四川卫生康复职业学院官网-初中日记600字

2018北京市西城区高三统一测试
数 学（理）
2018.4
第Ⅰ卷（选择题 共40分）
一、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出
符合题目要求的一项．
1．若集合
A{xR|3x20}
，
B{xR|x
2
2x30}
，则
A
（A）
{x R|x1}

2
（C）
{xR|x3}

3
B

2
（B）
{xR|1x}

3
（D）
{xR|x3}

2．执行如图所示的程序框图，输出的
k
值为
（A）
2

（B）
3

（C）
4

（D）
5

22
3．已知圆的方程为
xy2y0
．以原点为极点，
x轴正半轴为极轴建立极坐标系，该圆
的极坐标方程为
（A）

2sin


（C）

2cos


（B）

2sin


（D）

2cos


4．正三棱柱的三视图如图所示，该正三棱柱的表面积是
（A）
33

（B）
93

2
（C）
63
（D）
623

5．已知
O
是正方形
ABCD
的 中心．若
DO

AB

AC
，其中

，

R
，则
（A）


6．设函数
f( x)x
2
bxc
．则“
f(x)
有两个不同的零点”是“x
0
R
，使
f(x
0
)0
”的
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
1

2





（B）
2

（C）
2
（D）
2

1 9

（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
2


2x4x1,x0,
7 ．函数
f(x)

则
yf(x)
的图象上关于原点
O
对称的点共有
x
23,x
≤
0.


（A）0对
（C）2对
（B）1对
（D）3对

8．某计算机系统在同一时间只能执行一项任务，且该任务完成后才能执行下一项任务．现有
三项任务U，V，W，计算机系统执行这三项任务的时间（单位：s）依次为
a
，
b< br>，
c
，其
中
abc
．一项任务的“相对等待时间”定义为 从开始执行第一项任务到完成该任务的
时间与计算机系统执行该任务的时间之比．下列四种执行顺序中， 使三项任务“相对等待
时间”之和最小的是
（A）U

V

W

第Ⅱ卷（非选择题 共110分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．
9．若复数
(ai)(34i)
的实部与虚部相等，则实数
a
____．
< br>10．设等差数列
{a
n
}
的前
n
项和为
S
n
．若
a
1
2
，
S
4
20< br>，则
a
3

____；
S
n

__ __．

（B）V

W

U （C）W

U

V （D）U

W

V
x
2
11．已知抛物线
y8x
的焦点与双曲线
2
y
2
1(a0)
的一个焦点重合，则
a
____；
a
2
双曲线的渐近线方程是____．

2
12．设
0
，若函数
ycos

x
的最小正周期为
π
，则


____．
2

13．安排甲、乙、丙、丁4人参加3个运动项目，每人只参加一个项目，每个项目都有人参
加．若甲、乙2人不能参加同一个项目，则不同的安排方案的种数为____．（用数字作答）

14．如图，在长方体
ABCDA
1
B
1
C< br>1
D
1
中，
AA
1
AB2
，
B C1
，
点
P
在侧面
A
1
ABB
1上．若点
P
到直线
AA
1
和
CD
的距离相等，
则
A
1
P
的最小值是____．

2 9

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算 步骤．
15．（本小题满分13分）
在△
ABC
中，已知
3asinCcsin2A
．
（Ⅰ）求
A
的大小；
（Ⅱ）若
a7
，
b23
，求△
ABC
的面积．
16．（本小题满分13分）
某企业2017年招聘员工，其中A、B、C、D、E五种岗位 的应聘人数、录用人数和录用比例（精确到1%）如下：
岗位
A
B
C
D
E
总计
男性应聘
人数
269
40
177
44
3
533
男性录用
人数
167
12
57
26
2
264
男性录用比
例
62%
30%
32%
59%
67%
50%
女性应聘人
数
40
202
184
38
3
467
女性录用
人数
24
62
59
22
2
169
女性录用比
例
60%
31%
32%
58%
67%
36%
（Ⅰ）从表中所有应聘人员中随机选择1人，试估计此人被录用的概率；
（Ⅱ）从应聘E岗位 的6人中随机选择2人．记
X
为这2人中被录用的人数，求
X
的分布列和数学 期望；
（Ⅲ）表中A、B、C、D、E各岗位的男性、女性录用比例都接近（二者之差的绝对值不大 于5%），但男性的总录用
比例却明显高于女性的总录用比例．研究发现，若只考虑其中某四种岗位，则 男性、女性的总录用比例也接
近，请写出这四种岗位．（只需写出结论）

17．（本小题满分14分）
如图1，在△
ABC
中，
D
，
E
分别为
AB
，
AC
的中点，
O
为DE
的中点，
ABAC25
，
BC4
．将△
AD E
沿
DE
折起到△
A
1
DE
的位置，使得平面A
1
DE
平面
BCED
，如图2．
（Ⅰ）求证：
A
1
OBD
；
（Ⅱ）求直线
A< br>1
C
和平面
A
1
BD
所成角的正弦值；
（ Ⅲ）线段
A
1
C
上是否存在点
F
，使得直线
DF< br>和
BC
所成角的余弦值为
说明理由．





图1 图2
3 9
5< br>AF
？若存在，求出
1
的值；若不存在，
3
A
1C

18．（本小题满分13分）
x
已知函数
f(x) e(a
1
lnx)
，其中
aR
．
x
x
垂直，求
a
的值；
e
（Ⅰ）若曲线
yf(x)
在
x1
处的切线与直线
y
（Ⅱ）当
a (0,ln2)
时，证明：
f(x)
存在极小值．

19．（本小题满分14分）
已知圆
O:x
2
y
2
4
和椭圆
C:x
2
2y
2
4
，
F
是椭圆
C
的左焦点．
（Ⅰ）求椭圆
C
的离心率和点
F
的坐标；
（Ⅱ）点
P
在椭圆
C
上，过
P
作
x
轴的垂线，交圆
O
于点
Q
（
P,Q
不重合），
l
是过点
Q
的圆
O
的切线．圆
F
的圆心
为点
F
，半 径长为
|PF|
．试判断直线
l
与圆
F
的位置关系，并证明 你的结论．

20．（本小题满分13分）
数列
A
n
：
a
1
,a
2
,,a
n
(n≥2)
满足：< br>a
k
1(k1,2,,n)
．记
A
n
的前
k
项和为
S
k
，并规定
S
0
0
．定义 集合
E
n
{kN
*
，
k
≤
n|
S
k
S
j
，
j0,1,,k1}
．
（Ⅰ ）对数列
A
5
：
0.3
，
0.7
，
0 .1
，
0.9
，
0.1
，求集合
E
5
；
（Ⅱ）若集合
E
n
{k
1
,k
2
,,k
m
}(m1
，
k
1
k
2
k
m
)
，证明：
S
k
S
k
1(i1,2,, m1)
；
i1i
（Ⅲ）给定正整数
C
．对所有满足
S
n
C
的数列
A
n
，求集合
E
n
的元素个数的最小值．











4 9

数学试题答案
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.
1．D 2．C 3．B 4．D
5．B 6．C 7．C 8．A

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.
9．
7
10．
6
，
n
2
n
11．
3
，
x3y0



12．
2

13．
30
14
注：第10，11题第一空3分，第二空2分.

三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分.
15．（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）因为
3asinCcsin2A
，
所以
3
a
c
sinC2sinAcosA
． [ 1分]
在△
ABC
中，由正弦定理得
3
sinA
sinC
sinC2sinAcosA
． [ 3分]
所以
cosA
3
2
． [ 4分]
因为
0Aπ
， [ 5分]
所以
A
π
6
． [ 6分]
（Ⅱ）在△
ABC
中，由余弦定理得
a
2
b
2
c
2
2bccosA
，
所以
(7)
2
(23)
2
c
2
2(23)c
3
2
， [ 8分]
整理得
c
2
6c50
， [ 9分]
解得
c1
，或
c5
，均适合题意． [11分]
当
c1
时，△
ABC
的面积为
S
13
2
bcsinA
2
． [12分]
当
c5
时，△
ABC
的面积为
S
153
2
bcsinA
2
． [13分]
16．（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）因为 表中所有应聘人员总数为
5334671000
，
被该企业录用的人数为
264169433
，
所以 从表中所有应聘人员中随机选择1人，此人被录用 的概率约为
P
433
1000
．[ 3分]
（Ⅱ）
X
可能的取值为
0,1,2
． [ 4分]
5 9
．
3

因为应聘E岗位的6人中，被录用的有4人，未被录用的有2人， [ 5分]
1
C
2
C
1
1
8
22
C
4
所以
P(X0)
2

；
P(X1)
2

；
C
6
15
C6
15
C
2
2
． [ 8分]
P(X2)
4

2
C
6
5
所以
X
的分布列为：
X

P

0
1

15
1
8

15
2
2

5
E(X)0
1824
12
． [10分]
151553
（Ⅲ）这四种岗位是：B、C、D、E． [13分]

17．（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）因为 在△
ABC
中，
D
，
E
分别为
AB
，
AC
的 中点，
所以
DEBC
，
ADAE
．
所以
A
1
DA
1
E
，又
O
为
DE
的中点，
所以
A
1
ODE
． [ 1分]
因为 平面
A
1
DE
平面
BCED
，且
A
1
O
平面
A
1
DE< br>，
所以
A
1
O
平面
BCED
， [ 3分]
所以
A
1
OBD
． [ 4分]
（Ⅱ）取
BC
的中点
G
，连接
OG
，所以
OEOG
．
由（Ⅰ）得
A
1
OOE
，
A
1
OOG
．
如图建立空间直角坐标系
O-xyz
． [ 5分]
由题意得，
A
1
(0,0,2)
，
B(2, 2,0)
，
C(2,2,0)
，
D(0,1,0)
．
所以
A
1
B(2,2,2)
，
A
1
D(0,1,2)
，
A
1
C(2,2,2)
．
设平面
A
1
BD
的法向量为
n(x,y,z)
，




nA
1
B0,
则



nAD0,

1

2x2y2z0,
即


y2z0.


令
x1
，则
y2
，
z1
，所以
n(1,2,1)
． [ 7分]
设直线
A
1
C和平面
A
1
BD
所成的角为

，
则
sin

|cosn,A
1
C|

|nA
1
C|
|n||A
1
C|



22
．
3
6 9

所以 直线
A1
C
和平面
A
1
BD
所成角的正弦值为
（Ⅲ） 线段
A
1
C
上存在点
F
适合题意．
22
． [ 9分]
3
设 A
1
F

A
1
C
，其中

[0,1]
． [10分]

设
F(x
1
,y
1
, z
1
)
，则有
(x
1
,y
1
,z
1
2)(2

,2

,2

)
，
所以
x
1
2

,y
1
2

,z
1
22

，从而
F(2

,2

,22

)
，
所以
DF

(2

,2

1, 22

)
，又
BC

(0,4,0)
，

所以
|cosDF

,BC

| 
|DF

BC

|

4|2

1|
|DF

||BC

|
4(2
)
2
(2

1)
2
(22

)
2
． [12
令
|2

 1|

5
(2

)
2
(2

 1)
2
(2
3
，
2

)
2
整理得
3

2
7

20
． [13
解得


1
3
，舍去

2
．
所以 线段
A
A
1
F
1
C
上存在点
F
适 合题意，且
A

1
． [14
1
C3

18．（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）
f(x)
的导函数为
f

(x)e
x
(a
1
x
11
x
lnx)e(
x

x
2< br>)



e
x
(a
2
x
1
x
2
lnx)
． [ 2
依题意，有
f

(1)e(a1)e
， [ 4
解得
a0
． [ 5

（Ⅱ）由
f

(x)e
x
(a2

1
x
21
xx
2
lnx)
及< br>e0
知，
f

(x)
与
a
x

x
2
lnx
同号．
令
g(x)a
21
x

x
2
lnx
， [ 6
则
g

(x)
x
2
2x2(x1 )
2
1
x
3

x
3
． [ 8
所以 对任意
x(0,)
，有
g

(x)0
，故
g(x)
在
(0,)
单调递增． [ 9
因为
a(0,ln2)
，所以
g(1)a10
，g(
11
2
)aln
2
0
，
故 存在
x
1
0
(
2
,1)
，使得
g(x
0
)0
． [11
f(x)
与
f

(x)
在区间
(
1
2
,1)
上的情况如下：
7 9
分]
分]
分]
分]

分]
分]

分]
分]
分]
分]

x

f

(x)

f(x)

1
(,x
0
)

2
x
0

0

(x
0
,1)



↘
+

极小值 ↗
1
所以
f(x)
在区间
(,x
0
)
上单调递减，在区间
(x
0
,1)
上 单调递增．
2
所以
f(x)
存在极小值
f(x
0
)
． [13分]

19．（本小题满分14分）
x
2
y
2< br>解：（Ⅰ）由题意，椭圆
C
的标准方程为
1
． [ 1分]
42
所以
a
2
4
，
b
2
2
，从而
c
2
a
2
b
2
2
．
因此
a2
，
c2
．
故椭圆
C
的离心率
e
c2
． [ 3分]

a2
椭圆
C
的左焦点
F
的坐标为
(2,0)
． [ 4分]
（Ⅱ）直线
l
与圆
F
相切．证明如下： [ 5分]
22
设
P(x
0
,y
0
)
， 其中
2x
0
2
，则
x
0
2y
0< br>4
， [ 6分]
22依题意可设
Q(x
0
,y
1
)
，则
x
0
y
1
4
． [ 7分]
直线
l
的方程为
yy
1

x< br>0
(xx
0
)
，
y
1
整理为
x
0
xy
1
y40
． [ 9分]
所以圆
F
的圆心
F
到直线
l
的距离
d
|2x
0
4|
22
x
0
y1
|
2
x
0
2|
． [11分]
2
11
222
因为
|PF|
2
( x
0
2)
2
y
0
(x
0
2)2
(4x
0
)x
0
22x
0
4． [13分]
22
所以
|PF|
2
d
2
，
即
|PF|d
，
所以 直线
l
与圆
F
相切． [14分]

20．（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）因为
S
0
0
，
S
1
0.3
，
S
2
0.4
，
S
3
0.3
，
S
4
1.2
，
S
5
1.3
， [ 2分]
所以
E
5
{2,4,5}
． [ 3分]
8 9

（Ⅱ）由集合
E
n
的定义知
S
k
i1
S
k
i
，且
k
i1
是使得
S< br>k
S
k
i
成立的最小的
k
，
所以
S
k
i1
1
≤
S
k
i
.
又因为
a
k
i1
1
，
所以
S
k
S
k
i1i1
1
[ 5分]
a
k
i1

[ 6分]


S
k
i
1.

所以
S
k
i1
S
k
i
1
． [ 8分]
（Ⅲ）因为
S
n
S
0
，所以
En
非空．
设集合
E
n
{k
1< br>,k
2
,,k
m
}
，不妨设
k
1
 k
2
k
m
，
则由（Ⅱ）可知
S
k
i1
S
k
i
1(i1,2,,m1)
，
同理
S
k
1
S
0
1
，且
S
n
≤
S
k
m
．
所以
S< br>n
(S
n
S
k
m
)(S
k
m
S
k
m1
)(S
k
2
S
k1
)(S
k
1
S
0
)

01111m
．
m个1
因为
S
n
C
，所以
E
n
的元素个数
m≥C1
．
取常数数列
A
C1
n
：
a
i

C2
(i1,2,,C1)
，并 令
nC1
，
则
S
(C1)
2
C
2
2C
n

C2

1
C2
C
，适合题意，
且
E
n
{1,2,,C1}
，其元素个数恰为
C1
．
综上，
E
n
的元素个数的最小值为
C1
． [13
9 9
分]
分]


[11