我在法国的真实经历-赞美老师的诗歌朗诵

公众号：安逸数学工作室
上海市浦东新区2019届高三二模数学试卷
2019.4
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）
考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．
1. 若集合
A
2. 若行列 式

xx5

，集合
B

xx7

，则
AB
.
8
0
，则
x
.
2
x1
12
12i
3. 复数
z
的虚部为 （其中
i
为虚数单位）.
i
4. 平面上有12个不同的点，其中任何3点不在同一直线上. 如果任取3点作为顶点作三
角形，那么一共可作 个三角形.（结果用数值表示）
5. 如果一个圆柱的高不变，要使它的体积扩大为原来的
5
倍，那么它的底面半径应 该扩大
为原来的_______倍.
6. 已知函数
f(x)=sin2

x


,


0

是偶函数 ，则

的最小值是________.
7. 焦点在
x
轴上，焦距 为
6
，且经过点
(5,0)
的双曲线的标准方程为 .

1
,


3
8. 已知无穷数列
a
n

满足
a
n



1< br>,

2n1

9. 二项式
(2x

1 n2018

,

n2019

,
则
lima
n

_______.
n
1
6
)
展开式的常数项为第_________项.
2x
10. 已知
6
个正整数，它们的平均数是
5
，中位数 是
4
，唯一众数是
3
，则这
6
个数方差的
最大值为 _________.（精确到小数点后一位）
BEEC,DF3FA,
若在正方形边上恰有
6
个不同的点11. 已知 正方形
ABCD
边长为
8
，
P
，使
PEPF
，则

的取值范围为_____________.
12. 已知
f(x)2x2xb
是定义在
[-1,0]
上的函数, 若
f[f(x)]0
在定义域上恒成立，
而且存在实数
x
0
满足：
f[f(x
0
)]x
0
且
f(x
0
) x
0
，则实数
b
的取值范围是 ___。

二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分） 每题有且只有一个正确选项．考
生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．
13. 如图，水平放置的正三棱柱的俯视图是（ ）



（A） （B） （C） （D）
2

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14. 点
P

2,0

到直线


x14t,
（
t
为参数，
tR
）的距离为（ ）

y23t,
（A） （B）
3
5
4
611
（C） （D）
5
55

xy50

2x5y200

1 5. 已知点
P(x,y)
满足约束条件：，则目标函数
zxy
的最小值为（ ）


0x40


y0
（A）
40
（B）
40
（C）
30
（D）
30


16. 已知
f(x)a|xb|
，
c
则对任意非零实数
a,b,c,m,n,t
，方程
mf
2
(x)nf(x)t0
的解集不可能为（ ）
（A）
{2019}
（B）
{2018,2019}
（C）
{1,2,2018,2019}
（D）
{1,9,81,729}


三、解答题（本大题共有5题，满分76分） 解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出
必要的步骤．
17. （本题14分，第1小题5分，第2小题9分）
已知，正三 棱柱
ABCA
1
B
1
C
1
中，
AA1
2AC2
，延长
CB
至
D
，使
CBB D
。

（1）求证：
CADA
1
；

（2）求二面角
B
1
ADC
的大小。
（结果用反三角函数值表示）




D





18. （本题14分，第1小题6分，第2小题8分）
A
1
B
1
C
1
A
B
C
已知向量
m(2sin

x,cos2

x)
，
n(3cos

x,1)
，其中

0
，若函数
f(x)mn
的
最小正周期为

.
（1）求

的值；
（2）在△ABC中，若
f(B)2
，
BC3
，
sinB3sinA
，求
BABC
的值 .

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19. （本题14分，第1小题6分，第2小题8分）
浦东一模之后的“大将” 洗心革面，再也没进过网吧，开始发奋学习. 2019年春节档非常
热门的电影《流浪地球》引发了他 的思考：假定地球（设为质点
P
，地球半径忽略不计）
借助原子发动机开始流浪的轨道 是以木星（看作球体，其半径约为
R700
万米）的中心
F
为右焦点的椭圆
C
. 已知地球的近木星点
A
（轨道上离木星表面最近的点）到木星表面的距
离为
100
万米，远木星点
B
（轨道上离木星表面最远的点）到木星 表面的距离为
2500
万米.
（1）求如图给定的坐标系下椭圆
C
的标准方程；
（2）若地球在流浪的过 程中，由
A
第一次逆时针流浪到与轨道中心
O
的距离为
ab
万米
时（其中
a,b
分别为椭圆的长半轴、短半轴
的长），由于木星引力，部 分原子发动机突
然失去了动力，此时地球向着木星方向开始
变轨
（如图所示），假定地球变轨后的轨道为一
条直线
L
，称该直线的斜率
k
为“变轨系数”.
求“变轨系数”
k
的取值范围，使地球与木
星
不会发生碰撞. （精确到小数点后一位）






20. （本题16分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分）
已知各项均不为零的数列
< br>a
n

满足
a
1
1,
前
n
项的和为
S
n
，
y
P
B
O

F
A
x

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22
S
n
S
n1
且
2n
2
,nN

,n 2
. 数列

b
n

满足
b
n
 a
n
a
n1
,nN*
.
a
n
（1）求
a
2
,a
3
；
（2）求
S
2019
；
kk1
（3）已知等式
kC
n
nC
n1
对
0kn,k,nN*
成立. 请用该结论求有穷数列

bC

,k1,2,
k
k
n
,n,
的前
n
项和
T
n
.





21. （本题18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）
已知函数
yf
< br>x

的定义域
D
，值域为
A
.
（1）下列哪个函数满足值域为
R
，且单调递增？（不必说明理由）
①f

x

tan[(x)

],x(0,1)< br>，②
g

x

lg(1),x(0,1)
.
（2）已知
f(x)log
1
(2x1),g(x)sin2x,函数
f[g(x)]
的值域
A[1,0]
，试求出满足
2< br>1
2
1
x
条件的函数
f[g(x)]
一个定义域D
；
（3）若
DAR
，且对任意的
x,yR
， 有
f

xy

f

x

f

y

，证明：
.
f

xy

f

xf

y




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上海市浦东新区2019届高三二模数学试卷
2019.4
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）
考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．
11. 若集合
A
12. 若行列式
（5,7]
.

xx5

，集合< br>B

xx7

，则
AB

8
0
，则
x
3 .
2
x1
12
12i
13. 复数
z
的虚部为 -1 （其中
i
为虚数单位）.
i
14. 平面上有12个不同的点，其中任何3点不在同一直线上. 如果任取3点作为顶点作三
角形，那么一共可作 220 个三角形.（结果用数值表示）
15. 如果一个圆柱的高不变，要使它的体积扩大为原来的
5
倍，那么它的底面半径应该扩大
为原来的___
5
____倍.
16. 已知函数
f(x)=sin2

x


,


0

是偶函数，则

的最小值是____
17. 焦点在
x
轴上，焦距为
6
，且经过点
(

____.
4
5,0
的
)
双曲线的标准方程为
x
2
y
2
1
.
54

1
,


3
18. 已知无穷数列

a
n

满足
a
n



1
,


2n1
19. 二项式
(2x
1n2018

,

n2019

,
则
lima
n

___0____.
n
1
6
)
展开式的常数项为第____4_____项.
2x
20. 已知
6
个正整数，它们的平均数是
5
，中位数 是
4
，唯一众数是
3
，则这
6
个数方差的
最大值为 _____
12.3
_____.（精确到小数点后一位）
BEEC,DF3FA,
若在正方形边上恰有
6
个不同的点11. 已知正方形
ABCD
边长为
8
，
________.
（- 1,8）
P
，使
PEPF

，则

的取值范围为 _____
12. 已知
f(x)2x2xb
是定义在
[-1,0]
上的函数, 若
f[f(x)]0
在定义域上恒成立，
而且存在实数
x
0
满足：
f[f(x
0
)]x
0
且
f(x
0
) x
0
，则实数
b
的取值范围是
[
解析：因为
f (x)
min
f()b
2
13
,）
___ 28
1
2
1
，
f(x)
max
f(0)f (1)b
，
2

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1

1b0
1

b[,0]
时满足
f[f(x) ]0
； 所以

2
2


1b0
设
f(x
0
)y
0
，则
f(y
0
)x
0
且
y
0
x
0
，
所以函数
f (x)2x2xb
图像上存在两点关于直线
yx
对称，
令
l:yxm

2
由


yx m
2

y2x2xb
2x
2
3xbm0

设
M(x
1
,y
1
)
、
N(x
2
,y
2
)
为直线与抛物线的交点，线段
MN
中点 为
E(x
E
,y
E
)
，

98( bm)0
333

所以

，所以，而在上，所以，
y x
E(,m)m
E
3
442
x
1
x< br>2


2
3
0
在
[1,0]
有两不等的实数根，
2
3

98(b)0

2


h(1)b
1
0

13
3
2
b[,)
。 令
h(x)2x
2
3xb
，所以

28
2

h(0)
3
b0

2

3

11
4
从而
2x
2
3xb
二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分） 每题有且只有一个正确选项．考
生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．
13. 如图，水平放置的正三棱柱的俯视图是（ B ）






（A） （B） （C） （D）

x14t,
14. 点
P< br>
2,0

到直线

（
t
为参数，
tR
）的距离为（ D ）
y23t,


公众号：安逸数学工作室
（A） （B）
3
5
4
611
（C） （D）
5
55

xy50

2x5y200

1 5. 已知点
P(x,y)
满足约束条件：

，则目标函数
zx y
的最小值为
0x40



y0
（ B ）
（A）
40
（B）
40
（C）
30
（D）
30


16. 已知
f(x)a|xb|
，
c
则对任意非零实数
a,b,c,m,n,t< br>，方程
mf
2
(x)nf(x)t0
的解集不可能为（ D ）
（A）
{2019}
（B）
{2018,2019}
（C）
{1,2,2018,2019}
（D）
{1,9,81,729}

三、解答题（本大题共有5题，满分76分） 解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出
必要的步骤．
17. （本题14分，第1小题5分，第2小题9分）
已知，正三棱柱
ABCA
1
B
1
C
1
中，
AA
1
2AC2
，延 长
CB
至
D
，使
CBBD
。

（1）求证：
CADA
1
；

（2）求二面角
B
1
ADC
的大小。
（结果用反三角函数值表示）
解：（1）因为是正三棱柱
ABCA
1B
1
C
1
，
所以
AA
1
CA

A
1
B
1
C
1
A
且
C
B
ABBC
，
D< br>BACBCA60

………1分
从而
DBA120


又
CBBD

所以
ABBD
，
DAB30
………1分


DACDABBAC90
………1分

即
DACA
………1分

CA
平面
A
1
AD
………1分

CADA
1
………1分

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（2）解法一：
取
AD
中点
E
，联结
B
1
E
. 所以
BEAC
，………1分
又
DACA
，故
DABE

因为
BB
1
平面ABC

所以
DABB
1
………1分
A
1
B
1
C
1
从而
DA平面BB
1
E

DAB
1
E
………2分
所以
BE B
1
为二面角
B
1
ADC
的平面角. …2分
因为
BE
11
AC , BB
1
2

22
BB
1
4
， ………1分
BE
D
A
C
B
所以
tanBEB
1

E
二面角
B
1
ADC
的大小为
arctan4
………1分
解法二：
以直线
AD
为
x
轴，直线AC
为
y
轴，直线
AA
1
为
z
轴
建立空间直角坐标系.
则
A(0,0,0),B
1
(
z< br>A
1
B
1
C
1
31
,,2),D(3,0, 0)

22

AD(3,0,0),AB
1
(
31
,,2)
………2分
22

A
D
B
C
y
设平 面
AB
1
D
的一个法向量
n
1
(u,v,w)< br>


ADn3u0
1


则



1

AB
1
n
1v2w0
2


x
令
w1，则
v4
，所以
n
1
(0,4,1)
………2 分
又平面
ACB
的一个方向量
n
2
(0 ,0,1)
………1分
设
n
1
与
n
2
的夹角为



则
cos


n
1
n
2
n
1
n
2

1
17
17
………2分
17

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所以二面角
B
1
ADC
的大小为
arccos
解法三：
因为
BB
1
平面ABC

17
………1分
17

B
1
AD在平面ABC
的射影是
BAD


AB
1


AD
BB
1
2< br>AB
2
2
2
1
2
5
，
3
，
DB
1
DB
2
BB
1
2
1
2
2
2
5
………1分
DB
1
2
AB
1
2
AD
2
751
………2分
cosDB
1
A  sinDB
1
A
2 DB
1
AB
1
1010
S
DAB
1

151
DB
1
AB
1
 sinDB
1
A
………1分
24
1113
S
ACD
(ACAD)
………1分
2224
S
ADB

又
BB
1
平面ABC

设二面角
B< br>1
ADC
的平面角为

，满足
cos


S
DAB
17
………2分

S
DAB1
17
即

arccos
1717
所以二面角
B
1
ADC
的大小
arccos
………1分
17
，
17

18. （本题14分，第1小题6分，第2小题8分）
已知向量
m(2sin

x,cos2

x)
，
n(3cos

x,1)
，其中

0
，若函数
f(x)mn
的
最小正周期为

.
（1）求

的值；
（2）在△ABC中，若
f(B)2
，
BC3
，
sinB3sinA
，求
BABC
的值.
解：（1）
f(x)mn3sin2

x cos2

x2sin(2

x)
…………………3分 6
∵
f(x)
的最小正周期为

，∴
T
< br>2



，∴

1
.…………………3分
2

（2）设△ABC中角A，B，C所对的边分别是a，b，c．
∵f(B)2
，∴
2sin(2B


2

．………3分
)2
，即
sin(2B)1
，解得
B
63
6

公众号：安逸数学工作室
∵
BC3
，∴
a3
，∵
sinB3sinA
，∴
b3a
，∴
b3
，
sinA
∵
0A

19. （本题14分，第1小题6分，第2小题8分）
1
，……3分
2

3
，∴
A

6
，
C

3
， ∴
ac3
，∴
BABCcacosB
.……2分
2
6
浦东一模之后的“大将” 洗心革面，再也没进过网吧，开始发奋学习. 201 9年春节档非常
热门的电影《流浪地球》引发了他的思考：假定地球（设为质点
P
，地 球半径忽略不计）
借助原子发动机开始流浪的轨道是以木星（看作球体，其半径约为
R700
万米）的中心
F
为右焦点的椭圆
C
. 已知地球的近木星点
A
（轨道上离木星表面最近的点）到木星表面的距
离为
100
万米，远木星点
B
（轨道上离木星表面最远的点）到木星表面的距离为
2500
万米.
（1）求如图给定的坐标系下椭圆
C
的标准方程；
（2）若地球在流浪的过 程中，由
A
第一次逆时针流浪到与轨道中心
O
的距离为
ab
万米
时（其中
a,b
分别为椭圆的长半轴、短半轴的长），由于木星引力，部分原子发 动机突然失
y
去了动力，此时地球向着木星方向开始变轨
（如图所示），假定地球变轨后的轨道为一
条直线
L
，称该直线的斜率
k
为“变轨系数”.
求“变轨系数”
k
的取值范围，使地球与木星
不会发生碰撞. （精确到小数点后一位）
解：（1）由条件

P
B
O
< br>F
A
x

ac700100

a2000< br>…………………3分



ac7002500
< br>c1200
x
2
y
2
1
…………………3分 椭圆C的方程为
2000
2
1600
2
（2）设地球由近木星点A
第一次逆时针运行到与轨道中心O的距离为
ab
万米时所在位

x
0
2
y
0
2
3200000

置 为
P(x
0
,y
0
)
，则

x
2
……………1分
y
0
2
0
1

< br>2000
2
1600
2
4000

x
0< br>
3

……………1分



y
16005
0

3

P(
400016005
,)
……………1分
33

公众号：安逸数学工作室
设< br>L:y
164000
k(x)kxyk0
……………1分 < br>3333
|1200k
160054000
k|
33
7 00
……………1分
2
k1
dR
425k
21285k8390
……………1分
k(1.8,1.1)
……………2分

20. （本题16分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分）
已知各项均不为零的数列
< br>a
n

满足
a
1
1,
前
n
项的和为
S
n
，
22
S
n
S
n1
且
2n
2
,nN

,n2
. 数列

b
n

满足
b
n
a
n
a< br>n1
,nN*
.
a
n
（1）求
a
2
,a
3
；
（2）求
S
2019
；
kk1
（3）已知等式
kC
n
nC
n1
对
0kn,k,nN*
成立. 请用该结论求有穷数列

bC

,k1,2,
k
k
n
,n,
的前
n
项和
T
n
.
222< br>解：（1）因为
S
n
S
n1
2na
n
2n
2

S
n
S
n1

,n2< br>，
2
又数列

a
n

各项均不为零，所以
S
n
S
n1
2n
.
当
n2时，
S
2
S
1
a
1
a
2
a
1
8
，所以
a
2
6
.……………2分
当
n3
时，
S
3
S
2
2

a
1
a
2

a
3
18
，所 以
a
3
4
.……………2分
2


S
n
S
n1
2n,n2
a
n1
an
4n2,n2
.……………3分 （2）由（1）知

2


S
n1
S
n
2

n1
,n1
S
2019
a
1
(a
2
a
3
)(a
4
a
5
)
14(24 6
(a
2018
a
2019
)
2018)2 10094078379.
……………………3分
（3）由（1）知
b
n



7,n1
.……………………2分

4n2,n2

公众号：安逸数学工作室
1
T
n
b
1
C
n
b
2
C
n
2
b
n
C
n
n
3
nC
n
n

2

C
n
2
C
n
13
7C
n
4n

2C
n
2
3 C
n

12
7n4n

C
n1
C
n2

C
n
n

01
C
n
n
C
n
C
n


10123
C
n
n
1

2

C
n
 C
n
C
n
C
n

7n4n
2
n1
1

2

2
n
1n

n

2n2

2
n
2
……………………………………………………………6分

21. （本题18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）
已知函数
yf
< br>x

的定义域
D
，值域为
A
.
（1）下列哪个函数满足值域为
R
，且单调递增？（不必说明理由）
①f

x

tan[(x)

],x(0,1)< br>，②
g

x

lg(1),x(0,1)
.
（2）已知
f(x)log
1
(2x1),g(x)sin2x,函数
f[g(x)]
的值域
A[1,0]
，试求出满足
2< br>1
2
1
x
条件的函数
f[g(x)]
一个定义域D
；
（3）若
DAR
，且对任意的
x,yR
， 有
f

xy

f

x

f

y

，证明：
.
f

xy

f

xf

y



解：（ 1）
f

x

tan


x




1




,x
0,1

满足. ……………2分
2




1

g

x

lg
1

,x

0,1

不满足. ……………2分

x

（2）因为
f[g(x)]log
1
(2 sin2x1)[1,0]
，所以
2sin2x1[1,2],

2
即
sin2x[0,]
，……………2分
1
2
所以
2x[2k

,2k



6
] [2k


5

,2k



] ,kZ.
6

所以
x[k

,k



12
][k


5

,k

],kZ,
……………2分
122

满足条件的
D[0,

12
]
（答案不唯一）. ……………2分

公众号：安逸数学工作室
（3）假设存在
a,b< br>使得
f

ab

f

a
f

b

……………1分
又有
f

a

f

ab

f

b

,f

b

f

ab

 f

a

，
所以
f

a
< br>f

ab

f

b

,f

b

f

ab

f
< br>a

，……………1分
结合两式：
f

a

f

b

,f

ab

 0
，所以
f

b

f

a

f

ab

0
，
故
f

a

f

b

f

a
.……………2分
由于
f

ab

f

a

f

b

知：
f

a

0
.
又
f


a< br>

f

a


2


a

a

1
f

f

f

a

.

2

2
2

a


f

a



2


a

f




2


类似地，由于
f

 a

0
，
f


得
f


1

a

1
faf

a

.……………3分


222

所以
f

a

f


a




2


a

f



0
，与
f

a

0
矛盾，所以原命 题成立. ……………1分

2
