桃花源记原文-十九届一中全会

高考数学一模试卷（理科）


题号
得分
一

二

三

总分


一、选择题（本大题共
12
小题，共
60.0
分）
x
1.

设全集
U=R
，集合
A={x|2
＞
1}
，
B={x|-1≤x≤5}
，则（∁
U
A
）
∩B
等于（ ）
A.
[-1
，
0
）
B.
（
0
，
5]

C.
[-1
，
0]

D.
[0
，
5]

2.

若复数
z
满 足
zi=1+2i
，则
z
的共轭复数的虚部为（ ）
A.
i

B.
-i

C.
-1

D.
1

32
3.

命题“∀
x
∈
R
，
x
-x
+1≤0
”的否定是（ ）
A.
不存在
x
0
∈
R
，
-+1≤0

C.
∃
x
0
∈
R
，
B.
存在
x
0
∈
R
，
-+1≤0

D.
对任意的
x
∈
R
，
x
3
- x
2
+1
＞
0

4.

设
Sn
为等差数列
{a
n
}
的前
n
项和，且
4+a
5
=a
6
+a
4
，则
S
9
=
（ ）
A.
72

B.
36

C.
18

D.
9

5.

已知直线
l
和两个不同的平面
α
，
β
，则下列结论正确的是 （ ）
A.
若
l
∥
α
，
l
⊥
β
，则
α
⊥
β

B.
若
α
⊥
β
，
l
⊥
α
，则
l
⊥
β

C.
若
l
∥
α
，
l
∥
β
，则
α
∥
β

D.
若
α
⊥
β
，
l
∥
α
，则
l
⊥
β

2
6.

在某项测量中，测得变量
ξ-N
（
1，
σ
）（
σ
＞
0
）．若
ξ
在（
0
，
2
）内取值的概率为
0.8
，则
ξ
在（1
，
2
）内取值的概率为（ ）
A.
0.2

B.
0.1

C.
0.8

D.
0.4

7.

一个底面是正三角形，侧棱和底面垂直的三棱柱，其 三视图如图所示
.
若该三棱柱
的外接球的表面积为，则侧视图中的的值为


A.

B.
9

C.

D.
3

交于
A
，
B
两点，以
AB
为直
2
8.

已知直线
y=kx
（
k ≠0
）与双曲线
径的圆恰好经过双曲线的右焦点
F
，若△
ABF的面积为
4a
，则双曲线的离心率为
（ ）
A.

B.

C.
2

D.

9.

已知
M
（
-4
，
0
），
N
（< br>0
，
4
），点
P
（
x
，
y
）的坐标
x
，
y
满足，
则的最小值为（ ）
第1页，共15页

A.

x
B.

C.
-

D.
-

，
b=f
（
log
4
3
），
c=f
（
log
16< br>5
），
10.

已知
f
（
x
）=
（
sinθ
）
，
θ
∈（
0
，），设
则
a
，
b
，
c
的大小关系是（ ）
A.
c
＞
a
＞
b

B.
a
＞
c
＞
b

C.
b
＞
a
＞
c

D.
c
＞
b
＞
a

22
11.
已知直线
l
：
y=-2x-m
（
m
＞
0
）与圆
C
：
x
+y-2x-2y-23=0
，直线
l与圆
C
相交于不同
两点
M
，
N
．若
| |
，则
m
的取值范围是（ ）
A.
[
，
5
）
B.
[2
，
5-3
）
C.
（
5
，
5
）
D.
（，
2
）
2
12.

函数
f
（
x
）
=si n
（
2x+θ
）
+cos
x
，若
f
（x
）最大值为
G
（
θ
），最小值为
g
（
θ
），则
（ ）
A.
∃
θ
0
∈
R
，使
G
（
θ
0
）
+g
（
θ
0
）
=π

B.
∃
θ
0
∈
R
，使
G
（
θ
0
）
-g
（
θ
0
）
=π

C.
∃
θ
0
∈
R
，使
|G
（
θ
0
）•
g
（
θ0
）
|=π

D.
∃
θ
0
∈
R
，使
=π

二、填空题（本大题共
4
小题，共
20.0
分）
13.

展开式的常数项是
______
．
14.

古代埃及数学中发现有一个独特现象：除用一个单独的符号表示以外，其它分 数
都要写成若干个单分数和的形式．例如，可以这样理解：假定有两个面包，
要平均分给
5
个人，如果每人，不够，每人，余，再将这分成
5
份，每人得，
这样每人 分得
+
．形如
，，
（
n=2
，
3
，
4
，…）的分数的分解：
，按此规律，
=______
（
n=2
，
3
，
4
，…）．
15.

如图所示， 平面
BCC
1
B
1
⊥平面
ABC
，∠
AB C=120°
，
四边形
BCC
1
B
1
为正方形，且
AB=BC=2
，则异面直线
BC
1
与
AC
所成角 的余弦值为
______
．




y
2
=x
上一点
M 1
，
-1
）
B
是抛物线
C
上的两动点，
16.

已知抛物线
C
：
（，点
A
，且
=0
，
则点
M
到 直线
AB
的距离的最大值是
______
．
三、解答题（本大题共
7
小题，共
82.0
分）
17.

在△
ABC
中，角
A
，
B
，
C
的对边分别为
a
，
b
，
c
，且满足 （
2b-c
）
cosA=acosC
．
（Ⅰ）求角
A
；
（Ⅱ）若
a=
，△
ABC
的面积为
3
，求△
ABC
的周长．




第2页，共15页

AB
∥
CD
，
AB=1
，
CD=3
，
AP=2
，18.

如图，在四棱锥
P-ABCD
中，
DP=2
，∠
PAD=60°
，
AB
⊥平面
PAD
，点
M
在棱
PC
上．
（Ⅰ）求证：平面
PAB
⊥平面
PCD
；
（Ⅱ）若直线< br>PA
∥平面
MBD
，求此时直线
BP
与平面
MBD< br>所成角的正弦值．












19.

已知点
A< br>，
B
的坐标分别为（
-2
，
0
），（
2，
0
）．三角形
ABM
的两条边
AM
，
BM< br>所在直线的斜率之积是
-
．
（Ⅰ）求点
M
的轨迹方程； < br>（Ⅱ）设直线
AM
方程为
x=my-2
（
m≠0
）， 直线
l
方程为
x=2
，直线
AM
交
l
于< br>P
，
点
P
，
Q
关于
x
轴对称，直线
MQ
与
x
轴相交于点
D
．若△
APD
面积为
2
，求
m
的值．







20.

春节期间 某商店出售某种海鲜礼盒，假设每天该礼盒的需求量在
{11
，
12
，…30}
范围内等可能取值，该礼盒的进货量也在
{11
，
12
， …，
30}
范围内取值（每天进
1
次货），商店每销售
1
盒 礼盒可获利
50
元；若供大于求，剩余的削价处理，每处
理
1
盒礼盒 亏损
10
元；若供不应求，可从其它商店调拨，销售
1
盒礼盒可获利
30
元．设该礼盒每天的需求量为
x
盒，进货量为
a
盒，商店的日利 润为
y
元，
（Ⅰ）求商店的日利润
y
关于需求量
x
的函数表达式
（Ⅱ ）试计算进货量
a
为多少时，商店日利润的期望值最大？并求出日利润期望值
的最大值 ．





第3页，共15页

x
2
21.

已知函数
f
（
x
）
=e
-a
（
x+x+1
）．
（Ⅰ）若
x=0
是
f
（
x
）的极大值点，求
a
的值；
（Ⅱ）若
f
（
x
）在（
0
，
+∞
）上只有一个零点，求
a
的取值范围．







22.

在平面直角坐标系中，直线l
的参数方程为（
t
为参数，
0≤α
＜
π
）． 以坐
标原点为极点，
x
轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线
C
的极坐 标方程为
ρ
2
-4=4ρcosθ-2ρsinθ
．
（Ⅰ）写出曲线
C
的直角坐标方程；
（Ⅱ）若直线
l
与曲 线
C
交于
A
，
B
两点，且
AB
的长度为< br>2
，求直线
l
的普通方
程．







23.

已知
f
（
x
）
=|x+1|+|2x+m|
． < br>（Ⅰ）当
m=-3
时，求不等式
f
（
x
）
≤ 6
的解集；
（Ⅱ）设关于
x
的不等式
f
（
x）
≤|2x-4|
的解集为
M
，且
取值范围．






，求实数
m
的
第4页，共15页

答案和解析

1.
【答案】
C

【解析】【分析】
此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键 ，属于基础
题
.
求出
A
中不等式的解集确定出
A
，根据全集
U=R
求出
A
的补集，找出
A
补集与
B
的交
集即可．
【解答】
x
0
解：由
A
中的不等式变形得：
2
＞
1=2
，得到
x
＞
0，
∴
A=
（
0
，
+∞
），
∵全集
U=R
，
∴∁
U
A=
（
-∞
，
0]
，
∵
B=[-1
，
5]
，
∴（∁
U
A
）
∩B=[-1
，
0]
．
故选
C
．



2.
【答案】
D

【解析】【分析】
本题考查了复数的 运算法则、共轭复数的定义、虚部的定义，考查了推理能力与计算能
力，属于基础题．
利用复数的运算法则、共轭复数的定义、虚部的定义即可得出．
【解答】
解：zi=1+2i
，∴
-i
•
zi=-i
（
1+2i），
z=-i+2
，
则
z
的共轭复数
=2+i
的虚部为
1
．
故选
D
．
3.
【答案】
C

【解析】解：因为全称命题的否定是特称命题，
32
所以命题“对任意的
x
∈
R
，
x-x
+1≤0
”的否定是：存在
x
0
∈
R
，
-+1
＞
0
．
故选：
C
．
利用全称命题的否定是特称命题写出结果判断即可．
本题考查命题的否定，全称命题和特称命题，属基本知识的考查．
4.
【答案】
B

【解析】【分析】
本题考查等差数列 的前
n
项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解
能力，是基础题．
推导出
4+a
5
=2a
5
，从而
a
5=4
，再由
S
9
=
（
a
1
+a
9
），能求出结果．
【解答】
第5页，共15页

解：
S
n
为等差数列
{a
n
}
的前
n
项和，且
4+a
5
=a
6
+a
4
，
∴
4+a
5
=2a
5
，
解得
a
5
=4
，
∴
S
9
=（
a
1
+a
9
）
=9a
5
=36．
故选
B.
5.
【答案】
A

【解析】【分析】
本题考查了线线平行及面面垂直的判定定理，属中档题．
由线线 、线面平行及面面垂直的判定定理可得：设
m
⊂
α
，且
m
∥
l
，由
l
⊥
β
，则
m
⊥
β
，则
α
⊥
β
，得解．
【解答】
解：设
m⊂
α
，且
m
∥
l
，由
l
⊥
β
，则
m
⊥
β
，由面面垂直的判定定理可得：
α
⊥< br>β.
选项
A
正确

若
α
⊥β
，
l
⊥
α
，则
lβ
或
.
选 项
B
错误

若
l
∥
α
，l
∥
β,
与的关系不能确定
.
故
C
错误

若
α
⊥
β
，
l
∥
α
，与的关系不能确定
.
故
C
错误
即选项
A
正确，
故选
A.
6.
【答案】
D

【解析】【分析】
本题考查正态分布的对称性，是基础的计算题．
由已知结合正态分布曲线的对称性得答案．
【解答】

2
解：变量
ξ-N
（
1
，σ
），则对称轴为
X=μ=1
，
∵
ξ
在（
0
，
2
）内取值的概率为
0.8
，
∴
ξ
在 （
1
，
2
）内取值的概率为
故选
D.
．


7.
【答案】
A

【解析】解：一个正三棱柱的
接球的表面积为
124π
，
棱锥的底面三角形的高为：
x
，
解得
x=
．
三 视图如图所示，若该三棱柱的外
4πr
2
=124π
，可得球的半径
r
为：

22
可得（）
+2=31
，
故选：
A
．
求出球的半径，然后通过棱柱的高，转化求解棱柱的底面边长即
可． 本题考查三视图求解几何体的外接
球的表面积，判断球的球心的位置是解题的关键．
8.
【答案】
D

第6页，共15页

【 解析】解：∵以
AB
为直径的圆恰好经过双曲
线的右焦点
F
，
222
∴以
AB
为直径的圆的方程为
x
+y=c
，
由对称性知△
ABF
的面积
S=2S
△
OBF
=2 ×h=ch=4a
2
，
即
h=
，即
B
点的纵坐标 为
y=
2222
）
=c
，得
x=c-
（
，
22
）
=c-
2
则由
x+
（，
B
在双曲线上，
则
即
-
即
-
即
-
即
-
即
-1=
-
-
（
1+
•< br>=1
，
=1
，
）
=1
，
=1
，
=1
，
=
，
4222
得
16a=
（
c-a
），
22222< br>即
4a=c-a
，得
5a=c
，得
c=a
，
则离心率
e===
，
故选：
D
．
根据以
AB
为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点
F
，得到以
AB
为直径的 圆的方程为
x
2
+y
2
=c
2
，根据三角形的面积 求出
B
的坐标，代入双曲线方程进行整理即可．
本题主要考查双曲线离心率的计算， 根据条件求出
B
的坐标，代入双曲线方程是解决本
题的关键．考查学生的运算能力，运 算量较大．
9.
【答案】
C

【解析】解：由点
P（
x
，
y
）的坐标
x
，
y
满足
作出可行域如图，则
=
22
（
x+2
）
+
（< br>y-2
）
-8
的几何意义为
A
（
-2
，2
）
到直线
3x+4y-12=0
的距离的平方再减
8
由
d=
值为：．
故选：
C
．
=
，可得 （
x-2
）
2
+
（
y-2
）
2
- 8
最小
由约束条件作出可行域，再由
距离的平方求得答案．
的几何意义，即
A
（
-2
，
2
）到直线
3x+4y-12=0的
第7页，共15页

本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思 想方法，考查数学转化思想方法，
是中档题．
10.
【答案】
A

【解析】解：根据题意，
f
（
x
）
=
（
s inθ
），
θ
∈（
0
，），则
0
＜
sin θ
＜
1
，则函数
f
（
x
）
=
（< br>sinθ
）
x
为减函数，
又由
log
2
= log
4
=log
16
7
，
log
4
3= log
16
9
，则有
log
16
5
＜
lo g
2
＜
log
4
3
，
x
则
c
＞
a
＞
b
，
故选：
A
．
x
fx
）
=
根据题意，分析 可得（（
sinθ
）为减函数，由对数的运算性质分析可得
log
16
5
＜
log
2
＜
log
4
3
，结合函数 的单调性分析可得答案．
fx
）
=
本题考查函数单调性的判断以及应用，涉 及指数函数的性质，注意分析函数（（
sinθ
）
x
，的单调性，属于基础题 ．
11.
【答案】
B

【解析】解：取
MN
的 中点
P
，则
2|
（
|=2×|2|=4||
，
∴
||≤4||
⇒
||
2
≤16||
2
⇒
4 |PN|
2
≤16||
2
⇒
25-||
2
≤
+
）
4||
2
，
2
∴
5≤||
＜25
，∴
5≤
（
2
）＜
25
，
解得
2≤m
故选：
B
．
-3
．
2取
MN
的中点
P
后，将不等式化为
5≤||
＜
25
，然后用点到直线的距离公式求出
||
代
入不等式解得．
本题考查了直线与圆的位置关系，属中档题．
12.
【答案】
D

2
【解析】解：
f
（
x
）
=sin
（2x+θ
）
+cosx=cosθ
•
sin2x+
（
s in
）•
cos2x=sin
（
2x+φ
）
+
，
所以
G
（
θ
）
=
，
g
（
θ
）
=-
-
，
=1
，显然不满足题意，即
A①对于选项
A
，
G
（
θ
）
+g
（θ
）
=
错误，
②对于选项
B
，
G
（
θ
）
-g
（
θ
）
=
满足题意，即
B
错误，
+-=2
∈
[1
，
3]
，显然不
第8页，共15页

③对于选项
C
，
G
（
θ
）•
g
（
θ
）
=
（
然不满足题意，即
C
错误 ，
④对于选项
D
，
|
即∃
θ
0
∈
R
，使
故选：
D
．
|=|
）•（
-
）
=1+sinθ
∈
[0
，
2]
，显
|
∈< br>[2
，
+∞
），
=π
，故
D
正确， 2
由三角函数的辅助角公式得：
f
（
x
）
=sin（
2x+θ
）
+cosx=cosθ
•
sin2x+
（
sin
）
，•
cos2x=sin
（
2x+φ
）< br>+
，所以
G
（
θ
）
=
，
g
（
θ
）
=-
由方程有解问题，分别求四个选项的值域判断即可得解．
本题考查了三角函数的辅助角公式及方程有解问题，属难度较大的题型
13.
【答案】
-8

【解析】【分析】
本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基
础题．
把按照二项式定理展开，可得展开式的常数项．
【解答】

解：
故答案为
8.

=
（
x
2
-2
）•（
-+-+-1
）的展开式的常数项为
-10+2=-8.


14.
【答案】

【解析】【分析】
本题考查了归纳推理能力及分式的运算，属简单题．
由前面有限项规律可归纳推理出：
【解答】

解：由
=
=< br>故
=+
+
=
=
=
+
+
.
.
=+
，
=+
，即可求出
.
+


，
故答案为：


第9页，共15页

15.
【答案】


【解析】【分析】
本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系
等基础知 识，考查运算求解能力，是中档题．以
B
为原点，
BC
为
x
轴，在平面
ABC
内
过
B
作
BC
的垂线为
y
轴，以
BB
1
为
z
轴，建立空间直角坐标系，利用向量法 能求出异
面直线
BC
1
与
AC
所成角的余弦值．
【解答】
解：平面
BCC
1
B
1
⊥平面
ABC
，∠
ABC=120°
，四边形
BCC
1
B
1
为正方形，且
AB=BC=2
，
以
B
为原点，
BC
为
x
轴，在平面
ABC
内过
B
作
BC
的垂线为
y
轴，以
BB
1
为
z
轴，建立空 间直角坐标
系，
则
B
（
0
，
0
，
0
），
C
1
（
0
，
2
，
2），
A
（
-1
，，
0
），
C
（
2
，
0
，
0
），
=
（
0
，< br>2
，
2
），
=
（
3
，
-
，
0
），
设异面直线
BC
1
与
AC
所成角为
θ
，
则
cosθ===
．
∴异面直线
BC
1
与
AC
所成角的余弦值为．
故答案为．
16.
【答案】


【解析】【分析】
本题主要考查直线与抛物线的综合问题．
设直线
AB
的方程与抛物线方程联 立，利用•
=0
，结合韦达定理，即可证明直线
AB
过定点，并可求出定点的 坐标，再由当
MC
垂直于直线
AB
时，点
M
到直线
AB
距离取
得最大值，求出即可
.
【解答】
22
解：设
A
（
y
1
，
y
1
），
B
（
y
2
，
y
2
），
设直线
AB
方程为
x=my+n
，
2
将直线方程代入抛物线方程，消
x
得
y-my-n=0
，
2
由△＞
0
，得
m+4n
＞
0
，
y
1
+y
2
=m
，
y
1
•
y2
=-n
，
∵
M
（
1
，
-1
），
∴•
=
（
y< br>1
2
-1
）（
y
2
2
-1
）
+
（
y
1
+1
）（
y
2
+1
）
=
（
y
1
+1
）（
y
2
+1）
[
（
y
1
-1
）（
y
2
- 1
）
+1]=0
，
∴（
y
1
+1
）（< br>y
2
+1
）
=0
或（
y
1
-1）（
y
2
-1
）
+1=0
，
∴
y< br>1
y
2
+y
1
+y
2
+1=0
或< br>y
1
y
2
-y
1
-y
2
+2=0,
∴
m-n+1=0
或
m+n=2
，
∵△＞
0
恒成立，∴
n=-m+2
，
第10页，共15页

∴直线
AB
的方程为
x-2=m
（
y-1< br>），
∴直线
AB
过定点
C
（
2
，
1
），
当
MC
垂直于直线
AB
时，点
M
到直线
AB
距离取得最大值，且为
故答案为：
.
17.
【 答案】解：（Ⅰ）在三角形
ABC
中，∵（
2b-c
）
cosA=a cosC
，
∴由正弦定理得：（
2sinB- sinC
）
cosA=sinAcosC
，
∴可得：
2sinBc osA=sinCcosA+sinAcosC=sin
（
A+C
）
=sin B
，
∵
sinB≠0
，
∴解得：
cosA=
．
∵
A
∈（
0
，
π
）．
∴可得：
A=
．
（Ⅱ）∵
A=
，
a=
，
=
．
222222
∴由余弦定理：
a
=b+c-2bcc osA
，可得：
13=b+c-bc=
（
b+c
）
-3bc
，
又∵△
ABC
的面积为
3=bcsinA=bc
，解得 ：
bc=12
，
2
∴
13=
（
b+c
）
-36
，解得：
b+c=7
，
∴△
ABC
的周长
a+b+c=7+
．

【解析 】本题考查正弦定理，余弦定理，三角恒等变换的应用，考查转化思想与计算能
力，属于中档题． （Ⅰ）（
2b-c
）
cosA=acosC
，由正弦定理得：（
2sinB-sinC
）
cosA=sinAcosC
，再利用和
差公式、三 角形内角和定理、诱导公式可得
cosA
，结合范围
A
∈（
0
，
π
）．解得
A
．
（Ⅱ）利用余弦定理，三角形的面积公式可求
b+c
的值，即可计算得解三角形的周长．
18.
【答案】解：（Ⅰ）证明 ：∵
AB
⊥
平面
PAD
，∴
AB
⊥
DP< br>，

∵
DP=2
，
AP=2
，∠
PAD=60°
，
由
sin
，
，可得
∴∠
PDA=30°
，
∴∠
APD=90°
，∴
DP
⊥
AP
，
∵
AB∩AP=A
，∴
DP
⊥平面
PAB
， ∵
DP
⊂平面
PCD
，∴平面
PAB
⊥平面
P CD
；
（Ⅱ）以
A
为原点，在平面
APD
中过
A
作
AD
的垂线为
x
轴，
AD
为
y
轴，
AB
为
z
轴，
建立空间直角坐标系，
则
A
（
0
，
0
，
0
），
C
（
0
，
4
，
3
），
D
（
0
，
4
，
0
），
P
（
2
，
1
，0
），
B
（
0
，
0
，
1
），
连结
AC
，与
BD
交于点
N
，连结
MN< br>，
∵
PA
∥平面
MBD
，
MN
为平面PAC
与平面
MBD
的交线，
∴
PA
∥
MN
，∴，
在四边形
ABCD
中，∵
AB
∥
CD
，∴△
ABN
∽△
CDN
，
第11页，共15页

∴
=3
，，
PM=
，
∴
M
（，，），
=
（
2
，
1
，
-1
），
=
（
0
，
4
，
-1），
设平面
MBD
的法向量
=
（
x
，
y
，
z
），
=
（，
-
），
则，取y=1
，得
=
（
-
，
1
，
4
），
设直线
BP
与平面
MBD
所成角为
θ
，
则
sinθ===
．
． ∴直线
BP
与平面
MBD
所成角的正弦值为

【解析】本题 考查面面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线
面、面面间的位置关系，考查运 算求解能力，考查运算求解能力，考查数形结合思想，
是中档题．
DP
⊥
A P
，（Ⅰ）推导出
AB
⊥
DP
，从而
DP
⊥平面< br>PAB
，由此能证明平面
PAB
⊥平面
PCD
．
（ Ⅱ）以
A
为原点，在平面
APD
中过
A
作
AD的垂线为
x
轴，
AD
为
y
轴，
AB
为
z
轴，
建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线
BP
与平面MBD
所成角的正弦值．
19.
【答案】解：（Ⅰ）设
M
（< br>x
，
y
），点
A
，
B
的坐标分别为（
-2
，
0
），（
2
，
0
）．
由题意得 ：
k
AM
•
k
BM
=
•
=-
（< br>x≠±2
），
化简，得点
M
的轨迹的方程为
+=1
，（
x≠±2
）．
（Ⅱ）直线
AM
的方程为
x=my-2
，（
m≠0
），直线直线
l
方程为
x=2
，联立可 得点
P
（
2
，
），
∴
Q
（
2
，
-
），
22
消x
可得（
3m+4
）
y-12my=0
，解得
y=0< br>或
y=
由，
由题设可得点
M
（，），
+
）（
x-2
）
-
（
-2
）（
y+
）
=0
， 可得直线
MQ
的方程为（
令
y=0
，可得
x=
故
D
（
∴
|AD|=2+
，
0
），
=
，
，
第12页，共15页

∴△
APD
面积
S=×
解得
m=
．
×==2
，

【解析】（Ⅰ）设
M
（
x
，
y
），由题意得
k
AM
•
k
BM
=•
=-
（
x≠±2
），由此能求出点
M
的轨迹的方程．
（Ⅱ）先求出点
Q
的坐标，再求出点
M
的坐标，求出直线
M Q
的方程，即可求出点
D
的坐标，可得
|AD|
，即可表示出面积， 再根据△
APD
面积为
2
，即可求出
m
的值
本题 考查点的轨迹方程的求法，考查直线方程、椭圆、三角形的面积公式等基础知识，
考查运算求解能力，考 查化归与转化思想，是中档题．
20.
【答案】解：（Ⅰ）当日需求量
x≥a
时，利润为
y=50a+
（
x-a
）
×30=30x+20a；
x-
（
a-x
）
×10=60x-10a
． 当需 求量
x
＜
a
时，利润
y=50×
所以利润
y
与日需求量
x
的函数关系式为：
y=
；
（Ⅱ）因为需求量
x
～
φ
（
x
）
=
，
所以期望利润为< br>E
（
y
）
=ydx=[
（
60x-10a
）
dx+
（
30x+20a
）
dx]=[
（
30x< br>2
-10ax
）
，
|+
（
15x
2
+20ax
）
|
）
=-a
2
+a+
其对称轴为< br>a==23.
故当
a=24
时，商店日利润的期望值最大，其最大值为
913.5
元
.

【解析】本题考查了函数在实际生活中的应用，数学期 望在实际生活中的应用，考查了
分析问题，解决问题的能力，属于中档题
（Ⅰ）根据题意分段 求解得出当
11≤x
＜
a
时，
y
利润
，当
a≤x≤30
时，
y
利润
，
（Ⅱ）期望利润是根据概率论中的期望 求出，根据需求量的概率密度即可求出，即可得
到期望利润为
E
（
y
）
=ydx
，整理化简，结合二次函数的性质即可求出．
21.
【答案】解 ：（Ⅰ）
f
’（
x
）
=e
x
-a
（
2x+1
）．
因为
x=0
是
f
（
x
） 的极大值点，所以
f
’（
0
）
=1-a=0
，解得
a=1
．
X
=e
x
-2
． 当
a=1
时 ，
f
’（
x
）
=e-
（
2x+1
），=0
，解得
x=ln2
． 令
当
x
∈（
-∞< br>，
ln2
）时，＜
0
，
f
’（
x
） 在（
-∞
，
ln2
）上单调递减，又
f'
（
0）
=0
，
所以当
x
∈（
-∞
，
0< br>）时，
f'
（
x
）＞
f'
（
0
）< br>=0
，当
x
∈（
0
，
ln2
）时，
f'
（
x
）＜
f'
（
0
）
=0
，
故
x=0
是
f
（
x
）的极大值点．
（Ⅱ ）令，
f
（
x
）在（
0
，
+∞
）上只有一 个零点
， 当且仅当
g
（
x
）在（
0
，
+∞
）上只有一个零点
.
当
x
∈（
0
，
1
）时，
g
’（
x
）＜
0
，
g
（< br>x
）单调递减；
当
x=
（
1
，
+∞
）时，
g
’（
x
）＞
0
，
g
（
x
）单调递增，
所以
g
（
x
）的最小值为．
第13页，共15页

（
1
）当
g
（
x
）的最小值为
g
（
1
）
=0
，即
即< br>f
（
x
）在（
0
，
+∞
）上只有一个零点．
（
2
）当
g
（
x
）的最小值
g
（
1
）＜
0
，即
取
x=n
（
n
∈< br>N
，
n
＞
18a
＞
1
），
时，< br>g
（
x
）在（
0
，
+∞
）上只有一个零点，
时．
．
①若
g
（
0
）
=1-a
＞
0
，即
a
＜
1
时，
g
（
x< br>）在（
0
，
1
）和（
1
，
n
）上各 有一个零点，
即
f
（
x
）在（
0
，
+∞
）上有
2
个零点，不符合题意；
②当
g
（
0）
=1-a≤0
即
a≥1
时，
g
（
x
）只有在（
1
，
+∞
）上有一个零点，
即
f
（< br>x
）在（
0
，
+∞
）上只有一个零点．
综上得，当 时，
f
（
x
）在（
0
，
+∞
）上只有一个 零点．

【解析】（Ⅰ）首先求得导函数，然后由
f
’（
0
）
=0
求得实数
a
的值，最后验证所得
的结果符合题意即可； < br>（Ⅱ）令，原问题等价于
g
（
x
）在（
0
，
+∞
）上只有一个零点，据此
分类讨论确定
a
的取值范围即可．
本 题主要考查导函数研究函数的极值，导函数研究函数的零点，分类讨论的数学思想等
知识，属于中等题．
22.
【答案】解：（Ⅰ）曲线
C
的极坐标方程为
ρ
2-4=4ρcosθ-2ρsinθ
．
22
转换为直角坐标方程为：（
x-2
）
+
（
y+1
）
=9
．
（Ⅱ）把 直线
l
的参数方程为（
t
为参数，
0≤α
＜
π）．
22
代入（
x-2
）
+
（
y+1
）
=9
，
2
得到：
t-4tcosα+2tsinα-4=0< br>，（
t
1
和
t
2
为
A
、
B
对应的参数）
故：
t
1
+t
2
=4cosα-2 sinα
，
t
1
•
t
2
=-4
，
所以：
|AB|=|t
1
-t
2
|=
2
解得：< br>3cos
α=4sinαcosα
，
=2
，
所以：，
故直线的方程为：
x=0
或
y=x
．

【解析】（Ⅰ）直接利用转换关系，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转
换． < br>（Ⅱ）利用直线和曲线的位置关系，利用一元二次方程根和系数关系的应用求出三角函
数的关系式 ，进一步求出直线的方程．
本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，一 元二次方程
根和系数关系的应用，三角函数关系式的恒等变变换，直线方程的求法及应用，主要考
查学生的运算能力和转化能力．属于基础题型．
23.
【答案】解：（Ⅰ）当
m= -3
时，
f
（
x
）
=|x+1|+|2x-3|
，
原不等式等价于
|x+1|+|2x-3|≤6
，
第14页，共15页

故或或，
解得：
-≤x≤-1
或
-1
＜< br>x
＜或
≤x≤
，
综上，原不等式的解集是
{x|-≤x≤}
；
（
2
）由题 意知
f
（
x
）
≤|2x-4|
在
[-1
，
]
上恒成立，
故
x+1+|2x+m|≤4-2x
，
即
|2x+m|≤3-3x
在
[-1
，
]
上恒成立，
故
3x-3≤2x+m≤3-3x
，
则
x-3≤m≤3-5x
在
[-1
，
]
上恒成立，
由于
-4≤x-3≤-
，
≤3-5x≤8
，
故
-≤m≤
，
即
m
的范围是
[-
，
]
．

【解析】本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想以及转化思想，是一道综
合题．
（Ⅰ）代入
m
的值，通过讨论
x
的范围，求出不等式的解集即可；
（Ⅱ）问题转化为
x-3≤m≤3-5x
在
[-1
，
]上恒成立，结合
x
的范围，求出
m
的范围即可．

第15页，共15页