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连云港市2017届高三年级模拟考试
数学Ⅰ
第Ⅰ卷（共70分）
一、填空题(每题5分,满分70分,江答案填在答题纸上)
1.已知集合
A{ 1，1，2}
,
B{0，1，2,7}
,则集合
AB
中元素的个 数为 ．
2.设
a
,
bR
，
1i
abi
(
i
为虚数单位)，则
b
的值为 ．
1i
x
2
y
2
1
的离心率是 ． 3.在平面直角坐标系
xOy
中,双曲线
43
4.现有三张识字卡片,分 别写有“中”、“国”、“梦”这三个字.将这三张卡片随机排序，则能
组成“中国梦”的概率是 ．
5.如图是一个算法的流程图，则输出的
k
的值为 ．

6.已知一组数据3，6，9，8，4，则该组数据的方差是 ． 
yx1,
y

7.已知实数
x
，
y满足

x3,
则的取值范围是 ．

x y2,
x

8.若函数
f(x)2sin(2x

)
(0


单调减区间是 ．
9.在公比为
q
且各项均为正数的等比数列
{a
n
}
中，
Sn
为
{a
n
}
的前
n
项和.若
a1


2
)
的图象过点
(0,3)
，则函数< br>f(x)
在
[0,

]
上的
1
，且
2
q
S
5
S
2
2
，则
q
的值 为 ．

10.如图，在正三棱柱
ABCA
1< br>B
1
C
1
中，已知
ABAA
1
3
，点
P
在棱
CC
1
上，则三棱锥
PABA
1< br>的体积为 ．

11.如图，已知正方形
ABCD
的边长为2，
BC
平行于
x
轴，顶点
A
，
B和
C
分别在函数
y
1
3log
a
x
，
y
2
2log
a
x
和
y
3
 log
a
x(a1)
的图象上，则实数
a
的值为 ．

12.已知对于任意的
x(,1)(5,)
，都有
x2(a2)xa0
，则实数
a
的取值范
围是 ．
13.在平面直角坐标系
xOy
中，圆
C
：
(x2) (ym)3
.若圆
C
存在以
G
为中点的
弦
A B
，且
AB2GO
，则实数
m
的取值范围是 ．
22
2
c
，14.已知
ABC
三个内角
A< br>，且
C
C
的对应边分别为
a
，
b
，
B
，
取得最大值时，

3
，当
ACAB
c2
，
b
的值为 ．
a
第Ⅱ卷（共90分）
二、解答题 （本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演
算步骤.）
15.如图，在
ABC
中，已知点
D
在边
AB
上 ，
AD3DB
，
cosA
45
，
cosACB，
513
BC13
.

（1）求
cosB
的值；
（2）求
CD
的长.
16.如图，在四棱锥
PABCD
中，底面
ABCD
是矩形，点
E
在棱
PC
上（异于点
P
，
C
），
平面ABE
与棱
PD
交于点
F
.

（1）求证：
ABEF
；
（2）若平面
PAD
平面ABCD
，求证：
AEEF
.
x
2
y
2< br>1
的左、右顶点分别为
A
，17. 如图，在平面直角坐标系
xO y
中，已知椭圆
C
：
43
B
，过右焦点
F
的直线
l
与椭圆
C
交于
P
，
Q
两点（点< br>P
在
x
轴上方）.

（1）若
QF2FP
，求直线
l
的方程；
（2）设直线
AP
，
BQ
的斜率分别为
k
1
，
k
2
，是否存在常数

，使得
k
1


k
2
？若存在，
求出

的值；若不存在，请说明理由.
18. 某景区修建一栋复古建筑，其窗户设计如图所示.圆
O
的圆心与矩形
ABCD
对角线的
交点重合，且圆与矩形上下两边相切（
E
为上切点），与左 右两边相交（
F
，
G
为其中两
个交点），图中阴影部分为不透光区域 ，其余部分为透光区域.已知圆的半径为1
m
，且

AB1
< br>，设
EOF

，透光区域的面积为
S
.
AD2

（1）求
S
关于

的函数关系式，并求出定义域；
（2） 根据设计要求，透光区域与矩形窗面的面积比值越大越好.当该比值最大时，求边
AB
的长度.
19. 已知两个无穷数列
{a
n
}
和
{b
n}
的前
n
项和分别为
S
n
，
T
n，
a
1
1
，
S
2
4
，对任意的< br>nN

，都有
3S
n1
2S
n
S< br>n2
a
n
.
（1）求数列
{a
n
}
的通项公式；
（2）若
{ b
n
}
为等差数列，对任意的
nN

，都有
S< br>n
T
n
.证明：
a
n
b
n
；
（3）若
{b
n
}
为等比数列，
b
1
a
1
，
b
2
a
2
，求满足
20. 已知函 数
f(x)
a
n
2T
n
a
k
(k N

)
的
n
值.
b
n
2S
n
m
xlnx(m0)
，
g(x)lnx2
.
x
（1）当
m1
时，求函数
f(x)
的单调区间； （2）设函数
h(x)f(x)xg(x)2
，
x0
.若函数< br>yh(h(x))
的最小值是
的值；
32
，求
m
2
（3）若函数
f(x)
，
g(x)
的定义域都是
[1,e ]
，对于函数
f(x)
的图象上的任意一点
A
，在
函数g(x)
的图象上都存在一点
B
，使得
OAOB
，其中
e
是自然对数的底数，
O
为坐标
原点，求
m
的取值范围.
21.
【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题
区域内作答，若多做，则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过
程或演算步骤.

A.选修4-1：几何证明选讲
如图，圆
O
的弦
A B
，
MN
交于点
C
，且
A
为弧
MN
的中点，点
D
在弧
BM
上，若
ACN3ADB
，求
ADB
的度数.

B.选修4-2：矩阵与变换
已知矩阵A


a3


1

8

，若
A



，求矩阵
A
的特征 值.


2d


2

4

C.选修4-4：坐标系与参数方程
在极坐标系中，已知点
A(2,
2
)
，点
B
在直线
l
：

cos


sin

0(0

2

)
上，当
线段
AB
最短时，求点
B
的极坐标.
D.选修4-5：不等式选讲
已知
a
，
b
，
c< br>为正实数，且
a
3
b
3
c
3
a
2
b
2
c
2
，求证：
abc3
3
3
.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系
xOy
中，点F(1,0)
，直线
x1
与动直线
yn
的交点为
M
，线段
MF
的中垂线与动直线
yn
的交点为
P
.

（1）求动点
P
的轨迹
E
的方程；
（2） 过动点
M
作曲线
E
的两条切线，切点分别为
A
，
B
，求证：
AMB
的大小为定值.
23.选修4-5：不等式选讲
已知集合
U{1,2,...,n}
(nN,n2)
，对于集合
U< br>的两个非空子集
A
，
B
，若


AB 
，则称
(A,B)
为集合
U
的一组“互斥子集”.记集合
U
的所有“互斥子集”的
组数为
f(n)
（视
(A,B)
与
(B,A)
为同一组“互斥子集”）.
（1）写出
f(2)
，
f(3)
，
f(4)
的值；
（2）求
f(n)
.

三师2017届高三第三次质量检测参考答案与评分标准试
一、填空题
1.5 2. 1 3.
7
12612
4. 5.6 6. (或5.2) 7.
[,]
( 或
2
65

1
3

y2
x
3
)
8.
(

,
7


51
1212
)
(或
[
12
,
7
12
]
) 9.
2
10.
9
4
3
11.
2
12.
1a5
)
13.
[2,2]
(或
2m2
) 14.
23

二、解答题
15.解:(1)在
ABC
中,
cosA
4
5
,
A(0,

)
，
所以
sinA1cos
2
A

1(
4
2
3
5
)
5
.
同理可得,
sinACB
12
13
.
所以
cosBcos[

(AACB)]cos(AACB)

sinAsinACBcosAcosACB


3124516< br>5

13

5

13

64
.
(2)在
ABC
中,由正弦定理得,
AB
BC
sinB
sinACB
1312
3

13
20
.
5
又
AD3DB
,所以
BD
1
4AB5
.
在
BCD
中,由余弦定理得,
CDBD
2
BC
2
2BDBCcosB

5
2
13
2
2513
16
64

92
.
16. 解:(1) 因为
ABCD
是矩形，所以
ABCD
．
33

( 1,5]
(或

又因为
AB
平面
PDC
，< br>CD
平面
PDC
，
所以
AB
平面
PDC
．
又因为
AB
平 面
ABEF
，平面
ABEF
平面
PDCEF
，
所以
ABEF
．
（2）因为
ABCD
是矩形，所以
ABAD
．
又因为平 面
PAD
平面
ABCD
，平面
PAD
平面
AB CDAD
，
AB
平面
ABCD
，所以
AB
平面
PAD
．
又
AF
平面
PAD
，所以
ABAF
．
又由（1）知
ABEF
，所以
AFEF
．
17. 解:(1) 因为
a
2
4
，
b
2
3
， 所以
cab1
，所以
F
的坐标为（1,0），
设
P (x
1
,y
1
)
，
Q(x
2
,y
2
)
，直线
l
的方程为
xmy1
，
代入椭圆方程，得
(43m)y6my90
，
22
22< br>3m61m
2
3m61m
2
则
y
1
，
y
2

．
43m
2
43 m
2
3m61m
2
3m61m
2
20< br>， 若
QF2PF
，则
22
43m43m
解得
m
25
，故直线
l
的方程为
5x2y50
． < br>5
（2）由（1）知，
y
1
y
2

所以< br>my
1
y
2

6m9
，，
yy12
43m
2
43m
2
9m3
(y
1
y
2
)
，
43m
2
2
3
( y
1
y
2
)y
1
k
1
y
1< br>x
2
2y
1
(my
2
1)
1
2


所以

，
3
y
2
( my
1
3)
k
2
x
1
2y
2
(y
1
y
2
)3y
2
3
2
故存在常数


11
，使得
k
1
k
2
．
33
18. 解:(1) 过点
O
作
OHFG
于点
H
，则
OFHEOF

，
所以
OHOFsin

sin

，
FHOFcos

cos

．
所以
S4S
OFH
4S
扇形OEF

1
2sin

cos

4(

)< br>
2
sin2

2

，
因为
AB11


，所以
sin


，所以定义域为
[,)
．
AD2262

（2）矩形窗面的面积为
S矩形
ADAB22sin

4sin

．
则透光区域与矩形窗面的面积比值为
设
f(

)
则
f
(

)
2sin

cos

2

cos

．

4sin

22s in

cos


，



．

22sin

62
1sin



cos


sin


2
2
2s in

sin



cos

sin< br>3



2sin
2

sin
< br>cos
2



cos


2sin
2

1
cos

(sin2



)
2
，

2
2sin

因为

6




2
，所以
11 1
sin2


，所以
sin2


< br>0
，故
f

(

)0
，
22 2
所以函数
f(

)
在
[

,)
上单调减．
62
所以当



6
时，
f(

)
有最大值

6

3
，此时
AB2sin

1(m)

4
答：（1）
S
关于

的函数关系式为
Ssin2

2

， 定义域为
[

,)
；
62
（2）透光区域与矩形窗面的 面积比值最大时，
AB
的长度为1
m
．
19. 解:(1) 由< br>3S
n1
2S
n
S
n2
a
n，得
2(S
n1
S
n
)S
n2
S< br>n1
a
n
，

即
2a
n1a
n2
a
n
，所以
a
n2
a
n1
a
n1
a
n
．
由
a
1< br>1
，
S
1
4
，可知
a
2
3< br>．
所以数列
{a
n
}
是以1为首项，2为公差的等差数列．
故
{a
n
}
的通项公式为
a
n
2n1
．
（2）证法一：设数列
{b
n
}
的公差为
d< br>，则
T
n
nb
1

2
由（1）知，
S
n
n
．
n(n1)
d
，
2
因 为
S
n
T
n
，所以
n
2
nb
1

n(n1)
d
，即
(2d)nd2b
1
0
恒成立，
2

2d0,

d2,
所以



即

d2b0,
2bd,
1


1
又由
S
1
T
1
，得
b
11
，
所以
a
n
b
n
2n1b1
(n1)d
(2d)nd1b
1
(2d)d1 b
1
1b
1
0
．
所以
a
n
b
n
，得证．
证法二：设
{b
n
}
的公差为
d
，假设存在自然数
n
0
2
，使得
a
n
0
b
n
0
，
则
a
1
(n
0
1)2b
1
(n
0
1)d
，即
a
1
b
1
(n
0< br>1)(d2)
，
因为
a
1
b
1
，所以
d2
．
所以
T
n
S
n
nb
1

因为
n(n1)dd
dn
2
(1)n
2
(b
1)n
，
222
d
10
，所以存在
N
n
0
N

，当
nN
n
0
时，
T
n
S
n
0
恒成立．
2
这与“对任意的
nN

，都有
S
n
T
”矛盾！
所以
a
n
b
n
，得证．
2
（3）由（ 1）知，
S
n
n
．因为
{b
n
}
为等比 数列，且
b
1
1
，
b
2
3
，
所以
{b
n
}
是以1为首项，3为公比的等比数列．
所以
b
n
3
n1
3
n
1
，
T< br>n

．
2
6n
2
2n2
a
n
2T
n
2n13
n
1
3
n
2n 2

n1
3
n1
则，

n1
22
2
32n32n
b
n
2S
n
32n

因为
nN

，所以
6n
2
2n 20
，所以
a
n
2T
n
3
．
b
n
2S
n
而
a
k
2k1
，所以a
n
2T
n
．
1
，即
3
n1
n
2
n10
（*）
b
n
2S
n
当
n1,2
时，（*）式成立；
当
n2
时，设
f(n)3
n
n1
n
2
n1
，
2n 1
则
f(n1)f(n)3(n1)n(3
所以
0f(2 )f(3)...f(n)...
．
故满足条件的
n
的值为1和2．
20. 解:(1) 当
m1< br>时，
f(x)
n
2
n1)2(3
n1
 n)0
，
11
xlnx
，
f

(x)2
lnx1
．
xx
因为
f

(x)在
(0,)
上单调增，且
f

(1)0
， 所以当
x1
时，
f

(x)0
；当
0x 1
时，
f

(x)0
．
所以函数
f(x)
的单调增区间是
(1,)
．
mm2x
2
m
m

x
（2）
h(x)2 x2
，则
h

(x)2
2

，令得， h(x)0
2
xx
2
x
当
0x
mm)
上单调减； 时，
h

(x)0
，函数
h(x)< br>在
(0,
22
当
x
mm
,)
上单调增 ． 时，
h

(x)0
，函数
h(x)
在
(22
m
)22m2
．
2
m
4
，即
m
时，
2
9
2[
m
3
2(2m1)1]2
， < br>2
2(2m1)
所以
[h(x)]
min
h(
① 当
2(2m1)
函数
yh(h(x))
的最小值
h(22m 2)
即
17m26m90
，解得
m1
或
m9
（舍），所以
m1
；
17
②当
02(2m1 )
m
14
，即
m
时，
2
49

函数
yh(h(x))
的最小值
h(
综上所述，
m的值为1．
m3
4
)2(2m1)2
，解得
m
（舍）．
22
5
mlnx2
，．
lnxk
OB
x< br>2
x
lnx23lnx
考虑函数
y
，因为
y< br>

在
[1,e]
上恒成立，
xx
2
ln x21
所以函数
y
在
[1,e]
上单调增，故
k
OB
[2,]
．
xe
11m
所以
k
OA
[,e]
，即

2
lnxe
在
[1,e]< br>上恒成立，
22x
（3）由题意知，
k
OA

x< br>2
x
2
lnxmx
2
(elnx)
在
[1,e]
上恒成立． 即
2
x
2
x
2
lnx
，则
p

(x)2lnx0
在
[1,e]
上 恒成立， 设
p(x)
2
所以
p(x)
在
[1,e]上单调减，所以
mp(1)
设
q(x)x(elnx)
， 则
q

(x)x(2e12lnx)x(2e12lne0
在
[1,e]
上恒成立，
所以
q(x)
在
[1,e]< br>上单调增，所以
mq(1)e
．
综上所述，
m
的取值范围为
[,e]
．
21.解：A．
2
1
．
2
1
2

连结
AN
，
DN
．
因为
A
为弧
MN
的中点，所以
ANMADN
．
而
NABNDB
，
所以
ANMNABADNNDB
，
即
BCNADB
．

又因为
ACN3ADB
，
所以
ACNBCN3ADBADB180
，
故
ADB45
．
B．因为
A



1


2


a3

1

a6

8



< br>
，


2d

2

22d

4

所以


a68

a4

23

解得

所以
A

．


22d4

d 1

21

所以矩阵
A
的特征多项式为
f(

)

2
2
3

1
(

2)(

1)6

2
3

4
，
令
f(

)0
，解得矩阵
A
的 特征值为

1
1
，

2
4
．
C．以极点为原点，极轴为
x
轴正半轴，建立平面直角坐标系，
则点
A(2,

2
)
的直角坐标为
(0,2)
，直线
l
的直角坐标方程为
xy0
．
AB
最短时，点
B为直线
xy20
与直线
l
的交点，

xy 20

x1
解

得

所以点
B
的直角坐标为（-1,1）．
y1
xy0


所以点
B
的极坐标为
(2,

)
．
D．因为
abcabc3abc
，所以
abc3
，
所以
abc3
3
abc3
3
3
，
当且仅当
abc
3
3
时，取“”．
22. 解:(1) 因为直线
yn
与
x1
垂直，所以
MP
为 点
P
到直线
x1
的距离．
连结
PF
，因为< br>P
为线段
MF
的中垂线与直线
yn
的交点，所以
M PPF
．
所以点
P
的轨迹是抛物线．
焦点为
P(0,0)
，准线为
x1
．
所以曲线
E
的方程为
y4x
．
（2）由题意，过点< br>M(1,n)
的切线斜率存在，设切线方程为
ynk(x1)
， 联立

2
3
4
333222
3
333

ykxkn,
2
ky4y4k4n0
， 得
2< br>
y4x,
2
所以

1
164k(4k4n )0
，即
kkn10
（*），
因为

2
n40
，所以方程（*）存在两个不等实根，设为
k
1
，
k< br>2
，
2

因为
k
1
k
2< br>1
，所以
AMB90
，为定值．
23. 解:(1)
f(2)1
，
f(3)6
，
f(4)25
． < br>（2）解法一：设集合
A
中有
k
个元素，
k1,2,3,. ..,n1
．
则与集合
A
互斥的非空子集有
2
nk
1
个．
1
n1
knk
1
n1
knk
n1
k
于是
f(n)

C
n
(21)[
C
n
2

C
n
]
．
2
k 1
2
k1k1
因为
n1

C
k1
k
n
n1
k
n
2
nk
knk0nn02C
n
2C
n
2
(21)
n
2n
13
n
2
n
1
，

< br>C
n
k0
n1

C
k1
k0n


C
n
C
n
C
n
2
n
2
，
k0
n1
所以
f(n)
1
n
1
[(32
n
1)(2
n
2)](3
n
2
n1
1)
．
22
解法二：任意一个元素只能在 集合
A
，
B
，
C

C
U
(A
B)
之一中，
则这
n
个元素在集合
A
，< br>B
，
C
中，共有
3
n
种；
其中
A
为空集的种数为
2
，
B
为空集的种数为
2
， 所以
A
，
B
均为非空子集的种数为
3
n
2 2
n
1
，
又
(A,B)
与
(B,A)
为同一组“互斥子集”，
所以
f(n)



nn
1
n
(32
n1
1)
．
2