关于景色的作文-入团申请

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天津市和平区高考数学三模试卷（理科）


一、选择题(每题5分，共40分)
1．复数z满足
A．2 B．
=i（i为虚数单位），则|z|等于（ ）
C． D．1
2．若实数x，y满足条件：，则的最大值为（ ）
A．0 B． C． D．
3．阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为（ ）

A．1 B． C． D．2
4．设命题P：∃n∈N，n
2
＞2
n
，则￢P为（ ）
A．∀n∈N，n
2
＞2
n
B．∃n∈N，n
2
≤2
n
C．∀n∈N，n
2
≤2
n
D．∃n∈N，n
2
=2
n

5．如图，在直角△ABC中，AB⊥ BC，D为BC的中点，以AB为直径作圆O，分别交AC、AD于点E，F，若AF=3，
FD=1， 则AE等于（ ）

A． B． C． D．
6．已知双曲线C的左右焦点分别 为F
1
、F
2
，且F
2
恰为抛物线y
2
= 8x的焦点．设A为双曲线C与该抛物线的
一个交点，若△AF
1
F
2
是以AF
1
的底边的等腰三角形，则双曲线C的离心率为（ ）
A．1+ B．1+ C． D．
7．已知f（x）=2
x
+2
﹣x
，f（m ）=3，且m＞0，若a=f（2m），b=2f（m），c=f（m+2），则a，b，c的大小关系
为（ ）
.

.
A．c＜b＜a B．a＜c＜b C．a＜b＜c D．b＜a＜c
8．已知y=f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x）=，当函 数y=f（x﹣1）﹣﹣
k（x﹣2）（其中k＞0）的零点个数取得最大值时，则实数k的数值范围是 （ ）
A．（0，6﹣

二、填空题(每小题5分，共30分)
9．的展开式中x
8
的系数是______（用数字作答）．
）B．（6﹣，2） C．（，6﹣） D．（，2﹣）
10．一个几何体的三视图如图所示 （单位cm），则该几何体的体积为______cm
3
．

11．在极坐 标系中，点A的极坐标是（1，π），点P是曲线C：ρ=2sinθ上的一个动点，则|PA|的取值范
围是______．
12．如图，在边长为1的正方形OABC内取一点M，则点M恰好落在阴影内 部的概率为______．

13．在△ABC中，A=，AB=，B的角平分线BD=，则BC的长为______．
=， =，则14．在边长为2的正方形ABCD中，动点M和N分别在边BC和CD上，且
•

三、解答题(本题共6题，共80分)
15．已知函数f（x）=sin（x﹣）sinx﹣cos
2
x，x∈R．
的最小值为______．
（1）求函数f（x）的最小正周期和最大值；
（2）求函数f（x）在[，]上的单调区间．
.

.
1 6．某商场五一期间搞促销活动，顾客购物满一定数额可自愿进行以下游戏，花费10元从1，2，3，4，5，
6中挑选一个点数，然后掷骰子3次，若所选的点数出现，则先退还顾客10元，然后根据所选的点数出 现
的次数，每次再额外给顾客10元奖励；若所选的点数不出现，则10元不再退还．
（Ⅰ）某顾客参加游戏，求该顾客获奖的概率；
（Ⅱ）计算顾客在此游戏中的净收益X的分布列与数学期望．
17．如图，在三棱锥P﹣AB C中，PA⊥底面ABC，点D，E分别在棱PB、PC上，PA=AB=2，∠ABC=60°，∠BCA=9 0°，
且DE∥BC．
（Ⅰ）求证：BC⊥平面PAC；
（Ⅱ）当点D为PB的中点时，求AD与平面PAC所成角的正切值；
（Ⅲ）是否存在点E使得二面角A﹣DE﹣P为直二面角？并说明理由．

18．设 椭圆E的方程为+=1（a＞b＞0），点O为坐标原点，点A的坐标为（a，0），点B的坐标为（0，
b），点M在线段AB上．满足|BM|=2|AM|，直线0M的斜率为
（1）求椭圆的离心率；
．
（2）设点C的坐标为（﹣a，0），N为线段BC的中点，点N关于直线AB的对称点的 纵坐标为
E的方程．
19．已知数列{a
n
}和{b
n
} 满足a
1
a
2
…a
n
=（
（Ⅰ）求a
3< br>及数列{b
n
}的通项公式；
（Ⅱ）设c
n
=
（i）求S
n
；
（ii）若S
k
≥S
n
恒成立，求正整数k的值．
20． 已知函数f（x）=x
2
+ax+1，g（x）=e
x
（其中e为自然对数的 底数）．
（Ⅰ）若a=1，求函数y=f（x）•g（x）在区间[﹣2，0]上的最大值；
（Ⅱ）若a=﹣1，关于x的方程f（x）=k•g（x）有且仅有一个根，求实数k的取值范围； < br>﹣，n∈N
*
，记数列{c
n
}的前n项和为S
n
．
）
，求椭圆
，n∈N
*
，若{a
n
}为等比数列， 且a
1
=2，b
3
=6+b
2
．
（Ⅲ）若对任意 的x
1
，x
2
∈[0，2]，x
1
≠x
2
，不等式|f（x
1
）﹣f（x
2
）|＜|g（x
1
）﹣g （x
2
）|均成立，求实
数a的取值范围．

.

.
.

.

天津市和平区高考数学三模试卷（理科）

参考答案与试题解析


一、选择题(每题5分，共40分)
1．复数z满足
A．2 B．
=i（i为虚数单位），则|z|等于（ ）
C． D．1
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简求得z，代入复数模的公式得答案．
【解答】解：∵
∴
∴|z|=1．
故选：D．

=i，∴1+z=i﹣zi，则（1+i）z=﹣1+i，
，
2．若实数x，y满足条件：，则的最大值为（ ）
A．0 B． C． D．
【考点】简单线性规划．
【分析】设z=
即可．
【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：
设z=，则y=﹣x+z，
，作 出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，结合数形结合进行求解
平移直线y=﹣
由
此时z=
故选：C
×1+
x+z，则由图象知当直线经过点时，直线的截距最大，此时z最大，
得
=2，
，即A（1，），
.

.


3．阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为（ ）

A．1 B． C． D．2
【考点】程序框图．
【分析】根据已知的程序框图可 得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运
行过程，利用对数的运算法即可 得解．
【解答】解：模拟程序的运行过程，可得
S=0，n=3
执行循环体，M=，S=log
2
=2﹣log
2
3，
不 满足条件S∈Q，执行循环体，n=4，M=，S=log
2
+log
2
=l og
2
5﹣log
2
3，
不满足条件S∈Q，执行循环体，n=5 ，M=，S=log
2
+log
2
+log
2
=log2
6﹣log
2
3，
…
不满足条件S∈Q，执行循环体，n =11，M=，S=log
2
12﹣log
2
3=log
2
4=2，
满足条件S∈Q，退出循环，输出S的值为2．
故选：D．

4．设命题P：∃n∈N，n
2
＞2
n
，则￢P为（ ）
A．∀n∈N，n
2
＞2
n
B．∃n∈N，n
2
≤2
n
C．∀n∈N，n
2
≤2
n

.
D．∃n∈N，n
2
=2
n

.
【考点】命题的否定．
【分析】利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．
【 解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以命题P：∃n∈N，n
2
＞2
n，则￢P为：∀n∈N，2
n
≤2
n
．
故选：C．

5．如图，在直角△ABC中，AB⊥BC，D为BC的中点，以AB为直径作圆O，分别交AC、AD 于点E，F，若AF=3，
FD=1，则AE等于（ ）

A． B． C． D．
【考点】与圆有关的比例线段．
【分析】运用圆的切线的性质和切割线定理，求得BD =2，再由勾股定理，求得AB，AC的值，再由切割线定
理，可得CB
2
=CE•C A，即可得到所求值．
【解答】解：由AB⊥BC，可得DB为切线，
由切割线定理可得，BD
2
=DF•DA，
由AF=3，FD=1，可得BD
2
=1×（1+3）=4，
解得BD=2，
在直角三角形ABD中，AB=
在直角三角形ABC中，AC=由BC为切线，可得CB
2
=CE•CA，
即有16=（2
解得AE=
故选：B．

6．已知双曲线C的左 右焦点分别为F
1
、F
2
，且F
2
恰为抛物线y
2
=8x的焦点．设A为双曲线C与该抛物线的
一个交点，若△AF
1
F
2
是以AF
1
的底边的等腰三角形，则双曲线C的离心率为（ ）
A．1+ B．1+ C． D．
﹣AE）•2
．
，
=
=
=2
=2
，
，
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】求出抛物线的焦点坐标，即可得到双曲线c的值，利用 抛物线与双曲线的交点以及△AF
1
F
2
是以AF
1
为底边 的等腰三角形，结合双曲线a、b、c关系求出a的值，然后求出离心率．
.

.
【解答】解：抛物线的焦点坐标（2，0），所以双曲线中，c=2， < br>因为双曲线C与该抛物线的一个交点为A，若△AF
1
F
2
是以AF< br>1
为底边的等腰三角形，
由抛物线的定义可知，抛物线的准线方程过双曲线的左焦点， 所以
c
2
=a
2
+b
2
=4，解得a=2+
故选：B．

7．已知f（x）=2
x
+2
﹣x
，f （m）=3，且m＞0，若a=f（2m），b=2f（m），c=f（m+2），则a，b，c的大小关系为（ ）
A．c＜b＜a B．a＜c＜b C．a＜b＜c D．b＜a＜c
【考点】函数的值．
【分析】可得f（m）=2
m
+2
﹣m
=3，2
m
＞2，从而化简比较大小．
【解答】解：∵f（m）=2
m
+2
﹣m
=3，m＞0，
∴2
m
=3﹣2
﹣m
＞2，
∴b=2f（m）=2×3=6，
a=f（2m）=2
2m
+2
﹣ 2m
=（2
m
+2
﹣m
）
2
﹣2=7，
c=f（m+2）=2
m+2
+2
﹣m﹣2
=4•2
m
+2
﹣m
＞8，
∴b＜a＜c；
故选D．

8．已知y =f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x）=，当函数y=f（x﹣1）﹣﹣
，双曲线的离心率e= =1+．
=2c，
k（x﹣2）（其中k＞0）的零点个数取得最大值时，则实数k的数值范围是（ ）
A．（0，6﹣） B．（6﹣，2） C．（，6﹣） D．（，2﹣）
【考点】分段函数的应用；函数的图象；函数零点的判定定理．
【分析】画出函数y=f（x ﹣1）的图象，可得y=k（x﹣2）+与y=f（x﹣1）的图象最多有5个交点，即函
数y=f（x ﹣1）﹣﹣k（x﹣2）至多有5个零点，求出函数图象交点为4个时的临界值，可得答案．
【解答】 解：∵y=f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x）=
∴函数y=f（x﹣1）的图象如下图所示：
，
.

.

y=k（x﹣2）+表示过（2，）点斜率为k的直线，
由图可得：y=k（x﹣2）+与y=f（x﹣1）的图象最多有5个交点，
即函数y=f（x﹣1）﹣﹣k（x﹣2）至多有5个零点，
当k=时，直线y=k（x﹣2）+过原点，
此时y=k（x﹣2）+与y=f（x﹣1）的 图象有4交点，即函数y=f（x﹣1）﹣﹣k（x﹣2）有4个零点；
当k=6﹣时，直线y=k（x﹣2）+与y=f（x﹣1）的图象抛物线部分相切，
此时y =k（x﹣2）+与y=f（x﹣1）的图象有4交点，即函数y=f（x﹣1）﹣﹣k（x﹣2）有4个零点；
故当函数y=f（x﹣1）﹣﹣k（x﹣2）（其中k＞0）的零点个数取得最大值时，
k∈（，6﹣
故选：C．

二、填空题(每小题5分，共30分)
9．的展开式中x
8
的系数是 （用数字作答）．
），
【考点】二项式定理．
【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于8，求 得r的值，即可求得展开式中的x
8
的系数．
【解答】解：由于
令15﹣
的展开式的通项公式为 T
r+1
=
•=，
••，
=8，求得r=2，故开式中x
8
的系数是
.

.
故答案为：．

10．一个几何体的三视图如图所示（单位cm），则该几何体的体积为 6+ cm
3
．

【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】由三视图 可知：该几何体由两部分组成，上面是一个半球，下面是一个正三棱柱．设底面正三角
形的内切球的半径 为r，则r=．利用球的体积计算公式与三棱柱的体积计算公式．
【解答】解：由三视图可知：该几何体由两部分组成，上面是一个半球，下面是一个正三棱柱．
设底面正三角形的内切球的半径为r，则r=
∴该几何体的体积=
故答案为：6

11．在极坐标系中，点A的极坐标是（1，π），点P是曲线C：ρ=2sinθ上的一个动点，则| PA|的取值范
围是 ．
+．
1
3
+=
=1．
+6．
【考点】简单曲线的极坐标方程．
【分析】点A的极坐标是（1，π），化 为直角坐标A（﹣1，0）．曲线C：ρ=2sinθ，即ρ
2
=2ρsinθ，把
y =ρsinθ，ρ
2
=x
2
+y
2
代入即可化为直角坐标方 程．可得圆心C，半径r．即可得出|PA|的取值范围是[|CA|
﹣r，|CA|+r]．
【解答】解：点A的极坐标是（1，π），化为直角坐标A（﹣1，0）．
曲线C：ρ=2s inθ，即ρ
2
=2ρsinθ，化为直角坐标方程：x
2
+y
2< br>=2y，配方为：x
2
+（y﹣1）
2
=1．可得圆心
C（0 ，1），半径r=1．
则|CA|=．
．
．
则|PA|的取值范围是
故答案为：

12．如图，在边长为1的正方形OABC内取一点M，则点M恰好落在阴影内部的概率为 ．
.

.

【考点】几何概型．
【分析】欲求所投 的点落在阴影部分内部的概率，须结合定积分计算阴影部分平面区域的面积，再根据几
何概型概率计算公 式易求解．
【解答】解：根据题意，正方形OABC的面积为1×1=1，而阴影部分的面积为==，
∴在边长为1的正方形OABC内取一点M，点M恰好落在阴影内部的概率为．
故答案为：．

13．在△ABC中，A=
【考点】余弦定理．
【分析】在△ABD中 使用正弦定理求出∠ADB，得出∠ABD，从而得出∠ABC，∠ACB，再在△ABC中使用正弦
定 理计算BC．
【解答】解：在△ABD中，由正弦定理得，即，
，AB=，B的角平分线BD=，则BC的长为 ．
解得sin∠ADB=
∴∠C=30°，
．∴∠ADB=45°，∴∠ABD=15°，∠ABC=30°．
在△ABC中，由正弦定理得
故答案为：．
，即，解得BC=．


.

.
14．在边长为2的正方形ABCD中，动点M和N分别在边BC和CD上，且
•的最小值为 ﹣1 ．
=， =，则
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】建立平面直角坐标系，求出•关于λ的函数，利用基本不等式得出最小值．
【解答】解：以CB，CD为坐标轴建立平面直角坐标系如图：
则A（2，2），B（2，0 ），M（2﹣2λ，0），N（0，2﹣
∴
∴
=（﹣2λ，﹣2），
•=4λ ﹣
=（﹣2，
﹣5
）．
﹣5=﹣1．
）．
=4λ+1+
当且仅当4λ+1=
故答案为：﹣1．
即λ=时取等号．


三、解答题(本题共6题，共80分)
15．已知函数f（x）=sin（x﹣）sinx﹣cos
2
x，x∈R．
（1）求函数f（x）的最小正周期和最大值；
（2）求函数f（x）在[，]上的单调区间．
【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．
【分析】（1）由三角函数诱导公式及二倍角公式，辅助角公式化简f（x），由此得到最值与周期．
（2）由f（x）解析式得到单调增减区间，由此得到在[
【解答】解：（1）∵f（x）=s in（x﹣
=cosxsinx﹣
=sin（2x﹣
cos
2
x=s in2x﹣
）﹣，
.
，]上的单调性．
）sinx﹣
，
cos
2
x，
cos2x﹣

.
∴f（x）的最小正周期为T=π，
f（x）的最大值为1﹣．
，]上的单调递增， （2）由（1）可知，f（x）在[﹣
在[
而[
，，
]上的单调递减，
]⊆[﹣
，
，]，[，]⊆[
，
，]．
]上的单调递减． ∴函数f（x）在[

]上的单调递增，在[
16．某商场五一期间搞促销活动，顾 客购物满一定数额可自愿进行以下游戏，花费10元从1，2，3，4，5，
6中挑选一个点数，然后掷 骰子3次，若所选的点数出现，则先退还顾客10元，然后根据所选的点数出现
的次数，每次再额外给顾 客10元奖励；若所选的点数不出现，则10元不再退还．
（Ⅰ）某顾客参加游戏，求该顾客获奖的概率；
（Ⅱ）计算顾客在此游戏中的净收益X的分布列与数学期望．
【考点】离散型随机变量的期望 与方差；列举法计算基本事件数及事件发生的概率；离散型随机变量及其
分布列．
【分析】（ Ⅰ）设“顾客所选噗数出现”为事件A，“顾客所选点数不出现”为事件B，由事件A与事件B
为对立事 件，能求出该顾客获奖概率．
（Ⅱ）依题意，随机变量X的所有可能取值为﹣10，10，20，30 ，分别求出相应的概率，由此能求出X的
分布列和E（X）．
【解答】解：（Ⅰ）设“顾客所选噗数出现”为事件A，“顾客所选点数不出现”为事件B，
∵事件A与事件B为对立事件，
∴该顾客获奖概率为P（A）=1﹣P（B）=1﹣（）
3
=．
（Ⅱ）依题意，随机变量X的所有可能取值为﹣10，10，20，30，
P（X=﹣10） =（）
3
=
P（X=10）=
P（X=20）=
P（X=30）=（ ）
3
=
∴X的分布列为：
X
P
﹣10

10

20

30

.
，
=，
，
，

.
∴E（X）=

+10×++30×=﹣．
17．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，点D， E分别在棱PB、PC上，PA=AB=2，∠ABC=60°，∠BCA=90°，
且DE∥BC．
（Ⅰ）求证：BC⊥平面PAC；
（Ⅱ）当点D为PB的中点时，求AD与平面PAC所成角的正切值；
（Ⅲ）是否存在点E使得二面角A﹣DE﹣P为直二面角？并说明理由．

【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角．
【分析】（ Ⅰ）以A为原点，过A在平面ABC内作AB的垂线为x轴，AB为y轴，AP为z轴，建立空间直角
坐 标系，利用向量法能证明BC⊥平面PAC．
（Ⅱ）求出平面PAC的一个法向量，设AD与平面PA C所成角为θ，则sinθ=|cos＜
出AD与平面PAC所成角的正切值．
（Ⅲ）设存在 点E，且
向量，由此能求出存在点E（
，求出平面ADE的一个法向量和平面PDE的法
），使得二面角A﹣DE﹣P为直二面角．
＞|，由此能求
【解答】证明：（Ⅰ）如图，以 A为原点，过A在平面ABC内作AB的垂线为x轴，AB为y轴，AP为z轴，
建立空间直角坐标系，
则A（0，0，0），B（0，2，0），C（
=（，，0），
，，0），P（0，0 ，2），
=（0，0，2），
设平面PAC的一个法向量为=（x，y，z），
则，则，取y=﹣1，得=（），
∵=（，﹣，0）=，∴∥，
∴BC⊥平面PAC．
解：（Ⅱ）∵D为PB的中点，D（0，1，1），∴
∵平面 PAC的一个法向量为=（
=（0，1，1），
），
.

.
设AD与平面PAC所成角为θ，
则sinθ=|cos＜＞|===，
∴cosθ==，tanθ==，
∴AD与 平面PAC所成角的正切值为
（Ⅲ）设存在点E，且
则
∴=（
．
，
，∴E（
），=（
），D（0，2λ，2﹣2λ），λ∈（0，1），
，0），
设平面ADE的一个法向量为=（a，b，c），
则，取y=1，得=（），
设平面PDE的法向量=（x
1
，y
1
，z
1
），
则，取x
1
=，得=（），
∵二面角A﹣DE﹣P为直二面角，
∴==0，解得，
∴存在点E（），使得二面角A﹣DE﹣P为直二面角．


18．设椭圆E的方程为+=1（a＞b＞0），点O为坐标原点，点A的坐标为（a，0 ），点B的坐标为（0，
b），点M在线段AB上．满足|BM|=2|AM|，直线0M的斜率为（1）求椭圆的离心率；
.
．

.
（2）设点C的 坐标为（﹣a，0），N为线段BC的中点，点N关于直线AB的对称点的纵坐标为
E的方程．
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】（Ⅰ）由题意M（
（Ⅱ）由a=
），从而得a=，由此能求出椭圆的离心率．
，0），得N（﹣
，求椭圆
b，得直线AB的方程为+=1，由B（0，b），C（﹣ ，），设
点N关于直线AB的对称点S的坐标为（x
1
，），由此能求出椭圆E的方程 ．
【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆E的方程为+=1（a＞b＞0），点O为坐标原点，点A的坐标为（a ，0），
点B的坐标为（0，b），点M在线段AB上．满足|BM|=2|AM|，直线0M的斜率 为
∴M（
整理，得a=
），
，∴c=
=
=2b，
．
+=1，
，
∴椭圆的离心率e==
（Ⅱ）由（Ⅰ）得a=< br>由B（0，b），C（﹣
b，则直线AB的方程为
，0），得N（﹣，），
），
），
设点N关于直线AB的对称点S的坐标为（x
1
，由线段NS的中点T的坐标为（
∵点T在直线AB上，且k
NS
•k
AB
=﹣1，
，
∴，
解得
∴a=3，
，
∴椭圆E的方程为

=1．
.

.
1 9．已知数列{a
n
}和{b
n
}满足a
1
a
2< br>…a
n
=（
（Ⅰ）求a
3
及数列{b
n
}的 通项公式；
（Ⅱ）设c
n
=
（i）求S
n
；
﹣
），n∈N
*
，若{a
n
}为等比数列，且a
1
= 2，b
3
=6+b
2
．
，n∈N
*
，记数列{c
n
}的前n项和为S
n
．
（ii）若S
k
≥S
n
恒成立，求正整数k的值．
【考点】数列的求和；数列与不等式的综合．
【分析】（I）设等比数列{a
n}的公比为q，由b
3
=6+b
2
．可得b
3
﹣b2
=6．由数列{a
n
}和{b
n
}满足a
1
a
2
…a
n
=（
，n∈N
*
，n≥2时，利用递推 关系可得：a
n
=
的通项公式可得a
n
．进而得到b
n．
（Ⅱ）（i）c
n
=﹣=﹣=﹣，利用等比数列的前n项和公式及其“裂项求 和”
，可得a
3
=
）
=8．利用等比数列
方法可得数列{c
n
}的前n项和为S
n
．
（ii）n≤4时，c
n
＞0．当n≥5时，c
n
=
【解答】解：（I）设等比数列{a
n
}的公比为q，
∵b
3
=6+b
2
．∴b
3
﹣b
2
=6．
∵数列{a
n
}和{b
n
}满足a1
a
2
…a
n
=（
∴n≥2时，a
1
a
2
…a
n﹣1
=
∴a
3
===8．
），n∈N
*
，
，
＜0，即可得出．
，可得：an
=
又a
1
=2，∴8=2q
2
，解得q=2（﹣2舍 去）．
∴a
n
=2×2
n﹣1
=2
n
．
∴（）=2
1+2+…+n
=，
∴b
n
=n（n+1）．
（Ⅱ）（i）c
n
=﹣=﹣=﹣，
∴数列{c
n
}的前n项和为S
n
=﹣=﹣．
（ii）c
1
=0，c
2
=，c
3
=，c
4
=﹣=．
.

.
当n≥5时，c
n
=．
由
∴c
n
＜0．
﹣=＜0，
若S
k
≥S
n
恒成立，
∴k=4．

20．已知函数f（x）=x
2
+ax+1，g（x）=e
x
（其中e为自 然对数的底数）．
（Ⅰ）若a=1，求函数y=f（x）•g（x）在区间[﹣2，0]上的最大值；
（Ⅱ）若a=﹣1，关于x的方程f（x）=k•g（x）有且仅有一个根，求实数k的取值范围； < br>（Ⅲ）若对任意的x
1
，x
2
∈[0，2]，x
1
≠ x
2
，不等式|f（x
1
）﹣f（x
2
）|＜|g（x1
）﹣g（x
2
）|均成立，求实
数a的取值范围．
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；根的存在性及根的个数判断；利用导数研究函数的单调性．
【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，得到函数的单调区间，从而求出函数的最大值即可；
（Ⅱ） 若a=﹣1，关于x的方程f（x）=k•g（x）有且仅有一个根，即k==，有且只有一个
根，令h （x）=，可得h（x）极大=h（2）=，h（x）极小=h（1）=，进而可得当k＞或
0＜k＜时 ，k=h（x）有且只有一个根；
（Ⅲ）设x
1
＜x
2
，因为g（ x）=e
x
在[0，2]单调递增，故原不等式等价于|f（x
1
）﹣f（x
2
）|＜g（x
2
）﹣g
（x
1
）在x
1
、x
2
∈[0，2]，且x
1
＜x
2
恒成立，当a ≥﹣（e
x
+2x）恒成立时，a≥﹣1；当a≤e
x
﹣2x恒成立时，a≤2﹣2ln2，综合讨论结果，可得实数a的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）a=1时，y= （x
2
+x+1）e
x
，y′=（x+1）（x+2）e
x
，
令y′＞0，解得：x＞﹣1或x＜﹣2，令y′＜0，解得：﹣2＜x＜﹣1，
∴函数y=f（x）•g（x）在[﹣2，﹣1]递减，在[﹣1，0]递增，
而x=﹣2时，y=，x=0时，y=1，
故函数在[﹣2，0]上的最大值是1；
（Ⅱ）由题意得：k==有且只有一个根，
令h（x）=，则h′（x）=，
故h（x）在（﹣∞，1）上单调递减，（1，2）上单调递增，（2，+∞）上单调递减，
.

.
所以h（x）极大=h（2）=，h（x）极小=h（1）=，
因为h（x）在（2，+∞）单调递减，且函数值恒为正，又当x→﹣∞时，h（x）→+∞，
所以当k＞或0＜k＜时，k=h（x）有且只有一个根．
（Ⅲ）设x
1
＜ x
2
，因为g（x）=e
x
在[0，2]单调递增，
故原不等式等 价于|f（x
1
）﹣f（x
2
）|＜g（x
2
）﹣g（x< br>1
）在x
1
、x
2
∈[0，2]，且x
1
＜ x
2
恒成立，
所以g（x
1
）﹣g（x
2
）＜f （x
1
）﹣f（x
2
）＜g（x
2
）﹣g（x
1< br>）在x
1
、x
2
∈[0，2]，且x
1
＜x
2
恒成立，
即，在x
1
、x
2
∈[0，2]，且x
1
＜x
2
恒成立，
则函数F（x）=g（x）﹣f（x）和G（x）=f（x）+g（x）都在[0，2]单调递增，
则有，在[0，2]恒成立，
当a≥﹣（e
x
+2x）恒成立时，因为﹣（ e
x
+2x）在[0，2]单调递减，
所以﹣（e
x
+2x）的最大值为﹣1，所以a≥﹣1；
当a≤e
x
﹣2x恒成立时，因为e
x
﹣2x在[0，ln2]单调递减，在[ln2，2]单 调递增，
所以e
x
﹣2x的最小值为2﹣2ln2，所以a≤2﹣2ln2，
综上：﹣1≤a≤2﹣2ln2．


.