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2020届高三第四次月考
理科数学试卷

(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合
题目要求的）
1. 设
z
1i
2i
，则
|z|

1i
1
A.
0
B.C.
1
D.
2

2

3
2. 设
xR
，则“
x1
”是“
|x|1
”的
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.
充要条件
D.既不充分也不必要条件
3. 下列命题中，
m,n
表示两条不同的直线，

,

,

表示三个不同的平面。
①若
m< br>
,n

，则
mn
；②若



,



，则



；
③若
m

,n

，则
mn
； ④若



，



,m

，则m

.

其中正确的命题是
A.①③ B.②③ C.①④ D.②④
4. 将函数
f(x)sin2x
的图像保持纵坐标不 变，先将横坐标缩短为原来的
长度后得到
g(x)
，则
g(x)
的解 析式为
1

，再向右平移个单位
26
)
B.
g(x)sin(x)

66
2


C.
g(x)sin(4x)
D.
g(x)sin(4x)

36
5. 如图，在杨辉三角形中，斜线
l
的上方从1按箭头所示方向可以构成一个“锯齿形”数列：1，
3,3,4,6,5 ,10，…，则这个数列的第19项为
A.
g(x)sin(x



A.
55



1
B.
110

C.
58
D.
220

6. 已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为

A.
4

3
B.
8

C.
4
D.
8

3
7. 若等差数列

a
n
< br>的公差为2，且
a
5
是
a
2
与
a
6
的等比中项，则数列

a
n

的前
n
项和
S
n
取最小值是，
n
的值等于
A.
4
B.
5

C.
6
D.
7

8. 假设有两个分类变量
X
和
Y
的
22
列联表：


对统一样本，以下数据能说明
X
和
Y
有关系的可能性最大的一组为
A.
a45,c15
B.
a40,c20

C.
a35,c25
D.
a30,c30

9. 法国有个名人叫做布莱尔

帕斯卡，他认识两个赌徒，这两个赌徒向他提出一个 问题，他们说，他
们下赌金之后，约定谁先赢满5局，谁就获得全部赌金700法郎，赌了半天，甲赢了 4局，乙赢了
3局，时间很晚了，他们都不想再赌下去。假设每局两赌徒输赢的概率各占
那么这 700法郎如何分配比较合理
A.甲400法郎，乙300法郎 B.甲500法郎，乙200法郎
C.
甲525法郎，乙175法郎
D.甲350法郎，乙350法郎
10. 已知
F
1
,F
2
是椭圆与双曲线的公共焦点，
P
是它们的一个公共点，且
|PF
1
||PF
2
|
，线段
PF
1
的垂
直平分线过F
2
，若椭圆的离心率为
e
1
，双曲线的离心率为
e< br>2
，则
1
，每局输赢相互独立，
2
2e
2

的最小值为
e
1
2
A.
6
B.
3

C.
6
D.
3

2

11. 设直线
l
1
,l
2
分别是函数
f(x)|lnx|
图像上点
P
1
,P
2处的切线，
l
1
与
l
2
垂直相交于点
P
，且
l
1
,l
2
分
别与
y
轴相交于A,B
，则
PAB
的面积的取值范围是
A.
(0,1)
B.
(0,2)

C.
(0,)

D.
(1,)

12. 设一个正三棱柱
ABCDEF
，每条棱长都相等，一只蚂蚁从上底面
ABC
的某顶点出发，每次只
沿着棱爬行并爬到另一个顶点，算一次爬行，若它选择三个方向 爬行的概率相等，若蚂蚁爬行10
次，任然在上底面的概率为
P
10
，则P
10
为
A.
11
10
1111
11
111
10
1
C.
()
D.
()

()
B.
()
11

43232

32

232
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 设
xR
，向量
a(x,1)
，
b(1,2 )
，且
ab
，则
|a2b|
__________.
14. 有4名优秀学生
A,B,C,D
全部被保送到甲、乙、丙3所学校，每名学生 只能被保送到1所学校，
每所学校至少1名，则不同的保送方案共有_________种。（填写数字 ）
15. 已知函数
f(x)
满足
f(1)2
，且
f( x)
在
R
上的导数
f

(x)1
，则不等式f(x)x1
的解集是
__________.
16. 如图，在
ABC
中，已知角
A,B,C
对应的边分别为
a,b,c
，其中< br>a3
，且
(ab)(sAinsinB)(cb)sinC
，
D
是
AC
边上一点，若
ABAD
，则
CBD
的周长的取
值范围是__________.

三、解答题（共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. （本小题满分12分）
已知正项数列

a
n

的前
n
项和为
S
n
，且
a
n
1
是
4
与
S
n
的等比中项。
（1）求

a
n

的通项公式；

( 1)
n1
n

（2）求数列

的前
2n项和
T
2n
.


a
n
a
n1

18. （本小题满分12分）
如图，四棱锥
PABCD
的底面是菱形，平面
PA D
平面
ABCD
，
O,E
分别为
AD,AB
的中 点，
AB6
，
DPAP5
，
BAD60

。
（1）求证：
ACPE
；
3

（2）求直线
PB
与平面
POE
所成角的正弦值。

19. （本小题满分12分）
x
2
y
2
已知 椭圆
C:
2

2
1
，设直线
l:xty
是椭圆
C
的一条切线，两点
M(2,y
1
)
和
N(2,y
2
)
在
ab
切线
l
上。
（1）若
P
3
(1,
1
(1,1)
，
P
2
(0,1)
，
P
33
)
,
P
4
(1,)
中恰有三点在椭圆
C
上，求椭圆
C
的方程； 22
（2）在（1）的条件下，证明：当
t,

变化时，以
MN
为直径的圆恒过定点，并求出定点坐标。
20. （本小题满分12分）
已知函数
f(x)ln(x1)ax(a0).

（1）讨论函数
f(x)
的单调性；
（2）若函数
f(x)
在区间
(1,0)
有唯一零点
x
0
，证明：
e
21. （本小题满分12分）
据长期统计分析，某货物每天的需求量
r(rN)
在17与26之间，日需求量
r
（件）的频率
P(r)
分布如下表所示：
*
2
2
x
0
1e
1
。

已知其成本为每件5元，售价为每件10元，若供大于求，则每件需降价处理，处理价每件2 元。
假设每天的进货量必须固定。
（1）设每天的进货量为
X
n
( X
n
16n,n1,2,,10)
，视日需求量
Y
i
(Y
i
16i,i1,2,,10)
的
频率为概率
Pi
（
i1,2,,10
），求在每天进货量为
X
n
的条件下，日销售量
Z
n
的期望值
E(Z
n
)
（用
P
i
表示）；
（2）在（1）的条件下，写出
E(Z
n< br>)
和
E(Z
n1
)
的关系式，并判断
X
n
为何值时，日利润最大？


4

请考生在第22、23两题中任选一题作答，并用
2B
铅笔在答题卡上把所 选题目的题号涂黑。注意所做
题目的题号必须与所涂题目的题号一致，在答题卡选答区域指定位置答题。 如果多做，则按所做的第一
题计分。
22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
1

xt


2
在平面直角坐标系
xOy
中，直线
l
的参数方程为< br>
（
t
为参数），在以坐标原点为极点，
3

y1 t

2

x
轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线
C的极坐标方程为

asin

（
aR
且
a 0
）。
（1）求直线
l
的极坐标方程及曲线
C
的直角坐标方程；
（2）已知
A(

1
,

)
是直线
l上的一点，
B(

2
,


的最大值为2，求
a
的值。
23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数
f(x)|x1|.

（1）求函数
yf(x)f(x1)
的最大值；
（2）若
f (|a2|3)f((a2)1)
，求实数
a
的取值范围。




















5
2

6

1
R
，

2R
，若
)
是曲线
C
上的一点，
|OB|
|O A|

2020届高三第四次月考
高三理科数学答题卡








线









































订




号



座

































装






















名


姓















封















































级
密
班





成绩：
一、选择题（本题满分60分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案

二、填空题（本题满分20分）
13 . 14.
15. 16.
三、解答题（本题满分70分）
17．









6

18．








19．
7

20．





















21.



















8

22.


9

10

11

12

13

14

15

16

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17