上海海关网-家长会后作文

绝密★启用前
2003年普通高等学校招生全国统一考试
数 学
（理工农医类）（北京卷）


本试卷分第Ⅰ卷（选择题）第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷
（选择题 共50分）

注意事项：
1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上.
2．每 小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其它 答案，不能答在试题卷上.
3．考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回.
参考公式：
三角函数的积化和差公式： 正棱台、圆台的侧面积公式

11
sin

cos
< br>[sin(



)sin(


< br>)]

S
台侧
(c

c)l

22
1
cos

sin

[sin(



)sin(



)]
其中
c

、
c
分别表示上、下底面
2
1
周长，
l
表示斜高或母线长.
cos
cos

[cos(



)cos(



)]

2
14
sin

 sin

[cos(



)cos(
< br>

)]
球体的体积公式：
V
球


R
3
，其中
23
R表示球的半径.

一、选择题 ：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合要求的.
1．设集合
A{x|x10},B{x|log
2
x0|},则A B
等于


A．
{x|x1}

C．
{x|x1}

0.9
2
（ ）


B．
{x|x0}

D．
{x|x1或x1}


D．y
1
>y
3
>y
2

（ ）
（ ） 2．设
y
1
4

1
,y
2
8
0.44
,y
3
()
1.5
，则
2
B．y
2
>y
1
>y
3
C．y
1
>y
2
>y
3
A．y
3
>y
1
>y
2

3
3．“
c
”是“

k


5

,kZ”的
os2


2
12

A．必要非充分条件 B．充分非必要条件
C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件
4．已知α，β是平面，m，n是直线.下列命题中不正确的是
．
A．若m∥n，m⊥α，则n⊥α
C．若m⊥α，m⊥β，则α∥β
2
（ ）
B．若m∥α，α∩β=n，则m∥n
D．若m⊥α，
m

，则α⊥β

D．双曲线

D．5
（ ）
（ ） 5．极坐标方程

cos2

2

cos

1
表示的曲线是
A．圆 B．椭圆 C．抛物线
6．若
zC
且
|z22i |1,则|z22i|
的最小值是
A．2 B．3 C．4
7．如果圆台的母线与底面成60°角，那么这个圆台的侧面积与轴截面面积的比为 （ ）
A．
2

B．


3
2
C．
23


3
D．


1
2
8．从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4 种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，
其中黄瓜必须种植，不同的种植方法共有
A．24种 B．18种 C．12种

D．6种
（ ）
3
n
2
n
( 1)
n
(3
n
2
n
)
,n1,2,，则 9．若数列

a
n

的通项公式是
a
n

2

lim(a
1
a
2


a
n
)
等于
n

C．
（ ）
A．
11

24
B．
17

24
19

24
D．
25

24
10．某班试用电子投票系统选举班干部候选人.全班k名同学都有选举权和被选举权，他们的
编号分别 为1，2，…，k，规定：同意按“1”，不同意（含弃权）按“0”，令

a
ij


号同学当.选

1,第i号同学同意j第
j号第 同学当.选

0,第i号同学不同意

其中i=1，2，…，k，且j=1，2，…，k，则同时同意第1，2号同学当选的人数为（ ）



A．
a
11
a
12
 a
1k
a
21
a
22
a
2k

B．
a
11
a
21
a
1k
a< br>12
a
22
a
k2

C．
a
11
a
12
a
21
a
22
a
k 1
a
k2

D．
a
11
a
21
a
12
a
22
a
1k
a
2 k

第Ⅱ卷
（非选择题 共100分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上.
x1.

x2,

2
|x|1.
11．函数
f(x) lg(1x),g(x)

0

x2,x1.

是偶函数.
h(x)tg2x
中，
x
2y
2
1
右顶点为顶点，左焦点为焦点的抛物线的方程是 12．以双曲线
169
13．如图，已知底面半径为r的圆柱被一个平面所截，
剩下部分母线长的最大值为a，最小值为b，那么
圆柱被截后剩下部分的体积是 .
14．将长度为1的铁丝分成两段，分别围成一个正方形
和一个圆形，要使正方形与圆的面积之和最小，正

方形的周长应为 .
三、解答题：本大题共6小题，共84分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15．（本小题满分13分）
已知函数
f(x)cosx2sinxcosxsinx.

（Ⅰ）求
f(x)
的最小正周期；
（Ⅱ）若
x[0,
44

2
]
，求
f(x)
的最大值、最小值.
.


16．（本小题满分13分）
已知数列

a
n

是等差数列，且
a
1
2,a
1
a
2
a
3
12.

（Ⅰ）求数列

a
n

的通项公式；
n
（ Ⅱ）令
b
n
a
n
x(xR).
求数列

b
n

前n项和的公式.


17．（本小题满分15分）

如图，正三棱柱ABC—A
1
B
1
C
1
的底面边长的3，侧棱AA
1
=
点，且BD=BC.
（Ⅰ）求证：直线BC
1
平面AB
1
D；
（Ⅱ）求二面角B
1
—AD—B的大小；
（Ⅲ）求三棱锥C
1
—ABB
1
的体积.





18．（本小题满分15分）
33
,
D是CB延长线上一
2

如图，椭圆的长轴 A
1
A
2
与x轴平行，短轴B
1
B
2
在y 轴上，中心为M（0，r）（
br0).

（Ⅰ）写出椭圆的方程，求椭圆的焦点坐标及离心率；
（Ⅱ）直线
yk
1< br>x
交椭圆于两点
C(x
1
,y
1
),D(x
2
,y
2
)(y
2
0);
直线
yk
2
x
交椭圆于两
点
G(x
3
,y
3
),H( x
4
,y
4
)(y
4
0).
求证：
kx x
k
1
x
1
x
2

234
；
x
1
x
2
x
3
x
4
（Ⅲ）对于（Ⅱ）中的C，D，G，H，设CH交x轴于点P，GD交x轴于点Q.
求证：|OP|=|OQ|. （证明过程不考虑CH或GD垂直于x轴的情形）

















19．（本小题满分14分）

有三个新兴城镇，分别位于A，B，C三点处，且AB=AC=a， BC=2b.今计划合建一个中
心医院，为同时方便三镇，准备建在BC的垂直平分线上的P点处，（建 立坐标系如图）
（Ⅰ）若希望点P到三镇距离的平方和为最小，
点P应位于何处？
（Ⅱ）若希望点P到三镇的最远距离为最小，
点P应位于何处？









20．（本小题满分14分）
设
yf(x)
是定义在区间
[1,1]
上的函数，且满足条件：
（i）
f(1)f(1)0;

（ii）对任意的
u,v[1,1],都有|f(u)f(v)||uv|.

（Ⅰ）证明：对任意的
x[1,1],都有x1f(x)1x;

（Ⅱ）证明：对任意的
u,v[1,1],都有|f(u)f(v)|1;

（Ⅲ）在区间[－1，1]上是否存在满足题设条件的奇函数
yf(x)
，且使得
1

|f(u)f(v)||uv|.当u,v[0,].

2




|f(u)f(v)|| uv|,当u,v[
1
,1].

2

若存在，请举一 例：若不存在，请说明理由.





绝密★启用前
2003年普通高等学校招生全国统一考试

数学试题（理工农医类）（北京卷）参考解答
一、选择题：本题考查基本知识和基本运算. 每小题5分，满分50分.
1．A 2．D 3．A 4．B 5．D 6．B 7．C 8．C 9．C 10．C
二、填空题：本题考查基本知识和基本运算.每小题4分,满分16分.
11．
f(x);g(x)
12．
y
2
36(x4)
13．
1
2
4


r(ab)
14．
2
4
三、解答题：本大题共6小题，共84分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步 骤.
15．本小题主要考查三角函数的倍角、和角公式，以及三角函数的性质等基本知识，考查运算能 力，满分
13分. （Ⅰ）解：因为
f(x)cos
4
x2sinxc osxsin
4
x

(cos
2
xsin
2
x)(cos
2
xsin
2
x)sin2x
cos2 xsin2x2cos(2x
所以

4

)
f(x)
的最小正周期
T
2
2



.

2
444
（Ⅱ）解：因为
0x

所以
5


,
2x.
当
2x



时，
cos(2x

)
取得最大值
2
；当
2x

4
44
4
2


时，
cos(2x

)
取得最小
4
值－1. 所以
f(x)
在
[0,]
上的最大值为1，最小值为－
2.

2
a
1
a
2
a
3
3a
1< br>3d12,
又
a
1
2,d2.


16．本小题主要考查等差、等比数列等基本知识，考查综合运用数学知识和方法解决问题的能力.满分13分.
（Ⅰ）解：设数列
{a
n
}
公差为
d
，则
所以
a
n
2n.
（Ⅱ）解：令
S
n
b
1
b
2
b
n
,
则由
b
n
a
n
x
n
2nx
n
,
得

S
n
2x4x
2


(2n2)x
n1
2nx
n
,
①
xS
n

2< br>x
2

4
x
3

(2
n2)
x
n

2
nx
n1
,
②
当
x1
时，①式减去②式，得
(1x)S
n
2(xxx)2nx
2nn1
2x(1x
n
)
2 nx
n1
,

1x
nn1
所以
S
2x(1x)

2nx
.

n
1x
(1x)
2
当
x
当
x
1
时,
S
n
24

2n n(n1)
综上可得当
x1
时,
S
n
n(n1)

1
时，
S
n
2x(1x
n
) 2nx
n1

.
1x
(1x)
2
17． 本小题主要考查直线与平面的位置关系，正棱柱的性质，棱锥的体积等基本知识，考查空间想象能力和
逻 辑推理能力. 满分15分.
（Ⅰ）证明：CDC
1
B
1
， 又BD=BC=B
1
C
1
， ∴ 四边形BDB
1
C
1
是平行四边形， ∴BC
1
DB
1
.
又DB
1

平面AB
1
D，BC
1

平面AB
1
D，∴直线BC
1
平面AB
1
D.

（Ⅱ）解：过B作BE⊥AD于E，连结EB
1
，
∵B
1
B⊥平面ABD，∴B
1
E⊥AD ，
∴∠B
1
EB是二面角B
1
—AD—B的平面角，
∵BD=BC=AB，
∴E是AD的中点，
BE
1
AC
3
.

22
在Rt△B
1
BE中，
3
3
B
1< br>B
2
tgB
1
BE3.
∴∠B
1
E B=60°。即二面角B
1
—AD—B的大小为60°
3
BE
2
（Ⅲ）解法一：过A作AF⊥BC于F，∵B
1B⊥平面ABC，∴平面ABC⊥平面BB
1
C
1
C，
∴AF ⊥平面BB
1
C
1
C，且AF=
33
33,

V
CABB
V
ABBC

1
S
< br>BBC
AF

22
3
11111
111


1
(
1

33
3)
33

27
.
即三棱锥C
1
—ABB
1
的体积为
27
.

32228
8
解法二：在三棱柱ABC— A
1
B
1
C
1
中，
S
ABB
1
S
AAB
V
C
1
ABB
1
V
C
1
AA
1
B
1
V
AA
1
B
1
C
1

1
1
13
2
3327
即三棱锥C—ABB的体积为
27


1
S< br>11
(43).
.
A
1
B
1
C< br>1
AA
1

33428
8
18．本小主要考查直线 与椭圆等基本知识，考查分析问题和解决问题的能力.满分15分.
22
x(yr)
（Ⅰ）解：椭圆方程为焦点坐标为
F
1(a
2
b
2
,r),F
2
(a
2
b
2
,r),

1,
a
2
b
2
离心率
e
a
2
b
2
.

a
（ Ⅱ）证明：将直线CD的方程
yk
1
x
代入椭圆方程，得
b
2
x
2
a
2
(k
1
xr)
2
a
2
b
2
,

整理得
(b
2
a
2
k
1
2
)x
2
2k
1
a
2
rx(a
2
r
2
a
2
b
2< br>)0.
根据韦达定理，得
2k
1
a
2
r
a
2
r
2
a
2
b
2
所以
x
1
x
2
r
2
b
2
①
x
1
x
2

2
,x
1
x
2

2

ba
2
k
1
2
b a
2
k
1
2
x
1
x
2
2k1
r
将直线GH的方程
22
yk
2
x
代入椭 圆方程，同理可得
x
3
x
4

rb
，
x
3
x
4
2k
2
r
k
1
x1
x
2
r
2
b
2
k
2
x< br>1
x
2
由①，②得

x
1
x
2
2rx
1
x
2
所以结论成立.
（Ⅲ）证明：设点P（p,0），点Q（q,0），由C、P、H共线，

得
x
1
pk
1
x
1
解得
p
( k
1
k
2
)x
1
x
2
，
,
k
1
x
1
k
2
x
2
x
2
pk
2
x
2
(k
1
k
2
) x
2
x
3
k
1
x
1
x
2
kxx
由
234
,

k
1
x
2
k
2
x
3
x
1
x
2
x
3x
4
x
2
x
3
x
1
x
4< br>

k
1
x
2
k
2
x
3
k
1
x
1
k
2
x
4
由D、Q、G共线，同理可得

q
变形得

即< br>
(k
1
k
2
)x
2
x
3

(k
1
k
2
)x
1
x
4

k
1
x
2
k
2
x
3
k
1
x
1
k
2
x
4
所以
|p||q|,即|OP||OQ|.

19．本小题主要考查函数，不等式 等基本知识，考查运用数学知识分析问题和解决问题的能力.满分14分.
（Ⅰ）解：由题设 可知，
a
平方和为
数
，则P至三镇距离的
b0,
记ha
2
b
2
,
设P的坐标为（0，
y
）< br>时，函
h
h2
f(y)2(b
2
y
2
) (hy)
2
3(y)
2
h
2
2b
2< br>.
所以，当
y
3
33
1
2
ab2
).

3

f(y)
取得最小值. 答:点P的坐标是
(0,
（Ⅱ）解法一：P至三镇的最远距离为
g(x)



b
2
y
2
,当b
2
y
2
|hy|,
22


|hy|,当by|h y|.
由
h
2
b
2
h
2
b< br>2
*
,
记
y,
于是
by|hy|
解得
y
2h2h
22
22
22*
hb

n
by,当yy,

g(y)

当
y 0,
即
hb
时，
b
2
y
2
在[
2h
*


|hy|,当yy.
y
*< br>,)
上是增函
数，而
|h
*
y|在(-,y
*
]
上是减函数. 由此可知,当
yy
n
时,函数
g(y)
取得最小值. 当
,而
h
2
b
2
y0,
即
2h
hb
时,函数
b
2
y
2
在[
y
*
,)
上,当
y0
时,取得最小值
b
|hy|在(-,y< br>*
]
上为减函数,且
|hy|b.
可见, 当
y0
时, 函数
g(y)
取得最小值. 答
当
hb< br>时,点P的坐标为
(0,
a
2
2b
2
2a
2
b
2
);
当
hb
时,点P的坐标为(0,0),其中
ha
2
b
2
,


b
2y
2
,当b
2
y
2
|hy|,
 解法二:P至三镇的最远距离为
g(y)
由
b
2
y
2
|hy|
解得

22


|h y|,当by|hy|.

h
2
b
2
h
2
b
2
*
,
于是
y,
记
y
2h
2h
2*

2

g(y)

by,当yy,


*


|hy|,当yy.
当
当








y
*
0,即hb时,zg(y)
的图象如图
(a)
，因此，当
y y
*
时，函数
g(y)
取得最小值.
yy
*
,
即
hb时,zg(y)
的图象如图
(b)
，因此，当
y0
时，函数
g(y)
取得最小值.
答：当
hb
时， 点P的坐标为
(0,
a
2
2b
2
2a
2
b
2
);
当
h
22
，其中
hab.

b
，点P的坐标为（0，0）

22
解法三：因为在△ABC中， AB=AC=
a,
所以△ABC的外心M在射线AO上，其坐标为
(0,
a 2b
)
，
22
2ab
且AM=BM=CM. 当P在射线 MA上，记P为P
1
；当P在射线MA的反向延长线上，记P为P
2
，
若
h
，则点M在线段AO上，
a
2
b
2b
（如图1）
这时P到A、B、C三点的最远距离为
P
1
C 和P
2
A，且P
1
C≥MC，P
2
A≥MA，所以点P与外 心M
重合时，P到三镇的最远距离最小.
若
ha
2
b2
b
(如图2),则点M在线段AO外,这时
P到A、B、C三点的最远距离为P
1
C或P
2
A，
且P
1
C≥OC，P
2
A≥OC，所以点P与BC边中点O重合时，
P到三镇的最远距离最小为
b
.
答：当
h
(0,
a
2
2b
2
2a
2
b
2
a
2
b
2
b
时，点P的位置在△ABC的外心
)
；当< br>ha
2
b
2
b
时，点P的位置在原点O.

20．本小题考查函数、不等式等基本知识，考查综合运用数学知识分析问题和解决问题的能力.满分1 4分.
（Ⅰ）证明：由题设条件可知，当
x[1,1]
时，有
|f(x) |f(x)f(1)|x1|1x,

即
x1f(x)1x.

时,有|f(u)-f(v)||u-v|1.
（Ⅱ）证法一：对任意的
u,v [1,1],当|uv|1
时,uv
当
|u-v|1
所以，|
0,
不妨设
u0,
则
v0且v-u1,
< br>f(u)f(v)||f(u)f(1)||f(v)f(1)||u1||v1|

f(u)f(v)|1.

1u1v2(vu)1.
综上可知，对任意的
u,v[1,1],
都有
|
证法二：由（Ⅰ ）可得，当
x[0,1]时,f(x)1-x,x[1,0]时,|f(x)||f(x) f(1)1x1|x|.

所以，当
x[1,1]时,|f(x)1 |x|.
因此，对任意的
u,v[1,1],

当
|uv| 1
时，
|f(u)f(v)||uv|1.
当
|uv|1时，有
uv0

且
1|uv||u||v|2.

所以
|f(u)f(v)||f(u)||f(v)|1|u|1|v|2 (|u||v)1.

综上可知，对任意的
u,v[1,1],
都有
|f(u)f(v)|1.

（Ⅲ）答：满足所述条件的函数不存在.
理由如下，假设存在函数
f(x)
满足条件，则由
|
1
f(u)f (v)||uv|,u,v[,1],

2
得
|
11
111
f()f(1)||1|.
又
f(1)0,
所以
|f()|.
①
22
222f(x)
为奇数，所以
f(0)0.
由条件
|
1
f( u)f(v)||uv|,u,v[0,],

2
又因为
得

111
|f()||f()f(0)|.
② ①与②矛盾，所以假设不成立，即这样的函数不存在.
222