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2009-2017全国高中数学联赛分类汇编第09讲：立体几何
1、（2010 一试7）正三棱柱
ABCA
1
B
1
C
1
的9条棱 长都相等，
P
是
CC
1
的中点，二面角
BA
1< br>PB
1


,
则
sin


【答案】
【解析】
10

4
A
1
C
1
E
B
1
O
A
P
C
B

设分别与平面
BA
1
P
、平面
B
1
A1
P
垂直的向量是
m(x
1
,y
1
,z1
)
、
n(x
2
,y
2
,z
2)
，则


mBA
1
2x
1
2z
1
0,




mBPx
1
3y
1
z
1
0,


nB1
A
1
2x
2
0,



nB
1
Px
2
3y
2
z
2
0,

由此可设
m(1,0,1),n(0,1,3)< br>，所以
mnmncos

，即
322cos
< br>cos


610
.所以
sin

.
44
解法二：如图，
PCPC
1
,PA
1
PB
.
设
A
1
B
与
AB
1
交于点
O,
则
OA
1
OB,OAOB
1
,A
1
BAB
1
.
因为 PAPB
1
,所以 POAB
1
,
从而
AB
1

平面
PA< br>1
B
.
过
O
在平面
PA
1
B< br>上作
OEA
1
P
,垂足为
E
.

< br>连结
B
1
E
,则
B
1
EO
为二面 角
BA
1
PB
1
的平面角.设
AA
1
2
,则易求得
PBPA2,PO3
.
1
5,A
1
OB
1
O
在直角
PA
1
O
中，< br>A
1
OPOA
1
POE
,即
235OE ,OE
6
5
.
又B
1
O2,B
1
EB
1
O
2
OE
2
2
645
B O
210
.
sin

sinB
1
EO
1

.


55
B
1
E
45
4
5

2、（2011一试6）在四面体
ABCD
中，已知
ADBBDCCDA60
，
ADBD3
，
CD 2
，则四面
体
ABCD
的外接球的半径为
【答案】
3

【解析】

因为
CDACD BADB60
，设
CD
与平面
ABD
所成角为
< br>，可求得
cos


1223
CD1,DNDP 33
．学科*网
2332
1
3
2
，
1
3
,sin


2
3
．
在△
DMN
中，
DM
由余弦定理得
MN
2
1
2
(3)
2
213
故
MN2
．四边形
DMON
的外接圆的直径
MN

sin

2
2
3
3
．故球
O
的半径
R3
．
OD

3、（2012一试5）设同底的两个正三棱锥
PABC
和
QABC
内接于同一个球．若正三棱锥
PABC
的

侧面与底面所成的角为
45

，则正三棱锥
QABC
的侧面与 底面所成角的正切值是．
【答案】4
【解析】






1
AH
,因为
PAQ90

,AHPQ,

2
1
2
2
所以
APPHQH,
即
AH AHQH.

2
QH
4
所以
QH2AH4MH .
,故
tanQMH
MH
,从而
PHMH

4、（2013一试4）已知正三棱锥
PABC
底面边长为1，高为
2
， 则其内切球半径为.
【答案】
【解析】
P
2

6
K
O
A
H
M
B
C

K 、M
如图，设球心
O
在面
ABC
与面
ABP
内的射 影分别为
H
和
K
，
AB
中点为
M
，内切球 半径为
r
，则
P、
共线，
P、O、H
共线，
PH MPKO

2
，且
OHOKr
,
POPH OH2r
，
MH
33
153
AB
2
,
PMMH
2
PH
2

,
66
126
于是有
r
2r

2
OKMH1
.
s inKPO
，解得
r
6
POPM5

5、（2014一试5）已知正四棱锥
PABCD
中，侧面是边长为1的正三角形，
M,N
分别是边
AB,BC
的
中点，则异面直线
MN
与< br>PC
之间的距离是_____________.
【答案】
2

4


6、（2016一试5）设P为一圆锥的顶点，A，B，C是其底面圆 周上的三点，满足
ABC
=90°，M为AP的
中点.若AB=1，AC=2，AP
【答案】
arctan
【解析】
2
，则二面角M—BC—A的大小为 .
2

3

由
ABC
=90°知，AC为底面圆的 直径.设底面中心为O，则
PO
平面ABC，易知
AO
1
AC 1
，进而
2
POAP
2
AO
2
1
.
设H为M在底面上的射影，则H为AO的中点.在底面中作
HKBC
于点K，则由三 垂线定理知
MKBC
，
从而
MKH
为二面角M—BC—A的平面 角.
1HKHC33MH2

，

.，结合
HK
与
AB
平行知，即
HK
，这样
tanMKH
2AB AC44HK3
2
故二面角M—BC—A的大小为
arctan
.
3
因
MHAH

7、（2017一试5）正三棱锥
P ABC
中，
AB1,AP2,
过
AB
的平面

将其体积平分，则棱
PC
与平面


所成角的余弦值为.
【答案】
3
5

10
【解析】设
AB,PC
的中点分别为
K,M
,则易证平面
ABM
就是平面

.由 中线长公式得
11113
(AP
2
AC
2
)PC2
(2
2
1
2
)2
2

24 242
31
2
5
所以KMAM
2
AK
2
().
222
AM
2

又易知直线PC在平面
< br>上的射影是直线MK,而CM=1，KC=
53
1
KMMCKC
4

35
,所以cosKMC
4
2KMMC10
5
222
3
，

2
故棱PC与平面

所成 的角的余弦值为
35
.
10