河南省专科学校排名-公务员个人年终总结

2014年普通高等学校招生全国统一考试（新课标Ⅱ卷）
数学试题卷（文史类）
注意事项
1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将 自己的姓名、准
考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上.
2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答 案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号， 写在本试卷上无效.
3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12 小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的.
（1）已知集 合A={
2
，0，2}，B={
x
|
xx20
}， 则A

B=
（A）

（B）

2

（C）

0

（D）

2


2
13i


1i
（A）
12i
（B）
12i
（C）
12i
（D）
12i

（2）
（3） 函数
f(x)
在
xx
0
处导数存在．若
p
：f'(x
0
)0
；
q
：
xx
0
是
f(x)
的极值点，则
（A）
p
是
q
的充分必要条件
（B）
p
是
q
的充分条件，但不是
q
的必要条件
（C）
p
是
q
的必要条件，但不是
q
的充分条件
（D）
p
既不是
q
的充分条件，也不是
q
的必要条件 （4）设向量
a
，
b
满足
|ab|10
，
|ab|6
，则
ab
=
（A）1 （B）2 （C）3 （D）5
（5）等差数列

a
n

的公差为2，若
a
2
，
a
4
，
a
8成等比数列，则

a
n

的前
n
项和
S
n
=
（A）
n

n1

（B）
n

n1


（C）
n

n1

2
（D）
n

n1

2

（6）如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm），
图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个
底面半径为3cm，高为6c m的圆柱体毛坯切削得
到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为
（A）
175101
（B） （C） （D）
279273
第1页 共11页

（7）正三棱柱的底面边长为2，侧棱长为
3
，
D为BC中点，则三棱锥
AB
1
DC
1
的体积为
（A）3 （B）
开始
输出x,t
M←1,S←3
k←1
是
3
3
（C）1 （D） 2
2
（8）执行右面的程序框图，如果如果输入的
x
，
t
均
为2，则输出的S=
（A）4
（B）5
（C）6
（D）7
S←M+S
kt

否
输出S
结束
M

M
x

k
k←k+1

xy10,

（9）设
x
，y满足约束条件

xy10,
则
zx2y
的最 大值为

x3y30,

（A）8 （B）7 （C）2 （D）1
（10）设F为抛物线
C
：
y3x的焦点，过F且倾斜角为
30
的直线交于C于
A,B
两点，则
A B
=
2
°
30
（B）6 （C）12 （D）
73

3
（11）若函数
f(x)kxlnx
在 区间（1，+

）单调递增，则k的取值范围是
（A）
（A）

,2

（B）

,1

（C）

2,

（D）

1,


（12）设点
M(x
0,1)
，若在圆
O
：
x
2
y
2
1
上存在点N，使得
OMN45
，则
x
0
的取值范围是
°

22


11


，
（A）

1,1

（B）

，

（C）
2,2
（D）



22

22


第Ⅱ卷 < br>本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题，每个考试考生都必须做答.第22题~第
24题为选考题，考生根据要求做答.
二、填空题：本大概题共4小题，每小题5分． （13）甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服种选择1种，则他们选择相同
颜色运动服的概率为________.
（14）函数
f(x)sin(x

)2sin

cosx
的最大值为________.
（15） 偶函数
yf(x)
的图像关于直线
x
=2对称，
f(3)3，则
f(1)
________.
（16）数列
{a
n< br>}
满足
a
n1

1
，
a
8
2
，则
a
1
=________.
1a
n
第2页 共11页

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
（17）（本小题满分12分）
四边形ABCD的内角A与C互补，AB=1，BC=3，CD=DA=2．
（Ⅰ）求C和BD；
（Ⅱ）求四边形ABCD的面积．



















（18）（本小题满分12分）
如图，四棱锥P- ABCD中，底面ABCD为矩形，PA

平面ABCD，E为PD的点．
（Ⅰ）证明：PB平面AEC；
（Ⅱ）设AP=1，AD=
3
，三棱锥P- ABD的体积V=












3
，求A到平面PBC的距离．
4
P
E
A
D
B
C
第3页 共11页

（19）（本小题满分12分）
某市为了考核甲、乙两部门的工作 情况，随机访问了50位市民.根据这50位市民对这两部门的评分
（评分越高表明市民的评价越高）， 绘制茎叶图如下：

甲部门
乙部门


59
3

0448
4
4

9
97
5

011234688
97665332110

6

00113449
98877766555554443332100
7

123345
6655200
8

632220 011456
9


000
10

（Ⅰ）分别估计该市的市民对甲、乙部门评分的中位数；
（Ⅱ）分别估计该市的市民对甲、乙部门的评分高于90的概率；
（Ⅲ）根据茎叶图分析该市的市民对甲、乙两部门的评价．








（20）（本小题满分12分）
x
2< br>y
2
设F
1
，F
2
分别是椭圆C：
2

2
1
（
ab0
）的左、右焦点，M是C上一点且MF2
与x轴垂
ab
直，直线MF
1
与C的另一个交点为N．
（Ⅰ）若直线MN的斜率为
3
，求C的离心率；
4
（Ⅱ）若直线M N在y轴上的截距为2且|MN|=5|F
1
N|，求
a
，
b
．







（21）（本小题满分12分）
32
已知函数
f(x)
=
x3xax2
，曲线
yf(x)
在点（0，2）处的切线与
x
轴交点的横坐标为
2
．
（Ⅰ）求
a
；
（Ⅱ）证明： 当
k1
时，曲线
yf(x)
与直线
ykx2
只有一 个交点．


第4页 共11页

请考生在第22、23 、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号.
（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，P是⊙O外一点，PA是切 线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，PC=2PA，D为PC
的中点，AD的延长线交⊙ O于点E．证明：
（Ⅰ）BE=EC；
（Ⅱ）AD·DE=2PB
2
．

P








（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
O
B
D
C
A
E
在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴 建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为

=2cosθ，θ

[0，

]．
2
（Ⅰ）求C的参数方程；
（Ⅱ）设点D在C上，C在D处的切线 与直线
l
：
y3x2
垂直，根据（Ⅰ）中你得到的参数方
程，确 定D的坐标．






（24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
设函数
f(x)
= |x+
1
|+|
xa
|(
a
>0)．
a
（Ⅰ）证明：
f(x)
≥2；
（Ⅱ）若
f(3)5
，求
a
的取值范围．





第5页 共11页

2014年普通高等学校招生全国统一考试（课标卷Ⅱ卷）
数学（文科）参考答案
一、选择题
1．B
解析：把
2
，0，2代入
xx20
验证，只有2满足不等式．故选B．
考点：考查集合的知识．简单题．
2．B
解析：
2
13i(1 3i)(1i)24i
12i
．故选B．
1i(1i)(1i)2
考点：考查复数的基本知识．简单题．
3．C 解析：函数
f(x)
在
x=x
0
处导数存在，则极值点必为导函 数的根，而导函数的根不一定是极值点，即
qp,p

q
，从而p是q的 必要但不充分的条件．故选C．
考点：考查充要条件与极值的基础知识．简单题．
4．A
解析：
a
2
2abb
2
10,a
2
2abb
2
6,
4ab4
，
ab1
．故选A．
考点：考查平面向量的数量积．中等题．
5．A
解析：∵数列
{a
n
}
是等差数列，公差等于2，∴
a
2
a
1
2,a
4
a
1
6,a
8
a
1< br>14
.
∵
a
2
,a
4
,a
8< br>成等比数列，∴
a
4
2
a
2
a
8
(a
1
6)
2
(a
1
2)(a
1
14)
，
解得
a
1
2a
n
2(n 1)22n
，∴
S
n
=
(22n)n
n(n1 )
．故选A．
2
考点：考查等差数列的通项公式与求和公式．中等题．
6．C
解析：毛胚的体积
V

3654

，
制 成品的体积
V
1


3
2
2
2
2
434

，
∴切削掉的体积与毛胚体积之比为1
2
V
1
34

10
1
．故 选C．
V54

27
考点：考查三视图于空间几何体的体积．中等题．
7．C
解析：∵正三棱柱的底面边长为2，D为BC中点，∴
AD2
2< br>1
2
3
.
S
∵
BC
11
 2,CC
1
3
，∴
B
1
DC
1
11B
1
C
1
CC
1
233
，
22
第6页 共11页

∴
V
AB
1C
1

11
S
B
1
DC
1
AD331
．故选C．
33
考点：考查空间点，线，面关系和棱锥体积公式．中等题．
8．D
解析：第1次循环M=2，S=5，k=1．
第2次循环，M=2，S=7，k=2．
第3次循环k=3>2，故输出S=7．故选D．
考点：考查算法的基本知识．简单题．
9．B
解析：作图即可.
考点：考查二元一次不等式组的应用．中等题．
10．C
2
解析：∵
y3x
，∴抛物线C的焦点的坐标为
F(,0)
，
3
4
所以直线AB的方程为
ytan30(x)
，
3
4

33
(x),
21

y
2故

，
34
从而
16x168x90x
1< br>x
2

2

y
2
3x,
∴弦长
|AB|=x
1
x
2

3
12．故选C．
2
考点：考查抛物线的几何性质，弦长计算以及分析直线和圆锥曲线位置关系的能力．中等题．
11．D
解析：
1
f(x)kxlnx
，
f(x )k(x0)
．
x
f(x)
在区间
(1,)
上 递增，
f(x)
在区间
(1,)
上恒大于等于0，
f( x)k
11
0k(x(1,))
，
k1
．故 选D．
xx
考点：考查导数与函数单调性的关系．中等题．
12．A
解 析：过点
M
作圆
O
的切线，切点为
N.
设
OMN 

，则

45
，
sin


2
，

2
即
ON2
2
，
x
0< br>12
，
1x
0
1
．故选
A
．

OM2
考点：三角不等式，两点间距离公式．难题．

第7页 共11页

二、填空题
13．
1

3
31
.

333
解析：
P
考点：考查古典概型的概念．简单题．
14．1
解析：因为
f(x)sinxcos

sin

cosxsin(x

)
，所以最大值为1．
考点：考查和差角公式．简单题．
15．3
解析：因
f(x)
是偶函数，所以
f(1)f(1)
．
因
f(x)
图像关于
x2
，所以
f(1)f(221) f(3)3
．
考点：考查偶函数的概念，轴对称的概念．简单题．
16．
1

2
解析：∵
a
n1

1
，
a
n1

1a
n
1
11
1a
n1
1
1
1(1a
n2
)a
n2
，
a
n1
a
8
a
2
2
，
a
2

111
2a
1
．
1a
1
1a
1
2
考点：考查递推数列的概念．简单题．
三、解答题
17．解析：（Ⅰ）由题设及余弦定理得
BD
2
B C
2
CD
2
2BCCDcosC1312cosC
， ①
BD
2
AB
2
AD
2
2ABADco sA54cosC
． ②
1
由①，②得
cosC
， 故
C60
，
BD7
．
2
（Ⅱ）四边形ABCD的面积
S=
11
ABDAsinABCCDsinC

22
11
(1232)sin6023
．
22
考点：考查余弦定理的应用．中等题．
第8页 共11页

18．解析：（Ⅰ）设BD与AC的交点为O，连结EO．
因为四边形ABCD为矩形，所以O为BD的中点．
又E为PD的中点，所以EO∥PB．
P
E
H
A
O
B
C
D EO
平面AEC，
PB
平面AEC，所以PB∥
AEC
．
13
（Ⅱ）
VPAABADAB
．
66
由V
3
3
，可得
AB
．作AH

PB交PB 于H．
2
4
由题设知BC

平面PAB，所以
BCAH
，故AH

平面PBC．
又
AH
313
PAAB313
，所以点A到面PBC的距离为．

13
PB13
考点：考查空间点线面的位置关系与空间距离．中等题． < br>19．解析：（Ⅰ）由所给茎叶图知，50位市民对甲部门的评分由小到大排序，排在第25，26位的数
是75，75，故样本中位数为75，所以该市的市民对甲部门评分的中位数的估计数是75．
50位市民对乙部门的评分由小到大排序，排在第25，26位的数是66，68，故样本中位数为
6 668
67
，所以该市的市民对乙部门评分的中位数的估计数是67．
2
（Ⅱ）由所给茎叶图知，50位市民对甲、乙两部门的评分高于90的比率分别为
58
0. 1
，=0.16，
50
50
故该市的市民对甲、乙两部门的评分高于90的概 率的估计值分别为0.1，0.16．
（Ⅲ）由所给茎叶图知，市民对甲部门的评分的中位数高于对乙 部门的评分的中位数，而且由茎叶图
可以大致看出对甲部门的评分的标准差要小于对乙部门的评分的标准 差，说明该市市民对甲部门的评
价较高、评价较为一致，对乙部门的评价较低、评价差异大.（注：考生 利用其他统计量进行分析，
结论合理的同样给分）
考点：考查使用茎叶图及样本的数字特征估计总体的能力．中等题．
b
2
2
20．解析：（Ⅰ）根据
cab
及题设知
M(c,)
，
2b3ac
．
a
22
将
bac
代入
2b 3ac
，解得
2222
c1c
1

，
2
（舍去）．故C的离心率为．
a2a
2
（Ⅱ）由题意，原点O为
F
1
F
2
的中点，
MF
2
∥
y
轴，所以直 线
MF
1
与
y
轴的交点
D(0,2)
是线段
MF
1
b
2
4
，即
b
2
4a
． ① 的中点，故
a
第9页 共11页

由
|MN |5|NF
得
|DF
1
|2|F
1
N|
． < br>1
|
3


2(cx
1
)c,

x
1
c,
设
N(x
1
,y
1)
，由题意知
y
1
0
，则

即
< br>2

2y2,

1


y
1< br>1.
9c
2
1
代入C的方程，得
2

2
1
. ②
ab
9(a
2
4a)1
1
． 将①及
ca b
代入②得
2
4a
4a
22
2
解得
a 7
，
b4a28
．故
a7
，
b27
．
考点：考查椭圆的几何性质以及直线与椭圆的位置关系．难题．
21．解析：（Ⅰ）
f(x)3x
2
6xa
，
f'(0)a
．
曲线
yf(x)
在点(0,2)处的切线方程为
yax2
．
由题设得

2
2
，∴
a1
．
a
32
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
f(x)x3xx2
．
设
g(x)f(x)(kx2)x
3
3x
2
(1k )x4
．
由题设知
1k0
．
2
当
x0
时，
g(x)3x6x(1k)
0
，
g(x)
单调递增，
g(1)k10
，
g(0)4
，所以
g(x)
=0在
(,0]
有唯一实根．
32
当
x0
时，令
h(x)x3x4
，则
g(x)h(x)(1k)xh(x)< br>.
h'(x)3x
2
6x3x(x2)
，
h(x)
在(0,2)单调递减，在
(2,)
单调递增，所以
g(x)h(x) h(2)0
，所以
g(x)
=0在
(0,)
没有实根． < br>综上，
g(x)0
在R上有唯一实根，即曲线
yf(x)
与直线< br>ykx2
只有一个交点．
考点：考查利用导数综合研究函数性质的能力．难题．
22．解析：（Ⅰ）连结
AB
，
AC
.
由题设知
PAPD
，故
PADPDA
.
因为
PDADACDCA
，
A
PADBADPAB
，
P
B
D
O
DCAPAB
，所以
DACBAD
，
从而
BEEC
，因此
BEEC
.
E
第10页 共11页
C

（Ⅱ）由切割线定理得
PAPBPC
.
因为
P APDDC
，所以
DC2PB
，
BDPB
.
2< br>由相交弦定理得
ADDEBDDC
，所以
ADDE2PB
．
2
考点：考查与圆有关的角的知识和圆幂定理的应用．中等题．
23．解析：（Ⅰ） C的普通方程为
(x1)
2
y
2
1(0y1)
.

x1cost,
可得C的参数方程为

（
t
为参数，
0t

）．
ysint

（Ⅱ）设D(1cost,sint)
．由（Ⅰ）知C是以
G(1,0)
为圆心，1为半径 的上半圆．
因为C在D处的切线与
l
垂直，所以直线GD与
l
的斜 率相同，
tant3
，
t

3
，
故D的直角 坐标为
(1cos

33
,sin)
，即
(,)
．
33
22
111
||xa||x(xa)|a2< br>，
aaa
考点：本题考查园的极坐标方程参数方程以及参数方程的简单应用．中等题．
24．解析：（Ⅰ）由
a0
，有
f(x)|x
∴
f( x)2
．
（Ⅱ）
f(3)|3
1
||3a|
．
a
1
521
，由
f(3)5
得
3a
．
a
2
当
a3
时，
f(3)a
当
0a3
时，
f(3)6a
1
15
，由
f(3 )5
得
a3
．
a
2
综上，
a
的取 值范围是
(
15521
,)
．
22
考点：考查带有绝对值的不等式的应用能力，考查函数与不等式的关系．中等题．

第11页 共11页