贫民窟的百万富翁影评-地震小常识

2014年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学
第Ⅰ卷 < br>一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目 要求的。
1.已知集合A=﹛-2,0,2﹜,B=﹛
x
|
x
-< br>x
-
2
0
﹜，则
AB
( )
(A)

（B）

2

（C）

0

(D)

2



13i

( )
1i
（A）
12i
（B）
12i
（C）
1-2i
(D)
1-2i


3.函数
f

x
< br>在
x=x
0
处导数存在，若
p：f


x< br>0

0:q:xx
0
是
f

x

的极值点，则( )
2
2.
（A）
p
是
q
的充分必要条件
（B）
p
是
q
的充分条件，但不是
q
的必要条件
（C）
p
是
q
的必要条件，但不是
q
的充分条件
(D)
p
既不是
q
的充分条件，也不是
q
的必要条件

4.设向量
a
,
b
满足
|a+b|=10
，
|a-b|=6
，则
a*b
( )
（A）1 （B） 2 （C）3 (D) 5

5.等差数列

a
n

的公差为2，若
a
2
，
a
4
，
a
8
成等比数列，则

a
n

的前n项和
s
n
=( )
（A）
n

n1

（B）
n

n1

（C）
n

n1

2
(D)
n

n1

2


6.如图，网格纸 上正方形小格的边长为1（表示1cm），图中粗线画出的是某零件的三视图，
该零件由一个底面半径为 3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与
原来毛坯体积的比值为( )



175101
（A） （B） （C） (D)
279273

7.正三棱柱
ABCA
1
B
1
C
1
的底面边长为2，侧棱长为
3
，D为BC终点，则三棱锥< br>AA
1
B
1
C
1
的体积为( )
3
（A）3 （B） （C）1 （D）
2

1

3

2

8.执行右面的程序框图，如果如果输入的x，t均为2，则输
出的S=( )

（A）4
（B）5
（C）6
（D）7

xy10

9.设x，y满足的约束条件

xy 10
，则
zx2y
的最大

x3y30
< br>值为( )

（A）8 （B）7 （C）2 （D）1

10.设F为抛物线
C:y
2
=3x
的焦点， 过F且倾斜角为
30
°
的直线交于C于
A,B
两点，则
AB
=( )
（A）
30
（B）6 （C）12 （D）
73

3

11.若函数
f(x) kxlnx
在区间（1，+

）单调递增，则k的取值范围是( )
（A）

,2

（B）

,1

（C）

2,

（D）

1,




12.设点
M(x
0
,1)
，若在圆
O:x
2
y
2
=1
上存在点N，使得
OMN45
°
,则
x
0
的取值范围是
( )

22


11


，

（A）

1,1

（B）

，

（C）

2,2

（D）


22

22


二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分。)
13.甲、已两名元动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服种选择1种，则他们
选择相同颜色 运动服的概率为_______.

14.函数
f(x)sin(x

)2sin

cosx
的最大值为_________.
15.已知函数f(x)的图像关于直线x=2对称，f(0) =3，则f(-1) =_______.
1
16.数列

a
n

满足
a
n

，
a
2
=2，则
a
1=_________.
1a
n
三、解答题：解答应写出文字说明过程或演算步骤。
17.（本小题满分12分）四边形ABCD的内角A与C互补，AB=1，BC=3, CD=DA=2.
(I)求C和BD; (II)求四边形ABCD的面积。




2

18.（本小题满分12分）如图，四棱锥p—ABCD中，底< br>面ABCD为矩形，PA上面ABCD，E为PD的点。
（I）证明：
PP
平面AEC;
3
(II)设置
AP=
1，AD=
3
,三棱锥 P-ABD的体积V=，
4
求A到平面PBD的距离。










19.（本小题满分12分）
某市为了考核甲、乙两部门的工作情况，随机访问了50位市民。根据这50位市民

甲部门



3

乙部门
5 9
4
4 0 4 4 8
9 7
5 1 2 2 4 5 6 6 7 7 7 8 9
9 7 6 6 5 3 3 2 1 1 0
6 0 1 1 2 3 4 6 8 8
9 8 8 7 7 7 6 6 5 5 5 5 5 4 4 4 3 3 3 2 1 0 0
7 0 0 1 1 3 4 4 9
6 6 5 5 2 0 0
8 1 2 3 4 5
6 3 2 2 2 0
9 0 1 1 4 5 6
10 0 0 0

（I）分别估计该市的市民对甲、乙部门评分的中位数；
（II）分别估计该市的市民对甲、乙部门的评分做于90的概率；
（III）根据茎叶图分析该市的市民对甲、乙两部门的评价。










3

20.（本小题满分12分）
x
2
y
2
设F
1
，F
2
分别是 椭圆C：
2

2
1（a>b>0）的左，右焦点，M是C上一点且MF2
与x轴
ab
垂直，直线MF
1
与C的另一个交点为N。
3
（I）若直线MN的斜率为，求C的离心率；
4
（II）若直线MN在y 轴上的截距为2且|MN|=5|F
1
N|，求a，b。







21.（本小题满分12分）
32
已知 函数f（x）=
x3xax2
，曲线
yf(x)
在点（0,2）处的 切线与
x
轴交点的横坐
标为-2.

(1)求a； (2)证明：当时，曲线
yf(x)
与直线
ykx2
只有一个交点。










22.（本小题满分10分）选修4-4:坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中，以坐标 原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极

坐标方程为p=2cosθ，θ< br>
[0，]。
2
（I）求C的参数方程；
（II）设点D在C上， C在D处的切线与直线l：y=
3
x+2垂直，根据（I）中你得到的
参数方程，确定 D的坐标。






4

2014年普通高等学校招生全国统一考试

文科数学试题参考答案

一、 选择题
（1）B （2）B （3）C （4）A （5）A （6）C
（7）C （8）D （9）B （10）C（11）D（12）A
二、填空题
11
（13） （14）1 （15）3 （16）
32
三、解答题
（17）解：
（1）由题设及余弦定理得
①< br>BD
2
=
BC
2
+
CD
2
-2BC -CDcosC
=13-12cosC
②
BD
2
=
AB
2
+
DA
2
-2AB

DAcosA
=5+4cosC

1
由①②得cosC =,故 C=60°，BD=
7

2
（2）四边形ABCD的面积
11
S=ABDAsinA+BCCDsinC
22
11
=(

1

2+

3

2)sin60°
22
=
23

（18）
解：
（1） 设BD 与AC的交点为O，连接EO，因为ABCD为矩形，所以O为BD的中点，又E
为PD的中点，所EO PB，
EO

平面AEC，PB

平面AEC，所以PB平面AEC
1
3
（2） V=PAABAD=AB
6
6
3
3
由V=，可得AB=
2
4
作AH

PB交PB于H
由题设知BC
< br>平面PAB，所以BC

AH，故AH

PBC。又
PAAB313
AH
PB13

313
所以A到平面PBC的距离为
13
。

（19）解：
5

（1）由所给茎叶图知 ，50位市民对甲部门的评分由小到大排序，排在25、26位的是
75、75，故样本中位数是75， 所以该市的市民对甲部门评分的中位数的估计值是75.
50位市民对乙部门的评分由小到大排序， 排在25、26位的是68、68，故样本中位
6668
67
数,66、68，故 样本中为数是
2
，所以该市的市民对乙部门评分的中位数的估
计值是67.
5
0.1
50
（2）由所给茎叶图知，50位市民对甲、乙部门的评 分高于90的比率分别为，
8
0.16
50
，故该市的市民对甲、乙部门的 评分高于90的概率的估计值分别为0.1,0.16.
（3）由所给茎叶图知，市民对甲部门 的评分的中位数高于对乙部门的评分的中位数。
而且由茎叶图可以大致看出对甲部门的评分的标准差要小 于对乙部门的评分的标准差，说
明该市市民对甲部门的评价较高，评价较为一致，对乙部门的评价较低、 评价差异较大。
(注：考生利用其它统计量进行分析，结论合理的同样给分）
（20）解：
（20）解：

（Ⅰ）根据c=以及题设知M（c，），2=3ac
将=-代入2=3ac，解得=，=-2（舍去）
故C的离心率为
（Ⅱ）由题意，原点O的
的中点，故=4，即

由=
①
得=
即
的中点，M∥y轴，所以直线M与y轴的 交点D是线段M
设N（x，y），由题意可知y<0,则

代入方程C，得
将①以及c=
+=1 ②
代入②得到+=1
解得a=7，
a=7，
(21)解：
（）(x)=3-6x+a,(0)=a
曲线y=f（x）在点（0,2）处的切线方程为y=ax+2
由题设可知1-k>0
当x(x)= =3-6x+1-k>0，g（x）单调递增，g（-1）=k-1<0,g(0)=4
6

所以g（x）=0有（-

当x>0时，令h（x）=-3+4，则g（x）= h（x）（1-k）x> h（x）(x)=-6x=3x(x-2)
所以

g（x）>h(x)(2)=0
所以g（x）=0在（0，）没有实根
综上，g（x）=0在R有唯一的实根，即曲线的y=f（x）与直线y=kx-2只有一个交点
(22)解：
（1）
连结AB, AC由题设知PA=PD,故∠PAD=∠
PDA
因为∠PDA=∠DAC+∠DCA
∠PAD=∠BAD+∠PAB
∠DCA=∠PAB
所以DAC=BAD,从而。。。。。。。
因此=
（3） 由切割线定理得
PA
2
=


因为PA=PD=DC所以DC=2PB,BD=PB
由相交弦定理得AD*DE=2
PB
2

(23)解：
（1）C的普通方程为
(x1)
2
y1(0y1)

可得C的参数方程为
x=1+cost,
（t为参数，
0tm
）
ysint,< br>（2）设D(1+cost,sint),由（1）知C是以G(1，0)为圆心，1为半径的上半圆，
因为C在点D处的切线与l垂直，所以直线GD与l的斜率相同。

Tant=
3
,t=
3

3
3
故D的直角坐标系为（1+cos,sin）,即（，）
2
33
2
(24)解：
（Ⅰ）由a>0,有f（x）=｜x+1a ｜+｜x-a｜≥｜x+1a-(x-a)｜=1a+a≥2.
所以f（x）≥2.
（Ⅱ）f（x）=｜3+1a｜+｜3-a｜.
当a＞3时，f（3）=a+1a，由f（3 ）＜5得3＜a＜
当0

）
2
{
7