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高考数学中的内切球和外接球问题
一、 有关外接球的问题
如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面
体是球的内 接多面体，这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接
球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考 查的一个热点. 考查
学生的空间想象能力以及化归能力.研究多面体的外接球问题，既要
运用 多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的
有关几何元素与球的半径之间的关系，而 多面体外接球半径的求法在
解题中往往会起到至关重要的作用.
一、直接法(公式法)
1、求正方体的外接球的有关问题
例1若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的 表面
积为______________ .
例2一个正方体的各顶点均在同一球的球面上， 若该正方体的表
面积为
24
，则该球的体积为______________.
2、求长方体的外接球的有关问题
例3一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的 三条
棱长分别为
1,2,3
，则此球的表面积为 .
例4已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，
体积为16，则这个球的表面积为（ ）.
A.
16

B.
20

C.
24

D.
32


3.求多面体的外接球的有关问题
例5一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱 垂直于底面，已知该
六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为，底面周长
为
3
，则这个球的体积为 .
解 设正六棱柱的底面边长为
x
，高为
h
，则有

6x3



93
2

xh

6
4

8

h3


1


x
2

1
2
98
∴正六棱柱的底面圆的半径
r
，球心到底面的距离
d
接球 的半径
Rr
2
d
2
. 体积：
V
4

3
R
.
3
3
.∴外
2
小结 本题是运用公式
R
2
r
2
d
2
求球的半径的，该公式是求球
的半径的常用公式.
二、构造法(补形法)
1、构造正方体
例5 若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧 棱长均为
3
，则其外
接球的表面积是_______________.
例3 若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为
3
，则其外
接球的表面积是 .
故其外接球的表面积
S4

r
2
9

.
小结：一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分
别为
a,b,c< br>，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体
对角线的长就是该三棱锥的外接球的直 径.设其外接球的半径为
R
，则
有
2Ra
2
b
2
c
2
. 出现“墙角”结构利用补形知识，联系长方体。

【原理】：长方体中从一个顶点出发的三条棱长分别为
a,b,c
，则
体对角线长 为
la
2
b
2
c
2
，几何体的外接球直径为
2R
体对角线长
l

a
2
b
2
c
2
即
R
2
练习：在四面体
ABCD
中，共顶点的三条棱两两垂直，其长度分
别为
1,6,3
，若该四面体的四个顶点在一个球面上，求这个球的表面
积。球的表面积为
S4

R
2
16


例 6一个四面体的所有棱长都为
2
，四个顶点在
同一球面上，则此球的表面积为（ ）
A.
3

B.
4

C.
33

D.
6



例7 已知球
O
的面上四点A、B、C、D，
DA平面ABC
，< br>ABBC
，
DAABBC3
，则球
O
的体积等于 .
解析：本题同样用一般方法时，需要找出球心，求出球的半径.而利
用长方体模型很快便可 找到球的直径，由于
DA平面ABC
，
ABBC
，
联想长方体中 的相应线段关系，构造如图4所示的长方体，又因为
DAABBC3
，则此长方体为正方 体，所以
CD
长即为外接球的直
径，利用直角三角形解出
CD3
. 故球
O
的体积等于

.（如图4）





B
A
B
C
A
9
2
D
O
O
图4
C
D
图5

2、例8（ 2008年安徽高考题）已知点A、B、C、D在同一个球面上，
AB平面BCD
，
DCBC
，若
AB6,AC213,AD8
，则球的体积是
解析：首先可联想到例7，构造下面的长方体，于是
AD
为球的
直径，O为球心，OBOC4
为半径，要求B、C两点间的球面距离，
只要求出
BOC
即可，在
RtABC
中，求出
BC4
，所以
BOC60< br>
，
故B、C两点间的球面距离是

.（如图5）
本文章在给出图形的情况下解决球心位置、半径大小的问题。
三.多面体几何性质法
例.已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为
16，则这个球的表面积是
A.
16

B.
20

C.
24

D.
32

.
小结:本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直
径”这一性质来求解的.
四.寻求轴截面圆半径法
例正四棱锥
SABCD
的底面边长和各侧棱长都 为
2
，点
S,A,B,C,D
都在同一球面上，则此球的体积为
4
3
S
解:设正四棱锥的底面中心为
O
1
，外接球 的球心为
O
，
如图1所示.∴由球的截面的性质，可得
OO
1
平面ABCD
.
又
SO
1
平面ABCD
，∴球心< br>O
必在
SO
1
所在的直线上.
∴
ASC
的外接圆就是外接球的一个轴截面圆，外接
圆的半径就是外接球的半径.
在
ASC
中，由
SASC2,AC2,得SA
2
SC
2
A C
2
，
A
D
O
1
图3
B
C

∴
ASC是以AC为斜边的直角三角形
.
∴
AC4< br>1
是外接圆的半径，也是外接球的半径.故
V
球


.
23
小结:根据题意，我们可以选择最佳角度找出含有正棱锥特征元
素的外接球 的一个轴截面圆，于是该圆的半径就是所求的外接球的半
径.本题提供的这种思路是探求正棱锥外接球半 径的通解通法，该方
法的实质就是通过寻找外接球的一个轴截面圆，从而把立体几何问题
转化为 平面几何问题来研究.这种等价转化的数学思想方法值得我们
学习.
五 .确定球心位置法
例5 在矩形
ABCD
中，
AB4,BC3
，沿
AC
将矩形
ABCD
折成一个直二面角
BACD
，则四面体
ABCD
的外接球的体
积为
A.
5

B.

C.

D.

< br>12963
D
C
B
A
O
图4
解:设矩形对角 线的交点为
O
，则由矩形对角线互相平分，
可知
OAOBOCOD.∴点
O
到四面体的四个顶点
A,B,C,D
的距离相
等，即点
O
为四面体的外接球的球心，如图2所示.∴外接球的半径
ROA
541 25

. .故
V
球


R
3

236
出现两个垂直关系，利用直角三角形结论。
【原理】：直角三角形斜边中线等于斜边一半。球心为直角三角
形斜边中点。

【例题】：已知三棱锥的四个顶点都在球
O
的球面上，ABBC
且
PA7,PB5,PC51,AC10
求球
O的体积。
解：
ABBC
且
PA7,PB5,PC51,AC10

因为
7
2
(51)
2
10
2
所以知:
AC
2
PA
2
PC
2

所以
APPC
所以可得图形为：
在
RtABC
中斜边为
AC

在
RtAPC
中斜边为
AC

取斜边的中点，
在
RtABC
中
OAOBOC

在
RtAPC
中
OPOBOC

所以在几何体中
OPOBOCOA
，即为该四面体的外接球的球心
R
AC4500
5
所以该外接球的体积为
V
球

R
3



233
【总结】斜边一般为四面体中除了直角顶点以外的两个点连线。

1. （ 陕西理•6）一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，
其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上 ，则该正三棱锥的体积
是（ ）
A．
33
4
B．
3
3
C．
3
4
D．
3
12

答案 B
2. 直三棱柱
ABCA1
B
1
C
1
的各顶点都在同一球面上，若
ABAC AA
1
2
,
BAC120
，则此球的表面积等于 。

解:在
ABC
中
ABAC2
,
BAC120
,可得
BC23
,由正弦定理,可
得ABC

外接圆半径r=2,设此圆圆心为
O

，球心为O
，在
RTOBO

中，易得
球半径
R5
，故此球的表面积为
4

R
2
20

.
3．正三棱柱
ABCA
1
B
1
C
1
内接 于半径为
2
的球，若
A,B
两点的球面距离
为

， 则正三棱
柱的体积为 ．
答案 8
4.表面积为
23
的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球
的体积为
A．

B．

C．

D．
答案 A
【解析】此正八面体是每个面的边长均为
a
的正三角形，所 以由
3a
2
823
知，
4
2
3
1
3
2
3
22


3

a1
，则此球的直径为
2
，故选A。

5.已知正方体外接球的体积是
32

，那么正方体的棱长等于（ ）
3
A.2
2
B.
D.
43

3
2342
C.
33
答案 D
6.（2006山东卷）正方体的内切球与其外接球的体积之比为 ( )
A. 1∶
3
B. 1∶3 C. 1∶3
3

D. 1∶9
答案 C
7.（2008海南、宁夏理科）一个六棱柱的底面是正六边

形，其侧棱垂直底面．已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且
该六棱柱的体积为
．
答案
4


3
9
，底面周长为3，则这个球的体积为
8
8. （2007天津理•12）一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且
一个顶点上的三条棱
的长分别为1，2，3，则此球的表面积为 ．
答案
14π

9.（2007全国Ⅱ理•15）一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2 cm

的球面上。如果正四
棱柱的底面边长为1 cm，那么该棱柱的表面积为 cm
2
.
答案
242

10.（2006辽宁）如 图，半径为2的半球内有一内接正六棱锥
PABCDEF
，则此正六棱
P

C
B


A
F
D
E
锥的侧面积是________．
答案
67

11.（辽宁省抚顺一中2009届高三数学上学期第一次月考）
棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个

球面上，若过该球球心的一个截面如图，则图中
三角形(正四面体的截面)的面积是 .
答案
2


12.（2009枣庄一模）一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体
外接球的表面积为 （ ）


A．
3


C．
16


3
B．
2


D．以上都不对
答案C

23
13.设正方体的棱长为
3
，则它的外接球的表面积为（ ）
A．

B．2π C．4π D．


答案C
8
3
4
3