2020-2021学年江苏省高考数学三模试卷及答案解析
伊斯兰教的标志-自我评价
江苏省 高考数学三模试卷
一、填空题（每题5分，满分70分，江答案填在答题纸上）
1．已知集合A={﹣1，1，2}，B={0，1，2，7}，则集合A∪B中元素的个数为
．
2．设a，b∈R， =a+bi（i为虚数单位），则b的值为 ．
3．在平面直角坐标系xOy中，双曲线﹣=1的离心率是 ．
4．现有三张识字
卡片，分别写有
“
中
”
、
“
国
”
、
“
梦
”
这三个字．将这三张卡片随机排
序，则能组成
“
中
国梦
”
的概率是 ．
5．如图是一个算法的流程图，则输出的k的值为
．
6．已知一组数据3，6，9，8，4，则该组数据的方差是 ．
7．已知实数x，y满足，则的取值范围是 ．
8．若函数f（x）=2sin（
2x+
φ
）（0＜
φ
＜）的图象过点（0，），则函数f（x）在
[0，
π
]上的单调减区间是 ．
9．在公比为q且各项均 为正数的等比数列{a
n
}中，S
n
为{a
n
}的前n项和 ．若a
1
=
S
5
=S
2
+2，则q的值为 ．
10．如图，在正三棱柱ABC﹣A
1
B
1
C
1
中，已知AB=AA
1
=3，点P在棱CC
1
上，则三棱锥
P﹣ABA
1
的体积为 ．
，且
11．如图，已知 正方形ABCD的边长为2，BC平行于x轴，顶点A，B和C分别在函
数y
1
=3l og
a
x，y
2
=2log
a
x和y
3
= log
a
x（a＞1）的图象上，则实数a的值为 ．
12． 已知对于任意的x∈（﹣∞，1）∪（5，+∞），都有x﹣2（a﹣2）x+a＞0，则
实数a的取值 范围是 ．
13．在平面直角坐标系xOy中，圆C：（x+2）+（y﹣m）=3，若圆 C存在以G为中
点的弦AB，且AB=2GO，则实数m的取值范围是 ．
22< br>2
14．已知△ABC三个内角A，B，C的对应边分别为
α
，
b，c，且C=
取得最大值时，的值为 ．
，c=2．当
二、解答题（本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明
过程或演算步骤.）
15．如图，在△ABC中，已知点D在边AB上，AD=3DB，cosA=，c
os∠ACB=
BC=13．
（1）求cosB的值；
（2）求CD的长．
，
16．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，
底面ABCD是矩形，点E在棱PC上（异于点P，
C），平面ABE与棱PD交于点F．
（1）求证：AB∥EF；
（2）若平面PAD⊥平面ABCD，求证：AE⊥EF．
17．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C： +=1的左、右顶点分别为<
br>A，B，过右焦点F的直线l与椭圆C交于P，Q两点（点P在x轴上方）．
（1）若QF=2FP，求直线l的方程；
（2）设直线AP，BQ的斜率分别为k
1
，k
2
，是否存在常数
λ
，使得k
1
=
λ
k
2
？若存在，
求出
λ
的值；若不存在，请说明
理由．
18．某景区修建一栋复古建筑，其窗户设计如图所示．圆O的圆心与矩形
ABCD对角
线的交点重合，且圆与矩形上下两边相切（E为上切点），与左右两边相交（F，G为其中两个交点），图中阴影部分为不透光区域，其余部分为透光区域．已知圆的半径
为1m且≥，设
∠EOF=
θ
，透光区域的面积为S．
（1）求S关于
θ
的函数关系式，并求出定义域；
（2）根据设计
要求，透光区域与矩形窗面的面积比值越大越好．当该比值最大时，
求边AB的长度．
19．已知两个无穷数列{a
n
}和{b
n
}的前n项和分别为S
n
，T
n
，a
1
=1，S
2
=4，对任意的n∈
N，都有3S
n+1
=2S
n
+S<
br>n+2
+a
n
．
（1）求数列{a
n
}的通项公式；
（2）若{b
n}为等差数列，对任意的n∈N，都有S
n
＞T
n
．证明：a
n
＞b
n
；
（3）若{b
n
}为等比数列，b1
=a
1
，b
2
=a
2
，求满足=a
k
（k∈N）的n值．
*
*
*
20．已知函数f（x）=
+xlnx（m＞0），g（x）=lnx﹣2．
（1）当m=1时，求函数f（x）的单调区间；
（2）设函数h（x）=f（x）﹣xg（x）﹣
，求m的值；
（3）若函
数f（x），g（x）的定义域都是[1，e]，对于函数f（x）的图象上的任意一
点A，在函数g（
x）的图象上都存在一点B，使得OA⊥OB，其中e是自然对数的底
数，O为坐标原点，求m的取值范
围．
【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并
在相应的答题区域内
作答，若多做，则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步
，x＞0．若函数y=h（h（x））的最小值是
骤.A.选修4-1：几何证
明选讲
21．如图，圆O的弦AB，MN交于点C，且A为弧MN的中点，点D在弧BM上，
若
∠ACN=3∠ADB，求∠ADB的度数．
B.选修4-2：矩阵与变换
22．已知矩阵A=
C.选修4-4：坐标系与参数方程
23．在极坐标系中，已知点A（2，），点B
在直线l：
ρ
cos
θ
+
ρ
sin
θ
=0
（0≤
θ
≤2
π
）
，若A=，求矩阵A的特征值．
上，当线段AB最短时，求点B的极坐标．
D.选修4-5：不等式选讲
24．已知a，b，c为正实数，且a+b+c=abc，求证：a+b+c≥3
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：
坐标系与参数方程]
333222
．
25．在平
面直角坐标系xOy中，点F（1，0），直线x=﹣1与动直线y=n的交点为M，
线段MF的中垂线
与动直线y=n的交点为P．
（
Ⅰ
）求点P的轨迹
Г
的方程；
（
Ⅱ<
br>）过动点M作曲线
Г
的两条切线，切点分别为A，B，求证：∠AMB的大小为
定值．
[选修4-5：不等式选讲]
2
6．已知集合U={1，2，
…
，n}（n∈N，n≥2），对于集合U的两个非空子集A，B
，
*
若A∩B=∅，则称（A，B）为集合U的一组
“
互斥子集
”<
br>．记集合U的所有
“
互斥子集
”
的组数为f（n）（视（A，B）与（
B，A）为同一组
“
互斥子集
”
）．
（1）写出f（2），f（3），f（4）的值；
（2）求f（n）．
参考答案与试题解析
一、填空题（每题5分，满分70分，江答案填在答题纸上）
1．已知集合A={﹣1，1，2}，B={0，1，2，7}，则集合A∪B中元素的个数为 5
．
【考点】1D：并集及其运算．
【分析】利用并集定义直接求解．
【解答】解：∵集合A={﹣1，1，2}，B={0，1，2，7}，
∴A∪B={﹣1，0，1，2，7}，
集合A∪B中元素的个数为5．
故答案为：5．
2．设a，b∈R，
=a+bi（i为虚数单位），则b的值为 1 ．
【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．
【分析】利用复数的运算法则、复数相等即可得出．
【解答】解：∵a，b∈R，
=a+bi（i为虚数单位），
∴a+bi=
∴b=1．
故答案为：1．
==i．
3．在平面直角坐标系xOy中，双曲线
【考点】KC：双曲线的简单性质．
【分析】根据题意，由双曲线的方程可得a、b的值，由双曲线的几何性质可得c
的值，进而由双曲线
的离心率公式计算可得答案．
【解答】解：根据题意，双曲线的方程为
则a=4，b=3，
则c==，
；
22
22
﹣=1的离心率是
．
﹣=1，
则其离心率e==
故答案为：
．
4．现有三张识字卡片，分别写有
“
中
”
、<
br>“
国
”
、
“
梦
”
这三个字．将这三张卡片随
机排
序，则能组成
“
中国梦
”
的概率是 ．
【考点】CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．
【分析】将这三张卡片随
机排序，基本事件总数为：n==6，能组成
“
中国梦
”
包含
的基本
事件个数m=1，由此能求出能组成
“
中国梦
”
的概率．
【解答】解：现有三张识字卡片，分别写有
“
中
”
、
“
国<
br>”
、
“
梦
”
这三个字．
将这三张卡片随机排序，基本事件总数为：n==6，
能组成
“
中国梦
”
包含的基本事件个数m=1，
∴能组成
“
中国梦
”
的概率p=．
故答案为：．
5．如图是一个算法的流程图，则输出的k的值为 6 ．
【考点】EF：程序框图．
【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，根据流程图所示的顺序，即可得出结
论．
【解答】解：分析流程图所示的顺序知：
k=2，2
2
﹣14+10=0，
不满足条件k
2
﹣7k+10＞0，执行循环体；
k=3，3
2
﹣21+10=﹣2，
不满足条件k
2
﹣7k+10＞0，执行循环体；
k=4，4
2
﹣28+10=﹣2，
不满足条件k﹣7k+10＞0，执行循环体；
k=5，5﹣35+10=0，
不满足条件k﹣7k+10＞0，执行循环体；
k=6，6﹣42+10=4，
满足条件k﹣7k+10＞0，退出循环，输出k=6．
故答案为：6．
6．已知一组数据3，6，9，8，4，则该组数据的方差是 5.2
．
【考点】BC：极差、方差与标准差．
【分析】利用定义求这组数据的平均数和方差即可．
【解答】解：数据3，6，9，8，4的平均数为：
=×（3+6+9+8+4）=6，
方差为：
s=×[（3﹣6
）+（6﹣6）+（9﹣6）+（8﹣6）+（4﹣6）]=
故答案为：5.2．
222222
2
2
2
2
2
=5.2．
7．已知实数x，y满足，则的取值范围是 [，] ．
【考点】7C：简单线性规划．
【分析】由约束条件作出可行域，再
由的几何意义，即可行域内的动点与定点O（0，
0）连线的斜率求解．
【解答】解：由约束条件作出可行域如图，
的几何意义为可行域内的动点与定点O（0，0）连线的斜率，
联立方程组求得A（3，﹣1），B（3，2），
又，．
∴的取值范围是[，]．
故答案为：[
，]．
8．若函数f（x）=2sin（2x+
φ
）（0＜
φ
＜
[0，
π
]上的单调减区间是
[，
）的图象过点（0，
，
），则函数f（x）在
]【或（）也正确】
．
【考点】H2：正弦函数的图象．
【分析】根据函数f（x）图象过点
（0，）求出
φ
的值，写出f（x）解析式，
再根据正弦函
数的图象与性质求出f（x）在[0，
π
]上的单调减区间．
【解答】解：
函数f（x）=2sin（2x+
φ
）（0＜
φ
＜）的图象过点（0，），<
br>
∴f（0）=2sin
φ
=，
∴sin
φ
=；
又∵0＜
φ
＜，
∴
φ
=，
∴f（x）=2sin（2x+）；
令+2k
π
≤2x+≤+2k
π
，k∈Z，
∴+2k
π
≤2x≤+2k
π
，k∈Z，
解得+k
π
≤x≤+k
π
，k∈Z；
令k=0，得函数f（x）在[0，
π
]上的单调减区间是[，]．
故答案为：[，]【或（，）也正确】．
9．在公比为q且各
项均为正数的等比数列{a
n
}中，S
n
为{a
n
}的前n
项和．若
S
5
=S
2
+2，则q的值为 ．
【考点】89：等比数列的前n项和．
a
1
=，且
【分析】由a
1
=
解出即可得出．
，且S
5=S
2
+2，q＞0．可得a
3
+a
4
+a
5
=（1+q+q）=2，代入化简
2
【解答】解：∵a
1
=
∴a
3
+a
4
+a
5
=
∴q+q﹣1=0，
解得q=．
2
，且S
5
=S
2
+2，q＞0．
2
（1+q+q）=2，
故答案为：
．
10．如图，在正三棱柱ABC﹣A
1
B
1
C
1
中，已知AB=AA
1
=3，点P在棱CC
1
上，则三棱
锥
P﹣ABA
1
的体积为 ．
【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．
【分析】点P到平面ABA
1<
br>的距离即为△ABC的高，由此能求出三棱锥P﹣ABA
1
的体
积．
【解答】解：∵在正三棱柱ABC﹣A
1
B
1
C
1
中，AB=AA
1
=3，点P在棱CC
1
上，
∴点P到平面ABA
1
的距离即为△ABC的高，即为h==，
==，
三棱锥P﹣ABA
1
的体积为：V===．
故答案为：
．
11．如图，已知正方形ABCD的边
长为2，BC平行于x轴，顶点A，B和C分别在函
数y
1
=3log
ax，y
2
=2log
a
x和y
3
=log
a<
br>x（a＞1）的图象上，则实数a的值为 ．
【考点】4N：对数函数的图象与性质．
【分析】设B（x，2log
a<
br>x），利用BC平行于x轴得出C（x，2log
a
x），利用AB垂直于
x轴
得出 A（x，3log
a
x），则正方形ABCD
的边长从横纵两个角度表示为log
a
x=x﹣x=2，
求出x，再求a
即可．．
【解答】解：设B（x，2log
a
x），∵BC平行于x轴，∴
C（x
′
，2log
a
x）即log
a
x
′
=2log
a
x，
∴x
′
=x，
2
2
2
∴正方形ABCD边长=|BC|=x﹣x=2，解得x=2．
2
由已知，AB垂直于x轴，∴A（x，3log
a
x），正方形ABCD边长
=|AB|=3log
a
x﹣2log
a
x=log
a
x=
2，
即log
a
2=2，∴a=
故答案为：
1
2．已知对于任意的x∈（﹣∞，1）∪（5，+∞），都有x﹣2（a﹣2）x+a＞0，则
实数a的
取值范围是 （1，5] ．
【考点】3W：二次函数的性质．
【分析】对△进行讨论，利用二次函数的性质列不等式解出．
【解答】解：△=4（a﹣2）﹣4a=4a﹣20a+16=4（a﹣1）（a﹣4）．
（1）若△＜0，即1＜a＜4时，x﹣2（a﹣2）x+a＞0在R上恒成立，符合题意；
（2）若△=0，即a=1或a=4时，方程x﹣2（a﹣2）x+a＞0的解为x≠a﹣2，
显然当a=1时，不符合题意，当a=4时，符合题意；
（3）当△＞0，即a＜1
或a＞4时，∵x﹣2（a﹣2）x+a＞0在（﹣∞，1）∪（5，+
∞）恒成立，
2
2
2
22
2
，
．
∴，解得3＜a≤5，
又a＜1或a＞4，∴4＜a≤5．
综上，a的范围是（1，5]．
故答案为（1，5]．
13．在平面直角坐标系xOy中，圆C：（x+2）+（y﹣m
）=3，若圆C存在以G为中
点的弦AB，且AB=2GO，则实数m的取值范围是 ∅ ．
【考点】J9：直线与圆的位置关系．
【分析】求出G的轨迹方程，得两圆公共弦，
由题意，圆心（﹣2，m）到直线的距
22
离d=＜，即可求出实数m的取值范围．
【解答】解：设G（x，y），则
∵AB=2GO，
∴2
22
=2
2
，
化简可得x+y+2x﹣my+m+=0，
2
两圆方程相减可得2x﹣my+m+=0
由题意，圆心（﹣2，m）到直线的距离d=＜，无解，
故答案为∅．
14．已知△ABC三个内角A，B，C的对应边分别为
α
，b
，c，且C=
取得最大值时，的值为 2+ ．
，c=2．当
【考点】9V：向量在几何中的应用．
【分析
】根据正弦定理用A表示出b，代入
得出当
=2bcosA，根据三角恒等变换化简
取
最大值时A的值，再计算sinA，sinB得出答案．
，∴B=﹣A，
【解答】解：∵C=
由正弦定理得=，
∴b=sin（﹣A）=2cosA+sinA，
∴=bccosA=2bcosA=4cosA+
2
sin2A
=2+2cos2A+sin2A
=（sin2A+cos2A）+2
=sin（2A+）+2，
∵A+B=
∴当2A+
此时，B=，∴0＜A＜
=
﹣
即A=
=
，
时，取得最大值，
∴sinA=sin=sin（）=﹣=，
sinB=sin（）==．
∴==2+．
故答案为2+
．
二、解答
题（本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15．如图，在△AB
C中，已知点D在边AB上，AD=3DB，cosA=，cos∠ACB=，
BC=13．
（1）求cosB的值；
（2）求CD的长．
【考点】HT：三角形中的几何计算．
【分析】（1）在△ABC中，求出sinA==．，sin∠ACB=．
可得cosB=﹣cos（A+∠ACB）=sinAsin∠ACB﹣cosAcosB；
（2）在△ABC中，由正弦定理得，AB=sin∠ACB．
在△BCD中，由余弦定理得，CD=．
【解答】解：（1）在△ABC中，cosA=，A∈（0，
π
），
所以sinA==．
同理可得，sin∠ACB=．
所以cosB=cos[
π
﹣（A+∠ACB）]=﹣cos（A+∠ACB）
=sinAsin∠ACB﹣cosAcos∠ACB
=；
（2）在△ABC中，由正弦定理得，AB=sin∠ACB=．
又AD=3DB，所以DB=．
在△BCD中，由余弦定理得，CD=
==9．
<
br>16．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，点E在棱PC上（异于点P，
C）
，平面ABE与棱PD交于点F．
（1）求证：AB∥EF；
（2）若平面PAD⊥平面ABCD，求证：AE⊥EF．
【考点】LZ：平面与平面垂直的性质．
【分析】（1）推导出AB∥CD，从而AB∥平面PDC，由此能证明AB∥EF．
（2）推导出AB⊥AD，从而AB⊥平面PAD，进而AB⊥AF，由AB∥EF，能证明AF⊥
E
F．
【解答】证明：（1）因为ABCD是矩形，所以AB∥CD．
又因为AB⊄平面PDC，CD⊂平面PDC，
所以AB∥平面PDC．
又因为AB⊂平面ABEF，平面ABEF∩平面PDC=EF，
所以AB∥EF．
（2）因为ABCD是矩形，所以AB⊥AD．
又因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，
AB⊂平面ABCD，所以AB⊥平面PAD．
又AF⊂平面PAD，所以AB⊥AF．
又由（1）知AB∥EF，所以AF⊥EF．
17．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C： +=1的左、右顶点分别为
<
br>A，B，过右焦点F的直线l与椭圆C交于P，Q两点（点P在x轴上方）．
（1）若QF=2FP，求直线l的方程；
（2）设直线AP，BQ的斜率分别为k
1
，k
2
，是否存在常数
λ
，使得k
1
=
λ
k
2
？若存在，
求出
λ
的值；若不存在，请说明
理由．
【考点】KL：直线与椭圆的位置关系．
【分析】（1
）由椭圆方程求出a，b，c，可得F的坐标，设P（x
1
，y
1
），Q（x
2
，y
2
），
直线l的方程为x=my+1，代入椭圆方程，求得P
，Q的纵坐标，再由向量共线的坐标
表示，可得m的方程，解方程可得m，进而得到直线l的方程；
（2）运用韦达定理可得y
1
+y
2
，y
1
y
2
，my
1
y
2
，由A（﹣2，0），B（2，0），P
（x
1
，y
1
），
Q（x
2
，y
2
），x
1
=my
1
+1，x
2
=my
2
+1，
运用直线的斜率公式，化简整理计算可得常数
λ
的值，即可判断存在．
【解答】解：（1）因为a=4，b=3，所以c=
所以F的坐标为（1，0），
<
br>设P（x
1
，y
1
），Q（x
2
，y
2），直线l的方程为x=my+1，
代入椭圆方程+=1，得（4+3m）y+6my﹣9=0，
22
22
=1，
则y
1
=，y
2
=．
若QF=2FP，即=2
+2
•
，
则=0，
解得m=，
x﹣2y﹣=0．
，y
1
y
2
=﹣，
故直线l的方程为
（
2）由（1）知，y
1
+y
2
=﹣
所以my
1
y<
br>2
=﹣=（y
1
+y
2
），
由A（﹣2，
0），B（2，0），P（x
1
，y
1
），Q（x
2
，y<
br>2
），x
1
=my
1
+1，x
2
=my2
+1，
所以=
•
===，
故存在常数
λ
=，使得k
1
=k
2
．
18．某景区修建一栋复古建筑，其窗户设计如图所示．圆O的圆心与
矩形ABCD对角
线的交点重合，且圆与矩形上下两边相切（E为上切点），与左右两边
相交（F，G为
其中两个交点），图中阴影部分为不透光区域，其余部分为透光区域．已知圆的半径为1m且≥，设∠EOF=
θ
，透光区域的面积为S．
（1）求S关于
θ
的函数关系式，并求出定义域；
（2）根据设计
要求，透光区域与矩形窗面的面积比值越大越好．当该比值最大时，
求边AB的长度．
【考点】HN：在实际问题中建立三角函数模型．
【分析】（1）过点O
作OH⊥FG于H，写出透光面积S关于
θ
的解析式S，并求出
θ
的取值范围
；
（2）计算透光区域与矩形窗面的面积比值，构造函数，利用导数判断函数的单
调性，
求出比值最大时对应边AB的长度．
【解答】解：（1）过点O作OH⊥FG于H，∴∠OFH=∠EOF=
θ
；
又OH=OFsin
θ
=sin
θ
，
FH=OFcos
θ
=cos
θ
，
∴S=4S<
br>△OFH
+4S
阴影OEF
=2sin
θ
cos
θ<
br>+4×
θ
=sin2
θ
+2
θ
；
∵≥，∴sin
θ
≥，∴
θ
∈[，）；
，）；
∴S关于
θ
的函数关系式为S=sin2
θ
+2
θ
，
θ
∈[
（2）由S
矩形
=A
D
•
AB=2×2sin
θ
=4sin
θ
，
∴
设f（
θ
）=+
=+
，
θ
∈[
，<
br>
，），
则f
′
（
θ
）=﹣sin
θ
+
=
=
=；
∵≤
θ
＜，∴sin2
θ
≤，
∴sin2
θ
﹣
θ
＜0，
∴f
′
（
θ
）＜0，
∴f（θ
）在
θ
∈[
∴当
θ
=
，）上是单调减函数；
时f（
θ
）取得最大值为+，
此时AB=2sin
θ
=1（m）；
∴S关于
θ
的函数为S=sin2
θ
+2
θ
，
θ
∈[
19．已知两个无穷数列{a
n
}和{b
n
}的前n项和
分别为S
n
，T
n
，a
1
=1，S
2
=4
，对任意的n∈
N，都有3S
n+1
=2S
n
+S
n+2<
br>+a
n
．
（1）求数列{a
n
}的通项公式；
（2）若{b
n}为等差数列，对任意的n∈N，都有S
n
＞T
n
．证明：a
n
＞b
n
；
（3）若{b
n
}为等比数列，b1
=a
1
，b
2
=a
2
，求满足
【考
点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．
【分析】（1）运用数列的递推式和等差数列的定义和通项公式，即可得到所求；
（
2）方法一、设数列{b
n
}的公差为d，求出S
n
，T
n
．由恒成立思想可得b
1
＜1，求出
a
n
﹣b
n
，
判断符号即可得证；
方法二、运用反证法证明，设{b
n
}的公差为d，假
设存在自然数n
0
≥2，使得a
推理可得d＞2，作差T
n
﹣Sn
，推出大于0，即可得证；
（3）运用等差数列和等比数列的求和公式，求得
S
n
，T
n
，化简，推出小于3，
≤b，
=a
k<
br>（k∈N）的n值．
*
*
*
，）；所求AB的长度为1m．
结合等差数列的通项公式和数列的单调性，即可得到所求值．
【解答
】解：（1）由3S
n+1
=2S
n
+S
n+2
+a
n
，得2（S
n+1
﹣S
n
）=S
n+2
﹣S<
br>n+1
+a
n
，
即2a
n+1
=a
n+2
+a
n
，所以a
n+2
﹣a
n+1
=a<
br>n+1
﹣a
n
．
由a
1
=1，S
2
=4，可知a
2
=3．
所以数列{a
n
}是以1为首项，2为公差的等差数列．
故{a<
br>n
}的通项公式为a
n
=1+2（n﹣1）=2n﹣1，n∈N*．
（2）证法一：设数列{b
n
}的公差为d，
则T
n
=nb
1
+n（n﹣1）d，
由（1）知，S
n
=n（1+2n﹣1）=n．
因为S
n
＞T
n
，所以n＞nb
1
+n（n﹣1）d，
即（2﹣d）n+d﹣2b
1
＞0恒成立，
所以，即，
2
2
又由S
1
＞T
1
，得b
1
＜
1，
所以a
n
﹣b
n
=2n﹣1﹣b
1
﹣（n﹣1）d=（2﹣d）n+d﹣1﹣b
1
≥2﹣d+d﹣1﹣b
1<
br>=1﹣b
1
＞0．
所以a
n
＞b
n
，得证．
证法二：设{b
n
}的公差为d，假设存在自然数n
0
≥
2，使得a≤b，
则a
1
+2（n
0
﹣1）≤b
1
+（n
0
﹣1）d，即a
1
﹣b
1
≤（n
0
﹣1）（d﹣2），
因为a
1
＞b
1
，所以d＞2．
所以T
n
﹣S
n
=nb
1
+n（n﹣1）d﹣n=（d﹣1
）n+（b
1
﹣d）n，
因为d﹣1＞0，所以存在N∈N*，当n＞N时
，T
n
﹣S
n
＞0恒成立．
22
*
这与
“
对任意的n∈N，都有S
n
＞T
n
”
矛盾！
所以a
n
＞b
n
，得证．
（3）由（1）知，S
n
=n．因为{b
n
}为等比数列，
且b
1
=1，b
2
=3，
所以{b
n
}是以1为首项，3为公比的等比数列．
所以b
n
=3
n﹣1
2
，T
n
=（3﹣1）．
n
则===3﹣，
因为n∈N*，所以6n﹣2n+2＞0，所以
2
＜3．
而ak
=2k﹣1，所以=1，即3
n﹣1
﹣n+n﹣1=0（*）．
2
当n=1，2时，（*）式成立；
当n≥2时，设f（n）=3
n
n﹣1
﹣n+n﹣1，
2
n﹣1
2
则f（n+1）﹣f（n）=3﹣（n+1）+n﹣（3﹣n+n﹣1）=2（32n﹣1
﹣n）＞0，
所以0=f（2）＜f（3）＜
…
＜f（n）＜
…
，
故满足条件的n的值为1和2．
20．已知函数f（x）=+xlnx（m＞0），g（x）=lnx﹣2．
（1）当m=1时，求函数f（x）的单调区间；
（2）设函数h（x）=f（x）﹣xg（x）﹣
，求m的值；
（3）若函
数f（x），g（x）的定义域都是[1，e]，对于函数f（x）的图象上的任意一
点A，在函数g（
x）的图象上都存在一点B，使得OA⊥OB，其中e是自然对数的底
数，O为坐标原点，求m的取值范
围．
【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6B：利用导数研究函数的单调性．
【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；
，x＞0．若函数y=h（h（x））的最小值是
（2）求出h（x）的导数，解关于导函数的不等式
，求出函数的单调区间，求出h（x）
的最小值，从而求出m的值即可；
（3）根据
OA和OB的关系，问题转化为﹣xlnx≤m≤x（e﹣lnx）在[1，e]上恒成
22
立
，设p（x）=﹣xlnx，根据函数的单调性求出m≥p（1）=，设q（x）=x（e
22
﹣lnx），根据函数的单调性求出m≤q（1），从而求出m的范围即可．
【解答】解：（
1）当m=1时，f（x）=+xlnx，f
′
（x）=
因为f
′
（
x）在（0，+∞）上单调增，且f
′
（1）=0，
所以当x＞1时，f<
br>′
（x）＞0；当0＜x＜1时，f
′
（x）＜0，
+lnx+1，
所以函数f（x）的单调增区间是（1，+∞）．
（2）h（x）=
+2x﹣，则h
′
（x）=，令h
′
（x）=0，得x=，
当0＜x＜时，h
′
（x）＜0，函数h（x）在（0，）上单调减；
当x＞时，h
′
（x）＞0，函数h（x）在（，+∞）上单调增．
所以[h（x）]
min
=h（）=2m﹣，
①当（2m﹣1）≥，即m≥时，函数y=h（h（x））的最小值
h（2m﹣）=
[+2（2﹣1）﹣1]= ，
即17m﹣26+9=0，解得=1或=（舍），所以m=1；
②当0＜（2﹣1）＜，即＜m＜时，
函数y=h（h（x））的最小值h（
综上所述，m的值为1．
（3）由题
意知，K
OA
=+lnx，K
OB
=
）=（2﹣1）=，解得=（舍
），
，
考虑函数y=，因为y
′
=在[1，e]上恒成立，
所以函数y=在[1，e]上单调增，故K
OB
∈[﹣2，﹣]，
所以K
OA
∈[，e]，即≤+lnx≤e在[1，e]上恒成立，
即﹣xlnx≤m≤x（e﹣lnx）在[1，e]上恒成立，
22
设p（x）=﹣xlnx，则p
′
（x）=﹣2lnx≤0在[1，e]上恒成立，<
br>
2
所以p（x）在[1，e]上单调减，所以m≥p（1）=，
设q（x）=x（e﹣lnx），
则q
′
（x）=x（2e﹣1﹣
2lnx）≥x（2e﹣1﹣2lne）＞0在[1，e]上恒成立，
所以q（x）在[1，e]上单调增，所以m≤q（1）=e，
综上所述，m的取值范围为[，e]．
【选做题】本题包括A
、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内
作答，若多做，则按作答的前两题评分.
解答时应写出文字说明、证明过程或演算步
骤.A.选修4-1：几何证明选讲
21
．如图，圆O的弦AB，MN交于点C，且A为弧MN的中点，点D在弧BM上，若
∠ACN=3∠AD
B，求∠ADB的度数．
2
【考点】NB：弦切角．
【分析】连结AN，DN．利用圆周角定理，结合∠ACN=3∠ADB，求∠ADB的度数．
【解答】解：连结AN，DN．
因为A为弧MN的中点，所以∠ANM=∠ADN．
而∠NAB=∠NDB，
所以∠ANM+∠NAB=∠ADN+∠NDB，
即∠BCN=∠ADB．
又因为∠ACN=3∠ADB，
所以∠ACN+∠BCN=3∠ADB+∠ADB=180
°
，
故∠ADB=45
°
．
B.选修4-2：矩阵与变换
22．已知矩阵A=，若A=，求矩阵A的特征值．
【考点】OV：特征值与特征向量的计算．
【分析】利用矩阵的乘法，求出a，d，
利用矩阵A的特征多项式为0，求出矩阵A
的特征值．
【解答】解：因为A==，
所以，解得a=2，d=1．
所以矩阵A的特征多项式为f（
λ
）=
=（
λ
﹣
2）（
λ
﹣1）﹣6=（
λ
﹣4）（
λ
+1），
令
f（
λ
）=0，解得矩阵A的特征值为
λ
=4或﹣1．
C.选修4-4：坐标系与参数方程
23．在极坐标系中，已知点A（2
，），点B在直线l：
ρ
cos
θ
+
ρ
sin
θ<
br>=0（0≤
θ
≤2
π
）
上，当线段AB最短时，求点B的极坐
标．
【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．
【分析】点A（2，）的直
角坐标为（0，2），直线l的直角坐标方程为x+y=0．AB
最短时，点B为直线x﹣y+2=0与
直线l的交点，求出交点，进而得出．
【解答】解：以极点为原点，极轴为x轴正半轴，建立平面直角坐标系，
则点A（2，）的直角坐标为（0，2），直线l的直角坐标方程为x+y=0．
AB最短时，点B为直线x﹣y+2=0与直线l的交点，
联立，得，所以点B的直角坐标为（﹣1，1）．
所以点B的极坐标为
D.选修4-5：不等式选讲
．
24
．已知a，b，c为正实数，且a+b+c=abc，求证：a+b+c≥3
【考点】R6：不等式的证
明．
【分析】利用基本不等式的性质进行证明．
【解答】证明：∵a+b+c=abc，a+b+c≥3abc，
∴abc≥3abc，∴abc≥3，
∴a+b+c≥3
当且仅当a=b=c=
≥3．
222
333222333
333222
．
时，取
“
=
”
．
请考生在22、23两题中任选
一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：
坐标系与参数方程]
25．在平面直角坐标系xOy中，点F（1，0），直线x=﹣1与动直线y=n的交点为M，
线段M
F的中垂线与动直线y=n的交点为P．
（
Ⅰ
）求点P的轨迹
Г
的方程；
（
Ⅱ<
br>）过动点M作曲线
Г
的两条切线，切点分别为A，B，求证：∠AMB的大小为
定值．
【考点】K8：抛物线的简单性质．
【
分析】（
Ⅰ
）连接PF，运用中垂线的性质可得|MP|=|PF|，再由抛物线的定义可得点
P的轨迹方程；
（
Ⅱ
）求得M（﹣1，n），过点M的切线斜率存
在，设为k，则切线方程为：y﹣n=k
（x+1），联立抛物线的方程，消去y，运用相切的条件：判
别式为0，再由韦达定理，
结合两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，即可得证．
【解答】解：（
Ⅰ
）据题意，MP⊥直线x=﹣1，
∴|MP|为点P到直线x=﹣1的距离，
连接PF，∵P为线段MF的中垂线与直线y=n的交点，
∴|MP|=|PF|，
∴P点的轨迹是抛物线，焦点为F（1，0），准线为直线x=﹣1，
∴曲线
Г
的方程为y=4x；
2
（
Ⅱ
）
证明：据题意，M（﹣1，n），过点M的切线斜率存在，设为k，
则切线方程为：y﹣n=k（x+1），
联立抛物线方程
可得ky﹣4y+4k+4n=0，
由直线和抛物线相切，
可得△=16﹣4k（4k+4n）=0，
即k+kn﹣1=0，（*）
2
2
∵△
=n+4＞0，∴方程（*）存在两个不等实根，设为k
1
，k
2
，
∵k
1
=k
AM
，k
2
=k
BM
，
由方程（*）可知，k
AM
•
k
BM
=k1
•
k
2
=﹣1，
∴切线AM⊥BM，∴∠AMB=90
°
，结论得证．
[选修4-5：不等式选讲]
26．已知集合U={1，2，
…
，
n}（n∈N，n≥2），对于集合U的两个非空子集A，B，
*
2
若A∩B=∅，则
称（A，B）为集合U的一组
“
互斥子集
”
．记集合U的所有
“互斥子集
”
的组数为f（n）（视（A，B）与（B，A）为同一组
“
互
斥子集
”
）．
（1）写出f（2），f（3），f（4）的值；
（2）求f（n）．
【考点】1H：交、并、补集的混合运算．
【分析】（1）直接由
“
互斥子集
”
的概念求得f（2），f（3），f（4
）的值；
（2）由题意，任意一个元素只能在集合A，B，C=C
U
（A∪
B）之一中，求出这n个元
素在集合A，B，C中的个数，再求出A、B分别为空集的种数，则f（n）
可求．
【解答】解：（1）f（2）=1，f（3）=6，f（4）=25；
（2）任意一个元素只能在集合A，B，C=C
U
（A∪B）之一中，
则这n个元素在集合A，B，C中，共有3种；
其中A为空集的种数为2，B为空集的种数为2，
nn
n
∴A，B均为非空子集的种数为3﹣2+1，
又（A，B）与（B，A）为一组
“
互斥子集
”
，
∴f（n）=
．
nn+1