我的数学老师作文-写给幼儿园老师的话

浦东新区2018学年度第二学期高中教学质量检测
高三数学试卷

考生注意：
1．本场考试时间120分钟．试卷共4页，满分150分．另有答题纸．
2．作答前，在答题纸正面填写姓名、编号等信息．
3．所有作答务必填涂或书写在答题纸上 与试卷题号相对应的区域，不得错位．在试卷
上作答一律不得分．
4．用2B铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题．
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）
考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．
1. 若集合
A
2. 若行列式
（5,7]
.

xx5

，集合< br>B

xx7

，则
AB

8
0
，则
x
3 .
12
12i
3. 复数
z
的虚部为 -1 （其中
i
为虚数单位）.
i
4. 平面上有12个不同的点，其中任何3点不在同一直线上. 如果任取3点作为顶点作三
角形，那么一共可作 220 个三角形.（结果用数值表示）
5. 如果一个圆柱的高不变，要使它的体积扩大为原来的
5
倍，那么它的底面半径应该扩大
为原来的___
5
____倍.
6. 已知函数
f(x)=sin2

x


,


0

是偶函数，则

的最小值是____< br>7. 焦点在
x
轴上，焦距为
6
，且经过点
(
2x1

____.
4
5,0
的
)
双曲线的标准方程为
x
2
y
2
1
.
54

1
,


3
8. 已知无穷数列< br>
a
n

满足
a
n



1
,


2n1
9. 二项式
(2x

1n2018

,

n2019

,则
lima
n

___0____.
n
1
6
)
展开式的常数项为第____4_____项.
2x
10. 已知
6
个正整数，它们的平均数是
5
，中位数 是
4
，唯一众数是
3
，则这
6
个数方差的
最大值为 _____
12.3
_____.（精确到小数点后一位）
BEEC,DF3FA,
若在正方形边上恰有
6
个不同的点11. 已知 正方形
ABCD
边长为
8
，
（-1,8）
________ .
P
，使
PEPF

，则

的取值范围为__ ___
2
12. 已知
f(x)2x2xb
是定义在
[-1,0]
上的函数, 若
f[f(x)]0
在定义域上恒成立，
1

而且存在实 数
x
0
满足：
f[f(x
0
)]x
0
且
f(x
0
)x
0
，则实数
b
的取值范围是 [
解析：因为
f(x)
min
f()b
13
,）
___
28
1
2
1
，
f(x)
m ax
f(0)f(1)b
，
2
1

1

1b0
b[,0]
时满足
f[f(x)]0
； 所 以

2
2

1b0

设
f(x0
)y
0
，则
f(y
0
)x
0
且
y
0
x
0
，
2
所以函数
f(x)2 x2xb
图像上存在两点关于直线
yx
对称，
令
l:yxm

由


yxm
2

y2x2xb
2x
2
3xbm0

设
M(x
1
,y
1
)
、
N(x
2
,y
2
)
为直线与抛物线的交点，线段
MN
中点为
E(x
E
,y
E
)
，

98(bm) 0
333

所以

，所以
E(,m)
，而E
在
yx
上，所以
m
，
3
x
1
x
2

442

2
3
0
在
[1,0]
有两不等的实数根，
2
3

98 (b)0

2


h(1)b
1
0< br>
13
3
2
2
令
h(x)2x3xb
，所以

b[,)
。
2
28

h(0 )
3
b0

2

3

11
4
从而
2x3xb
2
二、选择题（本大题共有4题，满分2 0分，每题5分） 每题有且只有一个正确选项．考
生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．
13. 如图，水平放置的正三棱柱的俯视图是（ B ）






（A） （B） （C） （D）
2

14. 点
P

2,0
< br>到直线

（A）

x14t,
（
t
为参 数，
tR
）的距离为（ D ）

y23t,
34
611
（B） （C） （D）
55
55

xy50

2x5y200< br>
15. 已知点
P(x,y)
满足约束条件：

，则目标函 数
zxy
的最小值为
0x40



y 0
（ B ）
（A）
40
（B）
40
（C）
30
（D）
30


16. 已知
f(x)a|xb|
，
c
则对任意非零实数
a,b,c,m,n,t< br>，方程
mf
2
(x)nf(x)t0
的解集不可能为（ D ）
（A）
{2019}
（B）
{2018,2019}
（C）
{1,2,2018,2019}
（D）
{1,9,81,729}

三、解答题（本大题共有5题，满分76分） 解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出
必要的步骤．
17. （本题14分，第1小题5分，第2小题9分）
已知，正三棱柱
ABCA
1
B
1
C
1
中，
AA
1
2AC2
，延 长
CB
至
D
，使
CBBD
。

（1）求证：
CADA
1
；

（2）求二面角
B
1
ADC
的大小。
（结果用反三角函数值表示）
解：（1）因为是正三棱柱
ABCA
1B
1
C
1
，
所以
AA
1
CA

A
1
B
1
C
1
A
且
C
B
ABBC
，
D< br>BACBCA60

………1分
从而
DBA120

又
CBBD

所以
ABBD
，
DAB30
………1分

DACDABBAC90
………1分
即
DACA
………1分

CA
平面
A
1
AD
………1分
3




CADA
1
………1分
（2）解法一：
取
AD
中点
E
，联结
B
1
E
. 所以
BEAC
，………1分
又
DACA
，故
DABE

因为
BB
1
平面ABC

所以
DABB
1
………1分
A
1
B
1
C
1
从而
DA平面BB
1
E

DAB
1
E
………2分
所以
BE B
1
为二面角
B
1
ADC
的平面角. …2分
因为
BE
11
AC , BB
1
2

22
A
C
B
所以
tanBEB
1

BB
1
4
， ………1分
D
BE
E
二面角
B
1
ADC
的大小为
arctan4
………1分
解法二：
以直线
AD
为
x
轴，直线AC
为
y
轴，直线
AA
1
为
z
轴
建立空间直角坐标系.
则
A(0,0,0),B
1
(
z< br>A
1
B
1
C
1
31
,,2),D(3,0, 0)

22

AD(3,0,0),AB
1
(
31
,,2)
………2分
22

A
D
B
C
y
设平 面
AB
1
D
的一个法向量
n
1
(u,v,w)< br>


ADn3u0
1


则



1

AB
1
n
1v2w0
2


x
令
w1，则
v4
，所以
n
1
(0,4,1)
………2 分
又平面
ACB
的一个方向量
n
2
(0 ,0,1)
………1分
设
n
1
与
n
2
的夹角为



4

则
cos

n
1
n
2
n
1
n
2

 1
17

17
………2分
17
17
………1分
17
所以二面角
B
1
ADC
的大小为
arccos
解法三：
因为
BB
1
平面ABC


B
1
AD在平面ABC
的射影是
BAD


AB
1


AD
BB
1
2< br>AB
2
2
2
1
2
5
，
3
，
DB
1
DB
2
BB
1
2
1
2
2
2
5
………1分
DB
1
2
AB
1
2
AD
2
751
………2分
cosDB
1
A  sinDB
1
A
2 DB
1
AB
1
1010
S
DAB
1

151
DB
1
AB
1
 sinDB
1
A
………1分
24
1113
S
ACD
(ACAD)
………1分
2224
S
ADB

又
BB
1
平面ABC

设二面角
B< br>1
ADC
的平面角为

，满足
cos


S
DAB
17

………2分
S
DAB1
17
即

arccos
1717
所以二面角
B
1
ADC
的大小
arccos
………1分
17
，
17

18. （本题14分，第1小题6分，第2小题8分）
已知向量
m(2sin

x,cos2

x)
，
n(3cos

x,1)
，其中

0
，若函数
f(x)mn
的
最小正周期为

.
（1）求

的值；
（2）在△ABC中，若
f(B)2
，
BC3
，
sinB3sinA
，求
BABC
的值.
解：（1）
f(x)mn3sin2

x cos2

x2sin(2

x)
…………………3分
6

5

∵
f(x)
的最小正周期为
，∴
T
2



，∴

1
.…………………3分
2

（2）设△ABC中角A，B，C所对的边分别是a，b，c．
∵f(B)2
，∴
2sin(2B


2

．………3分
)2
，即
sin(2B)1
，解得
B
63
6
1
，……3分
2
∵
BC3
，∴
a3
，∵
sinB3sinA
，∴
b3a
，∴
b3
，
sinA
∵
0A

19. （本题14分，第1小题6分，第2小题8分）

3
，∴
A
< br>6
，
C

3
，∴
ac3
，∴
BABCcacosB
.……2分
2
6
浦东一模之后的“大将” 洗心革面，再也没进过网吧，开始发奋学习. 2019年春节档非常
热门的电影《流浪地球》引发了他 的思考：假定地球（设为质点
P
，地球半径忽略不计）
借助原子发动机开始流浪的轨道 是以木星（看作球体，其半径约为
R700
万米）的中心
F
为右焦点的椭圆
C
. 已知地球的近木星点
A
（轨道上离木星表面最近的点）到木星表面的距
离为
100
万米，远木星点
B
（轨道上离木星表面最远的点）到木星 表面的距离为
2500
万米.
（1）求如图给定的坐标系下椭圆
C
的标准方程；
（2）若地球在流浪的过 程中，由
A
第一次逆时针流浪到与轨道中心
O
的距离为
ab
万米
时（其中
a,b
分别为椭圆的长半轴、短半轴的长），由于木星引力，部分原子发 动机突然失
y
去了动力，此时地球向着木星方向开始变轨
（如图所示），假定地球变轨后的轨道为一
条直线
L
，称该直线的斜率
k
为“变轨系数”.
求“变轨系数”
k
的取值范围，使地球与木星
不会发生碰撞. （精确到小数点后一位）
解：（1）由条件

P
B
O
< br>F
A
x

ac700100

a2000< br>…………………3分



ac7002500
< br>c1200
x
2
y
2
1
…………………3分 椭圆C的方程为
2000
2
1600
2
（2）设地球由近木星点A
第一次逆时针运行到与轨道中心O的距离为
ab
万米时所在位

x
0
2
y
0
2
3200000

置 为
P(x
0
,y
0
)
，则

x
2
……………1分
y
0
2
0
1

< br>2000
2
1600
2
6

4000

x
0

3

……………1分



y
16005
0

3

P(
400016005
,)
……………1分
33
设
L:y164000
k(x)kxyk0
……………1分
3333|1200k
160054000
k|
33
700
……… ……1分
2
k1
dR
425k
2
1285k 8390
……………1分
k(1.8,1.1)
……………2分

20. （本题16分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分）
已知各项均不为零的 数列

a
n

满足
a
1
1,
前
n
项的和为
S
n
，
22
S
n
 S
n1
且
2n
2
,nN

,n2
. 数列

b
n

满足
b
n
a
n
a
n1
,nN*
.
a
n
（1）求
a
2
,a
3
；
（2）求
S
2019
；
kk1
（3）已知等式
kC
n
nC
n1
对
0kn,k,nN*
成立. 请用该结论求有穷数列

bC

,k1,2,
k
k
n
,n,
的前
n
项和
T
n
.
222< br>解：（1）因为
S
n
S
n1
2na
n
2n
2

S
n
S
n1

,n2< br>，
2
又数列

a
n

各项均不为零，所以
S
n
S
n1
2n
.
当
n2时，
S
2
S
1
a
1
a
2
a
1
8
，所以
a
2
6
.……………2分
当
n3
时，
S
3
S
2
2

a
1
a
2

a
3
18
，所 以
a
3
4
.……………2分
2

SS2n ,n2
n1

n
a
n1
a
n
 4n2,n2
.……………3分 （2）由（1）知

2

< br>S
n1
S
n
2

n1

, n1
7

S
2019
a
1
(a2
a
3
)(a
4
a
5
)
1 4(246
(a
2018
a
2019
)
20 18)210094078379.
……………………3分
（3）由（1）知
b
n


1
T
n
b
1
C
n
b
2
C
n
2


7,n1
.……………………2分

4n2,n2
b
n
C
n
n
3
nC
n
n

2

C< br>n
2
C
n

13
7C
n
4n

2C
n
2
3C
n

12
7 n4n

C
n1
C
n2

C
n
n

01
C
n
n
C
n
C< br>n


10123
C
n
n
1

2

C
n
C
n
C
n
C
n

7n4n

2
n1
1
2

2
n
1n

n

2n 2

2
n
2
………………………………………………………… …6分

21. （本题18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）
已知函数
yf

x

的定义域
D
，值域为
A
.
（1）下列哪个函数满足值域为
R
，且单调递增？（不必说明理由）
11
2x
（2）已知
f(x)log
1
(2x1),g (x)sin2x,
函数
f[g(x)]
的值域
A[1,0]
，试求出满足
①
f

x

tan[(x)
< br>],x(0,1)
，②
g

x

lg(1), x(0,1)
.
2
条件的函数
f[g(x)]
一个定义域
D
；
（ 3）若
DAR
，且对任意的
x,yR
，有
f

xy

f

x

f

y

，证明：
.
f

xy

f
xf

y



解：（1）
f
x

tan


x




1





,x

0, 1

满足. ……………2分
2



1

g

x

lg

1

, x

0,1

不满足. ……………2分

x

（2）因为
f[g(x)]log
1
(2sin2x1)[1,0 ]
，所以
2sin2x1[1,2],

2
即
sin2x[0,]
，……………2分
所以
2x [2k

,2k


所以
x[k

,k


1
2

6
][2k


12
][k


5

,k
],kZ,
……………2分
122

8
5
,2k



],kZ.
6