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专题08-1立体几何问题第一季
1．正三棱柱
周长为（ ）
中,所有棱长均为2,点分别为棱的中点,若过点作一截面,则截面的

A．
C．
【答案】B
【解析】
在正三棱柱
的截面为四边形
由

B．
D．

中，延长
，如图所示，
，可得，
和交于点M，连接，交于点， 分别连接，则过点
由
在直角
在直角
，则
中，
中，
， 则
，则
，解得，则，
，
，
在直角中，，则，
在中，，
， 由余弦定理可得
即，
，故选B. 所以截面的周长为

1

2．设正方体的棱长为 ，为的中点，为直线上一点，为平面内一点，则，
两点间距离的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
结合题意，绘制图形

结合题意可知OE是三角形中位线，题目计算距离最短，即求OE与两平行线的距离，
，所以距离d，结合三角形面积计算公式可得
，解得
3．如图，在棱长为2的正方体
点，若直线与平面
，故选B。
中，分别是棱
的面积的最小值为
的中点，是底面内一动
不存在公共点，则三角形

2

A． B．1 C． D．
【答案】C
【解析】

延展平面，可得截面,其中分别是所在棱的中点，
直线与平面不存在公共点，
所以平面,
由中位线定理可得,
在平面内，
在平面外，
所以平面,
因为与在平面内相交，
所以平面平面,
所以在上时，直线与平面不存在公共点，
因为与垂直，所以与重合时最小，
此时，三角形的面积最小，

3

最小值为
4．已知四面体
（ ）_网
A．1 B．
【答案】B
【解析】
设为
C．
，
，故选C.
，则该四面体外接球的半径为
D．
的 中点，由于三角形为直角三角形，故其外心为点，则球心在点的正上方，设球心为，作
，
，.由余弦定理得
.设外接球的半径为.在三角形中，
出图像如下图所示.其中
由勾 股定理得①.在三角形中，由余弦定理得②.在三角形
中，由余弦定理可知，由于，则，所以
， 所以
.故选B.
③.联立①②③可得

5．如图，在三棱锥A-BCD中， 平面ABC⊥平面BCD，△BAC与△BCD均为等腰直角三角形，且∠BAC=∠
BCD=90°， BC=2，点P是线段AB上的动点，若线段CD上存在点Q，使得异面直线PQ与AC成30°的角，
则线段PA长的取值范围是（ ）

4

[来源:][来源:]

A．
C．
B．
D．


【答案】B
【解析】
以C为原点，CD为轴，CB为轴，过C作平面BCD的垂线为轴，建立空间直角坐标系，则
，
设
则
，
，

6．已知在长方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中，AB=2，BC=2，CC1
=3，长方体每条棱所在直线与过点C
1
的平面α所

5

成的角都相等，则直线AC与平面α所成角的余弦值为（ ）
A．或1 B．或0 C．或0 D．或1
【答案】A
在直角△EGC
1
中，
∴sin．
，GC
1
＝2，，
∴直线AC与平面α所成角的余弦值为1，，

故选：A．
7．已知直三棱柱
若直线平面
中的底面为等腰直角三角形，，点为线段的中点，则点的轨迹为
，点，分别是边，上动点，
A．双曲线的一支（一部分） B．圆弧（一部分）
C．线段（去掉一个端点） D．抛物线的一部分
【答案】C
【解析】 < br>如图作平面PQRK∥平面BCC
1
B
1
，可得到点M，N为平面PQ RK与边，的交点，
[来源:]

取MN的中点D，由对称性可知，在梯形NQRM中 ，D到底面ABC的距离DF始终为三棱柱高的一半，故

6

Q落在到底面ABC距离为三棱柱高的一半的平面上，且与底面ABC平行.
又D在底面的投影F始终在底面BC的高线AE上，即Q落在过底面BC的高线且与底面垂直的平面上，
所以Q在两个面的交线上，又只能落在柱体内，故为线段OH，又直线
故选C.
平面，所以去掉O点，

8．已知点
则这个球的表面积是
A． B． C． D．
在同一个球面上， ，若四面体体积的最大值为 10，
【答案】B
【解析】

由
则球心在过
因为
，可知
中点与面
，
垂直的直线上，
面积为定值，所以高最大时体积最大，
过球心时体积最大， 根据球的几何性质可得，当
因为四面体

的最大体积为10，
7

所以
可得
在
，
中，，
，
[来源:Z&xx&]

，得
球的表面积为
，
，故选B._网
，，则球面面积9．已知过球面上三点、、的截面到球心距离等于球半径的一半，且
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C

10．有 四根长都为2的直铁条，若再选两根长都为的直铁条，使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个对
棱相等 的三棱锥形的铁架，则此三棱锥体积的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】B

8

【解析】
构成三棱锥的两条对角线长为a，其他各边长为2，如图所示，AD=BC=a,此时0＜a＜2．

取BC中点为E,连接AE,DE,易得：BC⊥平面ADE,
∴
，当且仅当4
∴此三棱锥体积的取值范围是
故选：

即时，等号成立，
11．已知正三棱锥P—ABC（顶点在底面的射影是底面正三角形的中心 ）的侧面是顶角为30°腰长为2的等
腰三角形，若过A的截面与棱PB，PC分别交于点D和点E，则 截面△ADE周长的最小值是（ ）
A． B．2 C． D．2
【答案】D
【解析】
将三棱锥的侧面展开,如图

则将求截面
结合题意可知


周长的最小值,转化成计算
=,,所以
的最短距离,
,故
9

周长最小值为,故选D.
12．过棱长为1的正方体的一条体对角线作截面，则截得正方体的截面面积的最小值是
A．1 B．
【答案】D
【解析】
如图：
C． D．

在正方体中，取
过
的中点,连接,
时，截面面积最小， 的平面截得正方体的截面中，当截面为菱形
,
故选D.学_
13．已知球是正三棱 锥（底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）
，点在线段
A． B．
上，且
C．
的外接球，，
，过点作球的截面，则所得截面圆面积的取值范围是（ ）
D．
【答案】B
【解析】
画出图象如下图所示，其中是球心，是等边三角形的中 心.根据等边三角形中心的性质有
，
，即
，设球的半径为，在三角形
，解得， 故最大的截面面积为
中，由勾股定理得
.在三角形中，
，由余弦定理得.在三角形中，

10

,过且垂直
.综上所述，本小题选B.
的截面圆的半径，故最小的截面面积为

14．正三棱锥的底面边长为，高为，它在六 条棱处的六个二面角（侧面与侧面或者侧面与底
面）之和记为，则在从小到大的变化过程中，的变化情况 是（ ）
A．一直增大 B．一直减小 C．先增大后减小 D．先减小后增大
【答案】D
15．已知
的正弦值为
中，，，将绕BC旋转得，当直线PC与 平面PAB所成角
时，P
、
A两点间的距离是（ ）
D． A．2 B．4 C．
【答案】C
【解析】
画出图像如下图所示.设是

的中点，则，过作交于，连接.由于，
11

所以
是直线
平面
与平面
，所以，故平面< br>，
，解得
，所以
.设
，即
，结合
，则
，故< br>，证得平面.故
中，
.
所成的角.故，在直角三角形
,利用面积公式有

16．如图，在△ABC中 ，∠C=90°，PA⊥平面ABC，AE⊥PB于E，AF⊥PC于F，AP=AB=2，∠EAF=α，当α变化时，则三棱锥P﹣AEF体积的最大值是（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
在中，，
，
底面
平面
，得
，可得，
平面
平面
且

，
，
，
面，三棱锥的高为定值，
12

平面
中，
平面，
，
，
∴当
此时，三棱锥
，即时，有最大值为，
，故选C． 的体积的最大值为< br>17．如图所示，四边形ABCD为边长为2的菱形，∠B=60°，点E,F分别在边BC,AB上运动 (不含端点)，且
EFAC，沿EF把平面BEF折起，使平面BEF⊥底面ECDAF，当五棱锥B- ECDAF的体积最大时，EF的
长为 （ ）

A．1 B．
【答案】B
[来源:]
C． D．
【解析】
由可知三角形
的面积为
.令
单调递增，时，单调递减，故在
为等边三角形， 设，等边三角形
，故五棱锥的体积为
，解得，且当时，
的高为，面积为，所以五边形< br>时取得极大值也即是最大值.故选B.
18．正方体ABCD－A
1
B
1
C
1
D
1
的棱长为1，平面A
1
B
1
C
1
D
1
内的一动点P，满足到点A
1
的距离与到 线段C
1
D
1
的距离相等，则线段PA长度的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
如图 ，以A
1
D
1
的中点为原点，以A
1
D
1
为x轴建立如图所示的空间直角坐标系，

13

则．

由于动点P到点A
1
的距离与到线段C
1
D
1< br>的距离相等，
所以点P在以点A
1
为焦点、以C
1
D
1
为准线的抛物线上．
由题意得，在
设点P的坐标为
平面内，抛物线的方程为
，则，
，
所以
又，
，
所以当
故选C．
时，有最小值，且． < br>19．如图，设梯形所在平面与矩形所在平面相交于，若，，，
则下列二面角的平面角大小为定值 的是( )

A．
【答案】D
B． C． D．

14

【解析】
如图，

在等腰梯形
连接
在梯形
由三角形
,
中,由
直角三角形，且
，可得，
，可得，
中,过作于，作于,
则
，即
为二面角
同理可得
平面
则二面角
与
为二面角
平面，
，则
，
平面，
的平面角，
的平面角，
的平面角为
均为等腰三角形，
，
，
，
，
即二面角为，故选D.
，记二面角的平面角为，直线与平面所成的角为，直线20．如图，已知三棱锥
与

所成的角为，则（ ）
15

A． B． C． D．
【答案】A
【解析】

不妨设三棱锥D-ABC是棱长为2的正四面体，
取AB中点E，DC中点M，AC中点M， 连结DE、CE、MN、EN，
过D作DO⊥CE，交CE于O，连结AO，
则∠DEC=α，∠DAO=β，∠MNE=γ，

∴ ，
，
∴ ，
取BC中点E，连结DE、AE，则DE⊥BC，AE⊥BC，
又DE∩AE=E，∴BC⊥平面AED，∴BC⊥AD，∴γ=90°．
∴γ≥α≥β．学_
故选：A．


16