（2）设直线
l
与圆
O
相切于第一象限内的点
P．
①若直线
l
与椭圆C有且只有一个公共点，求点
P
的坐标；
②直线
l
与椭圆
C
交于
A,B
两点．若
△ OAB
的面积为
19．（本小题满分16分）
记
f

(x ),g

(x)
分别为函数
f(x),g(x)
的导函数．若存在< br>x
0
R
，满足
f(x
0
)g(x
0)
且
f

(x
0
)g

(x
0
)
，则称
x
0
为函数
f(x)
与
g( x)
的一个“
S
点”．
26
，求直线
l
的方程．
7
（1）证明：函数
f(x)x
与
g(x)x
2
2x2
不存在“
S
点”；
（2）若函数
f(x)ax2
1
与
g(x)lnx
存在“
S
点”，求实数a
的值；
2
[来源:]

be
x
（3）已知函 数
f(x)xa
，
g(x)
．对任意
a0
，判断 是否存在
b0
，使函数
f(x)
与
x
g(x)
在 区间
(0,)
内存在“
S
点”，并说明理由．
20．（本小题满分16分）
设
{a
n
}
是首项为
a
1
，公差为
d
的等差数列，
{b
n
}
是首项为
b
1
，公比为
q
的等比数列．
（1）设
a
1
0,b
1
1,q2
，若
|a
n
b
n
|b
1
对
n1,2,3,4
均成立，求
d
的取值范围；
（2）若
a
1
b
1
0,m N
*
,q(1,
m
2]
，证明：存在
dR
，使 得
|a
n
b
n
|b
1
对
n2,3,
成立，并求
d
的取值范围（用
b
1
,m,q
表示） ．
,m1
均

数学Ⅱ(附加题)
21．【选做题】本题包括A 、B、C、D四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．若
．．．．．．．．．．．．． ．．．．．．．．
多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．[选修4—1：几何证明选讲](本小题满分10分)
如图，圆
O
的半径为 2，
AB
为圆
O
的直径，
P
为
AB
延长< br>线上一点，过
P
作圆
O
的切线，切点为
C
．若
PC23
，
求
BC
的长．
B．[选修4—2：矩阵与变换](本小题满分10分)
[来源:学|科|网]


4


23

已知矩阵
A

．
12

（1）求
A
的逆矩阵
A
1
；
（2）若点
P
在矩阵
A
对应的变换作用下得到点
P

(3,1)
，求点
P
的坐标．
C．[选修4—4：坐标系与参数方程](本小题满分10分)
π
在极坐标系中，直 线
l
的方程为

sin(

)2
，曲线
C
的方程为

4cos

，求直线
l
被曲线< br>6
C
截得的弦长．
D．[选修4—5：不等式选讲](本小题满分10分)
若
x
，
y
，
z
为实数，且
x
+2
y
+2
z
=6，求
x
2
y
2
 z
2
的最小值．
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答 题卡指定区域内作答，解答时应写
．．．．．．．
出文字说明、证明过程或演算步骤．
22．（本小题满分10分）
如图，在正三棱柱
ABC
-
A
1
B
1
C
1
中，
AB
=
AA
1
=2，点
P
，
Q
分别
为
A
1
B< br>1
，
BC
的中点．
（1）求异面直线
BP
与
AC
1
所成角的余弦值；
（2）求直线
CC
1
与平面
AQC
1
所成角的正弦值．




23．(本小题满分10分)
设
nN
*
，对1，2，···，
n
的一个排列
i
1
i2
列
i
1
i
2
i
n
的一个逆序，排列
i
1
i
2
i
n
，如果当
s
<t
时，有
i
s
i
t
，则称
(i
s< br>,i
t
)
是排
i
n
的所有逆序的总个数称为其逆序数 ．例如：对1，2，3的一
个排列231，只有两个逆序(2，1)，(3，1)，则排列231的逆序 数为2．记
f
n
(k)
为1，2，···，
n
的所有排列中 逆序数为
k
的全部排列的个数．
（1）求
f
3
(2),f
4
(2)
的值；
（2）求
f
n
(2)(n5)
的表达式(用
n
表示)．

5

参考答案
一、填空题：本题考查基础知识、基本运算和基本思想方法．每小题5分，共计70分．
1．{1，8}
5．[2，+∞）
9．
2

2








2．2
6．






3．90







4．8
8．2
3

10

π
7．


6


10．
4

3
11．–3 12．3
13．9
二、解答题
14．27
15．本小题主要考查直线与直线、直线与平面以及平面与 平面的位置关系，考查空间想象能力和推
理论证能力．满分14分．
证明：（1）在平行六面 体
ABCD
-
A
1
B
1
C
1
D< br>1
中，
AB
∥
A
1
B
1
．
因为
AB

平面
A
1
B
1
C
，
A
1
B
1

平面
A
1
B
1
C
，
所以
AB
∥平面
A
1
B
1
C
．
（2）在平行六面体
ABCD
-
A
1
B
1
C
1
D
1
中，四边形
ABB
1
A
1
为
平行四边形．
又因为
AA
1
=
AB
，所以 四边形
ABB
1
A
1
为菱形，
因此
AB
1
⊥
A
1
B
．
又因为
AB
1
⊥
B
1
C
1
，
BC
∥
B
1
C
1
，
所以
AB
1
⊥
BC
．
又因为
A
1
B
∩
BC
=
B
，
A
1
B

平面
A
1
BC
，
BC

平面
A
1
BC
，

6

所以
AB1
⊥平面
A
1
BC
．
因为
AB
1< br>
平面
ABB
1
A
1
，
所以平面
ABB
1
A
1
⊥平面
A
1
BC
．
16．本小题主要考查同角三角函数关系、两角和（差）及二倍角的三角函数，考查运算求解能力．满
分14分．
解：（1）因为
tan


4sin

4
，
tan


，所以
sin

co s

．
3cos

3
9
，
25
因为
sin
2

cos
2

1
，所 以
cos
2


因此，
cos2

2c os
2

1
7
．
25
（2）因为

,

为锐角，所以



(0,π)
．
又因为
cos(



)
525
，所以
sin(



)1cos
2
(



)
，
55
因此
tan(



)2
．
42tan

24
，所以
tan2


，

31tan
2

7
tan2

t an(



)2
因此，
tan(

< br>
)tan[2

(



)]
．
1+tan2

tan(



)1 1
因为
tan


17．本小题主要考查三角函数的应用、用导数求 最值等基础知识，考查直观想象和数学建模及运用
数学知识分析和解决实际问题的能力．满分14分．
解：（1）连结
PO
并延长交
MN
于
H
，则
PH
⊥
MN
，所以
OH
=10．
过
O
作
OE
⊥
BC
于
E
，则
OE
∥
M N
，所以∠
COE
=
θ
，
故
OE
=40 cos
θ
，
EC
=40sin
θ
，
则矩形
ABCD
的面积为2×40cos
θ
（40sin
θ
+10）=8 00（4sin
θ
cos
θ
+cos
θ
），
△< br>CDP
的面积为
1
×2×40cos
θ
（40–40sin< br>θ
）=1600（cos
θ
–sin
θ
cos
θ）．
2
过
N
作
GN
⊥
MN
，分别交 圆弧和
OE
的延长线于
G
和
K
，则
GK
=
KN
=10．
令∠
GOK
=
θ
0
，则s in
θ
0
=
当
θ
∈[
θ
0
，1
π
，
θ
0
∈（0，）．
46
π
）时，才能作出满足条件的矩形
ABCD
，
2
1
，1）．
4
所以sin
θ
的取值范围是[< br>答：矩形
ABCD
的面积为800（4sin
θ
cos
θ+cos
θ
）平方米，△
CDP
的面积为
1600（cos< br>θ
–sin
θ
cos
θ
），sin
θ
的取值 范围是[
1
，1）．
4

7

（2）因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3，
设甲的单位面积 的年产值为4
k
，乙的单位面积的年产值为3
k
（
k
>0） ，
则年总产值为4
k
×800（4sin
θ
cos
θ+cos
θ
）+3
k
×1600（cos
θ
–sin< br>θ
cos
θ
）
=8000
k
（sin
θ< br>cos
θ
+cos
θ
），
θ
∈[
θ
0
，
π
）．
2
π
），
2
设
f
（
θ
）=sin
θ
cos
θ
+cos
θ< br>，
θ
∈[
θ
0
，
(

)cos< br>2

sin
2

sin

(2si n
2

sin

1)(2sin

1) (sin

1)
． 则
f′
令
f′(

)=0
，得
θ
=
当
θ
∈（
θ
0
，
当
θ
∈（
π
，
6
π
）时，
f′ (

)>0
，所以
f
（
θ
）为增函数；
6
ππ
，）时，
f′(

)<0
，所以
f
（
θ
）为减函数，
62
π
时，
f
（
θ
）取到最大值．
6< br>[来源:学§科§网]
因此，当
θ
=
答：当
θ
=π
时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．
6

18．本小题主要考查 直线方程、圆的方程、圆的几何性质、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与圆
及椭圆的位置关系等知识， 考查分析问题能力和运算求解能力．满分16分．
解：（1）因为椭圆
C
的焦点为
F
1
( 3,0),F
2
(3,0)
，
x
2
y
2
1
可设椭圆
C
的方程为
2

2
1(ab0)
．又点
(3,)
在椭圆
C
上，
ab
2
1

3
2


a4,

2
2
1,
所以

a
，解得

2
4b
b1,



a
2
b
23,

x
2
因此，椭圆
C
的方程为
y2
1
．
4
因为圆
O
的直径为
F
1
F
2
，所以其方程为
x
2
y
2
3．
（2）①设直线
l
与圆
O
相切于
P(x
0
,y
0
)(x
0
0,y
0
0)
，则< br>x
0
2
y
0
2
3
，
所以直线
l
的方程为
y
x
0
x
3
(xx0
)y
0
，即
y
0
x
．
y
0
y
0
y
0

x
2
2

y1,

4
由

消去
y
，得
x
3

y
0
x,

y
0
y
0


8

(4x
0
2
y
0
2
)x
2
24x
0
x364y
0
2
0
．（*）
因为直线
l
与椭圆
C
有且只有一个公共点，
(24x< br>0
)
2
4(4x
0
2
y
0
2< br>)(364y
0
2
)48y
0
2
(x
0
2
2)0
． 所以


因为
x
0< br>,y
0
0
，所以
x
0
2,y
0
1
．
因此，点
P
的坐标为
(2,1)
．
②因 为三角形
OAB
的面积为
设
A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
)
，
2612642
，所以

，从而
AB
．
AB OP
277
7
由（*）得
x
1,2

24x0
48y
0
2
(x
0
2
2)
2( 4x
0
2
y
0
2
)
，
所以
A B
2
(x
1
x
2
)
2
(y
1
y
2
)
2

x
0
2
48y< br>0
2
(x
0
2
2)
(1
2
) 
．
y
0
(4x
0
2
y
0
2
)
2
因为
x
0
2
y
0
2
3
，
16(x
0
2
2)
32

所 以
AB
，即
2x
0
4
45x
0
21000
，
22
(x
0
1)49
2
1 02
51
解得
x
0
2
(x
0
2
20
舍去），则
y
0
2

，因此
P
的坐 标为
(,)
．
22
22
综上，直线
l
的方程为< br>y5x32
．

19．本小题主要考查利用导数研究初等函数的性质， 考查综合运用数学思想方法分析与解决问题以
及逻辑推理能力．满分16分．

9

解：（1）函数
f
（
x
）=
x
，< br>g
（
x
）=
x
+2
x
-2，则
f< br>′（
x
）=1，
g
′（
x
）=2
x
+2．
由
f
（
x
）=
g
（
x
） 且
f
′（
x
）=
g
′（
x
），得

xx
2
2x2
，此方程组无解，

1 2x2

2
因此，
f
（
x
）与
g
（
x
）不存在“
S
”点．
fx）ax
2
1
，
g(x)lnx
， （2）函数
（
则
f（x）2ax，g（x）
1
．
x
设
x
0
为
f
（
x
）与
g
（
x
）的“
S
”点，由
f
（
x
0
）=
g
（
x
0
）且
f
′（
x
0
）=
g
′（
x
0
），得
2

a x
0
1lnx
0
2



ax
0
1lnx
0
，即

，（*）
1

2
2ax


0
x

2ax
0
1
0

1

1
得
lnx
0
 
，即
x
0
e
2
，则
a
2
1
2(e)

1
2
2

e
．
2< br>1

e
当
a
时，
x
0
e
2
满足方程组（*），即
x
0
为
f
（
x
）与
g
（
x
）的“
S
”点．
2
e
因此，
a
的值为．
2
（3）对任意
a
>0，设
h(x)x
3
3x
2
axa
．
因为
h(0)a0，h(1)13aa20
，且
h
（
x
）的图象是不间断的，
3
2x
0
所以存在
x
0
∈（0，1），使得
h(x
0
)0
．令
b
x
0
，则
b
>0．
e(1x
0
)be
x
函数
f(x)xa，g(x)
，
x
2
be
x
(x1)
则
f′
．
(x)2x，g′(x)
x
2
由
f
（
x
） =
g
（
x
）且
f
′（
x
）=
g< br>′（
x
），得
3

2
2x
0
e< br>x

2
be
x


xa
x< br>0
xa

x
e(1x)


x0
，即，（**）


x
3
x
be(x1 )
2x
e(x1)

2x

2x
0
2
x
0


x

x
2e(1x)
0

此时，
x
0
满足方程组（**），即
x
0
是函数
f
（
x
）与
g
（x
）在区间（0，1）内的一个“
S
点”．
因此，对任意
a< br>>0，存在
b
>0，使函数
f
（
x
）与
g< br>（
x
）在区间（0，+∞）内存在“
S
点”．

10

20．本小题主要考查等差和等比数列的定义、通项公式、性质等基础知 识，考查代数推理、转化与
化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力．满分16分．
解 ：（1）由条件知：
a
n
(n1)d,b
n
2
n1
．
因为
|a
n
b
n
|b
1
对
n
=1，2，3，4均成立，
即
|(n 1)d2
n1
|1
对
n
=1，2，3，4均成立，
即1

1，1

d

3，3

2
d

5，7

3
d

9，得
75
d
．
32
75
因此，
d
的取值范围为
[,]
．
32
（2）由条件知：
a
n
b
1
(n1)d,b< br>n
b
1
q
n1
．
若存在
d
， 使得
|a
n
b
n
|b
1
（
n
=2，3，···，
m
+1）成立，
|b
1
(n1)db< br>1
q
n1
|b
1
(n2,3,
即
,m1)
，
即当
n2,3,
q
n1
2q
n1
,m1
时，
d
满足
b
1
db
1
．
n1n1
因为
q(1,
m
2]
，则< br>1q
n1
q
m
2
，
q
n12q
n1
从而
b
1
0
，对
n2,3,
b
1
0
，
n1
n1
因此，取
d=0时，
|a
n
b
n
|b
1
对
n 2,3,
,m1
均成立．
,m1
均成立．
q
n1
2q
n1
下面讨论数列
{
．
}
的最大值和数列
{}
的最小值（
n2,3,,m1
）
n1
n1
q
n
2q
n1
2nq
n< br>q
n
nq
n1
2n(q
n
q
n 1
)q
n
2

①当
2nm
时，， < br>nn1n(n1)n(n1)
当
1q2
时，有
q
n
q
m
2
，从而
n(q
n
q
n1< br>)q
n
 20
．
1
m
q
n12
因此，当
2nm1
时，数列
{}
单调递增，
n1
q
n1
2q
m
2
故数列
{
．
}
的最大值为
n1
m
②设
f(x)2
x< br>(1x)
，当
x
>0时，
f

(x)(ln2 1xln2)2
x
0
，
所以
f(x)
单调递减，从而
f(x)
<
f
（0）=1．
q
n
1
q( n1)11
n
2
n
(1)f()1
， 当
2n m
时，
n1

q
nnn
n1

11

q
n1
因此，当
2nm1
时，数列
{}
单调递减，
n1
q
n1
q
m
故数列
{
．
}
的最小值为
n1m
b
1
(q
m
2)b1
q
m
因此，
d
的取值范围为
[,]
．
mm


12

数学Ⅱ(附加题)参考答案
21．【选做题】
A．[选修4—1：几何证明选讲]
本小题主要考查圆与三角形等基础知识，考查推理论证能力．满分10分．
证明：连结
OC
．因为
PC
与圆
O
相切，所以
OC
⊥
PC
．
又因为
PC
=
23
，
OC
=2，
所以
OP
=
PC
2
OC
2
=4． 又因为
OB
=2，从而
B
为Rt△
OCP
斜边的中点， 所以
BC
=2．
B．[选修4—2：矩阵与变换]
本小题主要考查矩阵的运算、线性变换等基础知识，考查运算求解能力．满分10分．
23

解：（1）因为
A

，
det(A)2 21310
，所以
A
可逆，
12


23

从而
A
1


．
12< br>

23

x

3

x< br>
3

1

3

A
（2 ）设
P
(
x
，
y
)，则

，所以

y

1

y

1

1

，
12

[来源:学科网]

因此，点
P
的坐标为(3，–1)．
C．[选修4—4：坐标系与参数方程]
本小题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力．满分10分．
解：因为曲线
C
的极坐标方程为

=4cos

，
所以曲线
C
的圆心为（2，0），直径为4的圆．
π
因为直线l
的极坐标方程为

sin(

)2
，
6
则直线
l
过
A
（4，0），倾斜角为
π
，
6
所以
A
为直线
l
与圆
C
的一个交点．
设另一个交点为
B
，则∠
OAB
=
π
．
6
π
，
2
连结
OB
，因为
OA
为直径，从而∠
OBA
=

13

所以
AB4cos
π
23
．
6
因此，直线< br>l
被曲线
C
截得的弦长为
23
．
D．[选修4—5：不等式选讲]
本小题主要考查柯西不等式等基础知识，考查推理论证能力．满分10分．
证明：由柯西不等 式，得
(x
2
y
2
z
2
)(1
22
2
2
2
)(x2y2z)
2
．
因为
x2y2z=6
，所以
x
2
y
2
z< br>2
4
，
当且仅当
xyz244

时，不等式取 等号，此时
x，y，z
，
122333
所以
x
2< br>y
2
z
2
的最小值为4．
22．【必做题】本小题主要 考查空间向量、异面直线所成角和线面角等基础知识，考查运用空间向量
解决问题的能力．满分10分．
解：如图，在正三棱柱
ABC
−
A
1
B
1
C
1
中，设
AC
，
A
1
C
1
的中 点分别为
O
，
O
1
，则
OB
⊥
OC
，
OO
1
⊥
OC
，
OO
1
⊥
O B
，以
{OB,OC,OO
1
}
为基底，建立空间直角坐标系
O
−
xyz
．
因为
AB
=
AA
1
=2，
所以
A(0, 1,0),B(3,0,0),C(0,1,0),A
1
(0,1,2),B
1< br>(3,0,2),C
1
(0,1,2)
．


14

（1）因为
P
为
A
1
B
1
的中点，所以
P(
从而
BP(
31
,,2)
，
22
31
,,2),AC
1
(0,2,2)
，
22
|BPAC
1
|
|BP||AC
1
|

|14|
522

310
．
20
故
|cosBP,AC
1
|
因此，异面直线
BP
与
AC< br>1
所成角的余弦值为
（2）因为
Q
为
BC
的中点，所 以
Q(
因此
AQ(
310
．
20
31
,,0)
，
22
33
,,0)
，
AC
1
(0,2,2),CC
1
(0,0,2)
．
22
设
n
=（
x
，
y
，
z
）为平面
AQC
1
的一个法向量，

33

x y0,


AQn0,
则

即

2

2


AC
1
n0,


2y2z0.
不妨取
n(3,1,1)
，
设直线
CC
1
与平面
AQC
1
所成角为

，
则
sin

|cosCC
1
,n|
|CC
1< br>n|
|CC
1
||n|

2
52
< br>5
，
5
所以直线
CC
1
与平面
AQC1
所成角的正弦值为
5
．
5
23．【必做题】本小题主要考查 计数原理、排列等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力．满
分10分．
解：（1）记

(abc)
为排列
abc
的逆序数，对1，2，3的所有排列，有

(123)=0，

(132)=1，

(213)=1 ，

(231)=2，

(312)=2，

(321)= 3
，
所以
f
3
(0)1，f
3
(1)f3
(2)2
．
对1，2，3，4的排列，利用已有的1，2，3的排列，将数 字4添加进去，4在新排列中的位置
只能是最后三个位置．
因此，
f
4< br>(2)f
3
(2)f
3
(1)f
3
(0)5
．
（2）对一般的
n
（
n
≥4）的情形，逆序数为0的排 列只有一个：12…
n
，所以
f
n
(0)1
．
逆序数为1的排列只能是将排列12…
n
中的任意相邻两个数字调换位置得到的排列，所以
15

f
n
(1)n1
．
为计 算
f
n1
(2)
，当1，2，…，
n
的排列及其逆序数确 定后，将
n
+1添加进原排列，
n
+1在新排
列中的位置只能是最后 三个位置．
因此，
f
n1
(2)f
n
(2)fn
(1)f
n
(0)f
n
(2)n
．
当
n
≥5时，
f
n
(2)[f
n
(2 )f
n1
(2)][f
n1
(2)f
n2
(2 )]…[f
5
(2)f
4
(2)]f
4
(2)
n
2
n2
，
(n1)(n2)4f< br>4
(2)
2
n
2
n2
因此，
n
≥5时，
f
n
(2)
．
2




16