1）条，纵放木棒为（3+1）×2
条，共需17条．


问题（一）：当m=4，n=2时，共需木棒 22 条．

问题（二）：当矩形框架横长是m，纵长是n时，横放的木棒为 m（n+1） 条，

纵放的木棒为 n（m+1） 条．

探究二

用若 干木棒来搭建横长是m，纵长是n，高是s的长方体框架（m、n、s是正整
数），需要木棒的条数．< br>
如图⑥，当m=3，n=2，s=1时，横放与纵放木棒之和为[3×（2+1）+（3+1） ×
2]×（1+1）=34条，竖放木棒为（3+1）×（2+1）×1=12条，共需46条；

如图⑦，当m=3，n=2，s=2时，横放与纵放木棒之和为[3×（2+1）+（3+1）×< br>2]×（2+1）=51条，竖放木棒为（3+1）×（2+1）×2=24条，共需75条；

如图⑧，当m=3，n=2，s=3时，横放与纵放木棒之和为[3×（2+1）+（3+1）×
2]×（3+1）=68条，竖放木棒为（3+1）×（2+1）×3=36条，共需104条．


问题（三）：当长方体框架的横长是m，纵长是n，高是s时，横放与纵放木棒
条数之和为 [m（n+1）+n（m+1）]（s+1） 条，竖放木棒条数为 （m+1）
（n+1）s 条．

实际应用：现在按探究二的搭建方式搭建一个纵长是2、高是4的长方体框架，
总共使用了170条木棒，则这个长方体框架的横长是 4 ．

拓展应用：若按照如图2方式搭建一个底面边长是10，高是5的正三棱柱框架，
需要木棒 1320 条．

【分析】从特殊到一般探究规律后利用规律即可解决问题；

【解答】解：问题（一）：当m=4，n=2时，横放木棒为4×（2+1）条，纵放木
棒为（4+1 ）×2条，共需22条；

问题（二）：当矩形框架横长是m，纵长是n时，横放的木棒为 m（n+1）条，
纵放的木棒为n（m+1）条；

问题（三）：当长方体框架的横长 是m，纵长是n，高是s时，横放与纵放木棒
条数之和为[m（n+1）+n（m+1）]（s+1）条 ，竖放木棒条数为（m+1）（n+1）s
条．

实际应用：这个长方体框架的横长是 s，则：[3m+2（m+1）]×5+（m+1）×3
×4=170，解得m=4，

拓展应用：若按照如图2方式搭建一个底面边长是10，高是5的正三棱柱框架，
横放与纵放木棒条数 之和为165×6=990条，竖放木棒条数为60×5=330条需要
木棒1320条．
< br>故答案为22，m（n+1），n（m+1），[m（n+1）+n（m+1）]（s+1），（m+1） （n+1）
s，4，1320；

【点评】本题考查规律型﹣图形变化类问题，解题的 关键是理解题意，学会用分
类讨论的思想解决问题，属于中考填空题中的压轴题．



24．（12分）已知：如图，四边形ABCD，AB∥DC，CB⊥AB，AB=16cm ，BC=6cm，
CD=8cm，动点P从点D开始沿DA边匀速运动，动点Q从点A开始沿AB边匀速
运动，它们的运动速度均为2cms．点P和点Q同时出发，以QA、QP为边作平
行四边形A QPE，设运动的时间为t（s），0＜t＜5．


根据题意解答下列问题：

（1）用含t的代数式表示AP；

（2）设四边形CPQB的面积为S（cm
2
），求S与t的函数关系式；

（3）当QP⊥BD时，求t的值；

（4）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使 点E在∠ABD的平分线上？若存在，
求出t的值；若不存在，请说明理由．

【分析 】（1）如图作DH⊥AB于H则四边形DHBC是矩形，利用勾股定理求出
AD的长即可解决问题；< br>
（2）作PN⊥AB于N．连接PB，根据S=S
△
PQB
+S△
BCP
，计算即可；

（3）当PQ⊥BD时，∠PQN+∠DBA= 90°，∠QPN+∠PQN=90°，推出∠QPN=∠DBA，

推出tan∠QPN ==，由此构建方程即可解解题问题；

（4）存在．连接BE交DH于K，作KM⊥BD于M ．当BE平分∠ABD时，△KBH
2
=2
2
+x
2
，≌△ KBM，推出KH=KM，BH=BM=8，设KH=KM=x，在Rt△DKM中，（6﹣x）
解得x =，作EF⊥AB于F，则△AEF≌△QPN，推出EF=PN=（10﹣2t），AF=QN=
（1 0﹣2t）﹣2t，推出BF=16﹣[（10﹣2t）﹣2t]，由KH∥EF，可得
由此构建方程即 可解决问题；

【解答】解：（1）如图作DH⊥AB于H，则四边形DHBC是矩形，

∴CD=BH=8，DH=BC=6，

∴AH=AB﹣BH=8，AD=
由题意AP=AD﹣DP=10﹣2t．


=，
=10，BD==10，

（2）作PN⊥AB于N．连接PB．在Rt△APN中，PA=10﹣2t，

∴P N=PA•sin∠DAH=（10﹣2t），AN=PA•cos∠DAH=（10﹣2t），

∴BN=16﹣AN=16﹣（10﹣2t），

S=S
△
PQB< br>+S
△
BCP
=•（16﹣2t）•（10﹣2t）+×6×[16﹣（10﹣ 2t）]=t
2
﹣12t+78


（3）当PQ⊥BD时，∠PQN+∠DBA=90°，

∵∠QPN+∠PQN=90°，

∴∠QPN=∠DBA，

∴tan∠QPN==，

∴=，

解得t=，

是分式方程的解，

经检验：t=
∴当t=s时，PQ⊥BD．

（4）存在．

理由：连接BE交DH于K，作KM⊥BD于M．

当BE平分∠ABD时，△KBH≌△KBM，

∴KH=KM，BH=BM=8，设KH=KM=x，

在Rt△DKM中，（6﹣x ）
2
=2
2
+x
2
，

解得x=，

作EF⊥AB于F，则△AEF≌△QPN，

∴EF=PN=（10﹣2t），AF=QN=（10﹣2t）﹣2t，

∴BF=16﹣[（10﹣2t）﹣2t]，

∵KH∥EF，

∴=，

∴=，

解得：t=
经检验：t=
∴当t=
，

是分式方程的解，

s时，点E在∠ABD的平分线．


【点评】本题考查四边形综合题，解直角三角形、锐角三角函数、全等三角形的
判定和性质、平行线分线 段成比例定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助
线，构造直角三角形或全等三角形解决问题，学会 理由参数构建方程解决问题，
属于中考压轴题．