广西邕宁高中-齐齐哈尔大学教务处

2014年北京中考题数学题
一、

选择题（本题共
32
分，每题
4
分）

下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的

1
．
2
的相反数是（）．

A
．
2
B
．
2
C
．

2
D
．
2
2
．据报道，某小区居民李先生改进用水设备，在十年内帮助他居住小区的
居民 累计节水
300000
吨，将
300000
用科学计数法表示应为（）．
A
．
0.310
6
B
．
310
5
C
．
310
6
D
．
3010
4
3
．如图，有
6
张扑克牌，从中随机抽取
1
张，点数 为偶数的概率（）．

1
A
．
6
1
B
．< br>4
1
1
C
．
3
D
．
2
11

4
．右图是某几何体的三视图，该几何体是（）．

A
．圆锥
B
．圆柱

C
．正三棱柱
D
．正三棱锥

5
．某篮球队
12
名队员的年龄如下表所示：

年龄
18
（
岁
）

人数

5 4 1 2
19 20 21
则这
12
名队员年龄的众数和平均数分别是（）．

A
．< br>18
，
19
B
．
19
，
19
C．
18
，
19.5
D
．
19
，
19. 5

6
．园林队公园进行绿化，中间休息了一段时间．已知绿

化面积
S
（单位：平方米）与工作时间
t
（单位：小时）的函数关系的图像如图所示，则休息后园林队每小时绿化面积为（）．

A
．
40
平方米
B
．
50
平方米

C
．
80
平方米
D
．
100
平方米

A22.5
，
7
．如图，⊙
O
的直径
A B
垂直于弦
CD
，垂足是
E
，
OC4
，
CD
的长为（）．

A
．
22
B
．
4

C
．
42
D
．
8

8
．已知点< br>A
为某封闭图形边界的一定点，动点
P
从点
A
出发，沿其边界 顺时
针匀速运动一周，设点
P
的时间为
x
，线段
AP
的长为
y
，表示
y
与
x
的函
数关系的图象大致如 图所示，则该封闭图形可能是（）．

二．填空题（本体共
16
分，每题
4
分）

9．分解因式：
ax
4
9ay
2
=___
______ __________
．

10
．在某一时刻，测得一根高为
1.8 m
的竹竿的影长为
3m
，同时测得一根旗杆
的影长为
25m
，那么这根旗杆的高度为
_________________
m
．

11
．如图，在平面直角坐标系
xOy
中，正方形
OABC
的边长 为
2
．写出一个函
数
k
y(k0)
使它的图象与正方形
OABC
x
有公共点，这个函数的表达式为
______________< br>．

12
．在平面直角坐标系
xOy
中，对于点
P( x,y)
，我们把点
P

(y1,x1)
叫做点
P< br>伴
随点，一直点
A
的伴随点为
A
，点
A
的伴 随点为
A
，点
A
的伴随点为
A
，
122334这样依次得到点
A
，
A
，
A
…
，
A< br>…
，若点
A
的坐标为
(3,1)
，则点
A
的 坐
123
n1
3
标为
__________
，点
A
的坐标为
__________
；若点
A
的坐标为
(a,b )
，
2014
1
对于任意正整数
n
，点
A
均在
x
轴上方，则
a
，
b
应满足的条件为
n
_____________
．

三．解答题（本题共
30
分，每小题
5
分）

13
．如图，点
B
在线段
AD
上，
BC∥DE< br>，
ABED
，
BCDB
．

求证：
AE
．

14
．计算：

6 -


0
-1

1



-

-3tan30

-3

5

．

121
x1x
15
．解不等式，并把它的解集在数轴上表示 出来．（添加图）

232
16
、已知
x-y=
2
,x+1)-2x+y(y-2x)
的值．

求代数式（
3
17、已知关于
x
的方程
mx
2
-(m+2)x+2=0
（
m≠0)
．

(1)
求证：方程总有两个实数根；

(2)
若方程的两个实数根都是整数，求正整数
m
的值．

18
．列方程或方程组解应用题

小马自驾私家车从
A
地到
B
地，驾驶原来的燃油汽车所需油费
108
元，
驾驶新购买的纯电动 汽车所需电费
27
．已知每行驶
1
千米，原来的燃
油汽车所需的油费 比新购买的纯电动汽车所需的电费多
0
．
54
元，求
新购买的纯电动 汽车每行驶
1
千米所需的电费．

19
．如图，在
ABCD
中，
AE
平分∠
BAD
，交
BC
于点
E< br>，
BF
平分∠
ABC
，
交
AD
于点
F
，
AE
与
BF
交于点
P
，连接
EF．
PD
．

（
1
）求证：四边形
ABEF
是菱形；

（
2
）若
AB=4
，
AD=6
，∠
ABC=60°
，求
tan
∠
ADP
的值．

20
．根据某研究院 公布的
2009-2013
年我国成年国民阅读调查报告的部分数
据，绘制的统计图表 如下：

2013年成年国民2009~2013年成年国民
倾向的阅读方式人数分布统计图年人均阅读图书数量统计表

年份 年人均阅读图书数量
（本）
3.88
4.12
4.35
4.56
4.78
2009
2010
2011
2012
2013
根据以上信息解答下列问题：

（
1
）

直接写出扇形统计图中
m
的值；

（
2
）

从
2009
到
2013
年，成年国民年人均阅读图书的数量每年增长的幅度
近似相等，估算
2014
年成年国 民年人均阅读图书的数量约为
_______
本；

（
3
）

2013
年某小区倾向图书阅读的成年国民有990
人，若该小区
2014
年
与
2013
年成年国民 的人数基本持平，估算
2014
年该小区成年国民阅
读图书的总数量约为
__ ___
本．

21
．如图，
AB
是⊙
O
的 直径，
C
是弧
AB
的中点，⊙
O
的切线
BD
交
AC
的延长线于点
D
，
E
是
OB
的中 点，
CE
的延长线交切线
DB
于点
F
，
AF
交⊙
O
于点
H
，连结
BH
．

（
1
）求证：
AC=CD
；

（
2
）若
OB=2
，求
BH
的长．

22
．阅读下面材料：

小腾遇到这样一个问题：如图
1
， 在△
ABC
中，点
D
在线段
BC
上，∠
BAD=7 5°
，
∠
CAD=30°
，
AD=2
，
BD=2D C
，求
AC
的长．

E

图1图2

小腾发现，过点
C
作
CE
∥
AB
，交
A D
的延长线于点
E
，通过构造△
ACE
，
经过推理和计算能 够使问题得到解决（如图
2
）．

请回答：∠
ACE
的度数 为
___________
，
AC
的长为
____________ _
．

参考小腾思考问题的方法，解决问题：

如图
3，在四边形
ABCD
中，∠
BAC=90°
，∠
CAD=30°
，∠
ADC=75°
，
AC
与
BD
交于点
E
，

AE=2
，
BE=2ED
，求
BC
的长．

五．解答题（本题共
22
分，第
23
题
7
分，第
24
题
7
分，第
25
题
8
分）

23
．在平面直角坐标系
xOy
中，抛物线
y=2x
2
+m x+n
经过点
A
（
0
，
-2
），
B
（
3
，
4
）．

（
1
）求抛物线的表达式及对称轴；

（
2
）设点
B
关于原点的对称点为
C
，点
D
是抛物线对称轴上一动点， 记抛
物线在
A
，
B
之

间的部分为图象
G
（包含
A
，
B
两点）．若直线
CD
与图象
G
有公共点，结
合函数图象，求点

D
纵坐标
t
的取值范围．

24
．在正方形
ABCD
外侧作直线
AP
，点
B
关于直线
AP
的 对称点为
E
，连
接
BE
，
DE
，其中
DE
交直线
AP
于点
F
．

（
1
）依题意补全图
1
；

（
2
）若∠
PAB=20°
，求∠
ADF
的度数；

<
∠
PAB<90°
（
3
）如图
2
，若
45°
，用等式表示线段
AB
，
FE
，
FD
之间的数
量 关系，并证明．

25
．对某一个函数给出如下定义：若存在实数
M>0，对于任意的函数值
y
，
都满足
-M≤y≤M
，则称这个函数是 有界函数．在所有满足条件的
M
中，其
最小值称为这个函数的边界值．例如，下图中的 函数是有界函数，其边界值

是
1
．

（1） 分别判 断函数
y=
1
（
x>0
）和
y=x+1
（
-4）是不是有界函数？若
x
是有界函数，求边界值；

（2） 若函数
y=-x+1
（
a≤x≤b
，
b>a
）的边界值是
2
，且这个函数的最大值也
是
2
，求
b的取值范围；

（3） 将函数
yx
2
(1≤x≤m,m≥ 0)
的图象向下平移
m
个单位，得到的函数的边
界值是
t
， 当
m
在什么范围时，满足
3
4
t1
？

2014年北京高级中等学校招生考试

数学答案

一.选择题（本题共32分，每小题4分）：
题号

选项

1

B

2

B

3

D

4

C

5

A

6

B

7

C

8

A

二.填空题（本题共16分，每小题4分）：
题号

9

10

11

12

（-3,1）；
答案


15


（0,4）；
－1＜a＜1
且0＜b＜2

三.解答题（本题共30分，每小题5分）：
13．（本小题满分5分）
证明：∵BC∥DE
∴∠ABC=∠EDB；
在△ABC和△EDB中：
AB=ED；
∠ABC=∠EDB；
BC=DB；
∴△ABC≌△EDB；
∴∠A=∠E
14.（本小题满分5分）
解：原式=
=
=


15.（本小题满分5分）
解：移项得：
；

合并同类项得：
系数化为1：x≥

在数轴上表示出来：
16.（本小题满分5分）
解：化简代数可得：
原式=
=
=
∵




∴原式==4
17.（本小题满分5分）
（1）证明：可知△=
=
=
=
=
∴方程总有两个实数根。
（2）解：由公式法解方程可得：
≥0



∴
x
1
=x
2
=

由题意：方程的两个实数根均为整数
∴x
2
必为整数；
又∵m为正整数；
∴m=1或者2。
18.（本小题满分5分）

解：（方法不唯一）设A、B两地距离为x千米
由题意可知：
解得：x=150
∴纯电动汽车每行驶一千米所需电费为：
四.解答题（本题共20分，每小题满分5分）：
19.（本小题满分5分）
（1）证明：∵因为ABCD是平行四边形
∴AB∥CD；AD∥CB
∵AE平分∠BAD；BF平分∠ABC；
∴∠BAE=∠DAE；∠ABF=∠CBF；
可知：∠DAE=∠BEA；∠EBF=∠AFB；
∴∠ABF=∠AFB；∠BAE=∠AEB
∴AB=BE；AB=AF；
∵AF∥BE
∴四边形ABEF为菱形
（2）解：作PH⊥AD
∵∠ABC=60°，AB=BE；
∴△ABE为等边三角形；
∴AE=AB=4；∠DAE=60°；
∵ABEF为菱形；
∴P点为AE中点；
∴AP=2；
可知：AH=1；PH=；
∵AD=6；
∴DH=5；PH=
∴tan∠ADP=
H

20.（本小题满分5分）
（1）66；
（2）5.01；
（3）7575.
21.（本小题满分5分）
（1）证明：连接CO
∵BD为⊙O的切线，AB为直径；
∴∠ABD=90°；
∵C点为弧AB中点；
∴∠COA=90°
∴CO∥BD；
∵O点为AB中点；
∴点C为AD中点；即：AC=CD
（2）解：∵CO⊥AB；E为OB中点；OB=2；
∴OE=1=BE；
∵CO∥FD
∴△COE≌△FBE
∴BF=CO=2；
∵AB为直径；
∴∠AHB=90°=∠ABF；
∵∠BFH=∠AFB
∴△ABF∽△BHF
∴
；

∴BH：FH：BF=1：2：；
∵BF=2；
∴BH=
=

22.（本小题满分5分）

（1）75°，3
（2）解：过点D作DF⊥AC；
∵∠BAC=90°；
∴AB∥DF
∵BE=2ED；
∴
；

∵AE=2；

∴EF=1；

∴AF=3；

∵∠CAD=30°；∠AFD=90°；

F
∴DF=；AD=2；

∵∠CAD=30°，∠ADC=75°；

∴∠ACD=75°；即AC=AD

可知：AC=AD=2
∵DF=

∴AB=2

∴△ABC为等腰直角三角形；

∴BC=·AB=2

五.解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）：
23.（本小题满分7分）
解：（1）∵y=2x
2
+mx+n经过点A（0，-2），B（3，4）
代入，得：
n=-2

18+3m+n=4
∴m=-4；n=-2
∴抛物线的表达式为：y=
∴对称轴为：x=-1
（2）由题意可知：C（-3，-4）
二次函数的最小值为－4；

由图像可以看出D点坐标最小值即为－4；
最大值即BC的解析式：
当x=1时，y=
∴－4≤t≤
24.（本小题满分7分）
解：（1）补全图形如图所示：
25.（本小题满分8分）